1、专题专题 27 27 四边形中的面积综合问题四边形中的面积综合问题 1、 如图， 在 ABCD 中， ACBD 于点 O， 点 E 为 BC 中点， 连接 OE， OE， 则 ABCD 的周长为 （ ） A4 B6 C8 D12 解：ACBD， ABCD 为菱形，则其四边相等 且点 E 为斜边 BC 中点， OEBEEC ， BC2， ABCD 的周长4BC8 故选：C 2、如图，已知某广场菱形花坛 ABCD 的周长是 24 米，BAD60 ，则此花坛的面积等于（ ） A6平方米 B24 平方米 C18平方米 D36平方米 解：作高 DE，垂足为 E， 则AED90 ， 菱形花坛 ABCD 的
2、周长是 24m， ABAD6m， BAD60 ， sinBAD ， DE3m， 菱形花坛 ABCD 的面积ABDE6 318m2 故选：C 3、如图， ABCD 的周长为 16cm，ABAD，AC 和 BD 相交于点 O，EOBD 交 AD 于点 E，则 ABE 的周 长是（ ） A10cm B8m C6m D4cm 解：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ADBC，OBOD， 又OEBD， OE 是线段 BD 的中垂线， BEDE， AE+EDAE+BE， ABCD 的周长为 16cm， AB+AD8cm， ABE 的周长AB+ADAB+AE+BE8cm， 故选：B 4、如图，点 P
3、 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上一点，过点 P 作 EFBC，分别交 AB，CD 于 E，F，连接 PB， PD，若 AE3，PF9，则图中阴影部分的面积为（ ） A12 B24 C27 D54 解：作 PMAD 于 M，交 BC 于 N 则有四边形 AEPM，四边形 DFPM，四边形 CFPN，四边形 BEPN 都是矩形， S ADCS ABC，S AMPS AEP，S PBES PBN，S PFDS PDM，S PFCS PCN， S DFPS PBE 3 913.5， S阴13.5+13.527， 故选：C 5、如图，已知直角三角形 ABC 中，ABC 为直角，AB12，BC16，
4、三角形 ACD 为等腰三角形，其中 ADDC，且 ABCD，E 为 AC 中点，连接 ED，BE，BD，则三角形 BDE 的面积为 解：ABC 为直角，AB12，BC16， AC 20， ADCD，E 为 AC 中点， AEEC10，DEAC， DE S ABC AB BC96， S BEC48， 三角形 BDE 的面积S BDCS BECS EDC， 三角形 BDE 的面积 1648 10， 故答案为： 6、如图，Rt ABC 中，ABC90 ，点 D，F 分别是 AC，AB 的中点，CEDB，BEDC （1）求证：四边形 DBEC 是菱形； （2）若 AD3，DF1，求四边形 DBEC 面
5、积 （1）证明：CEDB，BEDC， 四边形 DBEC 为平行四边形 又Rt ABC 中，ABC90 ，点 D 是 AC 的中点， CDBDAC， 平行四边形 DBEC 是菱形； （2）点 D，F 分别是 AC，AB 的中点，AD3，DF1， DF 是 ABC 的中位线，AC2AD6，S BCDS ABC BC2DF2 又ABC90 ， AB 4 平行四边形 DBEC 是菱形， S四边形DBEC2S BCDS ABCABBC 4 24 7、在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 A（5，0）在 x 轴的正半轴上，四边形 OABC 为平行四边形， 对角线 OBOA，BC 交 y 轴于点 D，
6、且 S OABC20 （1）如图，求点 B 的坐标： （2）如图，点 P 在线段 OD 上，设点 P 的纵坐标为 t， PAB 的面积为 S，请用含 t 的式子表示 S； （3）在（2）的条件下，如图，点 Q 在 x 轴上，点 R 为坐标平面内一点，若OCBCBP45 ，且 四边形 PQBR 为菱形，求 t 的值并直接写出点 Q 的坐标 解：（1）点 A（5，0），OBOA， OAOB5， S OABCOA OD5OD20， OD4， 四边形 OABC 为平行四边形， BCAO，BCAO5， BDO90 ， DB 3， 点 B（3，4）； （2）点 P 的纵坐标为 t， OPt， DP4t，
7、S （3+5） 4 3 （4t） 5 tt+10； （3）如图， 由（1）知，B（3，4），OA5，BCOA， C（2，4）， CD2 取 OD 的中点 E，则 DEOD2， DECD， DCE45 ， OCBOCE45 ， OCBCBP45 ， OCECBP， 过点 E 作 EFOC 于 F， CFE90 BDP， CFEBDP， ， 在 Rt CDE 中，CDDE2， CE2， 在 Rt ODC 中，CD2，OD4， OC2， CE 是 OCD 的中线， S OCES CDO 2 42 S OCEOCEFEF2， EF ， 在 Rt CFE 中，根据勾股定理得，CF， ， DP1， OPO
8、DDP3， t3， P（0，3）， 设 Q（m，0）， B（3，4）， PQ2m2+9，BQ2（m3）2+16， 四边形 PQBR 为菱形， PQBQ， m2+9（m3）2+16， m ， 即 Q（，0） 8、 如图， 已知MON90 ， A， B 分别是边 OM 和 ON 上的点， 四边形 ACDB 和四边形 OEFC 都是正方形 （1）当 OA2，OB1 时，求 OC 的长 （2）当 OB1，点 A 在直线 OM 上运动时，求 OC 的最小值 （3）设 S CDFy，OAx，求 y 关于 x 的函数关系式 解：（1）如图 1 所示，过点 C 作 CGOM 于点 G， 四边形 ACDB 是正
9、方形， ABAC，BAC90 ， MON90 ，AGC90 ， BAO+ABO90 ，BAO+CAG90 ， ABOCAG， AOBAGC（AAS） OA2，OB1， CGOA2，AGOB1， OG3， 在 Rt OGC 中，由勾股定理得： OC （2）如图 2 所示，由题意可得点 C 在直线 l：yx1 上运动， OC 的最小值为当 OC 与直线 l 垂直时，此时 OC， OC 的最小值为 （3）如图 3 所示，延长 OC 至点 H，使 CHOC，连接 AH，过点 C 作 CGOM， CDCA，CHCF，DCFACH90 +ACF， DCFACH（SAS）， 由（1）知 AOBAGC（AAS
10、）， CGOA， C 是 OH 的中点， S ACHS OAC， S CDFy，OAx， yS OAH S OAC x2 y 关于 x 的函数关系式为 yx2 9、定义：有三条边相等的四边形称为三等边四边形 （1）如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 CA 平分 BCD将线段 CD 绕点 C 旋转一个角度 （0 B）至 CE，连结 AE 求证：四边形 ABCE 是三等边四边形； 如图，连结 BE，DE求证：BEDACB （2）如图，在（1）的条件下，设 BE 与 AC 交于点 G，ABE3EBC，AB10，cosBAC， 求以 BG，GE 和 DE 为边的三角形的面积 解：（1）证明：如图，
11、 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， BACACD， CA 平分BCD， BCAACD， BACBCA， ABBC， 平行四边形 ABCD 是菱形， ABBCCD， CECD， ABBCCE， 四边形 ABCE 是三等边四边形 证明：如图，延长 EC 至点 H， CECD， CDECED， HCDCDE+CED2CED， BCCE， CBECEB， HCBCBE+CEB2CEB， HCDHCB2（CEDCEB）， 即BCD2BED， 四边形 ABCD 是菱形， BCD2ACB， BEDACB （2）如图，连接 BD，DG，BD 与 AC 交于点 O，过点 G 作 GPBC 于点 P，
12、 四边形 ABCD 是菱形， BDAC，AOAC，BD2BO，DBCABC， 在 Rt ABO 中，AB10，cosBAC， AOAB6， OCAO6，BO8， BD2BO16， ABE3EBC， ABC4EBC， DBCABC， DBC2EBC， DBEEBC， GOBD，GPBC， GOGP，BPBO8， PCBCBP1082， 在 Rt GPC 中，GC2GP2PC2， （OCOG）2OG2PC2 ， 即（6OG）2OG24， OG，GC ， BG ， BEDACB，DBEEBC， BEDBCG， ， BE16 10 6， DE16 2， AC 垂直平分 BD， DGBG ， GDBGB
13、D， GDEBDEGDBBGCGBDGOB90 ， S GDEDGDE， 以 BG，GE 和 DE 为边的三角形的面积是 10、在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，ABDC5，AD6，BC12 （1）梯形 ABCD 的面积等于 （2）如图 1，动点 P 从 D 点出发沿 DC 以每秒 1 个单位的速度向终点 C 运动，动点 Q 从 C 点出发沿 CB 以每秒 2 个单位的速度向 B 点运动 两点同时出发， 当 P 点到达 C 点时， Q 点随之停止运动 当 PQAB 时，P 点离开 D 点多少时间？ （3）如图 2，点 K 是线段 AD 上的点，M、 N 为边 BC 上的点， BMCN5， 连
14、接 AN、DM，分别交 BK、 CK 于点 E、F，记 ADG 和 BKC 重叠部分的面积为 S，求 S 的最大值 解：（1）如图 1，作 AEBC 于 E，DFBC 于 F，则 AEDF， ADBC，AEBC， 四边形 ADFE 是矩形， AEDF，ADEF6， 在 Rt ABE 和 Rt DCF 中， ， Rt ABERt DCF（HL）， BECF， BECF3， 由勾股定理得，AE4， 梯形 ABCD 的面积 （AD+BC） AE （12+6） 436， 故答案为：36； （2）如图 3，过 D 作 DEAB，交 BC 于点 E， ADBC，DEAB， 四边形 ABED 为平行四边形，
15、 BEAD6， EC6， 当 PQAB 时，PQDE， CQP CED， ，即， 解得，t； （3） 如图 2， 过 G 作 GHBC， 延长 HG 交 AD 于 I， 过 E 作 EXBC， 延长 XE 交 AD 于 Y， 过 F 作 FUBC 于 U，延长 UF 交 AD 于 W， BMCN5， MN12552， BNCM7， MNAD， MGN DGA， ，即， 解得，HG1， 设 AKx， ADBC， BEN KEA， ，即， 解得，EX， 同理：FU， SS BKCS BENS CFM+S MNG 12 4 7 7+ 2 1 ， 当 x3 时，S 的最大值为 255.4 11、【探索
16、规律】 如图，在 ABC 中，点 D，E，F 分别在 AB，BC，AC 上，且 DFBC，EFAB设 ADF 的边 DF 上的高为 h1， EFC 的边 CE 上的高为 h2 （1）若 ADF、 EFC 的面积分别为 3，1，则 ； （2）设 ADF、 EFC、四边形 BDFE 的面积分别为 S1，S2，S，求证：S2； 【解决问题】 （3）如图，在 ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 上，点 F，G 在 BC 上，且 DEBC，DFBG若 ADE、 DBF、 EGC 的面积分别为 3，7，5，求 ABC 的面积 解：（1）DFBC，EFAB， AFDACB，DAFEFC， ADFFE
17、C， ADF、 EFC 的面积分别为 3，1， ， ， ADF 的边 DF 上的高为 h1， EFC 的边 CE 上的高为 h2， ； 故答案为： （2）证明：如图，设 ADa，BDb，DB 与 EF 间的距离为 h， EFAB，DFBC， 四边形 DBFE 是平行四边形， BDEFb， 由（1）知 ADFFEC， ， S1ah， S2， S1S2， bh2， Sbh， S2 （3）如图，过点 D 作 DMAC 交 BC 于点 M， DMFECG， DEBC，DFBG， 四边形 DFGE 为平行四边形， DFEG，DFMEGC， DFMEGC（AAS）， S DFMS EGC5， S DBF7
18、， S BDM7+512， DEBM，DMAC， ADEDBM，BDMBAE， DAEBDM， ， ， ， 同理， ADEABC， S ABC9S ADE9 327 12、在正方形 ABCD 中，E，F 分别在 AD，DC 上，且 AEDF，AF 交 BD 于 G （1）如图 1，求证：BEAF （2）如图 2，在边 AB 上取一点 K，使 AKAE过 K 作 KSAF 交 BD 于 S，求证：G 是 SD 中点 （3）在（2）的条件下，如果 AB8，BE 是ABD 的平分线，求 BSK 的面积 （1）证明：设 BE 与 AF 交于点 H，如图 1 所示： 四边形 ABCD 是正方形， ABC
19、D，BAEADF90 ，ABAD， 在 BAE 和 ADF 中， BAEADF（SAS）， ABEDAF， DAF+AEBABE+AEB90 ， AHE90 ， BEAF； （2）证明：KSAF， ， ABCD， DGFBGA， ， AKAE，AEDF， AKDF， ， GSDG， G 是 SD 中点； （3）解：作 EPBD 于 P，如图 2 所示： BE 是ABD 的平分线，EAAB， AEPE， 四边形 ABCD 是正方形， ADAB8，BAD90 ，ABDADB45 ， BDAB8 ， EPBD， PDE 是等腰直角三角形， PDPE，DEPEPD， AEPEPD， AE+DEAD8，
20、 AE+AE8， 解得：AE88， DFAEAK88， BKABAK8（88）168， ABCD， DGFBGA， +1， DG 88， BSBD2DG82（88）168， 作 SNAB 于 N，则 BNS 是等腰直角三角形， SNBNBS88， BSK 的面积BK SN （168） （88）96128 13、【操作发现】 如图， 在正方形 ABCD 中， 点 N、 M 分别在边 BC、 CD 上， 连结 AM、 AN、 MN MAN45 ， 将 AMD 绕点 A 顺时针旋转 90 ，点 D 与点 B 重合，得到 ABE易证： ANMANE，从而得 DM+BNMN 【实践探究】 （1）在图条件
21、下，若 CN3，CM4，则正方形 ABCD 的边长是 （2）如图，点 M、N 分别在边 CD、AB 上，且 BNDM点 E、F 分别在 BM、DN 上，EAF45 ， 连接 EF，猜想三条线段 EF、BE、DF 之间满足的数量关系，并说明理由 【拓展】 （3）如图，在矩形 ABCD 中，AB3，AD4，点 M、N 分别在边 DC、BC 上，连结 AM，AN，已知 MAN45 ，BN1，求 DM 的长 【实践探究】 （1）解：四边形 ABCD 是正方形， ABCDAD，BADCD90 ， 由旋转得： ABEADM， BEDM，ABED90 ，AEAM，BAEDAM， BAE+BAMDAM+BAM
22、BAD90 ， 即EAM90 ， MAN45 ， EAN90 45 45 ， MANEAN， 在 AMN 和 EAN 中， ， AMNEAN（SAS）， MNEN ENBE+BNDM+BN， MNBN+DM 在 Rt CMN 中，MN5， 则 BN+DM5， 设正方形 ABCD 的边长为 x，则 BNBCCNx3，DMCDCMx4， x3+x45， 解得：x6， 即正方形 ABCD 的边长是 6； 故答案为：6； （2）EF2BE2+DF2， 理由如下：如图，将 AFD 绕点 A 顺时针旋转 90 ，点 D 与点 B 重合，得到 ABH，连结 EH， ADFABH，DFBH，DAFBAH，AH
23、AF， EAF45 ， DAF+BAE45 BAH+BAE， HAE45 EAF， 又AHAF，AEAE， EAHEAF（SAS）， HEEF， BNDM，BNDM， 四边形 BMDN 是平行四边形， DNBM， ANDABM， ADN+AND90 ， ABH+ABM90 HBM， BE2+BH2HE2， EF2BE2+DF2； （3）如图，延长 AB 至 P，使 BPBN1，过 P 作 BC 的平行线交 DC 的延长线于 Q，延长 AN 交 PQ 于 E，连接 EM， 则四边形 APQD 是正方形， PQDQAPAB+BP4， 设 DMx，则 MQ4x， PQBC， ABNAPE， ， PE
24、BN ， EQPQPE4， 由（1）得：EMPE+DM+x， 在 Rt QEM 中，由勾股定理得：（）2+（4x）2（+x）2， 解得：x2， 即 DM 的长是 2 14、已知：如图，在四边形 ABCD 中，BACACD90 ，ABCD，点 E 是 CD 的中点 （1）求证：四边形 ABCE 是平行四边形； （2）若 AC4，AD4，求四边形 ABCE 的面积 （1）证明：BACACD90 ， ABEC， 点 E 是 CD 的中点， ， ， ABEC， 四边形 ABCE 是平行四边形； （2）解：ACD90 ，AC4， ， ， AB2， S平行四边形ABCEABAC2 48 15、已知：矩形
25、ABCD 中，点 E、F 为对角线 AC 上两点，AFCE （1）如图 1，求证：BEDF； （2）如图 2，当 ABBEAD 时，连接 DE、BF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出四个三 角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形 ABCD 面积的 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形， ADBC，ADBC， DAFBCE， 在 AFD 和 CEB 中， AFDCEB（SAS）， AFDCEB， BEDF； （2）解： ABF， CDE， ADF， BCE；理由如下： 由（1）得： AFDCEB， 同理： ABFCDE（SAS）， AFD 的面积 CEB 的面积， ABF 的面积 CDE 的面积， 作 BGAC 于 G，如图 2 所示： 四边形 ABCD 是矩形， ABC90 ，BCAD， ABBEAD， ABBEBC， BC2AB，ACAB，AGEG， ABC 的面积AC BGAB BC， BG AB， AG AB， AE2AGAB， AFCE， ABF 的面积 BCE 的面积，CFAEAB， AFACCFABABAB， ABF 的面积AF BGABAB AB2， 矩形 ABCD 的面积AB BCAB 2AB2AB2， ABF 的面积矩形 ABCD 面积的， ABF 的面积 CDE 的面积 ADF 的面积 BCE 的面积矩形 ABCD 面积的