1、专题专题 24 24 四边形中的对称综合问题四边形中的对称综合问题 1、如图，在矩形纸片 ABCD 中，已知 AB2，BC2，点 E 在边 CD 上移动，连接 AE，将多边形 ABCE 沿直线 AE 翻折，得到多边形 ABCE，点 B、C 的对应点分别为点 B、C （1）当点 E 与点 C 重合时，求 DF 的长； （2）若 BC分别交边 AD，CD 于点 F，G，且DAE22.5 ，求 DFG 的面积； （3）如果点 M 为 CD 的中点，那么在点 E 从点 C 移动到点 D 的过程中，求 CM 的最小值 解：（1）如图， 四边形 ABCD 是矩形， ABCD2，BCAD2，BBCDD90
2、， tanACB ， ACB30 ， 由翻折不变性可知：ACBACF30 ， DCF30 ， DFCDtan30 （2）如图 2 中， DAE22.5 ，BAD90 ， BAEEAB67.5 ， BAF45 ， B90 ， BAFBFA45 ， BABF2， AF2， DF22， AFBDFG45 ， DGDF22， S DFG（22）2 （3）如图 3 中，连接 AM，AC，MC AC4，AM ， CMACAM， CM4 ， CM 的最小值为 4 2、有一张矩形纸片 ABCD，AB4，AD9 （1）如图 1，点 E 在这张矩形纸片的边 AD 上，将纸片折叠，使 AB 落在 CE 所在直线上，
3、折痕设为 MN （点 M，N 分别在边 AD，BC 上），利用直尺和圆规画出折痕 MN（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图 2，点 K 在这张矩形纸片的边 AD 上，DK3，将纸片折叠，使 AB 落在 CK 所在直线上，折 痕为 HI，点 A，B 分别落在点 A，B处，小明认为 BI 所在直线恰好经过点 D，他的判断是否正确，请说 明理由 解：（1）如图 1 所示直线 MN 即为所求； （2）小明的判断不正确 理由：如图 2，连接 ID， 在 Rt CDK 中，DK3，CD4， CK5， ADBC， DKCICK， 由折叠可知，ABIB90 ， IBC90 D， CDKIBC， ， 即，
4、设 CB3k，IB4k，IC5k， 由折叠可知，IBIB4k， BCBI+IC4k+5k9， k1， IC5，IB4，BC3， 在 Rt ICB中，tanBIC， 连接 ID，在 Rt ICD 中，tanDIC， tanBICtanDIC， BI 所在的直线不经过点 D 3、已知：将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 A 与点 C 重合（点 D 与 D为对应点），折痕为 EF，连接 AF、AC 交 EF 于点 O （1）如图 1，求证：四边形 AECF 为菱形； （2）如图 2，若 FC2OE，连接 DO、DO，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图 2 中所有等 边三角形 （1）证明：将矩形纸
5、片 ABCD 折叠，使点 A 与点 C 重合，折痕为 EF， AECE，AFFC，AEFCEF， 四边形 ABCD 是矩形， ADCBAD90 ，AECF， CFEAEF， CEFCFE， CFCE， AECF， 四边形 AECF 是平行四边形， 又AECE， 四边形 AECF 是菱形； （2）等边三角形为： AEF、 CEF、 AOD、 COD； 理由如下： FC2DF，AFFC， AF2DF， ADC90 ， DAF30 ， EAF60 ， 四边形 AECF 是菱形， AEAF， AEFCEF，OAOCAC， AEF 和 CEF 是等边三角形； ADC90 ， ODACOA， OAFEAF
6、30 ， OAD60 ， AOD 是等边三角形； CDADOC，ODAC， CDOCOD， COD是等边三角形 4、如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，长方形 OABC，点 B 的坐标为（3，8），点 A、C 分别在 坐标轴上，D 为 OC 的中点 （1）在 x 轴上找一点 P，使得 PD+PB 最小，则点 P 的坐标为 ； （2）在 x 轴上找一点 Q，使得|QDQB|最大，求出点 Q 的坐标并说明理由 解：（1）作 D 关于 x 轴的对称点 D，连接 BD，交 x 轴于点 P PDPD PD+PBPD+PB 当 B、P、D在同一直线上时，PD+PBBD最小 四边形 OABC 是矩形，
7、B（3，8） C（0，8） D 为 OC 中点 D（0，4） D（0，4） 设直线 BD解析式为：ykx+b 解得： 直线 BD：y4x4 当 4x40 时，解得：x1 故答案为：P（1，0） （2）根据三角形两边之差小于第三边，|QDQB|BD 当 B、D、Q 在同一直线上时，|QDQB|BD 最大 设直线 BD 解析式为：yax+c 解得： 直线 BD：yx+4 当x+40 时，解得：x3 点 Q（3，0） 5、如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AB 边的中点，沿 EC 对折矩形 ABCD，使 B 点落在 P 处，折痕为 EC，连 接 AP 并延长 AP 交 CD 于 F 点 （1）求证
8、：四边形 AECF 为平行四边形； （2）若矩形 ABCD 的边 AB6，BC4，求 CPF 的面积 解：（1）由折叠得到 BEPE，ECPB， E 为 AB 的中点， AEEBPE， APBP， AFEC， 四边形 ABCD 是矩形， AEFC， 四边形 AECF 为平行四边形； （2）过 P 作 PMDC，交 DC 于点 M， 在 Rt EBC 中，EB3，BC4， 根据勾股定理得：EC5， S EBCEBBCECBQ， BQ ， 由折叠得：BP2BQ， 在 Rt ABP 中，AB6，BP， 根据勾股定理得：AP， 四边形 AECF 为平行四边形， AFEC5，FCAE3， PF5 ， P
9、MAD， ，即， 解得：PM， 则 S PFCFCPM 3 6、如图，长方形纸片 ABCD 中，AB8，将纸片折叠，使顶点 B 落在边 AD 上的 E 点处，折痕的一端 G 点 在边 BC 上 （1）如图 1，当折痕的另一端 F 在 AB 边上且 AE4 时，求 AF 的长 （2）如图 2，当折痕的另一端 F 在 AD 边上且 BG10 时， 求证：EFEG求 AF 的长 （3）如图 3，当折痕的另一端 F 在 AD 边上，B 点的对应点 E 在长方形内部，E 到 AD 的距离为 2cm， 且 BG10 时，求 AF 的长 （1）解：纸片折叠后顶点 B 落在边 AD 上的 E 点处， BFEF
10、， AB8， EF8AF， 在 Rt AEF 中，AE2+AF2EF2， 即 42+AF2（8AF）2， 解得 AF3； （2）证明：纸片折叠后顶点 B 落在边 AD 上的 E 点处， BGFEGF， 长方形纸片 ABCD 的边 ADBC， BGFEFG， EGFEFG， EFEG； 解：纸片折叠后顶点 B 落在边 AD 上的 E 点处， EGBG10，HEAB8，FHAF， EFEG10， 在 Rt EFH 中，FH6， AFFH6； （3）解： 法一：如图 3，设 EH 与 AD 相交于点 K，过点 E 作 MNCD 分别交 AD、BC 于 M、N， E 到 AD 的距离为 2cm， EM
11、2，EN826， 在 Rt ENG 中，GN8， GEN+KEM180 GEH180 90 90 ， GEN+NGE180 90 90 ， KEMNGE， 又ENGKME90 ， GENEKM， ， 即， 解得 EK，KM， KHEHEK8， FKHEKM，HEMK90 ， FKHEKM， ， 即， 解得 FH， AFFH 法二： 如图 4， 设 EH 与 AD 相交于点 K， 过点 E 作 MNCD 分别交 AD、 BC 于 M、 N， 过点 K 作 KLCD 交 BC 于点 L，连接 GK， E 到 AD 的距离为 2cm， EM2，EN826， 在 Rt ENG 中，GN8， 设 KMa
12、， 在 KME 中，根据勾股定理可得：KE2KM2+ME2a2+4， 在 KEG 中，根据勾股定理可得：GK2GE2+KE2102+a2+4， 在 GKL 中，根据勾股定理可得：GK2GL2+KL2（8a）2+82， 即 102+a2+4（8a）2+82， 解得：a，故 KE， KHEHEK8， 设 FHb， 在 KFH 中，根据勾股定理可得：KF2KH2+FH2， KFKAAFBLAF（BG+GNKM）AF10+8bb， 即：（b）2（）2+b2， 解得：b， AFFH 7、如图，长方形纸片 ABCD，点 E、F 分别在边 AB、CD 上，连接 EF，将BEF 对折，点 B 落在直线 EF
13、上的 B处，得到折痕 EC，将点 A 落在直线 EF 上的点 A处，得到折痕 EN （1）若BEB110 ，则BEC ，AEN ，BEC+AEN （2）若BEBm ，则（1）中BEC+AEN 的值是否改变？请说明你的理由 （3）将ECF 对折，点 E 刚好落在 F 处，且折痕与 BC 重合，求DNA 解：（1）由折叠的性质可得，BECBEC，AENAEN， BEB110 ， AEA180 110 70 ， BECBECBEB55 ，AENAENAEA35 BEC+AEN55 +35 90 ； 故答案为：55，35，90 （2）不变 由折叠的性质可得：BECBEC，AENAEN， BEBm ，
14、AEA180 m ， 可得BECBECBEBm ，AENAENAEA（180 m ）， BEC+AENm +（180 m ）90 ， 故BEC+AEN 的值不变； （3）由折叠的性质可得：BCFBCE，BCEBCE， BCFBCEBCE 90 30 ， 在 Rt BCE 中， BEC 与BCE 互余， BEC90 BCE90 30 60 ， BECBEC60 ， AEA180 BECBEC180 60 60 60 ， AENAEA30 ， ANE90 AEN90 30 60 ， ANEANE60 ， DNA180 ANEANE180 60 60 60 8、（1）数学课上，老师出了一道题，如图，
15、Rt ABC 中，C90 ，求证：B30 ，请 你完成证明过程 （2）如图，四边形 ABCD 是一张边长为 2 的正方形纸片，E、F 分别为 AB、CD 的中点，沿过点 D 的 折痕将纸片翻折，使点 A 落在 EF 上的点 A处，折痕交 AE 于点 G，请运用（1）中的结论求ADG 的度 数和 AG 的长 （3）若矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠，B、D 两点恰好重合于一点 O（如图），当 AB6， 求 EF 的长 （1）证明：Rt ABC 中，C90 ， sinB ， B30 ； （2）解：正方形边长为 2，E、F 为 AB、CD 的中点， EAFD 边长1， 沿过点 D 的折痕将纸
16、片翻折，使点 A 落在 EF 上的点 A处， ADAD2， ， FAD30 ， 可得FDA90 30 60 ， A 沿 GD 折叠落在 A处， ADGADG，AGAG， ADG15 ， AD2，FD1， AF ， EAEFAF2， EAG+DAF180 GAD90 ， EAG90 DAF90 30 60 ， EGA90 EAG90 60 30 ， 则 AGAG2EA2（2）； （3）解：折叠后 B、D 两点恰好重合于一点 O， AOADCBCO， DA ， D90 ， DCA30 ， ABCD6， 在 Rt ACD 中，tan30 ， 则 ADDCtan3062， DAFFAODAO30 ，
17、tan30 ， DFAD2， DFFO2， 同理 EO2， EFEO+FO4 9、如图，在矩形 ABCD 中，2ABBC，点 E 和点 F 为边 AD 上两点，将矩形沿着 BE 和 CF 折叠，点 A 和 点 D 恰好重合于矩形内部的点 G 处， （1）当 ABBC 时，求GEF 的度数； （2）若 AB，BC2，求 EF 的长 解：（1）当 ABBC 时，矩形 ABCD 为正方形 由折叠得，ABBG，CDCG；EGBA90 FGC， ABBCCD BGBCGC BGC60 ABG30 AEG360 ABGEABG150 GEF30 （2）在矩形 ABCD 中，ABCD 由折叠得，ABBG，C
18、DCG，AEEG，DFFG BGGC ， BG2+CG24，BC24， BG2+CG2BC2， BGC90 ，且 BGCG， GBC45 AEG360 ABGEABG135 FEG45 ， 同理可得EFG45 ， EGF 为等腰直角三角形 设 EGx，则 AEFDx，EFx，得 （2+）x2， x2 EFx22 9、如图，在矩形 ABCD 中，AB6，BC10，将矩形沿直线 EF 折叠，使得点 A 恰好落在边 BC 上，记此 点为 G，点 E 和点 F 分别在边 AB 和边 AD 上 （1）当 BG3时，求 AE 的长； （2）在矩形翻折中，是否存在 FGCG？若存在，请求出 FG 的长，若不
19、存在，请说明理由 解：（1）由折叠易知：AEEG， 设 AEEGx，则有 BE6x， 由勾股定理易得：x2（6x）2+（3）2， 解得：x， 即：AE； （2）如图，过 F 作 FHCG 于 H，连接 FC， 当 FGGC 时，则有：AFFGGCx，CHDF10 x； GHx（10 x）2x10， 在 Rt FGH 中，由勾股定理易得：x262+（2x10）2， 化简得：3x240 x+1360， （40）24 3 136320， 此方程没有实数根 故不存在 FGGC 10、综合与实践折纸中的数学 我们在七年级上册第四章 几何图形初步 中探究了简单图形折叠问题， 并进行了简单的计算与推理 七
20、年级下册第五章学习了平行线的性质与判定后，我们进行了长方形纸条的折叠与平行线的探究，今天我 们继续探究折纸与平行线 如图 1，长方形纸条 ABMN 中，ABMN，ANBM第一步，将长方形纸条折叠，使折痕经过点 A，得 到折痕 AC，再将纸片展平；第二步，如图 2，将折痕 AC 折到 AE 处，点 B 落在 B处；第三步，如图 3， 将NED 对折，使点 M 落在 M处，点 N 落在 N处，EN与 DB共线，得到折痕 EF （1）AC 和 DE 有怎样的位置关系，并说明理由 （2）折痕 AD 和 EF 有怎样的位置关系，并说明理由 解：（1）ACDE 理由如下：由折叠的性质可得：CADDAE，C
21、DAADE， BMAN CDADAE CADADE ACDE （2）由折叠的性质可得：DEFFEN BMAN CDEDEN CDA+ADEDEF+FEN 2ADE2DEF ADEDEF ADEF 11、如图，矩形纸片 ABCD 中，ABCD4，ADBC8，BADBCD90 ，将纸片沿 EF 折叠，使点 C 与点 A 重合 （1）设 BEx，则 AE （用含 x 的代数式表示）；求线段 BE 的长， （2）求证：AEAF； （3）直接写出线段 EF 的长 解：（1）设 BEx，则 CEBCBE8x， 沿 EF 翻折后点 C 与点 A 重合， AECE8x，GFDF，AGCDAB， 故答案为：8x
22、 在 Rt ABE 中，AB2+BE2AE2， 即 42+x2（8x）2 解得 x3， BE3； AE835； （2）由翻折的性质得，AEFCEF， 矩形 ABCD 的对边 ADBC， AFECEF， AEFAFE， AEAF； （3）过点 E 作 EHAD 于 H，则四边形 ABEH 是矩形， EHAB4， AHBE3， FHAFAH532， 在 Rt EFH 中，EF2 12、如图，折叠矩形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处，AE 是折痕 （1）如图 1，若 AB4，AD5，求折痕 AE 的长； （2）如图 2，若 AE，且 EC：FC3：4，求矩形 ABCD
23、 的周长 解：（1）四边形 ABCD 是矩形， ABC90 ，ABCD4，ADBC5， 由折叠可知，ADAF5，DEEF， BF 3， FCBCBF532， 设 EFDEx，则 CE4x， CF2+CE2EF2， 22+（4x）2x2， 解得：x， DE ， AE ； （2）EC：FC3：4， 设 EC3x，则 FC4x， EF5x， DE5x， ABCD8x， 设 AFADy，则 BFy4x， 在 Rt ABF 中，AB2+BF2AF2， （8x）2+（y4x）2 y2， 解得 y10 x， 在 Rt ADE 中，AD2+DE2AE2， ， 解得 x1 或 x1（舍去）， AD10，AB8，
24、 矩形 ABCD 的周长为（10+8） 236 13、对给定的一张矩形纸片 ABCD 进行如下操作：先沿 CE 折叠，使点 B 落在 CD 边上（如图），再沿 CH 折叠，这时发现点 E 恰好与点 D 重合（如图） （1）根据以上操作和发现，则 ； （2）将该矩形纸片展开，如图，折叠该矩形纸片，使点 C 与点 H 重合，折痕与 AB 相交于点 P，再将 该矩形纸片展开求证：HPC90 （1）解：由图，可得BCEBCD45 ， 又B90 ， BCE 是等腰直角三角形， cos45 ，即 CEBC， 由图，可得 CECD， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC， CDAD， ， 故答案为：； （2
25、）证明：设 ADBCa，则 ABCDa，BEa， AE（1）a， 如图，连接 EH，则CEHCDH90 ， BEC45 ，A90 ， AEH45 AHE， AHAE（1）a， 设 APx，则 BPax， 由翻折可得，PHPC，即 PH2PC2， AH2+AP2BP2+BC2， 即（1）a2+x2（ax）2+a2， 解得：xa，即 APBC， 在 Rt APH 和 Rt BCP 中， Rt APHRt BCP（HL）， APHBCP， 又Rt BCP 中，BCP+BPC90 ， APH+BPC90 ， CPH90 14、已知矩形 ABCD 中，AB1，BC2，点 E、F 分别在边 BC、AD 上
26、，将四边形 ABEF 沿直线 EF 翻折， 点 A、B 的对称点分别记为 A、B （1）当 BE时，若点 B恰好落在线段 AC 上，求 AF 的长； （2）设 BEm，若翻折后存在点 B落在线段 AC 上，则 m 的取值范围是 解：（1）由翻折的性质得：ABAB1，BEBE，AFAF， ABAD90 ， 过点 B作 BHBC 于 H，延长 HB交 AD 于 Q，连接 BF，如图 1 所示： 则四边形 ABHQ 与四边形 CDQH 是矩形， HQAB1，EHBBQF90 ，BHAB， CHBCBA， ， 设 BHa， 即， CH2a， EHBCBECH22a2a， 在 Rt EHB中，EH2+B
27、H2BE2， 即（2a）2+a2（）2， 解得：a或 a（不合题意舍去）， BH，EH，BQHQBH1 ， 设 AFx， 四边形 ABCD 与四边形 CDQH 是矩形， ADBC2，DQCH， FQADDQAF2xx， BF2AF2+AB2x2+1， 在 Rt FQB中，x2+1（x）2+（）2， 解得：x， AF ； （2）当 F 与 A 重合时，如图 2 所示： 四边形 ABCD 是矩形， B90 ， AC ， 由折叠的性质得：BEBEm，ABAB1，ABEB90 ， CEBCBE2m，CBE90 ， CBACAB1， 在 Rt CEB中，由勾股定理得：m2+（1）2（2m）2， 解得：m； 当 B与 C 重合时，E 为 BC 的中点，如图 3 所示： mBC1； 若翻折后存在点 B落在线段 AC 上，m 的取值范围是m1； 故答案为：m1