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2021年中考数学分类专题突破专题24 四边形中的对称综合问题(解析版)

1、专题专题 24 24 四边形中的对称综合问题四边形中的对称综合问题 1、如图,在矩形纸片 ABCD 中,已知 AB2,BC2,点 E 在边 CD 上移动,连接 AE,将多边形 ABCE 沿直线 AE 翻折,得到多边形 ABCE,点 B、C 的对应点分别为点 B、C (1)当点 E 与点 C 重合时,求 DF 的长; (2)若 BC分别交边 AD,CD 于点 F,G,且DAE22.5 ,求 DFG 的面积; (3)如果点 M 为 CD 的中点,那么在点 E 从点 C 移动到点 D 的过程中,求 CM 的最小值 解:(1)如图, 四边形 ABCD 是矩形, ABCD2,BCAD2,BBCDD90

2、, tanACB , ACB30 , 由翻折不变性可知:ACBACF30 , DCF30 , DFCDtan30 (2)如图 2 中, DAE22.5 ,BAD90 , BAEEAB67.5 , BAF45 , B90 , BAFBFA45 , BABF2, AF2, DF22, AFBDFG45 , DGDF22, S DFG(22)2 (3)如图 3 中,连接 AM,AC,MC AC4,AM , CMACAM, CM4 , CM 的最小值为 4 2、有一张矩形纸片 ABCD,AB4,AD9 (1)如图 1,点 E 在这张矩形纸片的边 AD 上,将纸片折叠,使 AB 落在 CE 所在直线上,

3、折痕设为 MN (点 M,N 分别在边 AD,BC 上),利用直尺和圆规画出折痕 MN(不写作法,保留作图痕迹); (2)如图 2,点 K 在这张矩形纸片的边 AD 上,DK3,将纸片折叠,使 AB 落在 CK 所在直线上,折 痕为 HI,点 A,B 分别落在点 A,B处,小明认为 BI 所在直线恰好经过点 D,他的判断是否正确,请说 明理由 解:(1)如图 1 所示直线 MN 即为所求; (2)小明的判断不正确 理由:如图 2,连接 ID, 在 Rt CDK 中,DK3,CD4, CK5, ADBC, DKCICK, 由折叠可知,ABIB90 , IBC90 D, CDKIBC, , 即,

4、设 CB3k,IB4k,IC5k, 由折叠可知,IBIB4k, BCBI+IC4k+5k9, k1, IC5,IB4,BC3, 在 Rt ICB中,tanBIC, 连接 ID,在 Rt ICD 中,tanDIC, tanBICtanDIC, BI 所在的直线不经过点 D 3、已知:将矩形纸片 ABCD 折叠,使点 A 与点 C 重合(点 D 与 D为对应点),折痕为 EF,连接 AF、AC 交 EF 于点 O (1)如图 1,求证:四边形 AECF 为菱形; (2)如图 2,若 FC2OE,连接 DO、DO,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图 2 中所有等 边三角形 (1)证明:将矩形纸

5、片 ABCD 折叠,使点 A 与点 C 重合,折痕为 EF, AECE,AFFC,AEFCEF, 四边形 ABCD 是矩形, ADCBAD90 ,AECF, CFEAEF, CEFCFE, CFCE, AECF, 四边形 AECF 是平行四边形, 又AECE, 四边形 AECF 是菱形; (2)等边三角形为: AEF、 CEF、 AOD、 COD; 理由如下: FC2DF,AFFC, AF2DF, ADC90 , DAF30 , EAF60 , 四边形 AECF 是菱形, AEAF, AEFCEF,OAOCAC, AEF 和 CEF 是等边三角形; ADC90 , ODACOA, OAFEAF

6、30 , OAD60 , AOD 是等边三角形; CDADOC,ODAC, CDOCOD, COD是等边三角形 4、如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,长方形 OABC,点 B 的坐标为(3,8),点 A、C 分别在 坐标轴上,D 为 OC 的中点 (1)在 x 轴上找一点 P,使得 PD+PB 最小,则点 P 的坐标为 ; (2)在 x 轴上找一点 Q,使得|QDQB|最大,求出点 Q 的坐标并说明理由 解:(1)作 D 关于 x 轴的对称点 D,连接 BD,交 x 轴于点 P PDPD PD+PBPD+PB 当 B、P、D在同一直线上时,PD+PBBD最小 四边形 OABC 是矩形,

7、B(3,8) C(0,8) D 为 OC 中点 D(0,4) D(0,4) 设直线 BD解析式为:ykx+b 解得: 直线 BD:y4x4 当 4x40 时,解得:x1 故答案为:P(1,0) (2)根据三角形两边之差小于第三边,|QDQB|BD 当 B、D、Q 在同一直线上时,|QDQB|BD 最大 设直线 BD 解析式为:yax+c 解得: 直线 BD:yx+4 当x+40 时,解得:x3 点 Q(3,0) 5、如图,在矩形 ABCD 中,E 是 AB 边的中点,沿 EC 对折矩形 ABCD,使 B 点落在 P 处,折痕为 EC,连 接 AP 并延长 AP 交 CD 于 F 点 (1)求证

8、:四边形 AECF 为平行四边形; (2)若矩形 ABCD 的边 AB6,BC4,求 CPF 的面积 解:(1)由折叠得到 BEPE,ECPB, E 为 AB 的中点, AEEBPE, APBP, AFEC, 四边形 ABCD 是矩形, AEFC, 四边形 AECF 为平行四边形; (2)过 P 作 PMDC,交 DC 于点 M, 在 Rt EBC 中,EB3,BC4, 根据勾股定理得:EC5, S EBCEBBCECBQ, BQ , 由折叠得:BP2BQ, 在 Rt ABP 中,AB6,BP, 根据勾股定理得:AP, 四边形 AECF 为平行四边形, AFEC5,FCAE3, PF5 , P

9、MAD, ,即, 解得:PM, 则 S PFCFCPM 3 6、如图,长方形纸片 ABCD 中,AB8,将纸片折叠,使顶点 B 落在边 AD 上的 E 点处,折痕的一端 G 点 在边 BC 上 (1)如图 1,当折痕的另一端 F 在 AB 边上且 AE4 时,求 AF 的长 (2)如图 2,当折痕的另一端 F 在 AD 边上且 BG10 时, 求证:EFEG求 AF 的长 (3)如图 3,当折痕的另一端 F 在 AD 边上,B 点的对应点 E 在长方形内部,E 到 AD 的距离为 2cm, 且 BG10 时,求 AF 的长 (1)解:纸片折叠后顶点 B 落在边 AD 上的 E 点处, BFEF

10、, AB8, EF8AF, 在 Rt AEF 中,AE2+AF2EF2, 即 42+AF2(8AF)2, 解得 AF3; (2)证明:纸片折叠后顶点 B 落在边 AD 上的 E 点处, BGFEGF, 长方形纸片 ABCD 的边 ADBC, BGFEFG, EGFEFG, EFEG; 解:纸片折叠后顶点 B 落在边 AD 上的 E 点处, EGBG10,HEAB8,FHAF, EFEG10, 在 Rt EFH 中,FH6, AFFH6; (3)解: 法一:如图 3,设 EH 与 AD 相交于点 K,过点 E 作 MNCD 分别交 AD、BC 于 M、N, E 到 AD 的距离为 2cm, EM

11、2,EN826, 在 Rt ENG 中,GN8, GEN+KEM180 GEH180 90 90 , GEN+NGE180 90 90 , KEMNGE, 又ENGKME90 , GENEKM, , 即, 解得 EK,KM, KHEHEK8, FKHEKM,HEMK90 , FKHEKM, , 即, 解得 FH, AFFH 法二: 如图 4, 设 EH 与 AD 相交于点 K, 过点 E 作 MNCD 分别交 AD、 BC 于 M、 N, 过点 K 作 KLCD 交 BC 于点 L,连接 GK, E 到 AD 的距离为 2cm, EM2,EN826, 在 Rt ENG 中,GN8, 设 KMa

12、, 在 KME 中,根据勾股定理可得:KE2KM2+ME2a2+4, 在 KEG 中,根据勾股定理可得:GK2GE2+KE2102+a2+4, 在 GKL 中,根据勾股定理可得:GK2GL2+KL2(8a)2+82, 即 102+a2+4(8a)2+82, 解得:a,故 KE, KHEHEK8, 设 FHb, 在 KFH 中,根据勾股定理可得:KF2KH2+FH2, KFKAAFBLAF(BG+GNKM)AF10+8bb, 即:(b)2()2+b2, 解得:b, AFFH 7、如图,长方形纸片 ABCD,点 E、F 分别在边 AB、CD 上,连接 EF,将BEF 对折,点 B 落在直线 EF

13、上的 B处,得到折痕 EC,将点 A 落在直线 EF 上的点 A处,得到折痕 EN (1)若BEB110 ,则BEC ,AEN ,BEC+AEN (2)若BEBm ,则(1)中BEC+AEN 的值是否改变?请说明你的理由 (3)将ECF 对折,点 E 刚好落在 F 处,且折痕与 BC 重合,求DNA 解:(1)由折叠的性质可得,BECBEC,AENAEN, BEB110 , AEA180 110 70 , BECBECBEB55 ,AENAENAEA35 BEC+AEN55 +35 90 ; 故答案为:55,35,90 (2)不变 由折叠的性质可得:BECBEC,AENAEN, BEBm ,

14、AEA180 m , 可得BECBECBEBm ,AENAENAEA(180 m ), BEC+AENm +(180 m )90 , 故BEC+AEN 的值不变; (3)由折叠的性质可得:BCFBCE,BCEBCE, BCFBCEBCE 90 30 , 在 Rt BCE 中, BEC 与BCE 互余, BEC90 BCE90 30 60 , BECBEC60 , AEA180 BECBEC180 60 60 60 , AENAEA30 , ANE90 AEN90 30 60 , ANEANE60 , DNA180 ANEANE180 60 60 60 8、(1)数学课上,老师出了一道题,如图,

15、Rt ABC 中,C90 ,求证:B30 ,请 你完成证明过程 (2)如图,四边形 ABCD 是一张边长为 2 的正方形纸片,E、F 分别为 AB、CD 的中点,沿过点 D 的 折痕将纸片翻折,使点 A 落在 EF 上的点 A处,折痕交 AE 于点 G,请运用(1)中的结论求ADG 的度 数和 AG 的长 (3)若矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠,B、D 两点恰好重合于一点 O(如图),当 AB6, 求 EF 的长 (1)证明:Rt ABC 中,C90 , sinB , B30 ; (2)解:正方形边长为 2,E、F 为 AB、CD 的中点, EAFD 边长1, 沿过点 D 的折痕将纸

16、片翻折,使点 A 落在 EF 上的点 A处, ADAD2, , FAD30 , 可得FDA90 30 60 , A 沿 GD 折叠落在 A处, ADGADG,AGAG, ADG15 , AD2,FD1, AF , EAEFAF2, EAG+DAF180 GAD90 , EAG90 DAF90 30 60 , EGA90 EAG90 60 30 , 则 AGAG2EA2(2); (3)解:折叠后 B、D 两点恰好重合于一点 O, AOADCBCO, DA , D90 , DCA30 , ABCD6, 在 Rt ACD 中,tan30 , 则 ADDCtan3062, DAFFAODAO30 ,

17、tan30 , DFAD2, DFFO2, 同理 EO2, EFEO+FO4 9、如图,在矩形 ABCD 中,2ABBC,点 E 和点 F 为边 AD 上两点,将矩形沿着 BE 和 CF 折叠,点 A 和 点 D 恰好重合于矩形内部的点 G 处, (1)当 ABBC 时,求GEF 的度数; (2)若 AB,BC2,求 EF 的长 解:(1)当 ABBC 时,矩形 ABCD 为正方形 由折叠得,ABBG,CDCG;EGBA90 FGC, ABBCCD BGBCGC BGC60 ABG30 AEG360 ABGEABG150 GEF30 (2)在矩形 ABCD 中,ABCD 由折叠得,ABBG,C

18、DCG,AEEG,DFFG BGGC , BG2+CG24,BC24, BG2+CG2BC2, BGC90 ,且 BGCG, GBC45 AEG360 ABGEABG135 FEG45 , 同理可得EFG45 , EGF 为等腰直角三角形 设 EGx,则 AEFDx,EFx,得 (2+)x2, x2 EFx22 9、如图,在矩形 ABCD 中,AB6,BC10,将矩形沿直线 EF 折叠,使得点 A 恰好落在边 BC 上,记此 点为 G,点 E 和点 F 分别在边 AB 和边 AD 上 (1)当 BG3时,求 AE 的长; (2)在矩形翻折中,是否存在 FGCG?若存在,请求出 FG 的长,若不

19、存在,请说明理由 解:(1)由折叠易知:AEEG, 设 AEEGx,则有 BE6x, 由勾股定理易得:x2(6x)2+(3)2, 解得:x, 即:AE; (2)如图,过 F 作 FHCG 于 H,连接 FC, 当 FGGC 时,则有:AFFGGCx,CHDF10 x; GHx(10 x)2x10, 在 Rt FGH 中,由勾股定理易得:x262+(2x10)2, 化简得:3x240 x+1360, (40)24 3 136320, 此方程没有实数根 故不存在 FGGC 10、综合与实践折纸中的数学 我们在七年级上册第四章 几何图形初步 中探究了简单图形折叠问题, 并进行了简单的计算与推理 七

20、年级下册第五章学习了平行线的性质与判定后,我们进行了长方形纸条的折叠与平行线的探究,今天我 们继续探究折纸与平行线 如图 1,长方形纸条 ABMN 中,ABMN,ANBM第一步,将长方形纸条折叠,使折痕经过点 A,得 到折痕 AC,再将纸片展平;第二步,如图 2,将折痕 AC 折到 AE 处,点 B 落在 B处;第三步,如图 3, 将NED 对折,使点 M 落在 M处,点 N 落在 N处,EN与 DB共线,得到折痕 EF (1)AC 和 DE 有怎样的位置关系,并说明理由 (2)折痕 AD 和 EF 有怎样的位置关系,并说明理由 解:(1)ACDE 理由如下:由折叠的性质可得:CADDAE,C

21、DAADE, BMAN CDADAE CADADE ACDE (2)由折叠的性质可得:DEFFEN BMAN CDEDEN CDA+ADEDEF+FEN 2ADE2DEF ADEDEF ADEF 11、如图,矩形纸片 ABCD 中,ABCD4,ADBC8,BADBCD90 ,将纸片沿 EF 折叠,使点 C 与点 A 重合 (1)设 BEx,则 AE (用含 x 的代数式表示);求线段 BE 的长, (2)求证:AEAF; (3)直接写出线段 EF 的长 解:(1)设 BEx,则 CEBCBE8x, 沿 EF 翻折后点 C 与点 A 重合, AECE8x,GFDF,AGCDAB, 故答案为:8x

22、 在 Rt ABE 中,AB2+BE2AE2, 即 42+x2(8x)2 解得 x3, BE3; AE835; (2)由翻折的性质得,AEFCEF, 矩形 ABCD 的对边 ADBC, AFECEF, AEFAFE, AEAF; (3)过点 E 作 EHAD 于 H,则四边形 ABEH 是矩形, EHAB4, AHBE3, FHAFAH532, 在 Rt EFH 中,EF2 12、如图,折叠矩形 ABCD 的一边 AD,使点 D 落在 BC 边上的点 F 处,AE 是折痕 (1)如图 1,若 AB4,AD5,求折痕 AE 的长; (2)如图 2,若 AE,且 EC:FC3:4,求矩形 ABCD

23、 的周长 解:(1)四边形 ABCD 是矩形, ABC90 ,ABCD4,ADBC5, 由折叠可知,ADAF5,DEEF, BF 3, FCBCBF532, 设 EFDEx,则 CE4x, CF2+CE2EF2, 22+(4x)2x2, 解得:x, DE , AE ; (2)EC:FC3:4, 设 EC3x,则 FC4x, EF5x, DE5x, ABCD8x, 设 AFADy,则 BFy4x, 在 Rt ABF 中,AB2+BF2AF2, (8x)2+(y4x)2 y2, 解得 y10 x, 在 Rt ADE 中,AD2+DE2AE2, , 解得 x1 或 x1(舍去), AD10,AB8,

24、 矩形 ABCD 的周长为(10+8) 236 13、对给定的一张矩形纸片 ABCD 进行如下操作:先沿 CE 折叠,使点 B 落在 CD 边上(如图),再沿 CH 折叠,这时发现点 E 恰好与点 D 重合(如图) (1)根据以上操作和发现,则 ; (2)将该矩形纸片展开,如图,折叠该矩形纸片,使点 C 与点 H 重合,折痕与 AB 相交于点 P,再将 该矩形纸片展开求证:HPC90 (1)解:由图,可得BCEBCD45 , 又B90 , BCE 是等腰直角三角形, cos45 ,即 CEBC, 由图,可得 CECD, 四边形 ABCD 是矩形, ADBC, CDAD, , 故答案为:; (2

25、)证明:设 ADBCa,则 ABCDa,BEa, AE(1)a, 如图,连接 EH,则CEHCDH90 , BEC45 ,A90 , AEH45 AHE, AHAE(1)a, 设 APx,则 BPax, 由翻折可得,PHPC,即 PH2PC2, AH2+AP2BP2+BC2, 即(1)a2+x2(ax)2+a2, 解得:xa,即 APBC, 在 Rt APH 和 Rt BCP 中, Rt APHRt BCP(HL), APHBCP, 又Rt BCP 中,BCP+BPC90 , APH+BPC90 , CPH90 14、已知矩形 ABCD 中,AB1,BC2,点 E、F 分别在边 BC、AD 上

26、,将四边形 ABEF 沿直线 EF 翻折, 点 A、B 的对称点分别记为 A、B (1)当 BE时,若点 B恰好落在线段 AC 上,求 AF 的长; (2)设 BEm,若翻折后存在点 B落在线段 AC 上,则 m 的取值范围是 解:(1)由翻折的性质得:ABAB1,BEBE,AFAF, ABAD90 , 过点 B作 BHBC 于 H,延长 HB交 AD 于 Q,连接 BF,如图 1 所示: 则四边形 ABHQ 与四边形 CDQH 是矩形, HQAB1,EHBBQF90 ,BHAB, CHBCBA, , 设 BHa, 即, CH2a, EHBCBECH22a2a, 在 Rt EHB中,EH2+B

27、H2BE2, 即(2a)2+a2()2, 解得:a或 a(不合题意舍去), BH,EH,BQHQBH1 , 设 AFx, 四边形 ABCD 与四边形 CDQH 是矩形, ADBC2,DQCH, FQADDQAF2xx, BF2AF2+AB2x2+1, 在 Rt FQB中,x2+1(x)2+()2, 解得:x, AF ; (2)当 F 与 A 重合时,如图 2 所示: 四边形 ABCD 是矩形, B90 , AC , 由折叠的性质得:BEBEm,ABAB1,ABEB90 , CEBCBE2m,CBE90 , CBACAB1, 在 Rt CEB中,由勾股定理得:m2+(1)2(2m)2, 解得:m; 当 B与 C 重合时,E 为 BC 的中点,如图 3 所示: mBC1; 若翻折后存在点 B落在线段 AC 上,m 的取值范围是m1; 故答案为:m1