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2021年中考数学分类专题突破专题29 一次函数应用综合(解析版)

1、专题专题 29 29 一次函数应用综合一次函数应用综合 1如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,直线 l:yx+8 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,直 线 l2与直线 l 交于 C 点,tanCOA2 (1)求点 C 的坐标; (2)动点 P 从点 A 出发,沿线段 AB 以每秒 5 个单位的速度向终点 B 运动,同时动点 Q 从点 B 出发, 沿线段 BO 以每秒 4 个单位的速度向终点 O 运动设 PBQ 的面积为 S,运动时间为 t 秒,求 S 与 t 之间 的函数关系式; (3)在(2)的条件下,若 BQP 与 BOC 相似,求出符合题意的 t 值及点 P 坐标 解:(

2、1)如图 1 中,作 CHOA 于 H yx+8 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B, A(6,0),B(0,8), OA6,OB8, tanCOA2,设 OHx,CH2x, CHOB, , , x , OH,CH , C(,) (2)如图 2 中, 易知 Q(0,84t),P(63t,4t), S4t(63t)6t 212t (3)当时,PBQOBC, PBQOBC, 易知 AB10,BC4, , t此时 P( ,) 当,PBQOBC, BQPBOC, , t,此时 P( ,) 2为了保护水资源,某市制定一套节水的管理措施,其中对居民生活用水收费作如下规定: 月用水量/t 单价/(元

3、/t) 不大于 10t 部分 1.5 大于 10t 且不大于 mt 部分 20m50 2 大于 mt 部分 3 (1)若某用户六月份用水量为 18t,求其应缴纳的水费; (2)记该用户六月份用水量为 xt,缴纳水费 y 元,试列出 y 关于 x 的函数关系式; (3)若该用户六月份用水量为 40t,缴纳水费 y 元的取值范围为 70y90,试求 m 的取值范围 解:(1)六月份应缴纳的水费为:1.5 10+2 831(元); (2)当 0 x10 时,y1.5x, 当 10 xm 时,y10 1.5+2(x10)2x5, 当 xm 时,y15+2(m10)+3(xm)3xm5; (3)若所付费

4、用在第 2 个阶段,40m 且 20m50,即 40m50 时,y2 40575 元,满足条件, 若所付费用到了第 3 个阶段,y3 40m5115m,则 70115m90, 解得:25m45, 结合可得 25m45, 综上得,25m50 3 一辆车和一辆货车分别从甲, 乙两地相向而行, 图中的 l1 , l 2分别表示轿车和货车离甲地的路程 s (千米) 与行驶时间 t(小时)间的关系 (1)观察图象,甲,乙两地相距多少千米?轿车在途中停留了多长时间? (2)通过计算,求货车速度和图象 AB 对应的轿车速度; (3)求货车出发多长时间与轿车相遇? 解:(1)由图象可知,甲,乙两地相距 270

5、 千米?轿车在途中停留了 0.5 小时 (2)货车速度60 千米/小时,图象 AB 对应的轿车速度70 千米/小时 (3)设 l2的解析式为 ykx+b,则有 , 解得, y60 x+270, AB 的解析式为 ykx+b,则有, 解得, y70 x45, 由,解得, 货车出发小时与轿车相遇 4对于正数 x,用符号x表示 x 的整数部分,例如:0.10,2.52,33点 A(a,b)在第一象限 内,以 A 为对角线的交点画一个矩形,使它的边分别与两坐标轴垂直其中垂直于 y 轴的边长为 a,垂 直于 x 轴的边长为b+1,那么,把这个矩形覆盖的区域叫做点 A 的矩形域例如:点的矩形域 是一个以为

6、对角线交点,长为 3,宽为 2 的矩形所覆盖的区域,如图 1 所示,它的面积是 6 根据上面的定义,回答下列问题: (1)在图 2 所示的坐标系中画出点的矩形域,该矩形域的面积是 ; (2)点的矩形域重叠部分面积为 1,求 a 的值; (3)已知点 B(m,n)(m0)在直线 yx+1 上,且点 B 的矩形域的面积 S 满足 4S5,那么 m 的 取值范围是 (直接写出结果) 解:(1)点(2,)的矩形域如图所示: 该该矩形域的面积是 8 (2)如图所示, 因为点 P(2,),Q(a,)(a0)的矩形域重叠部分面积为 1,且平行于 y 轴的边长均为 4, 所以点 P(2,),Q(a,)(a0)

7、的矩形域重叠部分也是一个矩形,且平行于 y 轴的边长为 4, 平行于 x 轴的边长为 当 0a2 时,a+1+,解得 a; 当 a2 时,a3,解得 a 所以 a 的值为或 (3)当 m1 时,S3, 当 m2 时,S8, 4S5, 1m2, 平行于 y 轴的矩形的边长为 3, 平行于 x 轴的矩形的边长 m 的范围为m 故答案为m 5若直线 yx+2 分别交 x 轴、y 轴于 A、C 两点,点 P 是该直线上在第一象限内的一点,PBx 轴,B 为垂足,且 S ABC6 (1)求点 B 和点 P 的坐标; (2)过点 B 作直线 BQAP,交 y 轴于点 Q,求点 Q 的坐标和四边形 BPCQ

8、 的面积 解:(1)当 x0 时,yx+22, 点 C 的坐标为(0,2); 当 yx+20 时,x4, 点 A 的坐标为(4,0) 设点 B 的坐标为(m,0), 则 S ABCABOC m(4) 26, 解得:m2, 点 B 的坐标为(2,0) 当 x2 时,yx+23, 点 P 的坐标为(2,3) (2)PBx 轴, PBCQ BQAP, 四边形 BPCQ 为平行四边形 点 C(0,2),点 B(2,0),点 P(2,3), 点 Q 的坐标为(0,1) S平行四边形BPCQOBBP2 36 6如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知正比例函数 yx 与一次函数 yx+7 的图象交于点 A

9、 (1)求点 A 的坐标; (2)设 x 轴上有一点 P(a,0),过点 P 作 x 轴的垂线(垂线位于点 A 的右侧),分别交 yx 和 y x+7 的图象于点 B、C,连接 OC,若 BCOA,求 OBC 的面积 解:(1)解得, A(4,3); (2)过点 P 作 x 轴的垂线分别交 yx 和 yx+7 的图象于点 B、C, 设 B(a,a),C(a,a+7),BC a(a+7)a7; OA5, BCOA, a7 5, a , S OBC 7如图,在平面直角坐标中,边长为 2 的正方形 OABC 的两顶点 A、C 分别在 y 轴、x 轴的正半轴上,O 为坐标原点现将正方形 OABC 绕

10、O 点顺时针旋转,当 A 点第一次落在直线 yx 上时停止旋转,旋转 过程中,AB 边交直线 yx 于点 M,BC 边交 x 轴于点 N (1)当 A 点第一次落在直线 yx 上时,求点 A 所经过的路线长; (2)在旋转过程中,当 MN 和 AC 平行时,求正方形 OABC 旋转的度数; (3)设 MBN 的周长为 p,在旋转正方形 OABC 的过程中,p 值是否有变化?请证明你的结论 解:(1)A 点第一次落在直线 yx上时停止旋转, OA 旋转了 45 , 点 A 经过的路线长为 (2)四边形 OABC 是正方形, BACBCA45 , 当 MNAC 时,BMNBAC45 ,BNMBCA

11、45 , BMNBNM, BMBN, BABC, AMCN, OAOC,OAMOCN, OAMOCN, AOMCON, MON45 , AOM(90 45 )22.5 , 旋转过程中,当 MNAC 时,正方形 OABC 旋转的角度为 45 22.5 22.5 (3)P 值无变化延长 BA 交 y 轴于 E 点,则AOE45 AOM,CON90 45 AOM45 AOM AOECON, OAOC,OAE180 90 90 OCN, OAEOCN, OEON,AECN, MOEMON45 ,OMOM, OMEOMN, MNMEAM+AE, MNAM+CN, PMN+BN+BMAM+CN+BMAB+

12、BC4, 正方形 OABC 旋转过程中,P 值无变化 8如图 1,正方形 OABC 的顶点 O 在坐标原点,且 OA 边和 AB 边所在直线的解析式分别为:yx 和 y x+ (1)求 A 点坐标和正方形 OABC 的边长; (2)如图 2,现有一动点 P 从 C 点出发,沿线段 CB 向终点 B 运动 当 P 点位于 y 轴上时,求 OCP 的面积; 在 P 点的运动过程中,将 AOP 沿它的一边翻折,使得翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形, 直接写出满足条件的 P 点坐标 (3)若正方形以每秒个单位的速度沿射线 AO 下滑,直至顶点 C 落在 x 轴上时停止下滑设正方形在 x 轴下方部

13、分的面积为 S,求 S 关于滑行时间 t 的函数关系式,并写出相应自变量 t 的取值范 围 解:(1)联立 ,解得 , A(4,3), OA5, 正方形 OABC 的边长为 5; (2)如图 2 中,作 AMx 轴于 M,CNx 轴于 N COOA,CONOAM,CNOAMO, CONOAM, ONAM3,CNOM4, C(3,4), 点 O 向左平移 3 个单位,再向上平移 4 个单位得到 C, 由 A(4,3),可得 B(1,7), 直线 BC 的解析式为 yx+, P(0,) 有三种情形:当 P 与 C 重合时, POA 沿 PA 翻折可得菱形,此时 P(3,4); 当 P 与 B 重合

14、时, POA 沿 PO 翻折可得菱形,此时 P(1,7); 当 P 是 BC 中点时,POPA, POA 沿 OA 翻折可得菱形,此时 P(1,), 综上所述,当 P(3,4)或(1,7)或(1,)时,将 AOP 沿它的一边翻折,使得翻折前后的 两个三角形组成的四边形为菱形 当 k2 或 k4 时将 CPQ 沿它的一边翻折,使得翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形; (3)当点 A 运动到点 O 时,t3, 当 0t3 时,设 OC交 x 轴于点 D, 则 tanDOO,即 , DOt, SDOOO ttt2, 当点 C 运动到 x 轴上时,t(5 ) 4, 当 3t4 时,设 AB交 x

15、轴于点 E, AOt5, AEAO , S(AE+OD)AO ( + t)5 9如图,直线 l1与坐标轴分别交于点 A、B,经过原点的直线 l2与 AB 交于点 C,与过点 A 且平行于 y 轴的 直线交于点 D,已知点 C(3,),且 OA8在直线 AB 上取点 P,过点 P 作 y 轴的平行线,与 CD 交于点 Q,以 PQ 为边向右作正方形 PQEF设点 P 的横坐标为 t (1)求直线 l1的解析式; (2)当点 P 在线段 AC 上时,试求正方形 PQEF 与 ACD 重叠部分(阴影部分)的面积的最大值 解:(1)设直线 l1的解析式为 ykx+b, 直线 l1与直线 l2交于点 C

16、, 又OA8, 把 C(3,),A(8,0)代入上式得: , 解得:b4,k, 直线 l1的解析式为:yx+4; (2)点 P 在线段 AC 上时,根据题意有:P(t,t+4),Q(t,t), PQt(t+4) t4, 当 EF 在 AD 上时,t+t48,有 t, 当 3t时,S(t4)2, 当 t时,S最大, 当 t8 时,S(t4)(8t)(t)2+ , 当 t时,S 最大; 所以,S 的最大值为 ; 10对于平面直角坐标系 xOy 中的点和O,给出如下定义:过点 A 的直线 l 交O 于 B,C 两点,且 A、 B、C 三点不重合,若在 A、B、C 三点中,存在位于中间的点恰为以另外两

17、点为端点线段的中点时,则 称点 A 为O 的价值点 (1)如图 1,当O 的半径为 1 时 分别判断在点 D(,),E(1,),F(2,3)中,是O 的价值点有 ; 若点 P 是O 的价值点,点 P 的坐标为(x,0),且 x0,则 x 的最大值为 (2)如图 2,直线 yx+3 与 x 轴,y 轴分别交于 M、N 两点,O 半径为 1,直线 MN 上是否存 在O 的价值点?若存在,求出这些点的横坐标的取值范围,若不存在,请说明理由; (3)如图 3,直线 yx+2与 x 轴、y 轴分别交于 G、H 两点,C 的半径为 1,且C 在 x 轴 上滑动,若线段 GH 上存在C 的价值点 P,求出圆

18、心 C 的横坐标的取值范围 解:(1)如图 1 中,观察图象可知,D、E 是O 的价值点 如图 2 中,当 P 点坐标为(3,0)时,x 的值最大x 的最大值为 3 故答案为 D,E;3 (2)当点 A 在O 内部时,点 A 必为价值点, 当点 A 在O 外部时,O 的半径为 1, BC 的最大值为 2,人 2 点 A 为价值点,则 ABCB2, OA3, 故以 O 为圆心,半径为 3 的圆内的点(不包括O 上的点)均为价值点, 对于函数 yx+3,令 y0,则 x3, M(3,0), 令 x0,则 y3,N(0,3), tanONM , ONM60 , OPONsinONM31, 直线 MN

19、 上的点均在圆外, 如图 3 中,以 O 为圆心,ON 为半径画圆,交直线 MN 于点 G,则 OGON3, O 的价值点必在线段 NG 上, ONM60 ,OGON3, ONG 是等边三角形, NOG60 ,MOG30 , 过点 G 作 GHOM 于点 H OG3, OHOGcos30, 价值点横坐标的取值范围为 0 x (3)对于函数 yx+2, 令 y0,则 x6, G(6,0), 令 x0,则 y2, H(0,2), tanHGO , HGO30 , 过点 O 作 OKHG 于 K,则 OKOG3, 当C 的圆心在点 O 时,HG 上恰好存在C 的价值点 K, C 的价值点是在以点 C 为圆心,半径为 3 的圆内(不包括C 上的点), 当点 C 的坐标为(9,0)时,C 的价值点为点 C, 圆心 C 的横坐标的取值范围为 0 x9