1、专题专题 29 29 一次函数应用综合一次函数应用综合 1如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线 l：yx+8 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，直 线 l2与直线 l 交于 C 点，tanCOA2 （1）求点 C 的坐标； （2）动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 以每秒 5 个单位的速度向终点 B 运动，同时动点 Q 从点 B 出发， 沿线段 BO 以每秒 4 个单位的速度向终点 O 运动设 PBQ 的面积为 S，运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间 的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若 BQP 与 BOC 相似，求出符合题意的 t 值及点 P 坐标 解：（
2、1）如图 1 中，作 CHOA 于 H yx+8 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B， A（6，0），B（0，8）， OA6，OB8， tanCOA2，设 OHx，CH2x， CHOB， ， ， x ， OH，CH ， C（，） （2）如图 2 中， 易知 Q（0，84t），P（63t，4t）， S4t（63t）6t 212t （3）当时，PBQOBC， PBQOBC， 易知 AB10，BC4， ， t此时 P（ ，） 当，PBQOBC， BQPBOC， ， t，此时 P（ ，） 2为了保护水资源，某市制定一套节水的管理措施，其中对居民生活用水收费作如下规定： 月用水量/t 单价/（元
3、/t） 不大于 10t 部分 1.5 大于 10t 且不大于 mt 部分 20m50 2 大于 mt 部分 3 （1）若某用户六月份用水量为 18t，求其应缴纳的水费； （2）记该用户六月份用水量为 xt，缴纳水费 y 元，试列出 y 关于 x 的函数关系式； （3）若该用户六月份用水量为 40t，缴纳水费 y 元的取值范围为 70y90，试求 m 的取值范围 解：（1）六月份应缴纳的水费为：1.5 10+2 831（元）； （2）当 0 x10 时，y1.5x， 当 10 xm 时，y10 1.5+2（x10）2x5， 当 xm 时，y15+2（m10）+3（xm）3xm5； （3）若所付费
4、用在第 2 个阶段，40m 且 20m50，即 40m50 时，y2 40575 元，满足条件， 若所付费用到了第 3 个阶段，y3 40m5115m，则 70115m90， 解得：25m45， 结合可得 25m45， 综上得，25m50 3 一辆车和一辆货车分别从甲， 乙两地相向而行， 图中的 l1 ， l 2分别表示轿车和货车离甲地的路程 s （千米） 与行驶时间 t（小时）间的关系 （1）观察图象，甲，乙两地相距多少千米？轿车在途中停留了多长时间？ （2）通过计算，求货车速度和图象 AB 对应的轿车速度； （3）求货车出发多长时间与轿车相遇？ 解：（1）由图象可知，甲，乙两地相距 270
5、 千米？轿车在途中停留了 0.5 小时 （2）货车速度60 千米/小时，图象 AB 对应的轿车速度70 千米/小时 （3）设 l2的解析式为 ykx+b，则有 ， 解得， y60 x+270， AB 的解析式为 ykx+b，则有， 解得， y70 x45， 由，解得， 货车出发小时与轿车相遇 4对于正数 x，用符号x表示 x 的整数部分，例如：0.10，2.52，33点 A（a，b）在第一象限 内，以 A 为对角线的交点画一个矩形，使它的边分别与两坐标轴垂直其中垂直于 y 轴的边长为 a，垂 直于 x 轴的边长为b+1，那么，把这个矩形覆盖的区域叫做点 A 的矩形域例如：点的矩形域 是一个以为
6、对角线交点，长为 3，宽为 2 的矩形所覆盖的区域，如图 1 所示，它的面积是 6 根据上面的定义，回答下列问题： （1）在图 2 所示的坐标系中画出点的矩形域，该矩形域的面积是 ； （2）点的矩形域重叠部分面积为 1，求 a 的值； （3）已知点 B（m，n）（m0）在直线 yx+1 上，且点 B 的矩形域的面积 S 满足 4S5，那么 m 的 取值范围是 （直接写出结果） 解：（1）点（2，）的矩形域如图所示： 该该矩形域的面积是 8 （2）如图所示， 因为点 P（2，），Q（a，）（a0）的矩形域重叠部分面积为 1，且平行于 y 轴的边长均为 4， 所以点 P（2，），Q（a，）（a0）
7、的矩形域重叠部分也是一个矩形，且平行于 y 轴的边长为 4， 平行于 x 轴的边长为 当 0a2 时，a+1+，解得 a； 当 a2 时，a3，解得 a 所以 a 的值为或 （3）当 m1 时，S3， 当 m2 时，S8， 4S5， 1m2， 平行于 y 轴的矩形的边长为 3， 平行于 x 轴的矩形的边长 m 的范围为m 故答案为m 5若直线 yx+2 分别交 x 轴、y 轴于 A、C 两点，点 P 是该直线上在第一象限内的一点，PBx 轴，B 为垂足，且 S ABC6 （1）求点 B 和点 P 的坐标； （2）过点 B 作直线 BQAP，交 y 轴于点 Q，求点 Q 的坐标和四边形 BPCQ
8、 的面积 解：（1）当 x0 时，yx+22， 点 C 的坐标为（0，2）； 当 yx+20 时，x4， 点 A 的坐标为（4，0） 设点 B 的坐标为（m，0）， 则 S ABCABOC m（4） 26， 解得：m2， 点 B 的坐标为（2，0） 当 x2 时，yx+23， 点 P 的坐标为（2，3） （2）PBx 轴， PBCQ BQAP， 四边形 BPCQ 为平行四边形 点 C（0，2），点 B（2，0），点 P（2，3）， 点 Q 的坐标为（0，1） S平行四边形BPCQOBBP2 36 6如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知正比例函数 yx 与一次函数 yx+7 的图象交于点 A
9、 （1）求点 A 的坐标； （2）设 x 轴上有一点 P（a，0），过点 P 作 x 轴的垂线（垂线位于点 A 的右侧），分别交 yx 和 y x+7 的图象于点 B、C，连接 OC，若 BCOA，求 OBC 的面积 解：（1）解得， A（4，3）； （2）过点 P 作 x 轴的垂线分别交 yx 和 yx+7 的图象于点 B、C， 设 B（a，a），C（a，a+7），BC a（a+7）a7； OA5， BCOA， a7 5， a ， S OBC 7如图，在平面直角坐标中，边长为 2 的正方形 OABC 的两顶点 A、C 分别在 y 轴、x 轴的正半轴上，O 为坐标原点现将正方形 OABC 绕
10、O 点顺时针旋转，当 A 点第一次落在直线 yx 上时停止旋转，旋转 过程中，AB 边交直线 yx 于点 M，BC 边交 x 轴于点 N （1）当 A 点第一次落在直线 yx 上时，求点 A 所经过的路线长； （2）在旋转过程中，当 MN 和 AC 平行时，求正方形 OABC 旋转的度数； （3）设 MBN 的周长为 p，在旋转正方形 OABC 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论 解：（1）A 点第一次落在直线 yx上时停止旋转， OA 旋转了 45 ， 点 A 经过的路线长为 （2）四边形 OABC 是正方形， BACBCA45 ， 当 MNAC 时，BMNBAC45 ，BNMBCA
11、45 ， BMNBNM， BMBN， BABC， AMCN， OAOC，OAMOCN， OAMOCN， AOMCON， MON45 ， AOM（90 45 ）22.5 ， 旋转过程中，当 MNAC 时，正方形 OABC 旋转的角度为 45 22.5 22.5 （3）P 值无变化延长 BA 交 y 轴于 E 点，则AOE45 AOM，CON90 45 AOM45 AOM AOECON， OAOC，OAE180 90 90 OCN， OAEOCN， OEON，AECN， MOEMON45 ，OMOM， OMEOMN， MNMEAM+AE， MNAM+CN， PMN+BN+BMAM+CN+BMAB+
12、BC4， 正方形 OABC 旋转过程中，P 值无变化 8如图 1，正方形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，且 OA 边和 AB 边所在直线的解析式分别为：yx 和 y x+ （1）求 A 点坐标和正方形 OABC 的边长； （2）如图 2，现有一动点 P 从 C 点出发，沿线段 CB 向终点 B 运动 当 P 点位于 y 轴上时，求 OCP 的面积； 在 P 点的运动过程中，将 AOP 沿它的一边翻折，使得翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形， 直接写出满足条件的 P 点坐标 （3）若正方形以每秒个单位的速度沿射线 AO 下滑，直至顶点 C 落在 x 轴上时停止下滑设正方形在 x 轴下方部
13、分的面积为 S，求 S 关于滑行时间 t 的函数关系式，并写出相应自变量 t 的取值范 围 解：（1）联立 ，解得 ， A（4，3）， OA5， 正方形 OABC 的边长为 5； （2）如图 2 中，作 AMx 轴于 M，CNx 轴于 N COOA，CONOAM，CNOAMO， CONOAM， ONAM3，CNOM4， C（3，4）， 点 O 向左平移 3 个单位，再向上平移 4 个单位得到 C， 由 A（4，3），可得 B（1，7）， 直线 BC 的解析式为 yx+， P（0，） 有三种情形：当 P 与 C 重合时， POA 沿 PA 翻折可得菱形，此时 P（3，4）； 当 P 与 B 重合
14、时， POA 沿 PO 翻折可得菱形，此时 P（1，7）； 当 P 是 BC 中点时，POPA， POA 沿 OA 翻折可得菱形，此时 P（1，）， 综上所述，当 P（3，4）或（1，7）或（1，）时，将 AOP 沿它的一边翻折，使得翻折前后的 两个三角形组成的四边形为菱形 当 k2 或 k4 时将 CPQ 沿它的一边翻折，使得翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形； （3）当点 A 运动到点 O 时，t3， 当 0t3 时，设 OC交 x 轴于点 D， 则 tanDOO，即 ， DOt， SDOOO ttt2， 当点 C 运动到 x 轴上时，t（5 ） 4， 当 3t4 时，设 AB交 x
15、轴于点 E， AOt5， AEAO ， S（AE+OD）AO （ + t）5 9如图，直线 l1与坐标轴分别交于点 A、B，经过原点的直线 l2与 AB 交于点 C，与过点 A 且平行于 y 轴的 直线交于点 D，已知点 C（3，），且 OA8在直线 AB 上取点 P，过点 P 作 y 轴的平行线，与 CD 交于点 Q，以 PQ 为边向右作正方形 PQEF设点 P 的横坐标为 t （1）求直线 l1的解析式； （2）当点 P 在线段 AC 上时，试求正方形 PQEF 与 ACD 重叠部分（阴影部分）的面积的最大值 解：（1）设直线 l1的解析式为 ykx+b， 直线 l1与直线 l2交于点 C
16、， 又OA8， 把 C（3，），A（8，0）代入上式得： ， 解得：b4，k， 直线 l1的解析式为：yx+4； （2）点 P 在线段 AC 上时，根据题意有：P（t，t+4），Q（t，t）， PQt（t+4） t4， 当 EF 在 AD 上时，t+t48，有 t， 当 3t时，S（t4）2， 当 t时，S最大， 当 t8 时，S（t4）（8t）（t）2+ ， 当 t时，S 最大； 所以，S 的最大值为 ； 10对于平面直角坐标系 xOy 中的点和O，给出如下定义：过点 A 的直线 l 交O 于 B，C 两点，且 A、 B、C 三点不重合，若在 A、B、C 三点中，存在位于中间的点恰为以另外两
17、点为端点线段的中点时，则 称点 A 为O 的价值点 （1）如图 1，当O 的半径为 1 时 分别判断在点 D（，），E（1，），F（2，3）中，是O 的价值点有 ； 若点 P 是O 的价值点，点 P 的坐标为（x，0），且 x0，则 x 的最大值为 （2）如图 2，直线 yx+3 与 x 轴，y 轴分别交于 M、N 两点，O 半径为 1，直线 MN 上是否存 在O 的价值点？若存在，求出这些点的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由； （3）如图 3，直线 yx+2与 x 轴、y 轴分别交于 G、H 两点，C 的半径为 1，且C 在 x 轴 上滑动，若线段 GH 上存在C 的价值点 P，求出圆
18、心 C 的横坐标的取值范围 解：（1）如图 1 中，观察图象可知，D、E 是O 的价值点 如图 2 中，当 P 点坐标为（3，0）时，x 的值最大x 的最大值为 3 故答案为 D，E；3 （2）当点 A 在O 内部时，点 A 必为价值点， 当点 A 在O 外部时，O 的半径为 1， BC 的最大值为 2，人 2 点 A 为价值点，则 ABCB2， OA3， 故以 O 为圆心，半径为 3 的圆内的点（不包括O 上的点）均为价值点， 对于函数 yx+3，令 y0，则 x3， M（3，0）， 令 x0，则 y3，N（0，3）， tanONM ， ONM60 ， OPONsinONM31， 直线 MN
19、 上的点均在圆外， 如图 3 中，以 O 为圆心，ON 为半径画圆，交直线 MN 于点 G，则 OGON3， O 的价值点必在线段 NG 上， ONM60 ，OGON3， ONG 是等边三角形， NOG60 ，MOG30 ， 过点 G 作 GHOM 于点 H OG3， OHOGcos30， 价值点横坐标的取值范围为 0 x （3）对于函数 yx+2， 令 y0，则 x6， G（6，0）， 令 x0，则 y2， H（0，2）， tanHGO ， HGO30 ， 过点 O 作 OKHG 于 K，则 OKOG3， 当C 的圆心在点 O 时，HG 上恰好存在C 的价值点 K， C 的价值点是在以点 C 为圆心，半径为 3 的圆内（不包括C 上的点）， 当点 C 的坐标为（9，0）时，C 的价值点为点 C， 圆心 C 的横坐标的取值范围为 0 x9