1、专题专题 22 22 四边形中的动点综合问题四边形中的动点综合问题 1、 如图， 已知MON90 ， A， B 分别是边 OM 和 ON 上的点， 四边形 ACDB 和四边形 OEFC 都是正方形 （1）当 OA2，OB1 时，求 OC 的长 （2）当 OB1，点 A 在直线 OM 上运动时，求 OC 的最小值 （3）设 S CDFy，OAx，求 y 关于 x 的函数关系式 解：（1）如图 1 所示，过点 C 作 CGOM 于点 G， 四边形 ACDB 是正方形， ABAC，BAC90 ， MON90 ，AGC90 ， BAO+ABO90 ，BAO+CAG90 ， ABOCAG， AOBAGC
2、（AAS） OA2，OB1， CGOA2，AGOB1， OG3， 在 Rt OGC 中，由勾股定理得： OC （2）如图 2 所示，由题意可得点 C 在直线 l：yx1 上运动， OC 的最小值为当 OC 与直线 l 垂直时，此时 OC， OC 的最小值为 （3）如图 3 所示，延长 OC 至点 H，使 CHOC，连接 AH，过点 C 作 CGOM， CDCA，CHCF，DCFACH90 +ACF， DCFACH（SAS）， 由（1）知 AOBAGC（AAS）， CGOA， C 是 OH 的中点， S ACHS OAC， S CDFy，OAx， yS OAH S OAC x2 y 关于 x 的
3、函数关系式为 yx2 2、已知四边形 ABCD 和四边形 CEFG 都是正方形，且 ABCE （1）如图 1，连接 BG、DE求证：BGDE； （2）如图 2，如果正方形 CEFG 绕点 C 旋转到某一位置恰好使得 CGBD，BGBD 求BDE 的度数； 若正方形 ABCD 的边长是，请求出 BCG 的面积 （1）证明：四边形 ABCD 和四边形 CEFG 为正方形， BCDC，CGCE，BCDGCE90 BCD+DCGGCE+DCG， BCGDCE 在 BCG 和 DCE 中， BCGDCE（SAS） BGDE； （2）解：连接 BE，如图 2 所示： 由（1）可知：BGDE， CGBD，
4、DCGBDC45 ， BCGBCD+DCG90 +45 135 ， GCE90 ， BCE360 BCGGCE360 135 90 135 ， BCGBCE， 在 BCG 和 BCE 中， BCGBCE（SAS）， BGBE， BGBDDE， BDBEDE， BDE 为等边三角形， BDE60 ； 延长 EC 交 BD 于点 H，过点 G 作 GNBC 于 N，如图 3 所示： 在 BCE 和 DCE 中， BCEBCG（SSS）， BECDEC， EHBD，BHBD， BCCD ， BDBC2， BE2，BH1， CH1， 在 Rt BHE 中，由勾股定理得：EH， CE1， BCG135
5、， GCN45 ， GCN 是等腰直角三角形， GNCG（1）， S BCGBCGN（1） 3、如图，正方形 ABCD 的边长为 4cm，动点 P 从 A 点出发，在正方形的边上沿 ABCD 运动，设运动 的时间为 t（s）， APD 的面积为 S（cm2），S 与 t 的函数图象如图所示，请回答下列问题： （1）点 P 在 AB 上运动时间为 s，在 CD 上运动的速度为 cm/s， APD 的面积 S 的最大值 为 cm2； （2）将 S 与 t 之间的函数关系式补充完整 S； （3）请求出运动时间 t 为几秒时， APD 的面积为 6cm2 解：（1）由函数图象可知，P 在 AB 上运动
6、的时间为 4s，在 CD 上运动的时间为 2s， CD4cm， P 在 CD 上的运动速度为 4 22cm/s， P 在 BC 上运动时， APD 的面积最大为 8cm2 （2）当 0t4 时，P 在 AB 上运动， 由函数图象可知，P 在 AB 上的运动速度为 4 41cm/s， APt， SADAP2t 当 4t8 时，P 在 BC 上运动， APD 的面积为定值 8，即 S8 当 8t10 时，P 在 CD 上运动， DP42（t8）2t+20， SADDP4t+40 （3）当 P 在 AB 上时， 令 2t6，解得 t3s； 当 P 在 CD 上时， 令4t+406，解得 t 综上所述
7、，当 t 为 3 秒或秒时， APD 的面积为 6cm2 4、已知，在 ABC 中，BAC90 ，ABC45 ，点 D 为直线 BC 上一动点（点 D 不与点 B、C 重合）， 以 AD 为边做正方形 ADEF，连接 CF （1）如图，当点 D 在线段 BC 上时，直接写出线段 CF、BC、CD 之间的数量关系 （2）如图，当点 D 在线段 BC 的延长线上时，其他件不变，则（1）中的三条线段之间的数量关系还 成立吗？如成立，请予以证明，如不成立，请说明理由； （3）如图，当点 D 在线段 BC 的反向延长线上时，且点 A、F 分别在直线 BC 两侧，其他条件不变； 若正方形 ADEF 的边长
8、为 4，对角线 AE、DF 相交于点 O，连接 OC，请直接写出 OC 的长度 解：（1）BAC90 ，ABC45 ， ACBABC45 ， ABAC， 四边形 ADEF 是正方形， ADAF，DAF90 ， BAD90 DAC，CAF90 DAC， BADCAF， 在 BAD 和 CAF 中， ， BADCAF（SAS）， BDCF， BD+CDBC， CF+CDBC； 故答案为：CF+CDBC； （2）CF+CDBC 不成立，存在 CFCDBC； 理由：BAC90 ，ABC45 ， ACBABC45 ， ABAC， 四边形 ADEF 是正方形， ADAF，DAF90 ， BAD90 DAC
9、，CAF90 DAC， BADCAF， 在 BAD 和 CAF 中， ， BADCAF（SAS） BDCF BC+CDCF， CFCDBC； （3）BAC90 ，ABC45 ， ACBABC45 ， ABAC， 四边形 ADEF 是正方形， ADAF，DAF90 ， BAD90 BAF，CAF90 BAF， BADCAF， 在 BAD 和 CAF 中， ， BADCAF（SAS）， ACFABD， ABC45 ， ABD135 ， ACFABD135 ， FCD135 45 90 ， FCD 是直角三角形 正方形 ADEF 的边长 4 且对角线 AE、DF 相交于点 O DFAD4，O 为 D
10、F 中点 Rt CDF 中，OCDF 5、如图 1，已知正方形 ABCD，E 是线段 BC 上一点，N 是线段 BC 延长线上一点，以 AE 为边在直线 BC 的上方作正方形 AEFG （1）连接 GD，求证 DGBE； （2）连接 FC，求 tanFCN 的值； （3）如图 2，将图 1 中正方形 ABCD 改为矩形 ABCD，AB3，BC8，E 是线段 BC 上一动点（不含端 点 B，C），以 AE 为边在直线 BC 的上方作矩形 AEFG，使顶点 G 恰好落在射线 CD 上当点 E 由 B 向 C 运动时，判断 tanFCN 的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由 解：（1
11、）如图 1， 正方形 ABCD 和正方形 AEFG 中， BADEAG90 ，ABAD，AEAG， BAEGAD， BAEGAD（SAS）， DGBE； （2）如图 2，过点 F 作 FMBN 于 M，则BAEFFME90 ， BAE+AEBFEM+AEB90 ， 即BAEFEM， 又 AEEF， BAEMEF（ASA）， FMBE，EMAB， 又 BE+ECAB，EMEC+CM， CMFM， 在 Rt FCM 中，tanFCN1； （3）如图 2，过点 F 作 FMBN 于 M，则BAEFFME90 ， BAE+AEBFEM+AEB90 ， 即BAEFEM， 同理可证GADFEM， 又 AG
12、EF， DAGMEF， BAEMEF， EMADBC8， 设 BEa，则 EMEC+CMBCBE+EC， CMBEa， ， FM ， tanFCN，即 tanFCN 的值为定值 6、 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 矩形 ABCD 的边 AB4， BC6 若不改变矩形 ABCD 的形状和大小， 当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时， 矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动 （1）当OAD30 时，求点 C 的坐标； （2）设 AD 的中点为 M，连接 OM、MC，当四边形 OMCD 的面积为时，求 OA 的长； （3）当点 A 移动到某一位置时，点 C 到点 O 的距离有
13、最大值？若存在，求此时的值；若不存在，请 说明理由 解：（1）如图 1，过点 C 作 CEy 轴于点 E， 矩形 ABCD 中，CDAD， CDE+ADO90 ， 又OAD+ADO90 ， CDEOAD30 ， 在 Rt CED 中，CECD2，DE2， 在 Rt OAD 中，OAD30 ， ODAD3， 点 C 的坐标为（2，3+2）； （2）M 为 AD 的中点， DM3，S DCM6， 又 S四边形OMCD ， S ODM， S OAD9， 设 OAx、ODy，则 x2+y236，xy9， x2+y22xy，即 xy， 将 xy 代入 x2+y236 得 x218， 解得 x3（负值舍去
14、）， OA3； （3）OC 的最大值为 8， 如图 2，M 为 AD 的中点， OM3，CM5， OCOM+CM8， 当 O、M、C 三点在同一直线时，OC 有最大值 8， 连接 OC，则此时 OC 与 AD 的交点为 M，过点 O 作 ONAD，垂足为 N， CDMONM90 ，CMDOMN， CMDOMN， ，即， 解得 MN，ON， ANAMMN， 在 Rt OAN 中，OA， cosOAD 即 7、如图，在长方形 ABCD 中，AB4cm，BE5cm，点 E 是 AD 边上的一点，AE、DE 分别长 acm、bcm， 满足（a3） 2+|2a+b9|0动点 P 从 B 点出发，以 2c
15、m/s 的速度沿 BCD 运动，最终到达点 D设 运动时间为 ts （1）a cm，b cm； （2）t 为何值时，EP 把四边形 BCDE 的周长平分？ （3）另有一点 Q 从点 E 出发，按照 EDC 的路径运动，且速度为 1cm/s，若 P、Q 两点同时出发， 当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动求 t 为何值时， BPQ 的面积等于 6cm2 解：（1）（a3）2+|2a+b9|0， a30，2a+b90， a3，b3； 故答案为：3，3； （2）AE3cm，DE3cm， AD6cmBC， C四边形BCDEBC+CD+DE+EB18cm， EP 把四边形 BCDE 的周长平分， B
16、E+BP9cm， 点 P 在 BC 上，BP4cm， t2s； （3）解：点 P 在 BC 上（0t3）， S BPQ 2t 46， t ； 相遇前，点 P 在 CD 上（3t）， S BPQ （4（t3）（2t6） 66， t ； 相遇后，点 P 在 CD 上（t5）， S BPQ （t3）+（2t6）4 66， t5； 综上所述，当 ts 或s 或 5s 时， BPQ 的面积等于 6cm2 8、如图所示，四边形 ABCD 为平行四边形，AD13，AB25，DAB，且 cos，点 E 为直线 CD 上一动点，将线段 EA 绕点 E 逆时针旋转 得到线段 EF，连接 CF （1）求平行四边形
17、ABCD 的面积； （2）当点 C、B、F 三点共线时，设 EF 与 AB 相交于点 G，求线段 BG 的长； （3）求线段 CF 的长度的最小值 解（1）如图 1，作 DKAB 于点 K， 将线段 EA 绕点 E 逆时针旋转 得到线段 EF， AEF，AEEF， 在 Rt DAK 中， cosDAKcos，且 AD13， AK5， DK 12， S平行四边形ABCDAB DK25 12300； （2）如图 2，延长 CD 至 H，作AHD， AHDADH， AHAD13， 过点 A 作 AMDH 于点 M， 由（1）知 AM12， DM5， DH10， FEHDEA+F+， DEAF， 在
18、AEH 和 EFC 中， ， AEHEFC（AAS）， EHCF，CEAH13， DECDCE12，BFCFBC22139， BGCE， FBGFCE， ， 即， BG ； （3）如图 3，延长 CD 至 P，使PADP，过点 F 作 FMBC，交 CD 于点 M，过点 FNCD， 交 CD 于点 N， 由（2）可知AEPEFM， 在 EAP 和 FEM 中 ， EAPFEM（AAS）， EMAP13，FMEP， 设 DEx，则 FMEP10+x，CM25（13+x）12x， FNFMsin（10+x），MNFMcos（10+x）， CNCM+MN12x+（10+x）， 在 Rt CFN 中，
19、CF2CN2+NF2（208x2416x+56836）， 对称轴 x1， 当 x1 时，CF 的值最小，CF 的最小值为 9、在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 A（5，0）在 x 轴的正半轴上，四边形 OABC 为平行四边形， 对角线 OBOA，BC 交 y 轴于点 D，且 S OABC20 （1）如图，求点 B 的坐标： （2）如图，点 P 在线段 OD 上，设点 P 的纵坐标为 t， PAB 的面积为 S，请用含 t 的式子表示 S； （3）在（2）的条件下，如图，点 Q 在 x 轴上，点 R 为坐标平面内一点，若OCBCBP45 ，且 四边形 PQBR 为菱形，求 t 的值并直
20、接写出点 Q 的坐标 解：（1）点 A（5，0），OBOA， OAOB5， S OABCOA OD5OD20， OD4， 四边形 OABC 为平行四边形， BCAO，BCAO5， BDO90 ， DB 3， 点 B（3，4）； （2）点 P 的纵坐标为 t， OPt， DP4t， S （3+5） 4 3 （4t） 5 tt+10； （3）如图， 由（1）知，B（3，4），OA5，BCOA， C（2，4）， CD2 取 OD 的中点 E，则 DEOD2， DECD， DCE45 ， OCBOCE45 ， OCBCBP45 ， OCECBP， 过点 E 作 EFOC 于 F， CFE90 BDP，
21、 CFEBDP， ， 在 Rt CDE 中，CDDE2， CE2， 在 Rt ODC 中，CD2，OD4， OC2， CE 是 OCD 的中线， S OCES CDO 2 42 S OCEOCEFEF2， EF ， 在 Rt CFE 中，根据勾股定理得，CF， ， DP1， OPODDP3， t3， P（0，3）， 设 Q（m，0）， B（3，4）， PQ2m2+9，BQ2（m3）2+16， 四边形 PQBR 为菱形， PQBQ， m2+9（m3）2+16， m ， 即 Q（，0） 10、已知在四边形 ABCD 中，ADBC，ABBC，AD2，AB4，BC6 （1）如图 1，P 为 AB 边上
22、一点，以 PD，PC 为边作平行四边形 PCQD，过点 Q 作 QHBC，交 BC 的 延长线于 H求证： ADPHCQ； （2）若 P 为 AB 边上任意一点，延长 PD 到 E，使 DEPD，再以 PE，PC 为边作平行四边形 PCQE请 问对角线 PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由 （3）如图 2，若 P 为 DC 边上任意一点，延长 PA 到 E，使 AEnPA（n 为常数），以 PE，PB 为边作 平行四边形 PBQE请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在， 请说明理由 解：（1）ADBC， ADCDCH，
23、ADP+PDCDCQ+QCH， 四边形 PCQD 是平行四边形， PDCQ，PDCQ， PDCDCQ， ADPQCH， 在 ADP 和 HCQ 中， ， ADPHCQ（AAS）； （2）存在最小值，最小值为 10， 如图 1，作 QHBC，交 BC 的延长线于 H，设 PQ 与 DC 相交于点 G， PECQ， DPGCQG， ， 由（1）可知，ADPQCH， Rt ADPRt QCH， ， CH2AD4， BHBC+CH6+410， 当 PQAB 时，PQ 的长最小，即为 10； （3）存在最小值，最小值为（ n+4 ）， 如图 2，作 QHDC，交 CB 的延长线于 H，作 CKCD，交
24、QH 的延长线于 K， PEBQ，AEnPA， ， ADBC， ADP+DCH90 ， CDQK， QHC+DCH180 ， QHCADQ， PAD+PAGQBH+QBG90 ，PAGQBG， PADQBH， ADPBHQ， ， BH2n+2， CHBC+BH6+2n+22n+8， 过点 D 作 DMBC 于 M，又DABABM90 ， 四边形 ABMD 是矩形， BMAD2，DMAB4， MCBCBM624DM， DCM45 ， HCK45 ， CKCHcos45 （ 2n+8 ）（ n+4 ）， 当 PQCD 时，PQ 的长最小，最小值为（ n+4 ） 11、已知：如图，在 Rt ABC
25、中，ACB90 ，BC8，AB10，点 P，E，F 分别是 AB，AC，BC 上 的动点，且 AP2CE2BF，连结 PE，PF，以 PE，PF 为邻边作平行四边形 PFQE （1）当点 P 是 AB 的中点时，试求线段 PF 的长 （2）在运动过程中，设 CEm，若平行四边形 PFQE 的面积恰好被线段 BC 或射线 AC 分成 1：3 的两 部分，试求 m 的值 （3）如图，设直找 FQ 与直线 AC 交于点 N，在运动过程中，以点 Q，N，E 为顶点的三角形能否构成 直角三角形？若能，请直接写出符合要求的 CE 的长；若不能，请说明理由 解：（1）如图，作 PHBC 于点 H， ACB9
26、0 ，BC8，AB10， AC6 AP2CE2BF， 点 P 是 AB 的中点， PAPB5 CEBF，PH3，BHCH4， FH PF （2）如图，平行四边形 PFQE 的面积恰好被线段 BC 分成 1：3 的两部分时，则 EMPF PHBC， PHF90 ACB， PHAC， CEMHPF， PBHABC， PH2CE2m， ， m 如图，平行四边形 PFQE 的面积恰好被线段 AC 分成 1：3 的两部分时，则 FDQD，QNPG， CFPG APGABC， ， m m 的值为或 （3）如图，当QNE90 时，则点 N 与点 C 重合，设 CEx， PBHABC， ， ， x 如图，当Q
27、NE90 时，则点 P 与点 B 重合， 则 2x10， x5 如图，当QNE90 时， FPRPES， ， ， x 经检验，x 值符合题意 综上，CE 的长为或 5 或 12、将一个矩形纸片 OABC 放置在平面直角坐标系中，点 O（0，0），点 A（8，0），点 C（0，6）P 是 边 OC 上的一点（点 P 不与点 O，C 重合），沿着 AP 折叠该纸片，得点 O 的对应点 O （）如图，当点 O落在边 BC 上时，求点 O的坐标； （）若点 O落在边 BC 的上方，OP，OA 与分别与边 BC 交于点 D，E 如图，当OAP30 时，求点 D 的坐标； 当 CDOD 时，求点 D 的坐
28、标（直接写出结果即可） 解：（）点 A（8，0），点 C（0，6），OABC 为矩形， ABOC6，OACB8，B90 根据题意，由折叠可知 AOPAOP， OAOA8 在 Rt AOB 中，BO2 COBCBO82 点 O的坐标为（82，6） （）OAP30 ， OPA60 ， OPAOPA， CPD180 OPAOPA60 OA8， OPOAtan30 CP6OP6 CDCPtan6068 点 D 的坐标为（68，6） 连接 AD，如图： 设 CDx，则 BDBCCD8x，ODCDx， 根据折叠可知 AOAO8，POAPOA90 ， 在 Rt ADO中，AD2AO2+DO282+x2x2+
29、64； 在 Rt ABD 中，AD2BD2+AB2（8x）2+62x216x+100； x2+64x216x+100， 解得：x， CD ， D（，6） 13、在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，ABDC5，AD6，BC12 （1）梯形 ABCD 的面积等于 （2）如图 1，动点 P 从 D 点出发沿 DC 以每秒 1 个单位的速度向终点 C 运动，动点 Q 从 C 点出发沿 CB 以每秒 2 个单位的速度向 B 点运动 两点同时出发， 当 P 点到达 C 点时， Q 点随之停止运动 当 PQAB 时，P 点离开 D 点多少时间？ （3）如图 2，点 K 是线段 AD 上的点，M、 N 为边
30、BC 上的点， BMCN5， 连接 AN、DM，分别交 BK、 CK 于点 E、F，记 ADG 和 BKC 重叠部分的面积为 S，求 S 的最大值 解：（1）如图 1，作 AEBC 于 E，DFBC 于 F，则 AEDF， ADBC，AEBC， 四边形 ADFE 是矩形， AEDF，ADEF6， 在 Rt ABE 和 Rt DCF 中， ， Rt ABERt DCF（HL）， BECF， BECF3， 由勾股定理得，AE4， 梯形 ABCD 的面积 （AD+BC） AE （12+6） 436， 故答案为：36； （2）如图 3，过 D 作 DEAB，交 BC 于点 E， ADBC，DEAB，
31、四边形 ABED 为平行四边形， BEAD6， EC6， 当 PQAB 时，PQDE， CQP CED， ，即， 解得，t； （3） 如图 2， 过 G 作 GHBC， 延长 HG 交 AD 于 I， 过 E 作 EXBC， 延长 XE 交 AD 于 Y， 过 F 作 FUBC 于 U，延长 UF 交 AD 于 W， BMCN5， MN12552， BNCM7， MNAD， MGN DGA， ，即， 解得，HG1， 设 AKx， ADBC， BEN KEA， ，即， 解得，EX， 同理：FU， SS BKCS BENS CFM+S MNG 12 4 7 7+ 2 1 ， 当 x3 时，S 的最大值为 255.4