1、专题专题 2121 四边形中的存在性问题四边形中的存在性问题 1、已知，在 ABC 中，BAC90 ，ABC45 ，点 D 为直线 BC 上一动点（点 D 不与点 B、C 重合）， 以 AD 为边做正方形 ADEF，连接 CF （1）如图，当点 D 在线段 BC 上时，直接写出线段 CF、BC、CD 之间的数量关系 （2）如图，当点 D 在线段 BC 的延长线上时，其他件不变，则（1）中的三条线段之间的数量关系还 成立吗？如成立，请予以证明，如不成立，请说明理由； （3）如图，当点 D 在线段 BC 的反向延长线上时，且点 A、F 分别在直线 BC 两侧，其他条件不变； 若正方形 ADEF 的
2、边长为 4，对角线 AE、DF 相交于点 O，连接 OC，请直接写出 OC 的长度 解：（1）BAC90 ，ABC45 ， ACBABC45 ， ABAC， 四边形 ADEF 是正方形， ADAF，DAF90 ， BAD90 DAC，CAF90 DAC， BADCAF， 在 BAD 和 CAF 中， ， BADCAF（SAS）， BDCF， BD+CDBC， CF+CDBC； 故答案为：CF+CDBC； （2）CF+CDBC 不成立，存在 CFCDBC； 理由：BAC90 ，ABC45 ， ACBABC45 ， ABAC， 四边形 ADEF 是正方形， ADAF，DAF90 ， BAD90 D
3、AC，CAF90 DAC， BADCAF， 在 BAD 和 CAF 中， ， BADCAF（SAS） BDCF BC+CDCF， CFCDBC； （3）BAC90 ，ABC45 ， ACBABC45 ， ABAC， 四边形 ADEF 是正方形， ADAF，DAF90 ， BAD90 BAF，CAF90 BAF， BADCAF， 在 BAD 和 CAF 中， ， BADCAF（SAS）， ACFABD， ABC45 ， ABD135 ， ACFABD135 ， FCD135 45 90 ， FCD 是直角三角形 正方形 ADEF 的边长 4 且对角线 AE、DF 相交于点 O DFAD4，O 为
4、 DF 中点 Rt CDF 中，OCDF 2、如图 1，已知正方形 ABCD，E 是线段 BC 上一点，N 是线段 BC 延长线上一点，以 AE 为边在直线 BC 的上方作正方形 AEFG （1）连接 GD，求证 DGBE； （2）连接 FC，求 tanFCN 的值； （3）如图 2，将图 1 中正方形 ABCD 改为矩形 ABCD，AB3，BC8，E 是线段 BC 上一动点（不含端 点 B，C），以 AE 为边在直线 BC 的上方作矩形 AEFG，使顶点 G 恰好落在射线 CD 上当点 E 由 B 向 C 运动时，判断 tanFCN 的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由 解：
5、（1）如图 1， 正方形 ABCD 和正方形 AEFG 中， BADEAG90 ，ABAD，AEAG， BAEGAD， BAEGAD（SAS）， DGBE； （2）如图 2，过点 F 作 FMBN 于 M，则BAEFFME90 ， BAE+AEBFEM+AEB90 ， 即BAEFEM， 又 AEEF， BAEMEF（ASA）， FMBE，EMAB， 又 BE+ECAB，EMEC+CM， CMFM， 在 Rt FCM 中，tanFCN1； （3）如图 2，过点 F 作 FMBN 于 M，则BAEFFME90 ， BAE+AEBFEM+AEB90 ， 即BAEFEM， 同理可证GADFEM， 又
6、AGEF， DAGMEF， BAEMEF， EMADBC8， 设 BEa，则 EMEC+CMBCBE+EC， CMBEa， ， FM ， tanFCN，即 tanFCN 的值为定值 3、 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 矩形 ABCD 的边 AB4， BC6 若不改变矩形 ABCD 的形状和大小， 当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时， 矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动 （1）当OAD30 时，求点 C 的坐标； （2）设 AD 的中点为 M，连接 OM、MC，当四边形 OMCD 的面积为时，求 OA 的长； （3）当点 A 移动到某一位置时，点 C 到点 O 的距
7、离有最大值？若存在，求此时的值；若不存在，请 说明理由 解：（1）如图 1，过点 C 作 CEy 轴于点 E， 矩形 ABCD 中，CDAD， CDE+ADO90 ， 又OAD+ADO90 ， CDEOAD30 ， 在 Rt CED 中，CECD2，DE2， 在 Rt OAD 中，OAD30 ， ODAD3， 点 C 的坐标为（2，3+2）； （2）M 为 AD 的中点， DM3，S DCM6， 又 S四边形OMCD ， S ODM， S OAD9， 设 OAx、ODy，则 x2+y236，xy9， x2+y22xy，即 xy， 将 xy 代入 x2+y236 得 x218， 解得 x3（负值
8、舍去）， OA3； （3）OC 的最大值为 8， 如图 2，M 为 AD 的中点， OM3，CM5， OCOM+CM8， 当 O、M、C 三点在同一直线时，OC 有最大值 8， 连接 OC，则此时 OC 与 AD 的交点为 M，过点 O 作 ONAD，垂足为 N， CDMONM90 ，CMDOMN， CMDOMN， ，即， 解得 MN，ON， ANAMMN， 在 Rt OAN 中，OA， cosOAD 即 4、如图，将 ABCD 的边 AB 延长到点 E，使 BEAB，连接 DE，交 BC 边于点 F （1）求证： BEFCDF； （2） 连接 BD、 CE， 请探究： 当BFD 与A 之间满
9、足怎样的数量关系时， 能使四边形 BECD 成为矩形？ 为什么？ （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD BEAB， BECD ABCD， BEFCDF，EBFDCF， 在 BEF 与 CDF 中， ， BEFCDF（ASA）； （2）解：BFD2A 时，四边形 BECD 成为矩形 证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD，ADCB， ABBE， CDEB， 四边形 BECD 是平行四边形， BFCF，EFDF， BFD2A， BFD2DCF， DCFFDC， DFCF， DEBC， 四边形 BECD 是矩形 5、如图，在 ABC 中，ABAC，AD
10、 是 BC 边上的中线，点 E 是 AD 边上一点，过点 B 作 BFEC，交 AD 的延长线于点 F，连接 BE，CF （1）求证： BDFCDE （2）若 DEBC，求证：四边形 BECF 是正方形 （1）证明：AD 是 BC 边上的中线，ABAC， BDCD， BFEC， DBFDCE， BDFCDE， BDFCDE（ASA）； （2）证明：BDFCDE， BFCE，DEDF， BFCE， 四边形 BECF 是平行四边形， ABAC，AD 是中线， 四边形 BECF 是菱形， DEBC，DEDF EF， EFBC， 四边形 BECF 是正方形 6、在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，
11、点 A（5，0）在 x 轴的正半轴上，四边形 OABC 为平行四边形， 对角线 OBOA，BC 交 y 轴于点 D，且 S OABC20 （1）如图，求点 B 的坐标： （2）如图，点 P 在线段 OD 上，设点 P 的纵坐标为 t， PAB 的面积为 S，请用含 t 的式子表示 S； （3）在（2）的条件下，如图，点 Q 在 x 轴上，点 R 为坐标平面内一点，若OCBCBP45 ，且 四边形 PQBR 为菱形，求 t 的值并直接写出点 Q 的坐标 解：（1）点 A（5，0），OBOA， OAOB5， S OABCOA OD5OD20， OD4， 四边形 OABC 为平行四边形， BCAO，
12、BCAO5， BDO90 ， DB 3， 点 B（3，4）； （2）点 P 的纵坐标为 t， OPt， DP4t， S （3+5） 4 3 （4t） 5 tt+10； （3）如图， 由（1）知，B（3，4），OA5，BCOA， C（2，4）， CD2 取 OD 的中点 E，则 DEOD2， DECD， DCE45 ， OCBOCE45 ， OCBCBP45 ， OCECBP， 过点 E 作 EFOC 于 F， CFE90 BDP， CFEBDP， ， 在 Rt CDE 中，CDDE2， CE2， 在 Rt ODC 中，CD2，OD4， OC2， CE 是 OCD 的中线， S OCES CDO
13、 2 42 S OCEOCEFEF2， EF ， 在 Rt CFE 中，根据勾股定理得，CF， ， DP1， OPODDP3， t3， P（0，3）， 设 Q（m，0）， B（3，4）， PQ2m2+9，BQ2（m3）2+16， 四边形 PQBR 为菱形， PQBQ， m2+9（m3）2+16， m ， 即 Q（，0） 7、已知在四边形 ABCD 中，ADBC，ABBC，AD2，AB4，BC6 （1）如图 1，P 为 AB 边上一点，以 PD，PC 为边作平行四边形 PCQD，过点 Q 作 QHBC，交 BC 的 延长线于 H求证： ADPHCQ； （2）若 P 为 AB 边上任意一点，延长
14、PD 到 E，使 DEPD，再以 PE，PC 为边作平行四边形 PCQE请 问对角线 PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由 （3）如图 2，若 P 为 DC 边上任意一点，延长 PA 到 E，使 AEnPA（n 为常数），以 PE，PB 为边作 平行四边形 PBQE请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在， 请说明理由 解：（1）ADBC， ADCDCH， ADP+PDCDCQ+QCH， 四边形 PCQD 是平行四边形， PDCQ，PDCQ， PDCDCQ， ADPQCH， 在 ADP 和 HCQ 中， ， ADPHCQ（
15、AAS）； （2）存在最小值，最小值为 10， 如图 1，作 QHBC，交 BC 的延长线于 H，设 PQ 与 DC 相交于点 G， PECQ， DPGCQG， ， 由（1）可知，ADPQCH， Rt ADPRt QCH， ， CH2AD4， BHBC+CH6+410， 当 PQAB 时，PQ 的长最小，即为 10； （3）存在最小值，最小值为（ n+4 ）， 如图 2，作 QHDC，交 CB 的延长线于 H，作 CKCD，交 QH 的延长线于 K， PEBQ，AEnPA， ， ADBC， ADP+DCH90 ， CDQK， QHC+DCH180 ， QHCADQ， PAD+PAGQBH+QB
16、G90 ，PAGQBG， PADQBH， ADPBHQ， ， BH2n+2， CHBC+BH6+2n+22n+8， 过点 D 作 DMBC 于 M，又DABABM90 ， 四边形 ABMD 是矩形， BMAD2，DMAB4， MCBCBM624DM， DCM45 ， HCK45 ， CKCHcos45 （ 2n+8 ）（ n+4 ）， 当 PQCD 时，PQ 的长最小，最小值为（ n+4 ） 8、已知：如图，在 Rt ABC 中，ACB90 ，BC8，AB10，点 P，E，F 分别是 AB，AC，BC 上的 动点，且 AP2CE2BF，连结 PE，PF，以 PE，PF 为邻边作平行四边形 PF
17、QE （1）当点 P 是 AB 的中点时，试求线段 PF 的长 （2）在运动过程中，设 CEm，若平行四边形 PFQE 的面积恰好被线段 BC 或射线 AC 分成 1：3 的两 部分，试求 m 的值 （3）如图，设直找 FQ 与直线 AC 交于点 N，在运动过程中，以点 Q，N，E 为顶点的三角形能否构成 直角三角形？若能，请直接写出符合要求的 CE 的长；若不能，请说明理由 解：（1）如图，作 PHBC 于点 H， ACB90 ，BC8，AB10， AC6 AP2CE2BF， 点 P 是 AB 的中点， PAPB5 CEBF，PH3，BHCH4， FH PF （2）如图，平行四边形 PFQE
18、 的面积恰好被线段 BC 分成 1：3 的两部分时，则 EMPF PHBC， PHF90 ACB， PHAC， CEMHPF， PBHABC， PH2CE2m， ， m 如图，平行四边形 PFQE 的面积恰好被线段 AC 分成 1：3 的两部分时，则 FDQD，QNPG， CFPG APGABC， ， m m 的值为或 （3）如图，当QNE90 时，则点 N 与点 C 重合，设 CEx， PBHABC， ， ， x 如图，当QNE90 时，则点 P 与点 B 重合， 则 2x10， x5 如图，当QNE90 时， FPRPES， ， ， x 经检验，x 值符合题意 综上，CE 的长为或 5 或
19、 9、如图，长方形 ABCD 在平面直角坐标系中，ADBCx 轴，ABDCy 轴，x 轴与 y 轴夹角为 90 ，点 M，N 分别在 xy 轴上，点 A（1，8），B（1，6），C（7，6），D（7，8） （1）连接线段 OB、OD、BD，求 OBD 的面积； （2）若长方形 ABCD 在第一象限内以每秒 0.5 个单位长度的速度向下平移，经过多少秒时， OBD 的 面积与长方形 ABCD 的面积相等请直接写出答案； （3）见备用图，连接 OB，OD，OD 交 BC 于点 E，BON 的平分线和BEO 的平分线交于点 F 当BEO 的度数为 n，BON 的度数为 m 时，求OFE 的度数 请直
20、接写出OFE 和BOE 之间的数量关系 解：（1）如图 1，延长 DA 交 y 轴于 H，如图 1 所示： 则 AHy 轴 A（1，8），B（1，6），C（7，6），D（7，8） OH8，DH7，AH1，AD6，AB2， S OBDS ODHS ABDS梯形AHOB OH DH AB AD （AB+OH） AH 8 7 26 （2+8） 117； （2）S长方形ABCD2 612， S OBDS ODHS ABDS梯形AHOB12， （80.5t） 7 2 6 （2+80.5t） 112， t ； （3）如图 2，延长 CB 交 y 轴于 P，延长 EF 交 y 轴于点 G， EF 平分BEO
21、，OF 平分NOB， GOFNOBm，BEF BEOn， EFOGOF+FGO，FGOGPE+BEF， EFOGOF+GPE+BEFm+n+90 ； EF 平分BEO，OF 平分NOB， GOFNOB，BEF BEO， EFOGOF+FGO，FGOGPE+BEF， EFOGOF+GPE+BEF90 +NOB+BEO， BOE90 BONBEO， 2EFO+BOE270 10、将一个矩形纸片 OABC 放置在平面直角坐标系中，点 O（0，0），点 A（8，0），点 C（0，6）P 是 边 OC 上的一点（点 P 不与点 O，C 重合），沿着 AP 折叠该纸片，得点 O 的对应点 O （）如图，当
22、点 O落在边 BC 上时，求点 O的坐标； （）若点 O落在边 BC 的上方，OP，OA 与分别与边 BC 交于点 D，E 如图，当OAP30 时，求点 D 的坐标； 当 CDOD 时，求点 D 的坐标（直接写出结果即可） 解：（）点 A（8，0），点 C（0，6），OABC 为矩形， ABOC6，OACB8，B90 根据题意，由折叠可知 AOPAOP， OAOA8 在 Rt AOB 中，BO2 COBCBO82 点 O的坐标为（82，6） （）OAP30 ， OPA60 ， OPAOPA， CPD180 OPAOPA60 OA8， OPOAtan30 CP6OP6 CDCPtan6068 点
23、 D 的坐标为（68，6） 连接 AD，如图： 设 CDx，则 BDBCCD8x，ODCDx， 根据折叠可知 AOAO8，POAPOA90 ， 在 Rt ADO中，AD2AO2+DO282+x2x2+64； 在 Rt ABD 中，AD2BD2+AB2（8x）2+62x216x+100； x2+64x216x+100， 解得：x， CD ， D（，6） 11、在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，ABDC5，AD6，BC12 （1）梯形 ABCD 的面积等于 （2）如图 1，动点 P 从 D 点出发沿 DC 以每秒 1 个单位的速度向终点 C 运动，动点 Q 从 C 点出发沿 CB 以每秒 2 个
24、单位的速度向 B 点运动 两点同时出发， 当 P 点到达 C 点时， Q 点随之停止运动 当 PQAB 时，P 点离开 D 点多少时间？ （3）如图 2，点 K 是线段 AD 上的点，M、 N 为边 BC 上的点， BMCN5， 连接 AN、DM，分别交 BK、 CK 于点 E、F，记 ADG 和 BKC 重叠部分的面积为 S，求 S 的最大值 解：（1）如图 1，作 AEBC 于 E，DFBC 于 F，则 AEDF， ADBC，AEBC， 四边形 ADFE 是矩形， AEDF，ADEF6， 在 Rt ABE 和 Rt DCF 中， ， Rt ABERt DCF（HL）， BECF， BECF
25、3， 由勾股定理得，AE4， 梯形 ABCD 的面积 （AD+BC） AE （12+6） 436， 故答案为：36； （2）如图 3，过 D 作 DEAB，交 BC 于点 E， ADBC，DEAB， 四边形 ABED 为平行四边形， BEAD6， EC6， 当 PQAB 时，PQDE， CQP CED， ，即， 解得，t； （3） 如图 2， 过 G 作 GHBC， 延长 HG 交 AD 于 I， 过 E 作 EXBC， 延长 XE 交 AD 于 Y， 过 F 作 FUBC 于 U，延长 UF 交 AD 于 W， BMCN5， MN12552， BNCM7， MNAD， MGN DGA， ，即
26、， 解得，HG1， 设 AKx， ADBC， BEN KEA， ，即， 解得，EX， 同理：FU， SS BKCS BENS CFM+S MNG 12 4 7 7+ 2 1 ， 当 x3 时，S 的最大值为 255.4 12、【探索规律】 如图，在 ABC 中，点 D，E，F 分别在 AB，BC，AC 上，且 DFBC，EFAB设 ADF 的边 DF 上的高为 h1， EFC 的边 CE 上的高为 h2 （1）若 ADF、 EFC 的面积分别为 3，1，则 ； （2）设 ADF、 EFC、四边形 BDFE 的面积分别为 S1，S2，S，求证：S2； 【解决问题】 （3）如图，在 ABC 中，点
27、 D，E 分别在 AB，AC 上，点 F，G 在 BC 上，且 DEBC，DFBG若 ADE、 DBF、 EGC 的面积分别为 3，7，5，求 ABC 的面积 解：（1）DFBC，EFAB， AFDACB，DAFEFC， ADFFEC， ADF、 EFC 的面积分别为 3，1， ， ， ADF 的边 DF 上的高为 h1， EFC 的边 CE 上的高为 h2， ； 故答案为： （2）证明：如图，设 ADa，BDb，DB 与 EF 间的距离为 h， EFAB，DFBC， 四边形 DBFE 是平行四边形， BDEFb， 由（1）知 ADFFEC， ， S1ah， S2， S1S2， bh2， Sb
28、h， S2 （3）如图，过点 D 作 DMAC 交 BC 于点 M， DMFECG， DEBC，DFBG， 四边形 DFGE 为平行四边形， DFEG，DFMEGC， DFMEGC（AAS）， S DFMS EGC5， S DBF7， S BDM7+512， DEBM，DMAC， ADEDBM，BDMBAE， DAEBDM， ， ， ， 同理， ADEABC， S ABC9S ADE9 327 13、已知：如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，ABC90 ，ABAD10cm，CD4cm点 P 从点 A 出发，沿 AB 方向匀速运动，速度为 2cm/s；同时点 Q 从点 C 出发，沿 DC 方
29、向在 DC 的延长线上匀速运 动，速度为 1cm/s；当点 P 到达点 B 时，点 Q 停止运动过点 P 作 PEBD，交 AD 于点 E连接 EQ， BQ设运动时间为 t（s）（0t5），解答下列问题： （1）连接 PQ，当 t 为何值时，PQAD？ （2）设四边形 PBQE 的面积为 y（cm2），求 y 与 t 的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使四边形 PBQE 的面积为四边形 ABQD 面积的，若存在， 求出 t 的值；若不存在，请说明理由； （4）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 EQBD？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由 解：（1）当 P
30、QAD 时，DCAB， 四边形 APQD 是平行四边形， APDQ，即 2t4+t， 解得，t4， 当 t 为 4s 时，PQAD； （2）过点 D 作 DFAB 于 F，过点 E 作 EMAB 于 M，延长 ME 交 CD 的延长线于点 N， DFADFB90 ，EMAEMB90 ， ABCD， CDF90 ，CNM90 ， ABC90 ， 四边形 DFBC、NMFD 是矩形， BFDC4， AF6， DF8， MNBCDF8， PEBD， ， ABAD， AEAP2t， AA，EMADFA， AEMADF， ，即， ， ， yS四边形PBQES梯形ABQDS AEPS QED t2+t+4
31、0， y 与的函数关系式为：yt2+t+40（0t5）； （3）假设存在某一时刻 t，四边形 PBQE 的面积为四边形 ABQD 面积的， 则t2+t+40 （4+t+10） 8， 解得，t14，t2 （不合题意，舍去）， 答：当 t4 时，四边形 PBQE 的面积为四边形 ABQD 面积的； （4）若存在某一时刻 t，使 EQBD，垂足为 O， DOEDOQ90 ， ABCD， BDCDBA， ABAD， BDADBA， BDCBDA， DEDQ， 4+t102t， t2， 当 t 为 2s 时，EQBD 14、已知菱形 ABCD 中，AB4，BAD120 ，点 P 是直线 AB 上任意一点
32、，连接 PC，在PCD 内部作 射线 CQ 与对角线 BD 交于点 Q（与 B、D 不重合），且PCQ30 （1）如图，当点 P 在边 AB 上，且 BP3 时，求 PC 的长； （2）当点 P 在射线 BA 上，且 BPn（0n8）时，求 QC 的长；（用含 n 的式子表示） （3）连接 PQ，直线 PQ 与直线 BC 相交于点 E，如果 QCE 与 BCP 相似，请直接写出线段 BP 的长 解：（1）如图 1 中，作 PHBC 于 H 四边形 ABCD 是菱形， ABBC4，ADBC， A+ABC180 ， A120 ， PBH60 ， PB3，PHB90 ， BHPBcos60，PHPB
33、sin60， CHBCBH4， PC （2）如图 1 中，作 PHBC 于 H，连接 PQ，设 PC 交 BD 于 O 四边形 ABCD 是菱形， ABDCBD30 ， PCQ30 ， PBOQCO， POBQOC， POBQOC， ， ， POQBOC， POQBOC， OPQOBC30 PCQ， PQQC， PCQC， 在 Rt PHB 中，BPn， BHn，PH n， PC2PH2+CH2， 3QC2（n）2+（4n）2， QC（0n8） （3）如图 2 中，若直线 QP 交直线 BC 于 B 点左侧的点 E 此时CQE120 ， PBC60 ， PBC 中，不存在角与CQE 相等， 此时 QCE 与 BCP 不可能相似 如图 3 中，若直线 QP 交直线 BC 于点 C 右侧的点 E 则CQEBQBC+QCP60 CBP， PCBE， 只可能BCPQCE75 ， 作 CFAB 于 F，则 BF2，CF2，PCF45 ， PFCF2， 此时 BP2+2， 如图 4 中，当点 P 在 AB 的延长线上时， CBE 与 CBP 相似， CQECBP120 ， QCECBP15 ， 作 CFAB 于 F FCB30 ， FCB45 ， BFBC2，CFPF2 ， BP22 综上所述，满足条件的 BP 的值为 2+2或 22