1、专题专题 20 20 正方形的判定与性质正方形的判定与性质 一选择题 1下列说法不正确的是（ ） A对角线互相垂直的矩形是正方形 B对角线相等的菱形是正方形 C有一个角是直角的平行四边形是正方形 D邻边相等的矩形是正方形 解：A、正确对角线互相垂直的矩形是正方形； B、正确对角线相等的菱形是正方形； C、错误应该是有一个角是直角的平行四边形是矩形； D、正确邻边相等的矩形是正方形； 故选：C 2如图，正方形 ABCD 的边长为 8，在各边上顺次截取 AEBFCGDH5，则四边形 EFGH 的面积是 （ ） A30 B34 C36 D40 解：四边形 ABCD 是正方形， ABCD90 ，ABB
2、CCDDA， AEBFCGDH， AHBECFDG 在 AEH、 BFE、 CGF 和 DHG 中， ， AEHBFECGFDHG（SAS）， EHFEGFGH，AEHBFE， 四边形 EFGH 是菱形， BEF+BFE90 ， BEF+AEH90 ， HEF90 ， 四边形 EFGH 是正方形， ABBCCDDA8，AEBFCGDH5， EHFEGFGH， 四边形 EFGH 的面积是：34， 故选：B 3在 ABC 中，ACAB，D，E，F 分别是 AC，BC，AB 的中点，则下列结论中一定正确的是（ ） A四边形 DEBF 是矩形 B四边形 DCEF 是正方形 C四边形 ADEF 是菱形
3、D DEF 是等边三角形 解：结论：四边形 ADEF 是菱形 理由如下：CDAD，CEEB， DEAB， BEEC，BFFA， EFAC， 四边形 ADEF 是菱形， ACAB， ADAF， 四边形 ADEF 是菱形 故选：C 4如图，八边形 ABCDEFGH 中，ABCDEFGH1，BCDEFGHA，ABCD EFH135 ，则这个八边形的面积等于（ ） A7 B8 C9 D14 解：如图， 延长 AB、DC 交于 M 点，延长 CD、FE 交于 N 点，延长 EF、HG 交于 P 点，延长 GH、BA 交于 Q 点， 则 MNPQ 是矩形， ABCDEFGH135 ， BCM、 DEN、
4、FGP、 AHQ 均为等腰直角三角形 这个八边形的面积等于矩形面积4 个小三角形的面积3 34 1 1 27 故选：A 5直角梯形 ABCD 中，AD90 ，DCAB，ABAD12，E 是边 AD 上的一点，恰好使 CE10， 并且CBE45 ，则 AE 的长是（ ） A2 或 8 B4 或 6 C5 D3 或 7 解：如图，过点 B 作 BFCD 交 DC 的延长线于 F， AD90 ，ABAD， 四边形 ABFD 是正方形， 把 ABE 绕点 B 顺时针旋转 90 得到 BFG， 则 AEFG，BEBG，ABEFBG， CBE45 ， CBGCBF+FBGCBF+ABE90 CBE90 4
5、5 45 ， CBECBG， 在 CBE 和 CBG 中， ， CBECBG（SAS）， CECG， AE+CFFG+CFCGCE， 设 AEx，则 DE12x，CF10 x， CD12（10 x）x+2， 在 Rt CDE 中，CD2+DE2CE2， 即（x+2）2+（12x）2102， 整理得，x210 x+240， 解得 x14，x26， 所以 AE 的长是 4 或 6 故选：B 6如图，小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：ABBC，ABC90 ， ACBD，ACBD 中任选两个作为补充条件，使 ABCD 为正方形现有下列四种选法，你认为其 中错误的是（ ） A
6、B C D 解：A、四边形 ABCD 是平行四边形， 当ABC90 时，平行四边形 ABCD 是矩形， 当 ACBD 时，这是矩形的性质，无法得出四边形 ABCD 是正方形，故此选项错误，符合题意； B、四边形 ABCD 是平行四边形， 当ABBC 时，平行四边形 ABCD 是菱形， 当ACBD 时，菱形 ABCD 是正方形，故此选项正确，不合题意； C、四边形 ABCD 是平行四边形， 当ABBC 时，平行四边形 ABCD 是菱形， 当ABC90 时，菱形 ABCD 是正方形，故此选项正确，不合题意； D、四边形 ABCD 是平行四边形， 当ACBD 时，平行四边形 ABCD 是矩形， 当A
7、CBD 时，矩形 ABCD 是正方形，故此选项正确，不合题意 故选：A 7已知，如图一张三角形纸片 ABC，边 AB 长为 10cm，AB 边上的高为 15cm，在三角形内从左到右叠放边 长为 2 的正方形小纸片，第一次小纸片的一条边都在 AB 上，依次这样往上叠放上去，则最多能叠放的 正方形的个数是（ ） A12 B13 C14 D15 解：作 CFAB 于点 F， 设最下边的一排小正方形的上边的边所在的直线与 ABC 的边交于 D、E， DEAB， ，即， 解得：DE，而整数部分是 4， 最下边一排是 4 个正方形 第二排正方形的上边的边所在的直线与 ABC 的边交于 G、H 则，解得 G
8、H，而整数部分是 3， 第二排是 3 个正方形； 同理：第三排是：3 个； 第四排是 2 个， 第五排是 1 个， 第六排是 1 个，则正方形的个数是：4+3+3+2+1+114 故选：C 8在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图， ABCD 的对角线相交于点 O，过点 O 作 EF 垂直于 BD 交 AB，CD 分别于点 F，E，连接 DF，BE请根据上述条件，写出一个正确结论”其中四位同学写 出的结论如下： 小青：OEOF；小何：四边形 DFBE 是正方形； 小夏：S四边形AFEDS四边形FBCE；小雨：ACECAF 这四位同学写出的结论中不正确的是（ ） A小青 B小何 C小夏 D
9、小雨 解：四边形 ABCD 是平行四边形， OAOC，CDAB， ECOFAO，（故小雨的结论正确）， 在 EOC 和 FOA 中， ， EOCFOA， OEOF（故小青的结论正确）， S EOCS AOF， S四边形AFEDS ADCS平行四边形ABCD， S四边形AFEDS四边形FBCE故小夏的结论正确， EOCFOA， ECAF，CDAB， DEFB，DEFB， 四边形 DFBE 是平行四边形， ODOB，EODB， EDEB， 四边形 DFBE 是菱形，无法判断是正方形，故小何的结论错误， 故选：B 9如图，四边形 ABCD 中，ADDC，ADCABC90 ，DEAB，若四边形 ABC
10、D 面积为 16，则 DE 的长为（ ） A3 B2 C4 D8 解：过点 D 作 BC 的垂线，交 BC 的延长线于 F， ADCABC90 ， A+BCD180 ， FCD+BCD180 ， AFCD， 又AEDF90 ，ADDC， ADECDF， DEDF， S四边形ABCDS正方形DEBF16， DE4 故选：C 10如图，已知一个矩形纸片 OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点 A（10，0），点 B（0，6）， 点 P 为 BC 边上的动点，将 OBP 沿 OP 折叠得到 OPD，连接 CD、AD则下列结论中：当BOP 45 时，四边形 OBPD 为正方形；当BOP30 时，
11、 OAD 的面积为 15；当 P 在运动过程中， CD 的最小值为 26；当 ODAD 时，BP2其中结论正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解：四边形 OACB 是矩形， OBC90 ， 将 OBP 沿 OP 折叠得到 OPD， OBOD，PDOOBP90 ，BOPDOP， BOP45 ， DOPBOP45 ， BOD90 ， BODOBPODP90 ， 四边形 OBPD 是矩形， OBOD， 四边形 OBPD 为正方形；故正确； 过 D 作 DHOA 于 H， 点 A（10，0），点 B（0，6）， OA10，OB6， ODOB6，BOPDOP30 ， DOA30 ，
12、DH3， OAD 的面积为OADH 3 1015，故正确； 连接 OC， 则 OD+CDOC， 即当 OD+CDOC 时，CD 取最小值， ACOB6，OA10， OC 2， CDOCOD26， 即 CD 的最小值为 26；故正确； ODAD， ADO90 ， ODPOBP90 ， ADP180 ， P，D，A 三点共线， OACB， OPBPOA， OPBOPD， OPAPOA， APOA10， AC6， CP8， BPBCCP1082，故正确； 故选：D 二填空题 11如图，在四边形 ABCD 中，ADBC（BCAD），D90 ，ABE45 ，BCCD，若 AE5，CE 2，则 BC 的长
13、度为 解：过点 B 作 BFAD 于点 F，延长 DF 使 FGEC，连接 BG， ADBC，D90 ， CD90 ，BFAD 四边形 CDFB 是矩形 BCCD 四边形 CDFB 是正方形 CDBCDFBF，CBF90 CBFG， BCBF，BFGC90 ，CEFG BCEBFG（SAS） BEBG，CBEFBG ABE45 ， CBE+ABF45 ， ABF+FBG45 ABG ABGABE，且 ABAB，BEBG ABEABG（SAS） AEAG5， AFAGFG523 在 Rt ADE 中，AE2AD2+DE2， 25（DF3）2+（DF2）2 ， DF6 BC6 故答案为：6 12小
14、明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图 1 所示菱形，并测得B 60 ，接着活动学具成为图 2 所示正方形，并测得正方形的对角线 AC40cm，则图 1 中对角线 AC 的 长为 cm 解：如图 1，2 中，连接 AC 在图 2 中，四边形 ABCD 是正方形， ABBC，B90 ， AC40 ， ABBC20， 在图 1 中，B60 ，BABC， ABC 是等边三角形， ACBC20， 故答案为：20， 13在四边形 ABCD 中，ADBC（BCAD），B90 ，ABBC10，点 E 在 AB 上，BE6 且DCE 45 ，则 DE 的长为 解：如图，ADBC（B
15、CAD），B90 ， A90 ， 过点 C 作 CGAD，交 AD 的延长线于点 G， ABBC10， 四边形 ABCG 是正方形， BCG90 ，BCCG，DCE45 ， DCG+BCE45 ， 延长 AB 到 BH 使 BHDG， 在 CDG 与 CHB 中， CDGCHB（SAS）， CHCD，BCHGCD， DCEHCE， CECE， CEHCED（SAS）， DEEHBE+DG， 在过点 C 作 CGAD，交 AD 的延长线于点 G， DEDG+BE， 设 DGx，则 AD10 x，DEx+6， 在 Rt ADE 中，由勾股定理得：AD2+AE2DE2， （10 x）2+42（x+6
16、）2 ， 解得 x2.5 DE2.5+68.5 故答案是：8.5 14小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先把活动学具制作成图 1 所示菱形，并测 得B60 ，接着活动学具制作成图 2 所示正方形，并测得正方形的对角线 ACacm，则图 1 中对角 线 AC 的长为 cm 解：如图 1，2 中，连接 AC 在图 2 中，四边形 ABCD 是正方形， ABBC，B90 ， ACa， ABBCa， 在图 1 中，B60 ，BABC， ABC 是等边三角形， ACBCa， 故答案为：a， 15如图，在四边形 ABCD 中，ABBC，ABCD，ADBC，ABC90 点 E、F 分别在边
17、 AB、AD 上， CE 与 BF 相交于点 G，BEAF线段 BG 的垂直平分线交 BE 于点 H，且EHG54 若EGHmo， 则 m 解：ABCD，ADBC， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABBC， 四边形 ABCD 是菱形， ABC90 ， 四边形 ABCD 是正方形， ACBE90 ， BCAB，BEAF， BCEABF（SAS）， ABFBCE， ABF+CBF90 ， CBF+BCE90 ， BGCEGB90 ， 点 H 在线段 BG 的垂直平分线上， HBHG， HGBHBG， EHGHBG+HGB54 ， HGBHBG27 ， EGH90 27 63 ， m63， 故答
18、案为 63 16如图，在四边形 ABCD 中，ADCABC90 ，ADCD，DPAB 于 P若四边形 ABCD 的面积是 18，则 DP 的长是 解：如图，过点 D 作 DEDP 交 BC 的延长线于 E， ADCABC90 ， 四边形 DPBE 是矩形， CDE+CDP90 ，ADC90 ， ADP+CDP90 ， ADPCDE， DPAB， APD90 ， APDE90 ， 在 ADP 和 CDE 中， ， ADPCDE（AAS）， DEDP，四边形 ABCD 的面积四边形 DPBE 的面积18， 矩形 DPBE 是正方形， DP 3 故答案为：3 17如图，在正方形 ABCD 中，过 B
19、 作一直线与 CD 相交于点 E，过 A 作 AF 垂直 BE 于点 F，过 C 作 CG 垂直 BE 于点 G，在 FA 上截取 FHFB，再过 H 作 HP 垂直 AF 交 AB 于 P若 CG3则 CGE 与四 边形 BFHP 的面积之和为 解：法 1：四边形 ABCD 为正方形， ABBC，ABC90 ，即CBG+ABF90 ， 又 CGBE，即BGC90 ， BCG+CBG90 ， ABFBCG， 又 AFBG， AFBBGC90 ， ABFBCG， AFBG，BFCGFH3， 又FHBF， AHFG，设 AHFGx， PHAF，BFAF， AHPAFB90 ，又PAH 为公共角，
20、APHABF， ，即 PH， PHBF，BP 不平行 FH， 四边形 BFHP 为梯形，其面积为+； 又BCG+ECG90 ，ECG+BEC90 ， BCGBEC，又BGCCGE90 ， BCGCEG， ，即 GE，故 Rt CGE 的面积为 3， 则 CGE 与四边形 BFHP 的面积之和为+9 法 2：延长 AF 交 BC 于点 K， 正方形 ABCD， ABBC，ABC90 ， CBE+ABF90 ， AFBE， AFB90 ， BAF+ABF90 ， CBEBAF， 又ABCBCE90 ， ABFBEC， BFCG3（全等三角形对应高相等）， BFFH3， 作射线 QH，过 B 作 B
21、QHQ 于点 Q， BFHQHFQ90 ，且 BFFH， 四边形 QBFH 为正方形，且面积为 329， BQBFCE3， PBQ+PBE90 ，且PBEBEC，且BEC+GCE90 ， BPQECG， BPQCEG， S CGE+S四边形BPHFS BPQ+S四边形BPHFS正方形BQHF9 故答案为：9 三解答题 18 如图， 已知四边形 ABCD 为正方形， AB3， 点 E 为对角线 AC 上一动点， 连接 DE， 过点 E 作 EFDE， 交 BC 于点 F，以 DE、EF 为邻边作矩形 DEFG，连接 CG （1）求证：矩形 DEFG 是正方形； （2）探究：CE+CG 的值是否为
22、定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由 解：（1）如图，作 EMBC 于 M，ENCD 于 N， MEN90 ， 点 E 是正方形 ABCD 对角线上的点， EMEN， DEF90 ， DENMEF， DNEFME90 ， 在 DEN 和 FEM 中， ， DENFEM（ASA）， EFDE， 四边形 DEFG 是矩形， 矩形 DEFG 是正方形； （2）CE+CG 的值是定值，定值为 6，理由如下： 正方形 DEFG 和正方形 ABCD， DEDG，ADDC， CDG+CDEADE+CDE90 ， CDGADE， 在ADE 和 CDG 中， ADECDG（SAS）， AECG， CE
23、+CGCE+AEACAB 36 是定值 19如图， ABCD 中，A45 ，过点 D 作 EDAD 交 AB 的延长线于点 E，且 BEAB，连接 BD，CE （1）求证：四边形 BDCE 是正方形； （2）P 为线段 BC 上一点，点 M，N 在直线 AE 上，且 PMPB，DPNBPM求证：ANPB 证明：（1）四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD， BEAB， BECD， 四边形 BDCE 是平行四边形， EDAD，A45 ， ADEA45 ， ADDE， ADE 是等腰直角三角形， 又ABBE， DBBE，DBBE， 平行四边形 BDCE 是正方形； （2）四边形 BD
24、CE 是正方形， BDBEAB，DBPEBP45 ， PMPB， PBMPMB45 ， BPM90 ， DPNBPM90 ， DPBNPM， 在 DBP 和 NMP 中， ， DBPNMP（AAS）， DBMN， ABNM， ANBM， BPPM，BPM90 ， BMBP， ANBP 20如图，已知四边形 ABCD 是矩形，点 E 在对角线 AC 上，点 F 在边 CD 上（点 F 与点 C、D 不重合）， BEEF，且ABE+CEF45 （1）求证：四边形 ABCD 是正方形； （2）连结 BD，交 EF 于点 Q，求证：DQBCCEDF 证明：（1）如图，作 EMBC 于点 M， 四边形
25、ABCD 是矩形， ABBC， EMAB， ABEBEM，BACCEM， ABE+CEF45 ， BEM+CEF45 ， BEEF， CEM45 BAC， BACACB45 ， ABBC， 矩形 ABCD 是正方形； （2）如图， BEF+BCF+EFC+EBC360 ， EBC+EFC180 ，且EFC+QFD180 ， DFQEBC， 四边形 ABCD 是正方形， ACBBDC45 ， BCEFDQ， ， BCDQCEDF 21如图，已知正方形 ABCD，P 是对角线 AC 上任意一点，PMAD，PNAB，垂足分别为点 M 和 N， PEPB 交 AD 于点 E （1）求证：四边形 MAN
26、P 是正方形； （2）求证：EMBN 证明：（1）四边形 ABCD 是正方形， DAB90 ，AC 平分DAB，（1 分） PMAD，PNAB， PMAPNA90 ， 四边形 MANP 是矩形，（2 分） AC 平分DAB，PMAD，PNAB， PMPN，（3 分） 四边形 MANP 是正方形；（4 分） （2）四边形 ABCD 是正方形， PMPN，MPN90 ， EPB90 ， MPE+EPNNPB+EPN90 ， MPENPB，（5 分） 在 EPM 和 BPN 中， ， EPMBPN（ASA），（6 分） EMBN（7 分） 22如图，4 4 方格中每个小正方形的边长都为 1 （1）直
27、接写出图 1 中正方形 ABCD 的面积及边长； （2）在图 2 的 4 4 方格中，画一个面积为 10 的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上）；并把图 2 中的数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数 解：（1）CD， 正方形 ABCD 的面积5； （2）如图所示： 23如图，以 ABC 的各边为边长，在边 BC 的同侧分别作正方形 ABDI，正方形 BCFE，正方形 ACHG， 连接 AD，DE，EG （1）求证： BDEBAC； （2）设BAC，请用含 的代数式表示EDA，DAG； 求证：四边形 ADEG 是平行四边形； （3）当 ABC 满足什么条件时，四边形 ADEG 是正方形？请
28、说明理由 （1）证明：四边形 ABDI、四边形 BCFE、四边形 ACHG 都是正方形， ACAG，ABBD，BCBE，GACEBCDBA90 ABCEBD（同为EBA 的余角） 在 BDE 和 BAC 中， ， BDEBAC（SAS）， （2）解：BDEBAC，ADB45 ， EDA45 ， DAG360 45 90 225 ， 证明：BDEBAC， DEACAG，BACBDE AD 是正方形 ABDI 的对角线， BDABAD45 EDABDEBDABDE45 ， DAG360 GACBACBAD 360 90 BAC45 225 BAC EDA+DAGBDE45 +225 BAC180 DEAG， 四边形 ADEG 是平行四边形（一组对边平行且相等） （3）解：结论：当四边形 ADEG 是正方形时，DAG90 ，且 AGAD 理由：由知，当DAG90 时，BAC135 四边形 ABDI 是正方形， ADAB 又四边形 ACHG 是正方形， ACAG， ACAB 当BAC135 且 ACAB 时，四边形 ADEG 是正方形