1、专题专题 16 16 三角形中位线定理三角形中位线定理 一选择题 1在 ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则下列说法正确的是（ ） ACEBC BDEAB CAEDC DAC 解：D，E 分别是 AB，AC 的中点， DE 是 ABC 的中位线， DEBC，故 B 选项说法错误； CE 与 BC 不一定相等，故 A 选项说法错误； BD 与 DE 不一定相等，B 选项说法错误； 由平行线的性质知AEDC，故选项 C 说法正确； A 与C 不一定相等，故选项 D 说法错误； 故选：C 2如图，D、E 分别是 ABC 的边 AB、AC 的中点，若 BC6，则 DE（ ） A2 B3
2、C4 D5 解：D、E 分别是 ABC 的边 AB、AC 的中点， DE 是 ABC 的中位线， DEBC3， 故选：B 3A，B 两地被池塘隔开，小明先在 AB 外选一点 C，然后分别步测出 AC，BC 的中点 D，E，并测出 DE 的长为 20m，则 AB 的长为（ ） A10m B20m C30m D40m 解：点 D，E 是 AC，BC 的中点， DE 是 ABC 的中位线， AB2DE40m， 故选：D 4如图，在四边形 ABCD 中，P 是对角线 BD 的中点，点 E、F 分别是 AB、CD 的中点，ADBC，EPF 140 ，则EFP 的度数是（ ） A50 B40 C30 D2
3、0 解：P 是 BD 的中点，E 是 AB 的中点， PE 是 ABD 的中位线， PEAD， 同理，PFBC， ADBC， PEPF， EFP （180 EPF） （180 140 ）20 ， 故选：D 5如图，在 ABF 中，点 C 在中位线 DE 上，且 CECD，连接 AC，BC，ACB90 ，若 BF20， 则 AB 的长为（ ） A10 B12 C14 D16 解：DE 是 ABC 的中位线，BF20， DEBF10， CECD， CDDE8， ACB90 ， AB2CD16， 故选：D 6如图，在 ABC 中，BD 平分ABC，AFBD 于点 E，交 BC 于点 F，点 G 是
4、AC 的中点，若 BC10， AB7，则 EG 的长为（ ） A1.5 B2 C2.5 D3.5 解：BD 平分ABC，AFBD， ABEFBE，AEBFEB90 ， BEBE， ABEFBE（ASA）， BFAB7，AEEF， BC10， CF3， 点 G 是 AC 的中点， AGCG， EGCF ， 故选：A 7如图，在 ABC 中，BC20，D、E 分别是 AB、AC 的中点，F 是 DE 上一点，DF4，连接 AF，CF， 若AFC90 ，则 AC 的长度为（ ） A10 B12 C13 D20 解：D、E 分别是 AB、AC 的中点， DE 是 ABC 的中位线， DEBC10， E
5、FDEDF1046， 在 Rt AFC 中，AEEC， AC2EF12， 故选：B 8如图，在 ABC 中，AB6，BC8，D、E、F 分别为 AC、BC 和 AB 边上的中点，则四边形 BEDF 的 周长是（ ） A10 B12 C14 D16 解：D、E 分别为 AC、BC 边上的中点， BEBC4，DE 是 ACB 的中位线， DEAB3， D、F 分别为 AC、AB 边上的中点， BFAB3，DF 是 ABC 的中位线， DFBC4， 四边形 BEDF 的周长BE+DE+DF+BF4+3+4+314， 故选：C 9如图，在 ABC 中，点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点，点 F
6、是线段 DE 上的一点连接 AF，BF，AFB 90 ，且 AB8，BC14，则 EF 的长是（ ） A2 B3 C4 D5 解：点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点， DE 是 ABC 的中位线， BC14， DEBC7， AFB90 ，AB8， DFAB4， EFDEDF743， 故选：B 10如图，点 P 是 ABC 内一点，APBP，BP12，CP15，点 D，E，F，G 分别是 AP，BP，BC，AC 的中点，若四边形 DEFG 的周长为 28，则 AP 长为（ ） A13 B9 C5 D4 解：点 D，E，F，G 分别是 AP，BP，BC，AC 的中点， DGEFPC15，DE
7、FG AB， 四边形 DEFG 的周长为 28， DEFG （28） ， AB13， APBP，BP12， AP 5， 故选：C 11如图，四边形 ABCD 中ACBC，ADBC，BD 为ABC 的平分线，BC3，AC4E，F 分别是 BD，AC 的中点，则 EF 的长为（ ） A1 B1.5 C2 D2.5 解：ACBC， ACB90 ， BC3，AC4， AB5， ADBC， ADBDBC， BD 为ABC 的平分线， ABDCBD， ABDADB， ABAD5， 连接 BF 并延长交 AD 于 G， ADBC， GACBCA， F 是 AC 的中点， AFCF， AFGCFB， AFGC
8、FB（AAS）， BFFG，AGBC3， DG532， E 是 BD 的中点， EFDG1 故选：A 12如图，在 ABC 中，A90 ，D 是 AB 的中点，过点 D 作 BC 的平行线交 AC 于点 E，作 BC 的垂线 交 BC 于点 F，若 ABCE，且 DFE 的面积为 1，则 BC 的长为（ ） A2 B5 C4 D10 解：过 A 作 AHBC 于 H， D 是 AB 的中点， ADBD， DEBC， AECE， DEBC， DFBC， DFAH，DFDE， BFHF， DFAH， DFE 的面积为 1， DEDF1， DEDF2， BCAH2DE2DF4 28， ABAC8，
9、ABCE， ABAECEAC， AB2AB8， AB2（负值舍去）， AC4， BC 2 故选：A 二填空题 13如图，已知线段 AB，将线段 AB 沿某个方向平移 4 个单位得到线段 DC，其中点 D 是 A 的对应点，且 点 D 不在直线 AB 上连接 AC，BD 交于点 O，若 E 是 CD 中点，则 OE 的长度值是 解：如图，连接 AD，BC， 根据平移的性质知：AD4，ABCD 且 ABCD，则四边形 ABCD 是平行四边形， O 点是 AC 的中点， E 是 CD 中点， OE 是 ACD 的中位线， OEAD2 故答案是：2 14如图，在 ABC 中，ACB90 ，M、N 分别
10、是 AB、AC 的中点，延长 BC 至点 D，使 CDBD，连 接 DM、DN、MN若 AB4，则 DN 解：连接 CM， ACB90 ，M 是 AB 的中点， CMAB2， M、N 分别是 AB、AC 的中点， MNBC，MNBC， CDBD， MNCD，又 MNBC， 四边形 NDCM 是平行四边形， DNCM2， 故答案为：2 15如图，在 Rt ABC 中，ACB90 ，D、E、F 分别为 AB、AC、AD 的中点若 AB6，则 EF 的长度 为 解：在 Rt ABC 中，D 为 AB 的中点， CDAB3， E、F 分别为 AC、AD 的中点， EF 是 ACD 的中位线， EFCD
11、 ， 故答案为： 16如图，在 ABC 中，AB13，BC12，D，E 分别是 AB，BC 的中点，连接 DE，CD，如果 DE2.5， 那么 ACD 的面积是 解：D，E 分别是 AB，BC 的中点， DE 是 ABC 的中位线， AC2DE5， AC2+BC252+122169，AB2169， AC2+BC2AB2， ACB90 ， ABC 的面积 5 1230， D 是 AB 的中点， ACD 的面积 ABC 的面积 15 故答案为：15 17如图，在 Rt ABC 中，A90 ，ABAC，BC20，DE 是 ABC 的中位线 点 M 是边 BC 中点，则 DM ； 探究：点 M 是边
12、BC 上一点，BM3，点 N 是线段 MC 上的一个动点，连接 DN、ME，DN 与 ME 相 交于点 O 若 OMN 是直角三角形，则 DO 的长是 解：（1）A90 ，ABAC，BC20， 2AC2BC2202， AC10， D，M 分别是 AB，BC 的中点， DMAC5 ； （2）如图作 EFBC 于 F，DNBC 于 N交 EM 于点 O，此时MNO90 ， DE 是 ABC 中位线， DEBC，DEBC10， DNEF， 四边形 DEFN是平行四边形， EFN90 ， 四边形 DEFN是矩形， EFDN，DEFN10， ABAC，A90 ， BC45 ， BNDNEFFC5， ，
13、， DO ； 当MON90 时， DOEEFM， ， EM13， DO ， 故答案为：或 三解答题 18已知： ABC 中，D 是 BC 上的一点，E、F、G、H 分别是 BD、BC、AC、AD 的中点， 求证：EG、HF 互相平分 证明：连接 EH，GH，GF， E、F、G、H 分别是 BD、BC、AC、AD 的中点， ABEHGF，GHBCBF 四边形 EHGF 为平行四边形 GE，HF 分别为其对角线， EG、HF 互相平分 19如图，点 A（0，8），点 B（4，0），连接 AB，点 M，N 分别是 OA，AB 的中点，在射线 MN 上有一 动点 P，若 ABP 是直角三角形，求点 P
14、 的坐标 解：A（0，8）B（4，0）， AB4， 点 M，N 分别是 OA，OB 的中点， MNAB，MNOB2，OM4， 点 P 的纵坐标为 4， ABP 是直角三角形， APB90 或ABP90 ， 当APB90 时，则 PNAB2， PM2+2， P（2+2，4）， 当ABP90 时，过点 P 作 PCx 轴于 C，则四边形 MOCP 是矩形， 过 P 作 PCx 轴于 C， 则 ABOBPC， 1， BPAB4， PCOB4， BC8， PMOC4+812， P（12，4）， 综上可得点 P 的坐标为（2+2，4）或（12，4） 20如图，在 ABC 中，BCAC，点 D 在 BC
15、上，且 DCAC，ACB 的平分线 CF 交 AD 于点 F，点 E 是 AB 的中点，连结 EF （1）求证：EFBC； （2）若四边形 BDFE 的面积为 3，求 AEF 的面积 解：（1）DCAC，CF 平行ACD， F 是 AD 的中点， 又E 是 AB 的中点， EF 是 ABD 的中位线， EFBC； （2）EF 是 ABD 的中位线， EFBC，EF：BD1：2， 如图，连接 DE，则 S DEF：S DEB1：2， 又四边形 BDFE 的面积为 3， S DEF1， 又F 是 AD 的中点， S DEFS AEF1 21如图，在 ABC 中，AD 是高，E、F 分别是 AB、A
16、C 的中点 （1）AB6，AC4，求四边形 AEDF 的周长； （2）EF 与 AD 有怎样的位置关系？证明你的结论 解：（1）AD 是高， ACBADC90 ， 在 Rt ADB 中，E 是 AB 的中点， DEAB3，AE AB3， 同理可得，AFDFAC2， 四边形 AEDF 的周长3+3+2+210； （2）EF 垂直平分 AD， 理由如下：EAED，FAFD， EF 是 AD 的垂直平分线 22如图， ABC 中，D，E，F 分别是 AB，AC，BC 的中点 （1）若 EF5cm，则 AB cm；若 BC9cm，则 DE cm； （2）中线 AF 与中位线 DE 有什么特殊的关系？证
17、明你的猜想 解：（1）在 ABC 中，点 E、F 分别是 AC、BC 的中点， EF 是 ABC 的中位线， EFAB 且 EFAB 又 EF5cm， AB10cm 同理，DEBC4.5cm； 故答案是：10、4.5 （2）互相平分， 理由：如图，连接 DF， ADEF，ADEF， 四边形 ADFE 为平行四边形， 中线 AF 与 DE 的关系是互相平分 23在 ABC 中，D、E 分别是 AB，AC 的中点，作B 的角平分线 （1）如图 1，若B 的平分线恰好经过点 E，猜想 ABC 是怎样的特殊三角形，并说明理由 （2）如图 2，若B 的平分线交线段 DE 于点 F，已知 AB8，BC10，求 EF 的长度 （3）若B 的平分线交直线 DE 于点 F，直接写出 AB、BC、EF 三者之间的数量关系 解：（1）D、E 分别是 AB，AC 的中点， DEBC，DEBC， DEBEBC， BE 是B 的角平分线， DBEEBC， DEBDBE， DEDBAB， ABBC， ABC 是等腰三角形； （2）由（1）得，DEBC5，DFAB4， EFDEDF1； （3）当点 F 在线段 DE 上时，由（2）得，EF（BCAB）； 当点 F 在线段 DE 的延长线上时，EF（ABBC）