1、专题专题 10 10 垂径定理实际应用垂径定理实际应用 一选择题 1一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽 0.8 米，最深处水深 0.2 米，则 此输水管道的直径是（ ） A0.5 B1 C2 D4 解：设半径为 r，过 O 作 OEAB 交 AB 于点 D，连接 OA、OB， 则 ADAB 0.80.4 米， 设 OAr，则 ODrDEr0.2， 在 Rt OAD 中， OA2AD2+OD2，即 r20.42+（r0.2）2，解得 r0.5 米， 故此输水管道的直径2r2 0.51 米 故选：B 2如图，圆弧形桥拱的跨度 AB12 米，拱高 CD4 米，则拱桥的半径
2、为（ ） A6.5 米 B9 米 C13 米 D15 米 解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在 CD 所在的直线上，设圆心是 O 连接 OA根据垂径定理，得 AD6 设圆的半径是 r，根据勾股定理，得 r236+（r4）2，解得 r6.5 故选：A 3将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已 知水杯内径（图中小圆的直径）是 8cm，水的最大深度是 2cm，则杯底有水部分的面积是（ ） A（4）cm 2 B（8）cm 2 C（4）cm 2 D（2）cm 2 解：作 ODAB 于 C，交小O 于 D，则 CD2，ACBC， OAOD4，CD2，
3、OC2， 在 RT AOC 中，sinOAC， OAC30 ， AOB120 ， AC 2， AB4， 杯底有水部分的面积S扇形S AOB 2（4）cm2 故选：A 4如图所示，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦 AB 的长，就计算 出了圆环的面积，若测量得 AB 的长为 20 米，则圆环的面积为（ ） A10 平方米 B10 平方米 C100 平方米 D100 平方米 解：过 O 作 OCAB 于 C，连 OA，如图， ACBC，而 AB20， AC10， AB 与小圆相切， OC 为小圆的半径， 圆环的面积OA2OC2 （OA2OC2） AC2 100（平方米
4、） 故选：D 5九章算术是一本中国乃至东方世界最伟大的一本综合性数学专著，标志着中国古代数学形成了完整 的体系“圆材埋壁”是九章算术中的一个问题“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸， 锯道长一尺，问径几何？”朱老师根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为 1 寸，锯道 AB1 尺（1 尺10 寸），则该圆材的直径为（ ） A26 寸 B25 寸 C13 寸 D寸 解：设圆心为 O，过 O 作 OCAB 于 C，交O 于 D，连接 OA， ACAB 105， 设O 的半径为 r 寸， 在 Rt ACO 中，OCr1，OAr， 则有 r252+（r1）2， 解得 r13， O
5、的直径为 26 寸， 故选：A 6如图，MN 所在的直线垂直平分线段 AB，利用这样的工具，可以找到圆形工件的圆心如果使用此工具 找到圆心，最少使用次数为（ ） A1 B2 C3 D4 解：如图所示， 根据垂径定理的推论，两个直径的交点即为圆心 故选：B 7为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球 的直径为（ ） A12cm B10cm C8cm D6cm 解：连接 AB、CD 交于点 D， 由题意得，OCAB， 则 ADDBAB4， 设圆的半径为 Rcm，则 OD（R2）cm， 在 Rt AOD 中，OA2AD2+OD2，即 R242+（R
6、2）2， 解得，R5， 则该铁球的直径为 10cm， 故选：B 8我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”除了圆以外， 还有一些几何图形也是“等宽曲线”， 如勒洛三角形 （如图 1） ， 它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心， 以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形图 2 是等宽的勒洛三角形和 圆形滚木的截面图 有如下四个结论： 勒洛三角形是中心对称图形； 图 1 中，点 A 到上任意一点的距离都相等； 图 2 中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等； 使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，会发生上下抖动 上述结论中，所有正确结论的序
7、号是（ ） A B C D 解：勒洛三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误； 图 1 中，点 A 到上任意一点的距离都相等，正确； 、设等边三角形 DEF 的边长为 a， 勒洛三角形的周长3a，圆的周长a， 勒洛三角形的周长与圆的周长相等，故正确 夹在平行线之间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变，使用截面是勒洛三角形的滚 木来搬运东西，不会发生上下抖动，故错误， 故选：B 9如图，是一个单心圆隧道的截面，若路面 AB 宽为 20 米，净高 CD 为 14 米，则此隧道单心圆的半径 OA 是（ ） A10 B C D14 解：设圆的半径是 R ODAB， ADAB10 在直角
8、三角形 AOD 中，根据勾股定理得 R2（14R）2+100， 解得 R 故选：B 10如图 1，把圆形井盖卡在角尺角的两边互相垂直，一边有刻度）之间，即圆与两条直角边相切，现将 角尺向右平移 10cm， 如图 2， OA 边与圆的两个交点对应 CD 的长为 40cm， 则可知井盖的直径是 （ ） A25cm B30cm C50cm D60cm 解：作辅助线如下所示： 设井盖的直径为 2xcm， 则 BE10cm，BD（x10）cm，BC20cm，CDxcm， 在 Rt BCD 中，根据勾股定理得：CD2BC2+BD2， 代入得：x2202+（x10）2， 解得：x25， 则井盖的直径是 50
9、cm 故选：C 二填空题 11如图为一个半径为 3m 的圆形会议室区域，其中放有四个宽为 1m 的长方形会议桌，这些会议桌均有两 个顶点在圆形边上，另两个顶点紧靠相邻桌子的顶点，则每个会议桌的长为 m 解：设圆心是 O，连接 OA，OB，作 OC 于 BC 垂直 设长方形的长是 2xm， 在直角 OAD 中，AOD45 ，ADxm， 则 ODADxm， 在直角 OBC 中，OC， OCODCD1， x1， 解得：x（负值舍去）， 则 2x1+ 故答案是：1+ 12一块圆形宣传标志牌如图所示，点 A，B，C 在O 上，CD 垂直平分 AB 于点 D，现测得 AB8dm， DC2dm，则圆形标志牌
10、的半径为 解：连接 OA，OD， 点 A，B，C 在O 上，CD 垂直平分 AB 于点 DAB8dm，DC2dm， AD4dm， 设圆形标志牌的半径为 r，可得：r242+（r2）2， 解得：r5， 故答案为：5dm 13如图，某下水道的横截面是圆形的，水面 CD 的宽度为 2 米，F 是线段 CD 的中点，EF 经过圆心 O 交 O 于点 E，EF3 米，则O 直径的长是 米 解：如图，连接 OC， F 是弦 CD 的中点，EF 过圆心 O， EFCD CFFD CD2， CF1， 设 OCx，则 OF3x， 在 Rt COF 中，根据勾股定理，得 12+（3x）2x2 解得 x， O 的直
11、径为 故答案为： 14如图，在残破的圆形工件上量得一条弦 BC16，的中点 D 到 BC 的距离 ED4，则这个圆形工件的 半径是 解：DEBC，DE 平分弧 BC， 圆心在直线 DE 上， 设圆心为 O，如图，连结 OB，设圆的半径为 R，则 OERDER4， OEBC， BECEBC 168， 在 Rt OEB 中，OB2BE2+OE2，即 R282+（R4）2，解得 R10， 即这个圆形工件的半径是 10 故答案为：10 15现在很多家庭都使用折叠型西餐桌来节省空间，两边翻开后成圆形桌面（如图 1）餐桌两边 AB 和 CD 平行且相等（如图 2），小华用皮带尺量出 AC2 米，AB1 米
12、，那么桌面翻成圆桌后，桌子面积会增 加 平方米（结果保留 ） 解：将圆形补全，设圆心为 O，连接 DO，过点 O 作 OEAD 于点 E， 由题意可得出：DABABC90 ， AC2 米，AB1 米， ACB30 ， 餐桌两边 AB 和 CD 平行且相等， C130 ， EOAOm， AE ， AD ， 1D30 ， AOD120 ， S弓形AD面积 S扇形AODS AOD ， ， 桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加（）平方米 故答案为： 16小帅家的新房子刚装修完，便遇到罕见的大雨，于是他向爸爸提议给窗户安上遮雨罩如图 1 所示的 是他了解的一款雨罩它的侧面如图 2 所示，其中顶部圆弧 AB 的
13、圆心 O 在整直边缘 D 上，另一条圆弧 BC 的圆心 O在水平边缘 DC 的廷长线上，其圆心角为 90 ，BEAD 于点 E，则根据所标示的尺寸（单 位：c）可求出弧 AB 所在圆的半径 AO 的长度为 cm 解：连接 BO1，易知 BE60cm，AE50cm 设弧 AB 的半径为 Rcm，则 O1BRcm，O1E（R50）cm 在 Rt O1BE 中，由勾股定理得：O1B2BE2+O1E2， 即 R2602+（R50）2， 解得：R61 故答案为：61 三解答题 17如图，是一张盾构隧道断面结构图隧道内部为以 O 为圆心，AB 为直径的圆隧道内部共分为三层， 上层为排烟道， 中间为行车隧道
14、， 下层为服务层 点 A 到顶棚的距离为 1.6m， 顶棚到路面的距离是 6.4m， 点 B 到路面的距离为 4.0m请求出路面 CD 的宽度（精确到 0.1m） 解：如图，连接 OC，AB 交 CD 于 E， 由题意知：AB1.6+6.4+412， 所以 OCOB6， OEOBBE642， 由题意可知：ABCD， AB 过 O， CD2CE， 在 Rt OCE 中，由勾股定理得：CE4， CD2CE811.3m， 所以路面 CD 的宽度为 11.3m 18一辆装满货物的卡车，高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过 厂门（厂门上方为半圆形拱门）？说明
15、你的理由 解：这辆卡车能通过厂门理由如下： 如图 M，N 为卡车的宽度，过 M，N 作 AB 的垂线交半圆于 C，D，过 O 作 OECD，E 为垂足， 则 CDMN1.6m，AB2m， 由作法得，CEDE0.8m， 又OCOA1m， 在 Rt OCE 中，OE0.6（m）， CM2.3+0.62.9m2.5m 所以这辆卡车能通过厂门 19木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径 r用角尺的较短边紧靠O，角尺的顶点 B（B90 ）， 并使较长边与O 相切于点 C （1）如图，ABr，较短边 AB8cm，读得 BC 长为 12cm，则该圆的半径 r 为多少？ （2） 如果 AB8cm， 假设角尺的
16、边 BC 足够长， 若读得 BC 长为 acm， 则用含 a 的代数式表示 r 为 解：（1）如图 1，连接 OC、OA，作 ADOC，垂足为 D则 ODr8 在 Rt AOD 中，r2（r8）2+122 解得：r13； 答：该圆的半径 r 为 13； （2）如图 2，易知，0r8 时，ra； 当 r8 时， 如图 1：连接 OC，连接 OA，过点 A 作 ADOC 于点 D， BC 与O 相切于点 C， OCBC， 则四边形 ABCD 是矩形，即 ADBC，CDAB 在 Rt AOD 中，OA2OD2+AD2， 即：r2（r8）2+a2， 整理得：ra2+4 故答案为：0r8 时，ra；当
17、r8 时，ra 2+4 20图 1 是某奢侈品牌的香水瓶从正面看上去（如图 2），它可以近似看作O 割去两个弓形后余下的部 分与矩形 ABCD 组合而成的图形（点 B、C 在O 上），其中 BCEF；从侧面看，它是扁平的，厚度为 1.3cm （1）已知O 的半径为 2.6cm，BC2cm，AB3.02cm，EF3.12cm，求香水瓶的高度 h （2）用一张长 22cm、宽 19cm 的矩形硬纸板按照如图 3 进行裁剪，将实线部分折叠制作成一个底面积为 SMNPQ9cm2的有盖盒子（接缝处忽略不计）请你计算这个盒子的高度，并且判断上述香水瓶能否装入 这个盒子里 解：（1）作 OGBC 于 G，延长 GO 交 EF 于 H，连接 BO、EO EFBC， OHEF， BGBC，EH EF GO2.4；OH 2.08， h2.4+2.08+3.027.5cm （2）设盒子的高为 xcm 由题意：（222x）9 解得 x8 或 12.5（舍弃）， MQ6，MN1.5 2.6 25.26；1.31.5；7.58， 能装入盒子