1、专题专题 09 09 圆中的长度与面积、动点问题圆中的长度与面积、动点问题 1定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个 内角的遥望角 （1）如图 1，E 是 ABC 中A 的遥望角，若A，请用含 的代数式表示E （2）如图 2，四边形 ABCD 内接于O，四边形 ABCD 的外角平分线 DF 交O 于点 F，连结 BF 并延长交 CD 的延长线于点 E求证：BEC 是 ABC 中BAC 的遥望角 （3）如图 3，在（2）的条件下，连结 AE，AF，若 AC 是O 的直径 求AED 的度数； 若 AB8，CD5，求 DEF 的面积 解：（1）BE
2、 平分ABC，CE 平分ACD， EECDEBD（ACDABC）， （2）如图 1，延长 BC 到点 T， 四边形 FBCD 内接于O， FDC+FBC180 ， 又FDE+FDC180 ， FDEFBC， DF 平分ADE， ADFFDE， ADFABF， ABFFBC， BE 是ABC 的平分线， ， ACDBFD， BFD+BCD180 ，DCT+BCD180 ， DCTBFD， ACDDCT， CE 是 ABC 的外角平分线， BEC 是 ABC 中BAC 的遥望角 （3）如图 2，连接 CF， BEC 是 ABC 中BAC 的遥望角， BAC2BEC， BFCBAC， BFC2BEC
3、， BFCBEC+FCE， BECFCE， FCEFAD， BECFAD， 又FDEFDA，FDFD， FDEFDA（AAS）， DEDA， AEDDAE， AC 是O 的直径， ADC90 ， AED+DAE90 ， AEDDAE45 ， 如图 3，过点 A 作 AGBE 于点 G，过点 F 作 FMCE 于点 M， AC 是O 的直径， ABC90 ， BE 平分ABC， FACEBCABC45 ， AED45 ， AEDFAC， FEDFAD， AEDFEDFACFAD， AEGCAD， EGAADC90 ， EGAADC， ， 在 Rt ABG 中，AB8，ABG45 ， AG ， 在
4、 Rt ADE 中，AEAD， ， ， 在 Rt ADC 中，AD2+DC2AC2， 设 AD4x，AC5x，则有（4x）2+52（5x）2， x ， EDAD ， CECD+DE ， BECFCE， FCFE， FMCE， EMCE ， DMDEEM， FDM45 ， FMDM ， S DEFDEFM 2如图，在 Rt ABC 中，ACB90 ，O 是线段 BC 上一点，以 O 为圆心，OC 为半径作O，AB 与O 相切于点 F，直线 AO 交O 于点 E，D （1）求证：AO 是 CAB 的角平分线； （2）若 tanD，求的值； （3）如图 2，在（2）条件下，连接 CF 交 AD 于点
5、 G，O 的半径为 3，求 CF 的长 （1）证明：连接 OF， AB 与O 相切于点 F， OFAB， ACB90 ，OCOF， OAFOAC， 即 AO 是 ABC 的角平分线； （2）如图 2，连接 CE， ED 是O 的直径， ECD90 ， ECO+OCD90 ， ACB90 ， ACE+ECO90 ， ACEOCD， OCOD， OCDODC， ACEODC， CAECAE， ACEADC， ， tanD ， ， ； （3）由（2）可知：， 设 AEx，AC2x， ACEADC， ， AC2AEAD， （2x）2x（x+6）， 解得：x2 或 x0（不合题意，舍去）， AE2，AC
6、4， AOAE+OE2+35， 如图 3，连接 CF 交 AD 于点 G， AC，AF 是O 的切线， ACAF，CAOOAF， CFAO， ACOCGO90 ， COGAOC， CGOACO， ， OC2OGOA， OG ， CG ， CF2CG 3如图，O 是 ABC 的外接圆，BC 为O 的直径，BAC 的平分线交O 于点 D，连接 BD、CD，过 点 D 作 BC 的平行线，与 AB 的延长线相交于点 P （1）求证：PD 是O 的切线； （2）求证： PBDDCA； （3）当 AB2，AC4 时，直接写出线段 PB 的长 解：（1）连接 OD， BC 是O 的直径， BAC90 AD
7、 平分BAC， DACBAC45 DOC2DAC， DOC2 45 90 ， PDBC， DOCPDO90 ODPD， OD 为O 的半径， PD 是O 的切线； （2）PDBC， PABC， ABCADC， PADC， PBD+ABD180 ， ACD+ABD180 ， PBDACD， PBDDCA； （3）ABC 为直角三角形， BC2AB2+AC222+4220， OD 垂直平分 BC， DBDC， BC 为O 的直径， BDC90 ， 在 Rt DBC 中，DB2+DC2BC2，即 2DC2BC220， DCDB ， PBDDCA， ， 则 PB 4如图，已知 BCAC，圆心 O 在
8、AC 上，点 M 与点 C 分别是 AC 与O 的交点，点 D 是 MB 与O 的交 点，点 P 是 AD 延长线与 BC 的交点，且 ADAOAMAP （1）连接 OP，证明： ADMAPO； （2）证明：PD 是O 的切线； （3）若 AD12，AMMC，求 PB 和 DM 的值 （1）证明：连接 OD、OP、CD ADAOAMAP， ，AA， ADMAPO （2）证明：ADMAPO， ADMAPO， MDPO， DOPMDO，POCDMO， ODOM， DMOMDO， DOPPOC， OPOP，ODOC， ODPOCP（SAS）， ODPOCP， BCAC， OCP90 ， ODAP，
9、PD 是O 的切线 （3）解：连接 CD由（1）可知：PCPD， AMMC， AM2MO2R， 在 Rt AOD 中，OD2+AD2OA2， R2+1229R2， R3， OD3，MC6， ， ， AP18， DPAPAD18126， O 是 MC 的中点， ， 点 P 是 BC 的中点， PBCPDP6， MC 是O 的直径， BDCCDM90 ， 在 Rt BCM 中，BC2DP12，MC6， BM 6， BCMCDM， ，即， DM2 5 如图， 点 P 在 y 轴的正半轴上， P 交 x 轴于 B、 C 两点， 交 y 轴于点 A， 以 AC 为直角边作等腰 Rt ACD， 连接 BD
10、 分别交 y 轴和 AC 于 E、F 两点，连接 AB （1）求证：ABAD； （2）若 BF4，DF6，求线段 CD 的长； （3）当P 的大小发生变化而其他条件不变时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值； 若发生变化，请说明理由 （1）证明：OABC，且 OA 过圆心点 P， OBOC， 在 AOB 和 AOC 中， AOBAOC（SAS）， ABAC， 以 AC 为直角边作等腰 Rt ACD， ADAC， ABAD； （2）如图 1，过点 A 作 AMBD 于 M， 由（1）知，ABAD， DMBD， BF4，DF6， BD10， DM5， AMD90 DAF，ADMFDA， A
11、DMFDA， ， ， AD ， 在等腰直角三角形 ADC 中，CDAD2； （3）的值是不发生变化， 理由：如图 2，过点 D 作 DHy 轴于 H，作 DQx 轴于 Q， AHD90 COA， ADH+DAH90 ， CAD90 ， CAO+DAH90 ， ADHCAO， ADAC， ADHACO（AAS）， DHAO，AHOC， OHDQOHOQD90 ， 四边形 OQDH 是矩形，DHOQ，DQOH， 又HOAH+AOOC+DHOB+DHOB+OQBQ， DQBQ， DBQ 为等腰直角三角形， DBQ45 ， DEHBEO45 ， sinDEH ， ， ， 6如图，已知 AC，BD 为O
12、 的两条直径，连接 AB，BC，OEAB 于点 E，点 F 是半径 OC 的中点，连 接 EF （1）设O 的半径为 1，若BAC30 ，求线段 EF 的长 （2）连接 BF，DF，设 OB 与 EF 交于点 P， 求证：PEPF 若 DFEF，求BAC 的度数 （1）解：OEAB，BAC30 ，OA1， AOE60 ，OEOA，AEEBOE， AC 是直径， ABC90 ， C60 ， OCOB， OCB 是等边三角形， OFFC， BFAC， AFB90 ， AEEB， EFAB （2）证明：过点 F 作 FGAB 于 G，交 OB 于 H，连接 EH FGAABC90 ， FGBC， O
13、FHOCB， ，同理， FHOE， OEABFHAB， OEFH， 四边形 OEHF 是平行四边形， PEPF OEFGBC， 1， EGGB， EFFB， DFEF， DFBF， DOOB， FOBD， AOB90 ， OAOB， AOB 是等腰直角三角形， BAC45 7如图，AB 是半圆 O 的直径，AC 是半圆内一条弦，点 D 是的中点，DB 交 AC 于点 G，过点 A 作半圆 的切线与 BD 的延长线交于点 M，连接 AD点 E 是 AB 上的一动点，DE 与 AC 相交于点 F （1）求证：MDGD； （2）填空：当DEA 时，AFFG； 若ABD30 ，当DEA 时，四边形 D
14、EBC 是菱形 证明：（1）如图，连接 BC D 是的中点， DACABD， MA 是半圆 O 的切线， MAAB， AB 是半圆 O 的直径， ADDB， ADM90 ， M+MADMAD+BAD90 ， MBADDAC+BAGABD+BAGAGD， AGAM， ADMG， MDGD； （2）若 AFFG， ADG90 ， AFFGDF， DAFADF， ADFABD， ADF+EDB90 ， ABD+EDB90 ， DEA90 ， 故答案为：90 ； 若四边形 DEBC 是菱形， DBADBC30 ，DEBC， AEDABC30 +30 60 ， 故答案为：60 8如图， ABC 内接于O
15、，AD 平分BAC 交 BC 边于点 E，交O 于点 D，过点 A 作 AFBC 于点 F， 设O 的半径为 R，AFh （1）过点 D 作直线 MNBC，求证：MN 是O 的切线； （2）求证：ABAC2Rh； （3）设BAC2，求的值（用含 的代数式表示） 解：（1）如图 1，连接 OD， AD 平分BAC， BADCAD， ， 又OD 是半径， ODBC， MNBC， ODMN， MN 是O 的切线； （2）如图 2，连接 AO 并延长交O 于 H，连接 BH， AH 是直径， ABH90 AFC， 又AHBACF， ACFAHB， ， ABACAFAH2Rh； （3）如图 3，过点 D
16、 作 DQAB 于 Q，DPAC，交 AC 延长线于 P，连接 CD， BAC2，AD 平分BAC， BADCAD， ， BDCD， BADCAD，DQAB，DPAC， DQDP， Rt DQBRt DPC（HL）， BQCP， DQDP，ADAD， Rt DQARt DPA（HL）， AQAP， AB+ACAQ+BQ+AC2AQ， cosBAD ， AD ， 2cos 9如图示，AB 是O 的直径，点 F 是半圆上的一动点（F 不与 A，B 重合），弦 AD 平分BAF，过点 D 作 DEAF 交射线 AF 于点 AF （1）求证：DE 与O 相切： （2）若 AE8，AB10，求 DE 长
17、； （3）若 AB10，AF 长记为 x，EF 长记为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并求出 AFEF 的最大值 （1）证明：连接 OD，如图 1 所示： ODOA， OADODA， AD 平分BAF， OADFAD， ODAFAD， ODAF， DEAF， DEOD， 又OD 是O 的半径， DE 与O 相切： （2）解：连接 BD，如图 2 所示： AB 是O 的直径， ADB90 ， DEAF， AED90 ADB， 又EADDAB， AEDADB， AD：ABAE：AD， AD2AB AE10 880， 在 Rt AED 中，由勾股定理得：DE4； （3）连接 DF，过点 D
18、作 DGAB 于 G，如图 3 所示： 在 AED 和 AGD 中， AEDAGD（AAS）， AEAG，DEDG， FADDAB， ， DFDB， 在 Rt DEF 和 Rt DGB 中， Rt DEFRt DGB（HL）， EFBG， ABAG+BGAF+EFAF+EF+EFAF+2EF， 即：x+2y10， yx+5， AFEFx2+5x（x5）2+ ， AFEF 有最大值，当 x5 时，AFEF 的最大值为 10如图，四边形 ABCD 内接于O，对角线 AC、BD 相交于点 F，AC 是O 的直径，延长 CB 到点 E， 连接 AE，BAEADB，ANBD，CMBD，垂足分别为点 N、
19、M （1）证明：AE 是O 的切线； （2）试探究 DM 与 BN 的数量关系并证明； （3）若 BDBC，MN2DM，当 AE时，求 OF 的长 （1）证明：AC 是O 的直径， ADC90 ， ADB+BDC90 ， BACBDC，BAEADB， BAE+BAC90 ，即CAE90 ， AEAC， AE 是O 的切线； （2）解：DMBN，理由如下： ANBD，CMBD，ADC90 ， ANDANBDMCADC90 ， ADN+MDCMCD+MDC90 ， ADNMCD， DMCAND， ， ABNACD，ANBADC90 ， ADCANB， ，即， ， DMBN； （3）解：由（2）知 DMBN，则 BMDN， 设 DMBNa， MN2DM，BDBC， MN2a，BMDN3a，BDBC4a， BMC90 ， CM a， AC 是O 的直径，ANBD， ABCAND90 ， ADBACB， ADNACB， ， 设 AN3b，AB4b（b0）， ANBABC90 ，BNa， AN2+BN2AB2，即（3b）2+a2（4b）2， 解得：ba， ANa，AB a， BC4a， AC a， cosACBcosADBcosEAB， AE ， ABAE cosEABa， a ， AC ， OCAC ， ANFCMF90 ，AFMMFC， ANFCMF， ， CFAC ， OFCFOC