1、专题专题 06 06 圆心角、弧、弦的关系圆心角、弧、弦的关系 一选择题 1 如图， AB 是O 的弦， 半径 OCAB， D 为圆周上一点， 若的度数为 50 ， 则ADC 的度数为 （ ） A20 B25 C30 D50 解：的度数为 50 ， BOC50 ， 半径 OCAB， ， ADCBOC25 故选：B 2如图所示，在O 中，C、D 分别是 OA、OB 的中点，MCAB、NDAB，M、N 在O 上下列结论： MCND，四边形 MCDN 是正方形，MNAB，其中正确的结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解：连接 OM、ON，如图， MCAB、NDAB， OCMODN9
2、0 ， C、D 分别是 OA、OB 的中点，OAOB， OCODOMON， OMCOND30 ， COMDON60 ， MON60 ， ，所以正确； OMN 为等边三角形， MNCD，OMN60 MNCD， 四边形 CDNM 为矩形， MCND，所以正确；错误； MNCDOA+OBAB， 正确 故选：C 3如图，AB，CD 是O 的直径，若AOE32 ，则COE 的度数是（ ） A32 B60 C68 D64 解：， BODAOE32 ， BODAOC， AOC32 COE32 +32 64 故选：D 4如图，在O 中，若点 C 是弧 AB 的中点，A50 ，则BOC 等于（ ） A50 B4
3、5 C40 D35 解：A50 ，OAOB， OBAOAB50 ， AOB180 50 50 80 ， 点 C 是弧 AB 的中点， BOCAOB40 ， 故选：C 5下列说法正确的是（ ） A相等的圆心角所对的弧相等 B90 的角所对的弦是直径 C等弧所对的弦相等 D圆的切线垂直于半径 解：A，要强调在同圆或等园，相等的圆心角所对的弧才相等； B，90 的圆周角所对的弦是直径，要强调这个 90 的角是圆周角； C，等弧所对的弦相等，这个命题是正确的； D，圆的切线垂直于过切点的半径，不是垂直于所有的半径 故选：C 6如图，A、B、C、D 是O 上的四个点，AOB58 ，则BDC 的度数是（
4、） A58 B42 C32 D29 解：连接 OC， ， BOCAOB58 ， 由圆周角定理得，BDCBOC29 ， 故选：D 7P 是O 外一点，PA、PB 分别交O 于 C、D 两点，已知、的度数别为 88 、32 ，则P 的度数 为（ ） A26 B28 C30 D32 解：和所对的圆心角分别为 88 和 32 ， A 32 16 ，ADB 88 44 ， P+AADB， PADBA44 16 28 故选：B 8下列说法正确的是（ ） A同弧或等弧所对的圆心角相等 B相等的圆周角所对的弧相等 C弧长相等的弧一定是等弧 D平分弦的直径必垂直于弦 解：A、同弧或等弧所对的圆心角相等，故本选项
5、正确； B、如图 EBFCAD，但是弧 EF弧 CD，故本选项错误； C、在同圆或等圆中，弧长相等的弧是等弧，故本选项错误； D、平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，如图，弦 AB 和直径 CD 就不垂直， 故本选项错误； 故选：A 9下列说法正确的是（ ） A相等的圆心角所对的弧相等 B在同圆中，等弧所对的圆心角相等 C相等的弦所对的圆心到弦的距离相等 D圆心到弦的距离相等，则弦相等 解：A，C，D 中没有强调在同圆和等圆中，故错误，只有 B 正确， 故选：B 10如图，已知 AB 是O 的直径，BC 是弦，ABC30 ，过圆心 O 作 ODBC 交弧 BC 于点 D，连接 DC，则DCB
6、的度数为（ ）度 A30 B45 C50 D60 解：ODBC，ABC30 ， 在直角三角形 OBE 中， BOE60 （直角三角形的两个锐角互余），即DOB60 又DCBDOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）， DCB30 ； 故选：A 11如图所示，AB 是所对的弦，AB 的垂直平分线 CD 分别交，AB 于 C，D，AD 的垂直平分线 EF 分 别交，AB 于 E，F，DB 的垂直平分线 GH 分别交，AB 于 G，H，则下面结论不正确的是（ ） A B CEFGH D 解：A、正确，CD 是 AB 的中垂线，点 C 也是弧 AB 的二等分点， B、正确，在同圆中，两直线平行，则
7、直线所夹的弧相等， C、正确，在同圆中，弦心距相等，则弦相等，弦的一半也相等 D、错误点 F 是 AD 的中点，但点 E 不一定是弧 AC 的二等分点 故选：D 二填空题 12如图，已知点 C 是O 的直径 AB 上的一点，过点 C 作弦 DE，使 CDCO若的度数为 40 ，则 的度数是 解：连接 OD、OE， 的度数为 40 ， AOD40 ， CDCO， ODCAOD40 ， ODOE， ODCE40 ， DOE100 ， AOE60 ， BOE120 ， 的度数是 120 故答案为 120 13 如图， AB 是O 的直径， 点 D、 C 在O 上， DOC90 ， AD2， BC，
8、则O 的半径长为 解：延长 CO 交O 于 R，连 AR，DR，过 D 作 DMAR 于 M， DOC90 ， DOR90 ， DAR180 90 135 ， DAM45 ， DMAM，DA2， DMAM ， MR2，DR， 2OD2DR2， OD 故答案为 14 如图， 多边形 ABDEC 是由边长为 m 的等边 ABC 和正方形 BDEC 组成， O 过 A、 D、 E 三点， 则ACO 解：多边形 ABDEC 是由边长为 m 的等边 ABC 和正方形 BDEC 组成， ACEC，ACEACB+ECB60 +90 150 ， O 过 A，D，E 三点， AOEO， 又 OCOC， ACOE
9、CO（SSS）， ACOECOACE1/2 150 75 ， 故答案为：75 15如图，在等边三角形 ABC 中，AB2，以点 B 为圆心，BC 长为半径作弧 AC，点 D 为弧 AC 的中点， 连接 CD，点 E 为 BC 上一个动点（不与点 B，C 重合），连接 DE，以 DE 所在直线为对称轴作 DEC 的对称图形，点 C 的对称点为点 F，当点 F 落在 ABC 的边上时（不与端点重合），CE 解：如图 1 中，当点 F 蜡烛 BC 上时，连接 BD 此时BED90 ，DBE30 ，BDBABC2， BEABcos30， CEBCBE2 如图 2 中，当点 F 落在 AB 上时，连接
10、DA 由题意：DAFDFAEFDECD75 ， BFE30 ， EBF60 ， FEB90 ，EFECBE， BE+BE2， BE1， ECBCBE2（1）3， 综上所述，满足条件的 CE 的值为 2或 3 三解答题 16如图，AB 是 O 的直径，C 是弧 BD 的中点，CEAB，垂足为 E，BD 交 CE 于点 F （1）求证：CFBF； （2）若 AD6，O 的半径为 5，求 BC 的长 （1）证明：连接 AC，如图 1 所示： C 是弧 BD 的中点， DBCBAC， 在 ABC 中，ACB90 ，CEAB， BCE+ECABAC+ECA90 ， BCEBAC， 又 C 是弧 BD 的
11、中点， DBCCDB， BCEDBC， CFBF （2）解：连接 OC 交 BD 于 G，如图 2 所示： AB 是 O 的直径，AB2OC10， ADB90 ， BD 8， C 是弧 BD 的中点， OCBD，DGBGBD4， OAOB， OG 是 ABD 的中位线， OGAD3， CGOCOG532， 在 Rt BCG 中，由勾股定理得：BC2 17如图，M 为O 上一点，ODAM 于 D，OEBM 于 E，若 ODOE求证： 证明：ODAM，OEBM， ODAOEB90 ，ADDM，MEEB， ODOE，OAOB， Rt ODARt OEB（HL）， ADBE， AMBM， 18如图 1
12、，AB、AC 为O 的两条弦，AO 平分BAC （1）求证：； （2）如图 2，AE直径 BD 于 E 求证：BC2AE； 若 DE2，BC8，求 AB 的长 （1）证明：过点 O 作 ODAB 于 D，OEAC 于 E，过点 O 作 ODAB 于 D，OEAC 于 E， OA 平分BAC， ODOE， ABCD， ； （2）延长 AO 交 BC 于 H，连接 AD， ； ABAC， AO 平分BAC， AHBC，BHCHBC， BD 是O 的直径， BAD90 ， AEBD， D+DAEDAE+BAE90 ， BAED， CD， CBAE， AHCAEB90 ， ABECAH（AAS）， C
13、HAE， BC2AE； BC8， AEBC4， DE2， AD 2， DBAE，AEDAEB90 ， ABEDAE， ， ， AB4 19如图，AB 是O 的直径，点 C 为的中点，CF 为O 的弦，且 CFAB，垂足为 E，连接 BD 交 CF 于点 G，连接 CD，AD，BF （1）求证： BFGCDG； （2）若 ADBE2，求 BF 的长 证明：（1）C 是的中点， ， AB 是O 的直径，且 CFAB， ， ， CDBF， 在 BFG 和 CDG 中， ， BFGCDG（AAS）； （2）解法一：如图，连接 OF，设O 的半径为 r， Rt ADB 中，BD2AB2AD2，即 BD2
14、（2r）222， Rt OEF 中，OF2OE2+EF2，即 EF2r2（r2）2， ， ， BDCF， BD2CF2（2EF）24EF2， 即（2r）2224r2（r2）2， 解得：r1（舍）或 3， BF2EF2+BE232（32）2+2212， BF2； 解法二：如图，过 C 作 CHAD 于 H，连接 AC、BC， ， HACBAC， CEAB， CHCE， ACAC， Rt AHCRt AEC（HL）， AEAH， CHCE，CDCB， Rt CDHRt CBE（HL）， DHBE2， AEAH2+24， AB4+26， AB 是O 的直径， ACB90 ， ACBBEC90 ， E
15、BCABC， BECBCA， ， BC2ABBE6 212， BFBC2 解法三：如图，连接 OC，交 BD 于 H， C 是的中点， OCBD， DHBH， OAOB， OHAD1， OCOB，COEBOH，OHBOEC90 ， COEBOH（AAS）， OHOE1， CEEF2 ， BF 2 20如图，A、B 是O 上两点，点 C 是弧 AB 的中点，AOB120 （1）求证：四边形 OACB 是菱形； （2）延长 OA 至 P 使得 OAAP，连接 PC，PC，求O 的半径 证明：（1）连结 OC，如图， C 是的中点，AOBl20 ， AOCBOC60 ， 又OAOCOB， OAC 和 OBC 都是等边三角形， ACOAOBBC， 四边形 OACB 是菱形 （2）由（1）知， OAC 是等边三角形， ACOA，OACACO60 ， PAC120 又OAAP， APAC， APCACP30 ， PCOPCA+ACO90 ， 即 PCOC 又OC 是半径， PC 是O 的切线， PC ， OC1， 即O 的半径是 1