1、专题专题 0101 切线长定理切线长定理 一选择题 1如图，PA，PB 切O 于 A，B 两点，CD 切O 于点 E，交 PA，PB 于 C，D若O 的半径为 1， PCD 的周长等于 2，则线段 AB 的长是（ ） A B3 C2 D3 解：PA，PB 切O 于 A、B 两点，CD 切O 于点 E，交 PA，PB 于 C，D， ACEC，DEDB，PAPB， PCD 的周长等于 2， PA+PB2， PAPB ， 链接 PA 和 AO， O 的半径为 1， tanAPO ， APO30 ， APB60 ， APB 是等边三角形， ABPAPB 故选：A 2如图，P 为O 外一点，PA、PB
2、分别切O 于点 A、B，CD 切O 于点 E 且分别交 PA、PB 于点 C，D， 若 PA4，则 PCD 的周长为（ ） A5 B7 C8 D10 解：PA、PB 分别切O 于点 A、B， PBPA4， CD 切O 于点 E 且分别交 PA、PB 于点 C，D， CACE，DEDB， PCD 的周长PC+PD+CDPC+CA+PD+DBPA+PB8， 故选：C 3如图，PA、PB、CD 与O 相切于点为 A、B、E，若 PA7，则 PCD 的周长为（ ） A7 B14 C10.5 D10 解：PA、PB、CD 与O 相切于点为 A、B、E， PBPA7，CACE，DEDB， PCD 的周长P
3、C+CD+PB PC+CE+DE+PD PC+CA+DB+PD PA+PB14， 故选：B 4如图，PA，PB 切O 于 A，B 两点，CD 切O 于点 E 交 PA，PB 于 C，D，若O 的半径为 r， PCD 的周长为 3r，连接 OA，OP，则的值是（ ） A B C D 解：PA，PB 切O 于 A，B 两点，CD 切O 于点 E 交 PA，PB 于 C，D， CACF，DFDB，PAPB， PC+CF+DF+PDPAPB2PA3r， PAr， 则的值是： 故选：D 5如图，PA、PB 切O 于点 A、B，PA8，CD 切O 于点 E，交 PA、PB 于 C、D 两点，则 PCD 的
4、周 长是（ ） A8 B18 C16 D14 解：PA，PB 切O 于 A、B 两点，CD 切O 于点 E， PBPA8，CACE，DBDE， PCD 的周长PC+CE+PDPC+CE+DE+PCPC+CA+DB+PDPA+PB16 故选：C 6如图，P 为O 外一点，PA，PB 分别切O 于 A，B，CD 切O 于点 E，分别交 PA，PB 于点 C，D若 PA5，则 PCD 的周长和COD 分别为（ ） A5，（90 +P） B7，90 + C10，90 P D10，90 +P 解：PA、PB 切O 于 A、B，CD 切O 于 E， PAPB10，EDAD，CEBC； PCD 的周长PD+
5、DE+PC+CE2PA，即 PCD 的周长2PA10，； 如图，连接 OA、OE、OB 由切线性质得，OAPA，OBPB，OECD，DBDE，ACCE， AOOEOB， 易证 AOCEOC（SAS）， EODBOD（SAS）， AOCEOC，EODBOD， CODAOB， AOB180 P， COD90 P 故选：C 7P 是O 外一点，PA、PB 分别与O 相切于点 A、B，点 C 是劣弧 AB 上任意一点，经过点 C 作O 的 切线，分别交 PA、PB 于点 D、E若 PA4，则 PDE 的周长是（ ） A4 B8 C12 D不能确定 解：根据题意画出图形，如图所示， 由直线 DA 和直线
6、 DC 为圆 O 的切线，得到 ADDC，同理，由直线 EC 和直线 EB 为圆 O 的切线，得 到 ECEB， 又直线 PA 和直线 PB 为圆 O 的切线，所以 PAPB4， 则 PDE 的周长 CPD+DE+PEPD+DC+EC+PE PD+DA+EB+PEPA+PB4+48 故选：B 8如图，AE、AD 和 BC 分别切O 于点 E、D、F，如果 AD20，则 ABC 的周长为（ ） A20 B30 C40 D50 解：据切线长定理有 ADAE，BEBF，CDCF； 则 ABC 的周长AB+BC+AC AB+BF+CF+AC AB+BE+AC+CD AD+AE2AD 40 故选：C 9
7、如图，PA、PB 分别是O 的切线，A、B 为切点，AC 是O 的直径，已知BAC35 ，P 的度数为 （ ） A35 B45 C60 D70 解：根据切线的性质定理得PAC90 ， PAB90 BAC90 35 55 根据切线长定理得 PAPB， 所以PBAPAB55 ， 所以P70 故选：D 10如图，直角梯形 ABCD 中，以 AD 为直径的半圆与 BC 相切于 E，BO 交半圆于 F，DF 的延长线交 AB 于点 P，连 DE以下结论：DEOF；AB+CDBC；PBPF；AD24ABDC其中正确的是 （ ） A B只有 C只有 D只有 解：BA，BE 是圆的切线 ABBE，BO 是 A
8、BE 顶角的平分线 OBAE AD 是圆的直径 DEAE DEOF 故正确； CDCE，ABBE AB+CDBC 故正确； ODOF ODFOFDBFP 若 PBPF，则有PBFBFPODF 而 ADP 与 ABO 不一定相似，故 PBPF 不一定成了 故不正确； 连接 OC可以证明 OABCDO 即：OAODABCD AD24ABDC 故正确 故正确的是： 故选：C 二填空题 11一个菱形的周长是 20cm，两对角线之比是 4：3，则该菱形的内切圆的半径是 cm 解：如图所示：菱形 ABCD，对角线 AC，BD，可得菱形内切圆的圆心即为对角线交点， 设 AB 与圆相切于点 E，可得 OEAB
9、， 一个菱形的周长是 20cm，两对角线之比是 4：3， AB5cm， 设 BO4x，则 AO3x， 故（4x）2+（3x）225， 解得：x1， 则 AO3，BO4， 故 EOABAOBO， 解得：EO 故答案为： 12如图，PA，PB 是O 的切线，A，B 为切点，OAB38 ，则P 解：PA，PB 是O 的切线， PAPB，PAOA， PABPBA，OAP90 ， PBAPAB90 OAB90 38 52 ， P180 52 52 76 ； 故答案为：76 13如图，四边形 ABCD 是O 的外切四边形，且 AB10，CD12，则四边形 ABCD 的周长为 解：四边形 ABCD 是O 的
10、外切四边形， AD+BCAB+CD22， 四边形 ABCD 的周长AD+BC+AB+CD44， 故答案为：44 14 如图， PA、 PB 分别切圆 O 于 A、 B， 并与圆 O 的切线， 分别相交于 C、 D， 已知 PCD 的周长等于 10cm， 则 PA cm 解：如图，设 DC 与O 的切点为 E； PA、PB 分别是O 的切线，且切点为 A、B； PAPB； 同理，可得：DEDA，CECB； 则 PCD 的周长PD+DE+CE+PCPD+DA+PC+CBPA+PB10（cm）； PAPB5cm， 故答案为：5 15如图，已知以直角梯形 ABCD 的腰 CD 为直径的半圆 O 与梯形
11、上底 AD、下底 BC 以及腰 AB 均相切， 切点分别是 D，C，E若半圆 O 的半径为 2，梯形的腰 AB 为 5，则该梯形的周长是 解：根据切线长定理，得 ADAE，BCBE，所以梯形的周长是 5 2+414， 故答案为：14 16如图，在 Rt ABC 中，C90 ，BC5，O 与 Rt ABC 的三边 AB、BC、AC 分别相切于点 D、E、 F，若O 的半径 r2，则 Rt ABC 的周长为 解：连接 OE、OF， 设 ADx，由切线长定理得 AFx， O 与 Rt ABC 的三边 AB、BC、AC 分相切于点 D、E、F， OEBC，OFAC，四边形 OECF 为正方形， r2，
12、BC5，CECF2，BDBE3， 由勾股定理得，（x+2）2+52（x+3）2， 解得，x10， ABC 的周长为 12+5+1330， 故答案为 30 三解答题 17如图，AB、BC、CD 分别与O 相切于点 E、F、G，若BOC90 ， （1）求证：ABCD； （2）若 OB3，OC4，求由 BE、BC、CG、及弧 EFG 围成图形的面积（即图中阴影部分） 解：（1）BOC90 ， OBC+OCB90 ， 又 BE 与 BF 为圆 O 的切线， BO 为EBF 的平分线， OBCOBF， 同理可得OCBOCG， OBF+OCG90 ， OBC+OCB+OBE+OCG180 ， 即ABF+D
13、CF180 ， ABCD； （2）连接 OE，OF，OG，如图所示： 由 BE 和 BF 为圆的切线， 可得 OEAB，OFBC，即OEBOFB90 ， BEBF，又 OBOB， Rt OEBRt OFB（HL）， BOEBOF，S OEBS OFB， S扇形OEMS扇形OFM， S OEBS扇形OEMS OFBS扇形OFM， 即 S阴影BEMS 阴影BFM， 同理 S阴影NFCS阴影NCG， 由BOC90 ，OB3，OC4， 根据勾股定理得：BC5， BC 为圆的切线，OFBC， OBOCBCOF，即 OF， S BOCOBOC6， S扇形OMN， 则阴影部分面积 S2（S阴影BFM+S阴影
14、NFC） 2（S BOCS扇形OMN）12 18如图，PA，PB 是O 的切线，A、B 为切点，AC 是O 的直径，P60 （1）求BAC 的度数； （2）当 OA2 时，求 AB 的长 解：（1）PA，PB 是O 的切线， APBP， P60 ， PAB60 ， AC 是O 的直径， PAC90 ， BAC90 60 30 （2）连接 OP，则在 Rt AOP 中，OA2，APO30 ， OP4， 由勾股定理得：， APBP，APB60 ， APB 是等边三角形， 19如图，已知 AB 为O 的直径，PA，PC 是O 的切线，A，C 为切点，BAC30 （）求P 的大小； （）若 AB2，求
15、 PA 的长（结果保留根号） 解：（）PA 是O 的切线，AB 为O 的直径， PAAB， BAP90 ； BAC30 ， CAP90 BAC60 又PA、PC 切O 于点 A、C， PAPC， PAC 为等边三角形， P60 （）如图，连接 BC，则ACB90 在 Rt ACB 中，AB2，BAC30 ， cosBAC ， ACABcosBAC2cos30 PAC 为等边三角形， PAAC， PA 20如图所示，在梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，以 AB 为直径的O 与 DC 相切于 E已知 AB8， 边 BC 比 AD 大 6 （1）求边 AD、BC 的长； （2）在直径 AB 上
16、是否存在一动点 P，使以 A、D、P 为顶点的三角形与 BCP 相似？若存在，求出 AP 的长；若不存在，请说明理由 解：（1）方法 1：过 D 作 DFBC 于 F， 在 Rt DFC 中，DFAB8，FCBCAD6， DC262+82100，即 DC10（1 分） 设 ADx，则 DEADx，ECBCx+6， x+（x+6）10 x2 AD2，BC2+68（4 分） 方法 2：连 OD、OE、OC， 由切线长定理可知DOC90 ，ADDE，CBCE， 设 ADx，则 BCx+6， 由射影定理可得：OE2DEEC（2 分） 即：x（x+6）16， 解得 x12，x28，（舍去） AD2，BC2+68（4 分） （2）存在符合条件的 P 点 设 APy，则 BP8y， ADP 与 BCP 相似，有两种情况： ADPBCP 时，y；（6 分） ADPBPC 时，y4（7 分） 故存在符合条件的点 P，此时 AP或 4（8 分）