1、第第 12 讲讲 特殊四边形综合特殊四边形综合 （1）如图，分别以直角ABC的斜边 AB，直角边 AC 为边向ABC外作等边ABD和等边ACE，F 为 AB 的中点，DE 与 AB 交于点 G，EF 与 AC 交于点 H，90ACB，30BAC给出如下结论： EFAC； 四边形 ADFE 为菱形； 4ADAG； 1 4 FHBD； 其中正确结论的是_ （2）如图，矩形 ABCD 中，BC=2AB，对角线相交于 O，过 C 点作 CEBD 交 BD 于 E 点，H 为 BC 中点， 连接 AH 交 BD 于 G 点，交 EC 的延长线于 F 点，下列 5 个结论： EH=AB； ABG=HEC；
2、 ABGHEC； CF=BD正确的有_ （3）如图，在一张矩形纸片 ABCD 中，AB=4，BC=8，点 E，F 分别在 AD，BC 上，将纸片 ABCD 沿直线 EF 折叠，点 C 落在 AD 上的一点 H 处，点 D 落在点 G 处，有以下四个结论： 四边形 CFHE 是菱形； EC 平分DCH； 线段 BF 的取值范围为34BF； 当点 H 与点 A 重合时，2 5EF 以上结论中，你认为正确的有_ （1）； ACE是等边三角形，60EAC，AEAC 30BAC，90FAEACB ，2ABBC，F 为 AB 的中点 2ABAF，BCAF，ABCEFA，FEAB，30AEFBAC EFAC
3、，故正确 EFAC，90ACB，HF/BC；F 是 AB 的中点 模块一 特殊四边形的性质 例1 E A D CB HF G A B D C H F G O E A B G HE D C F 1 2 HFBC， 1 2 BCAB，ABBD， 1 4 HFBD，故说法正确； ACAB；AEEF，四边形 ADFE 不是菱形；故说法不正确； 1 2 AGAF； 1 2 AGAB，ADAB；则4ADAG，故说法正确. （2）； CEBD，H 为 BC 中点 在BCE中，2BCEH；又2BCAB EHAB，故正确； 由可知，BHHE EBHBEH， 又90ABGEBHBEHHEC ABGHEC ，故正确
4、； 由 ABBH，290ABH，得45BAG 同理：45DHC，45EHCDHC ABGHEC错误； 45ECHCHFFF ， 又ECHCDEBAO ， BAOBAHHAC ，FHAC CFBD，故正确 （3）； FH 与 CG，EH 与 CF 都是矩形 ABCD 的对边 AD、BC 的一部分， FH/CG，EH/CF， 四边形 CFHE 是平行四边形， 由翻折的性质得，CFFH， 四边形 CFHE 是菱形， （故正确） ； BCHECH ， 只有30DCE时 EC 平分DCH， （故错误） ； 点 H 与点 A 重合时，设BFx，则8AFFCx， 在RtABF中， 222 ABBFAF，即
5、222 4(8)xx 解得3x ，点 G 与点 D 重合时，4CFCD， 4BF ，线段 BF 的取值范围为34BF， （故正确） ； 过点 F 作FMAD于 M，则(83)32ME ， 由勾股定理得，EF= 2222 422 5MFME， （故正确） 如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别为 BC、AB 上两点，且BEBF，过点 B 作 AE 的垂线交 AC 于点 G， 过点 G 作 CF 的垂线交 BC 于点 H 延长线段 AE、GH 交于点 M求证：AMBGGM 例2 H A D FB C G E M H A D FB C G E M H 3 4 2 1 连接 DG，在ABG和ADG
6、中， 45 ABAD DACBAC AGAG ， (SAS)ABGADG， BGDG，23 ， BGAE， 290BAE ， 490BADBAE ， 234 ， GMCF， 190BCF ， 又90BCFBFC， 12BFC ， 13 ， 在ADG中，345DGC ， DGC也是CGH的外角， D、G、M 三点共线， 34 （已证） ， AMDM， DMDGGMBGGM， AMBGGM 【教师备教师备课提示】课提示】本题综合性较强，证明三点共线是解题的关键 如图，在菱形 ABCD 中，M，N 分别是边 AB，BC 的中点，MPAB交边 CD 于点 P，连接 NM，NP （1）若60B，这时点
7、P 与点 C 重合，则NMP_度； （2）求证：NMNP； （3）当NPC为等腰三角形时，求B的度数 教师备选 A D M B P N C A D M B P N C 备用图 （1）MPAB交边 CD 于点 P，60B，点 P 与点 C 重合， 30NPM，90BMP， N 是 BC 的中点，MNPN， 30NMPNPM ； （2）如图 1，延长 MN 交 DC 的延长线于点 E， 四边形 ABCD 是菱形，ABDC， BMNE ， 点 N 是线段 BC 的中点，BNCN， 在MNB和ENC中， BMNE MNBENC BNCN ， MNBENC， MNEN， 即点 N 是线段 ME 的中点，
8、 MPAB交边 CD 于点 P， MPDE， 90MPE， 1 2 PNMNME； （3）如图 2 四边形 ABCD 是菱形，ABBC， 又 M，N 分别是边 AB，BC 的中点， MBNB， BMNBNM ， 由（2）知：MNBENC， BMNBNMECNE ， 又PNMNNE， NPEE ， 设BMNBNMECNENPEx ， 则2NCPx，NPCx ， 若PNPC，则2PNCNCPx ， 在PNC中，22180 xxx， 解得：36x ， 2363108BPNCNPCxx ， 若PCNC，则PNCNPCx ， 在PNC中，2180 xxx， 解得：45x ， 454590BPNCNPCx
9、x 【教师备课提示】【教师备课提示】针对变式题的例题，每一种的变式所对应的解题方法都是类似的，只要能够掌握其中的 一种变式的解决思路，其他的变式的解题思路也就类似了 如图 3-1，将菱形 ABCD 和菱形 BEFG 拼接在一起，使得点 A，B，E 在同一条直线上，点 G 在 BC 边上，P 是线段 DF 的中点，连接 PG，PC若120ABC. （1）求出线段 PG 与 PC 的位置关系及PCG的大小； （2）将图 3-1 中的菱形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转，使点 E 恰好落在 CB 的延长线上，原问题中的其他条件 不变（如图 3-2） 你在（1）中得到的两个结论是否仍成立？ 写出你的猜
10、想并加以证明 A D C P GF BE A DC P B EG F 图 3-1 图 3-2 （1）PGPC，30PCG； 如图，延长 GP 交 DC 于点 H， 在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中，AE/DC，AE/GF， DC/GF，PDHPFG ， 在PDH 和PFG 中， PDHPFG PDPF DPHFPG ， (ASA)PDHPFG， DHGF，PHPG， BGGF，DHBG，DCBC， HCGC，GCH是等腰三角形， PGPC，PCGPCH ， 120ABC， 60BCD， 模块二 变式题 例3 30PCG； （2） （1）中两个结论仍成立；证明：如图，延长 GP 交 AD
11、于点 H，连接 CG， 四边形 ABCD 和 BEFG 是菱形， AD/BC，BE/FG， E 在 CB 的延长线上 AD/FG，HDPGFP ， 在DPH和FPG中， PDHPFG PDPF DPHFPG ， (ASA)DPHFPG，PHPG，DHFGBG， 在CDH和CBG中，120 DHBG HDCCBG DCBC ， (SAS)CDHCBG， CHCG，DCHBCG ， CPPG， 60HCGHCBBCGHCBDCHDCB ， 1 2 30PCGHCG 【教师备课笔记教师备课笔记】当菱形 BEFG 绕 B 点旋转的角度为任意角时，CPPG和30PCG也成立.（延长 GP 到 H 点使得
12、PHPG，连接 DH，CH 和 CG） （西川期末）在平行四边形 ABCD 中，BAD的角平分线交直线 BC 于点 E，交直线 DC 于点 F （1）在图 4-1 中证明CECF； （2）若90ABC，G 是 EF 的中点（如图 4-2） ，求BDG的度数； （3）若120ABC，FG/CE，FGCE，分别连接 BD、DG（如图 4-3） ，直接写出BDG的度数 A D BE G C F 图 4-1 图 4-2 图 4-3 例4 （1）证明：如图 1， AF 平分BAD， BAFDAF， 四边形 ABCD 是平行四边形， AD/BC，AB/CD， DAFCEF ，BAFF， CEFF . CE
13、CF. （2）连接 GC、BG， 四边形 ABCD 为平行四边形，90ABC， 四边形 ABCD 为矩形， AF 平分BAD， 45DAFBAF ， 90DCB，DF/AB， 45DFA，90ECF ECF为等腰直角三角形， G 为 EF 中点， EGCGFG，CGEF， ABE为等腰直角三角形，ABDC， BEDC， 45CEFGCF ，135BEGDCG 在BEG与DCG中， EGCG BEGDCG BEDC (SAS)BEGDCG， BGDG， CGEF， 90DGCDGA， 又DGCBGA ， 90BGADGA， DGB为等腰直角三角形， 45BDG. （3）证法同 2，如图 3 【教
14、师备课笔记教师备课笔记】本题就是考查利用已知条件通过辅助线构造全等三角形的知识 在菱形 ABCD 中，60ABC，E 是对角线 AC 上一点，F 是线段 BC 延长线上一点，且CFAE，连接 BE、EF （1）若 E 是线段 AC 的中点，如图 5-1，证明：BEEF； （2）若 E 是线段 AC 或 AC 延长线上的任意一点，其它条件不变，如图 5-2、图 5-3，线段 BE、EF 有怎样 的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明 例5 A B D E CF A B D E CF A B D E C F 图 5-1 图 5-2 图 5-5 （1）四边形 ABCD 为菱形， ABB
15、C，又60ABC， ABC是等边三角形， E 是线段 AC 的中点， 1 2 30CBEABC，AECE， AECF，CECF， FCEF ， 60FCEFACB ， 30F，CBEF ， BEEF； （2）图 2：BEEF 图 3：BEEF 图 2 证明如下：过点 E 作 EG/BC，交 AB 于点 G， 四边形 ABCD 为菱形， ABBC， 又60ABC， ABC是等边三角形， ABAC，60ACB， 又EG/BC， 60AGEABC ， 又60BAC， AGE是等边三角形， AGAE，BGCE， 又CFAE，GECF， 又120BGEECF ， (SAS)BGEECF， BEEF； 图
16、 3 证明如下：过点 E 作 EG/BC 交 AB 延长线于点 G， 四边形 ABCD 为菱形， ABBC， 又60ABC， ABC是等边三角形， ABAC，60ACB， 又EG/BC， 60AGEABC ， 又60BAC， AGE是等边三角形， AGAE，BGCE， 又CFAE，GECF， 又60BGEECF ， (SAS)BGEECF，BEEF 【教师备课笔记教师备课笔记】本题就是考查辅助线构造全等三角形的知识 复习巩固复习巩固 在菱形 ABCD 中，120DAB，点 E 平分 DC，点 P 在 BD 上，且1PEPC，那么边 AB 长的最大值是 _ 如图，连接 AP，AE，AC 根据四边
17、形 ABCD 是菱形，ADCD，APCP， 1PEPCPEPA， 120DAB， 60ADE，ADCD， ADC是等边三角形， DECE， 90AED，30DAE， 33 1 22 AEADAB，所以 2 3 3 AB 即 AB 长的最大值是 2 3 3 如图，矩形 ABCD 中，O 为 AC 中点，过点 O 的直线分别与 AB，CD 交于点 E，F，连接 BF 交 AC 于点 M， 连接 DE，BO若60COB，FOFC，则下列结论： FBOC，OMCM； EOBCMB； 四边形 EBFD 是菱形； :3:2MB OE 模块一模块一 特殊四边形的性质综合特殊四边形的性质综合 演练1 演练2
18、AB D E F C M O 其中正确结论为_ ；连接 OD 即可 已知： 矩形 ABCD 中ADAB， O 是对角线的交点， 过 O 任作一直线分别交 BC、 AD 于点 M、 N （如图 3-1） （1）求证：BMDN； （2）如图 3-2，四边形 AMNE 是由四边形 CMND 沿 MN 翻折得到的，连接 CN，求证：四边形 AMCN 是菱 形； （3）在（2）的条件下，若CDN的面积与CMN的面积比为1:3，求 MN DN 的值 A B ND O MC A B ND O MC E 图 3-1 图 3-2 （1）连接 BD，则 BD 过点 O， AD/BC， OBMODN ， 又OBOD
19、，BOMDON ， OBMODN， BMDN； （2）矩形 ABCD， AD/BC，ADBC， 又BMDN， ANCM， 四边形 AMCN 是平行四边形， 由翻折得，AMCM， 四边形 AMCN 是菱形； （3） 1 2 CDN SDN CD ， 1 2 CMN SCM CD ， 又1:3 CDNCMN SS :， :1:3DN CM ， 设DNk，则3CNCMk， 过 N 作NGMC于点 G， 则CGDNk，2MGCMCGk， 2222 92 2CNCGNkGkk 演练3 2222 482 3MMGNGNkkk 2 3 2 3 MNk DNk 已知：在ABC中，90BAC，ABAC，点 D
20、为直线 BC 上一动点（点 D 不与 B、C 重合） 以 AD 为边作正方形 ADEF，连接 CF （1）如图 4-1，当点 D 在线段 BC 上时，求证：BDCFCFBCCD （2）如图 4-2，当点 D 在线段 BC 的延长线上时，其它条件不变，请直接写出 CF、BC、CD 三条线段之间 的关系； （3）如图 4-3，当点 D 在线段 BC 的反向延长线上时，且点 A、F 分别在直线 BC 的两侧，其它条件不变： 请直接写出 CF、BC、CD 三条线段之间的关系若连接正方形对角线 AE、DF，交点为 O，连接 OC， 探究AOC的形状，并说明理由 F A BDC E F A BCD E A
21、 D BC F O E 图 4-1 图 4-2 图 4-3 （1）证明：90BAC，ABAC， 45ABCACB ， 四边形 ADEF 是正方形， ADAF，90DAF， 90BACBADDAC ， 90DAFCAFDAC ， BADCAF ， 在BAD和CAF中， ABAC BADCAF ADAF ， (SAS)BADCAF， 45ACFABD ， 90ACFACB， BDCF； 由BADCAF可得BDCF， BDBCCD， CFBCCD； 模块二模块二 变式题变式题 演练4 （2）与（1）同理可得BDCF， 所以，CFBCCD； （3）与（1）同理可得，BDCF， 所以，CFCDBC； 90BAC，ABAC， 45ABCACB ， 则18045135ABD ， 四边形 ADEF 是正方形， ADAF，90DAF， 90BACBAFCAF ， 90DAFBADBAF ， BADCAF ， 在BAD和CAF中， ABAC BADCAF ADAF ， (SAS)BADCAF， 18045135ACFABD ， 90FCDACFACB ， 则FCD为直角三角形， 正方形 ADEF 中，O 为 DF 中点， 1 2 OCDF， 在正方形 ADEF 中， 1 2 OAAE，AEDF， OCOA， AOC是等腰三角形