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初二数学讲义直升班 第12讲 特殊四边形综合(教师版)

1、第第 12 讲讲 特殊四边形综合特殊四边形综合 (1)如图,分别以直角ABC的斜边 AB,直角边 AC 为边向ABC外作等边ABD和等边ACE,F 为 AB 的中点,DE 与 AB 交于点 G,EF 与 AC 交于点 H,90ACB,30BAC给出如下结论: EFAC; 四边形 ADFE 为菱形; 4ADAG; 1 4 FHBD; 其中正确结论的是_ (2)如图,矩形 ABCD 中,BC=2AB,对角线相交于 O,过 C 点作 CEBD 交 BD 于 E 点,H 为 BC 中点, 连接 AH 交 BD 于 G 点,交 EC 的延长线于 F 点,下列 5 个结论: EH=AB; ABG=HEC;

2、 ABGHEC; CF=BD正确的有_ (3)如图,在一张矩形纸片 ABCD 中,AB=4,BC=8,点 E,F 分别在 AD,BC 上,将纸片 ABCD 沿直线 EF 折叠,点 C 落在 AD 上的一点 H 处,点 D 落在点 G 处,有以下四个结论: 四边形 CFHE 是菱形; EC 平分DCH; 线段 BF 的取值范围为34BF; 当点 H 与点 A 重合时,2 5EF 以上结论中,你认为正确的有_ (1); ACE是等边三角形,60EAC,AEAC 30BAC,90FAEACB ,2ABBC,F 为 AB 的中点 2ABAF,BCAF,ABCEFA,FEAB,30AEFBAC EFAC

3、,故正确 EFAC,90ACB,HF/BC;F 是 AB 的中点 模块一 特殊四边形的性质 例1 E A D CB HF G A B D C H F G O E A B G HE D C F 1 2 HFBC, 1 2 BCAB,ABBD, 1 4 HFBD,故说法正确; ACAB;AEEF,四边形 ADFE 不是菱形;故说法不正确; 1 2 AGAF; 1 2 AGAB,ADAB;则4ADAG,故说法正确. (2); CEBD,H 为 BC 中点 在BCE中,2BCEH;又2BCAB EHAB,故正确; 由可知,BHHE EBHBEH, 又90ABGEBHBEHHEC ABGHEC ,故正确

4、; 由 ABBH,290ABH,得45BAG 同理:45DHC,45EHCDHC ABGHEC错误; 45ECHCHFFF , 又ECHCDEBAO , BAOBAHHAC ,FHAC CFBD,故正确 (3); FH 与 CG,EH 与 CF 都是矩形 ABCD 的对边 AD、BC 的一部分, FH/CG,EH/CF, 四边形 CFHE 是平行四边形, 由翻折的性质得,CFFH, 四边形 CFHE 是菱形, (故正确) ; BCHECH , 只有30DCE时 EC 平分DCH, (故错误) ; 点 H 与点 A 重合时,设BFx,则8AFFCx, 在RtABF中, 222 ABBFAF,即

5、222 4(8)xx 解得3x ,点 G 与点 D 重合时,4CFCD, 4BF ,线段 BF 的取值范围为34BF, (故正确) ; 过点 F 作FMAD于 M,则(83)32ME , 由勾股定理得,EF= 2222 422 5MFME, (故正确) 如图,在正方形 ABCD 中,E、F 分别为 BC、AB 上两点,且BEBF,过点 B 作 AE 的垂线交 AC 于点 G, 过点 G 作 CF 的垂线交 BC 于点 H 延长线段 AE、GH 交于点 M求证:AMBGGM 例2 H A D FB C G E M H A D FB C G E M H 3 4 2 1 连接 DG,在ABG和ADG

6、中, 45 ABAD DACBAC AGAG , (SAS)ABGADG, BGDG,23 , BGAE, 290BAE , 490BADBAE , 234 , GMCF, 190BCF , 又90BCFBFC, 12BFC , 13 , 在ADG中,345DGC , DGC也是CGH的外角, D、G、M 三点共线, 34 (已证) , AMDM, DMDGGMBGGM, AMBGGM 【教师备教师备课提示】课提示】本题综合性较强,证明三点共线是解题的关键 如图,在菱形 ABCD 中,M,N 分别是边 AB,BC 的中点,MPAB交边 CD 于点 P,连接 NM,NP (1)若60B,这时点

7、P 与点 C 重合,则NMP_度; (2)求证:NMNP; (3)当NPC为等腰三角形时,求B的度数 教师备选 A D M B P N C A D M B P N C 备用图 (1)MPAB交边 CD 于点 P,60B,点 P 与点 C 重合, 30NPM,90BMP, N 是 BC 的中点,MNPN, 30NMPNPM ; (2)如图 1,延长 MN 交 DC 的延长线于点 E, 四边形 ABCD 是菱形,ABDC, BMNE , 点 N 是线段 BC 的中点,BNCN, 在MNB和ENC中, BMNE MNBENC BNCN , MNBENC, MNEN, 即点 N 是线段 ME 的中点,

8、 MPAB交边 CD 于点 P, MPDE, 90MPE, 1 2 PNMNME; (3)如图 2 四边形 ABCD 是菱形,ABBC, 又 M,N 分别是边 AB,BC 的中点, MBNB, BMNBNM , 由(2)知:MNBENC, BMNBNMECNE , 又PNMNNE, NPEE , 设BMNBNMECNENPEx , 则2NCPx,NPCx , 若PNPC,则2PNCNCPx , 在PNC中,22180 xxx, 解得:36x , 2363108BPNCNPCxx , 若PCNC,则PNCNPCx , 在PNC中,2180 xxx, 解得:45x , 454590BPNCNPCx

9、x 【教师备课提示】【教师备课提示】针对变式题的例题,每一种的变式所对应的解题方法都是类似的,只要能够掌握其中的 一种变式的解决思路,其他的变式的解题思路也就类似了 如图 3-1,将菱形 ABCD 和菱形 BEFG 拼接在一起,使得点 A,B,E 在同一条直线上,点 G 在 BC 边上,P 是线段 DF 的中点,连接 PG,PC若120ABC. (1)求出线段 PG 与 PC 的位置关系及PCG的大小; (2)将图 3-1 中的菱形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转,使点 E 恰好落在 CB 的延长线上,原问题中的其他条件 不变(如图 3-2) 你在(1)中得到的两个结论是否仍成立? 写出你的猜

10、想并加以证明 A D C P GF BE A DC P B EG F 图 3-1 图 3-2 (1)PGPC,30PCG; 如图,延长 GP 交 DC 于点 H, 在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中,AE/DC,AE/GF, DC/GF,PDHPFG , 在PDH 和PFG 中, PDHPFG PDPF DPHFPG , (ASA)PDHPFG, DHGF,PHPG, BGGF,DHBG,DCBC, HCGC,GCH是等腰三角形, PGPC,PCGPCH , 120ABC, 60BCD, 模块二 变式题 例3 30PCG; (2) (1)中两个结论仍成立;证明:如图,延长 GP 交 AD

11、于点 H,连接 CG, 四边形 ABCD 和 BEFG 是菱形, AD/BC,BE/FG, E 在 CB 的延长线上 AD/FG,HDPGFP , 在DPH和FPG中, PDHPFG PDPF DPHFPG , (ASA)DPHFPG,PHPG,DHFGBG, 在CDH和CBG中,120 DHBG HDCCBG DCBC , (SAS)CDHCBG, CHCG,DCHBCG , CPPG, 60HCGHCBBCGHCBDCHDCB , 1 2 30PCGHCG 【教师备课笔记教师备课笔记】当菱形 BEFG 绕 B 点旋转的角度为任意角时,CPPG和30PCG也成立.(延长 GP 到 H 点使得

12、PHPG,连接 DH,CH 和 CG) (西川期末)在平行四边形 ABCD 中,BAD的角平分线交直线 BC 于点 E,交直线 DC 于点 F (1)在图 4-1 中证明CECF; (2)若90ABC,G 是 EF 的中点(如图 4-2) ,求BDG的度数; (3)若120ABC,FG/CE,FGCE,分别连接 BD、DG(如图 4-3) ,直接写出BDG的度数 A D BE G C F 图 4-1 图 4-2 图 4-3 例4 (1)证明:如图 1, AF 平分BAD, BAFDAF, 四边形 ABCD 是平行四边形, AD/BC,AB/CD, DAFCEF ,BAFF, CEFF . CE

13、CF. (2)连接 GC、BG, 四边形 ABCD 为平行四边形,90ABC, 四边形 ABCD 为矩形, AF 平分BAD, 45DAFBAF , 90DCB,DF/AB, 45DFA,90ECF ECF为等腰直角三角形, G 为 EF 中点, EGCGFG,CGEF, ABE为等腰直角三角形,ABDC, BEDC, 45CEFGCF ,135BEGDCG 在BEG与DCG中, EGCG BEGDCG BEDC (SAS)BEGDCG, BGDG, CGEF, 90DGCDGA, 又DGCBGA , 90BGADGA, DGB为等腰直角三角形, 45BDG. (3)证法同 2,如图 3 【教

14、师备课笔记教师备课笔记】本题就是考查利用已知条件通过辅助线构造全等三角形的知识 在菱形 ABCD 中,60ABC,E 是对角线 AC 上一点,F 是线段 BC 延长线上一点,且CFAE,连接 BE、EF (1)若 E 是线段 AC 的中点,如图 5-1,证明:BEEF; (2)若 E 是线段 AC 或 AC 延长线上的任意一点,其它条件不变,如图 5-2、图 5-3,线段 BE、EF 有怎样 的数量关系,直接写出你的猜想;并选择一种情况给予证明 例5 A B D E CF A B D E CF A B D E C F 图 5-1 图 5-2 图 5-5 (1)四边形 ABCD 为菱形, ABB

15、C,又60ABC, ABC是等边三角形, E 是线段 AC 的中点, 1 2 30CBEABC,AECE, AECF,CECF, FCEF , 60FCEFACB , 30F,CBEF , BEEF; (2)图 2:BEEF 图 3:BEEF 图 2 证明如下:过点 E 作 EG/BC,交 AB 于点 G, 四边形 ABCD 为菱形, ABBC, 又60ABC, ABC是等边三角形, ABAC,60ACB, 又EG/BC, 60AGEABC , 又60BAC, AGE是等边三角形, AGAE,BGCE, 又CFAE,GECF, 又120BGEECF , (SAS)BGEECF, BEEF; 图

16、 3 证明如下:过点 E 作 EG/BC 交 AB 延长线于点 G, 四边形 ABCD 为菱形, ABBC, 又60ABC, ABC是等边三角形, ABAC,60ACB, 又EG/BC, 60AGEABC , 又60BAC, AGE是等边三角形, AGAE,BGCE, 又CFAE,GECF, 又60BGEECF , (SAS)BGEECF,BEEF 【教师备课笔记教师备课笔记】本题就是考查辅助线构造全等三角形的知识 复习巩固复习巩固 在菱形 ABCD 中,120DAB,点 E 平分 DC,点 P 在 BD 上,且1PEPC,那么边 AB 长的最大值是 _ 如图,连接 AP,AE,AC 根据四边

17、形 ABCD 是菱形,ADCD,APCP, 1PEPCPEPA, 120DAB, 60ADE,ADCD, ADC是等边三角形, DECE, 90AED,30DAE, 33 1 22 AEADAB,所以 2 3 3 AB 即 AB 长的最大值是 2 3 3 如图,矩形 ABCD 中,O 为 AC 中点,过点 O 的直线分别与 AB,CD 交于点 E,F,连接 BF 交 AC 于点 M, 连接 DE,BO若60COB,FOFC,则下列结论: FBOC,OMCM; EOBCMB; 四边形 EBFD 是菱形; :3:2MB OE 模块一模块一 特殊四边形的性质综合特殊四边形的性质综合 演练1 演练2

18、AB D E F C M O 其中正确结论为_ ;连接 OD 即可 已知: 矩形 ABCD 中ADAB, O 是对角线的交点, 过 O 任作一直线分别交 BC、 AD 于点 M、 N (如图 3-1) (1)求证:BMDN; (2)如图 3-2,四边形 AMNE 是由四边形 CMND 沿 MN 翻折得到的,连接 CN,求证:四边形 AMCN 是菱 形; (3)在(2)的条件下,若CDN的面积与CMN的面积比为1:3,求 MN DN 的值 A B ND O MC A B ND O MC E 图 3-1 图 3-2 (1)连接 BD,则 BD 过点 O, AD/BC, OBMODN , 又OBOD

19、,BOMDON , OBMODN, BMDN; (2)矩形 ABCD, AD/BC,ADBC, 又BMDN, ANCM, 四边形 AMCN 是平行四边形, 由翻折得,AMCM, 四边形 AMCN 是菱形; (3) 1 2 CDN SDN CD , 1 2 CMN SCM CD , 又1:3 CDNCMN SS :, :1:3DN CM , 设DNk,则3CNCMk, 过 N 作NGMC于点 G, 则CGDNk,2MGCMCGk, 2222 92 2CNCGNkGkk 演练3 2222 482 3MMGNGNkkk 2 3 2 3 MNk DNk 已知:在ABC中,90BAC,ABAC,点 D

20、为直线 BC 上一动点(点 D 不与 B、C 重合) 以 AD 为边作正方形 ADEF,连接 CF (1)如图 4-1,当点 D 在线段 BC 上时,求证:BDCFCFBCCD (2)如图 4-2,当点 D 在线段 BC 的延长线上时,其它条件不变,请直接写出 CF、BC、CD 三条线段之间 的关系; (3)如图 4-3,当点 D 在线段 BC 的反向延长线上时,且点 A、F 分别在直线 BC 的两侧,其它条件不变: 请直接写出 CF、BC、CD 三条线段之间的关系若连接正方形对角线 AE、DF,交点为 O,连接 OC, 探究AOC的形状,并说明理由 F A BDC E F A BCD E A

21、 D BC F O E 图 4-1 图 4-2 图 4-3 (1)证明:90BAC,ABAC, 45ABCACB , 四边形 ADEF 是正方形, ADAF,90DAF, 90BACBADDAC , 90DAFCAFDAC , BADCAF , 在BAD和CAF中, ABAC BADCAF ADAF , (SAS)BADCAF, 45ACFABD , 90ACFACB, BDCF; 由BADCAF可得BDCF, BDBCCD, CFBCCD; 模块二模块二 变式题变式题 演练4 (2)与(1)同理可得BDCF, 所以,CFBCCD; (3)与(1)同理可得,BDCF, 所以,CFCDBC; 90BAC,ABAC, 45ABCACB , 则18045135ABD , 四边形 ADEF 是正方形, ADAF,90DAF, 90BACBAFCAF , 90DAFBADBAF , BADCAF , 在BAD和CAF中, ABAC BADCAF ADAF , (SAS)BADCAF, 18045135ACFABD , 90FCDACFACB , 则FCD为直角三角形, 正方形 ADEF 中,O 为 DF 中点, 1 2 OCDF, 在正方形 ADEF 中, 1 2 OAAE,AEDF, OCOA, AOC是等腰三角形