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初二数学讲义直升班 第7讲 正方形(教师版)

1、正正方形方形 模块一 正方形的性质和判定 模块二 弦图 模块三 垂直且相等模型 模块一模块一 正方形的性质和判定正方形的性质和判定 1定义:定义:四个角相等、四条边也相等的四边形叫作正方形 2性质:性质:正方形既是矩形,又是菱形,具有矩形和菱形的一切性质 性质 1:正方形的四个内角都相等,且都为,四条边都相等 性质 2:正方形的对角线互相垂直平分且相等,对角线平分一组对角 性质 3:正方形具有 4 条对称轴,两条对角线所在的直线和过两组对边中点的两条直线 另外,由正方形的性质可以得出: (1)正方形的对角线把正方形分成四个小的等腰直角三角形 (2)正方形的面积是边长的平方,也可表示为对角线长平

2、方的一半 3判定:判定:判定一个四边形是正方形,除了定义之外,还可以采用以下方法: (1)先证明是矩形,再证明该矩形有一组邻边相等,或对角线互相垂直 (2)先证明是菱形,再证明该菱形的一个角是直角,或两条对角线相等 模块二模块二 弦图及相关模型弦图及相关模型 1内弦图内弦图 2外弦图外弦图 (1)关于两个弦图的做法: 内弦图: 在正方形 ABCD 的各边上分别取 E、 F、 G、 H 四个点, 使得AEDHCGBF, 连接 EH、 HG、 GF、FE 可以得到内弦图 外弦图:在正方形 ABCD 内,分别取点 E、F、G、H 四个点,连接 AH、BE、CF、DG,使得 DAHCDGBCFABE

3、,就可以得到外弦图 (2)关于弦图的作用: 由弦图的做法,我们知道会产生四个全等的直角三角形,所以我们在平时的测试中会遇到这两个弦图或者 其中的一部分,我们会常利用这两个弦图去构造全等去解决一些难题。具体应用:证明勾股定理;解决复 杂的面积问题;构造全等三角形,求边的关系 (3)弦图常见辅助线添加方法: (ABC是等腰直角三角形) 模块三模块三 垂直相等模型垂直相等模型 1模型模型 I 2模型模型 II(母子型)(母子型) 变型(M 为 BE 的中点,OO 、分别为正方形的中心) 3模型模型 III(H 为为 DF 的中点)的中点) 【教师备课提示】【教师备课提示】讲模型 3 时,铺垫:倍长证

4、垂直相等当要证明的的两条边垂直且相等的时候,两条边在同一 个三角形中,通常要倍长一条边,证垂直相等,如图要证明=ABCD,且ABCD时,只需 要延长 CB 到点 D 使BDBC,连接 AD,只需证明=ACAD,且ACAD;最后总结证明 垂直且相等的方法: 1构造全等构造全等 当要证明的的两条边垂直且相等的时候,两条边没有在同一个三角形中,通常要构造两个边 所在的三角形全等 2倍长证垂直相等倍长证垂直相等 当要证明的的两条边垂直且相等的时候,两条边在同一个三角形中,通常要倍长一条边,证 垂直相等,如图要证明=ABCD,且ABCD时,只需要延长 CB 到点 D 使BDBC,连接 AD,只需证明=A

5、CAD,且ACAD 模块一 正方形的性质和判定 (1)如图 1-1,等边BCP在正方形 ABCD 内,则APD_ (2)如图 1-2,已知正方形 ABCD 的面积是 64,BCE为等边三角形,F 是 CE 的中点,AE、BF 交于点 G, 连接 CG,连接 BD 交 AE 于点 H,则AHB_,CG _ 图 1-1 图 1-2 (3)如图 1-3,在正方形 ABCD 中,点 P,Q 为正方形内的两点,且PDPB,QBAB,CBPQBP, 则BQP_ (4)如图 1-4,点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点,PEBC于点 E,PFCD于点 F,连接 EF 给出 下列五个结论: AP

6、EF; APEF; APD一定是等腰三角形; PFEBAP; PDEC 其 中正确结论的番号是_ 图 1-3 图 1-4 (1); (2), ; (3); (4)延长 FP 交 AB 于点 N,延长 AP 交 EF 于点 M,如右图 例题 1 A B D F EC P B A C Q P D D A C F E B H G C A B D P (1) 如图, 在正方形 ABCD 外取一点 E, 连接 AE、 BE、 DE 过点 A 作 AE 的垂线交 DE 于点 P 若A E A P , PB 下列结论: APDAEB; 点 B 到直线 AE 的距离为; EBED; APDAPB SS; 正方

7、形ABCD S 其中正确结论的序号是( ) A B C D (2)如图,正方形 ABCD 中,AC 是对角线,今有较大的直角三角板,一边始终经过点 B,直角顶点 P 在射线 AC 上移动,另一边交 DC 于 Q 、如图,当点 Q 在 DC 边上时,写出 PB 与 PQ 数量关系(直接写出结论) ; 、如图,当点 Q 落在 DC 延长线上时,写出 PB 与 PQ 的数量关系(直接写出结论) 图 图 (1)D; (2)PBPQ;证明:过 P 作PEBC,PFCD, P,C 为正方形对角线 AC 上的点, PC 平分DCB,DCB,PFPE, 四边形 PECF 为正方形, BPEQPE,QPEQPF

8、, BPEQPF,RtRtPQFPBE,PBPQ PBPQ;证明:过 P 作PEBC,PFCD, P,C 为正方形对角线 AC 上的点, PC 平分DCB,DCB, PFPE,四边形 PECF 为正方形, BPFQPF,BPFBPE, BPEQPF,RtRtPQFPBE,PBPQ 【教师备课提示】【教师备课提示】 例题 2 AB CD P Q AB CD Q P A E BC D P 相关结论 图例剖析 1 正方形对角线上任意一点到另外两个 顶点的距离相等,反之也成立; 2 过正方形对角线上任意一点构造直角 与正方形交于两点,此时形成的两条线 段必定相等,反之不成立 1EDEB,EBCEDC,

9、 AEBAED; 2若 FGFH,则 FG=FH (过 F 点 分别作 BC、CD 边的垂线,证明两个 直角三角形全等即可) 已知:如图,在矩形 ABCD 中,BE 平分ABC,CE 平分DCB,BF/CE,CF/BE求证:四边形 BECF 是正 方形 证明:BF/CE,CF/BE, 四边形 BECF 是平行四边形, 又在矩形 ABCD 中,BE 平分ABC,CE 平分DCB, EBAECB , BEC ,BECE, 四边形 BECF 是正方形 模块二 弦图 (1)如图 4-1,四边形 ABCD 是正方形,直线 l、m、n 分别通过 A、B、C 三点,且/ / /lmn,若 l 与 m 的距

10、离为 5,m 和 n 的距离为 7,则正方形 ABCD 的面积为_ (2) (树德半期改编)如图 4-2,在ABC中,ACB ,ACBC,在DCE中,DCE , DCEC ,ACD ,MNBE,则CM的长度为_ 图 4-1 图 4-2 (1)74; (2)7; 【点评】【点评】这道题主要是让学生们找到构造弦图的感觉第(2)题为正方形“婆罗摩笈多”中的“知垂直,证中 点” , 利用弦图的方法可以求证, 分别过 A、 D 向 MN 作垂线即可, 而此题重点要向学生强调BECM 的结论 例题 3 例题 4 DC A l B m n C A B D EN M A ED B C F 模块三 垂直且相等模

11、型 如图, 正方形 ABCD 的边长为 6,AE , O 是 AD 的中点, 且AE , 那么EFG 的面积为_ 思路:作垂线构造全等, (ASA)EFIOGH, 则OGEFOE , 且GOEF; 所以: 11 S EFGEFGO 已知正方形 ABCD 中,E 为对角线 BD 上一点,过点 E 作EFBD交 BC 于 F,连接 DF,G 为 DF 中点,连接 EG,CG (1)求证:EGCG,且EGCG; (2) 将图 6-1 中三角形 BEF 绕 B 点逆时针旋转, 如图 6-2 所示, 取 DF 中点 G, 连接 EG, CG, 求证:EGCG 且EGCG; (3)将图 6-2 中三角形

12、BEF 绕 B 点旋转任意角度,如图 6-3 所示,再连接相应的线段,问(2)中的结论是否 仍然成立? 图 6-1 图 6-2 图 6-3 (1) DCBC,DCF为直角三角形 又G 为 DE 中点, CGDF ,且CGFCDG 同理EGDF ,且EGFEDG CG=EG,且EGC ,即EGCG (2)方法一:如图 1,延长 EG 交 AD 延长线于点 M,连接 CM、CE,易证DMGFEG、 BDEDCM,然后可证ECM为等腰直角三角形,于是EGCG,同时还可得EGCG; 方法二:如图 2,延长 CG 到 M,使得MGCG,连接 MF、ME、EC,类似方法一通过证两次全等和 一个等腰直角三角

13、形即可证得结论; 图3图2图1 A E B F C DA E B F C G D A E BF C G D 例题 5 例题 6 (3)结论为EGCG且EGCG,证明思路如下: 如图, 延长CG到M, 使得MGCG, 连接MF、 ME、 EC, 并延长MF交BC于点H, 先证MGFCGD, 再通过证明四边形 EBHF 对角互补证明EFMEBC , 而可证EFMEBC及MEC为等腰直 角三角形,于是 EG=CG 且EGCG 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题来源于母子型的变形,可以给同学们提一下 推导垂直且相等模型的结论 (1) (2) (3) 例题 7 1 如图 1-1, 在正方形 ABCD

14、 中, AC 为对角线, 点 E 在 AB 边上,EFAC于点 F, 连接 EC,AF ,EFC 的周长为 12,则 EC 的长为_ 2如图 1-2,以正方形 ABCD 的一边向正方形外作等边三角形 ABE,BD 与 EC 交于 F,则AFD等于( ) A B C D 图 1-1 图 1-2 3如图 1-3,已知 E、F 分别是正方形 ABCD 的边 BC、CD 上的点,AE、AF 分别与对角线 BD 相交于 M、N, 若EAF ,则CMECNF_ 4若正方形 ABCD 的边长为 4,E 为 BC 边上一点,BE ,M 为线段 AE 上一点,射线 BM 交正 方形的一边于点 F,且BFAE,求

15、 BM 的长 5如图 1-5,AD 为正方形 ABCD 对角线,G 为对角线上任意一点,若 GFGE,且GF ,则GE _ 图 1-3 图 1-5 15;2A;3100;4 (如图 1)或 (如图 2) ;54 演练 1 D C A F E B AD E F B C D A F E B C N M A B F G C ED 图 1 图 2 6如图,正方形 ABCD 的边长为 5,直线l/l/l/l,且直线l和直线l之间的距离为 1,如果正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条直线上 (1)证明:AEDCFB; (2)求直线l与l之间的距离 h (1)ADEAED ,ADEEDF , EDFBFC

16、 ,AEDCFB ,易证AEDCFB (2) 方法一: 分别过A作直线l的垂线AH, 交l于点P, 由弦图易证AHBDPA BHAPh, 在ABH中,()hh ,解得h 方法二:分别过 B、D 作直线l的垂线,利用弦图证明全等即可 7如图,以ABC的边 AC、AB 为一边,分别向三角形的外侧作正方形 ACFG 和正方形 ABDE,连接 EG求 证: ABCAEG SS 思路一:过 B、E 分别作 AC、AG 的垂线, 只需证明BAQEAK得BQEK从而得证 证明:过 B 作 BQ 垂直 AC 的延长线于点 Q,过点 E 作 EK 垂直 AG 于 K EAKBAC,NACBAC, EAKBAQ

17、在ABQ和AEK中 BAQEAK AQBAKE ABAE , ABQAEK,BQEK, 又 ABC SAC BQ , AEG SAG EK , ABCABC SS 思路二:将AEG绕点 A 旋转,使得点 A 是 BN 中点,从而得证 PH l4 l3 l2 l1 A B D C E F 1 P H 11 l4 l3 l2 l1 A B D C E FF E C D B A l1 l2 l3 l4 演练 2 演练 3 K Q E D BC A F G D G z E F BC A 证明:延长 BA 到 N,使ABAN,连结 CN显然 ABCACN SS EAGBAC,BAQBAC, EAGNAC

18、 在ACN和AGE中 EANA EAGNAC AGAC , ACNAGE, ACNAGE SS, AEGACN SS 8已知 P 为等腰直角ABC的斜边 AB 上任意一点,PE、PF 分别为 AC、BC 之垂线,垂足为 E、FM 为 AB 之中点求证 E、M、F 组成等腰直角三角形 证明:延长 EM 至 N,使EMMN,连接 EF,FN,BN, 则AEMBNM,EMMN,AEBN,AMBN , PEAC,PFBC,C , 四边形 PECF 是矩形,CFPEAEBN,ACBC,CEBF, ABC ,MBN ,FBN FBNC , 又CFBN,ECBF,ECFFBN,EFFN,FECNFB , 又

19、FECEFC ,NFBEFC , EFFN,又EFFN,EMMN, EMF是等腰直角三角形 【提示提示】连接 CM 利用直角三角形斜边中线会更简单 A B C E F P M N 演练 4 在三角形中最特殊的就是等边三角形,同样地,在四边形中也存在最特殊的平行四边形也就是正方形,而这 两个图形是我们数学中排名第二美和第三美的图形,排名第一美的就是我们以后要学习的圆。为什么老师说它们 是最美的呢?看看我们手里的一套尺子,有两个三角板、一个量角器和一个直尺,先说这两个三角板是怎么来的, 都来自于我们最美的图形,、的直角三角形其实来自等边三角形,是等边三角形的一半;、 的直角三角形来自于正方形,是正方形的一半;量角器也是来自于圆,是圆的一半。 思考问题:思考问题:给大家 4 个火柴棍,如何能拼出 5 个正方形呢? 知 识 链 接 N G F A C B D E M P F E CB AA E CFB P M