1、 第第 1414 讲讲 一次函数和几何综合（一）一次函数和几何综合（一） 模块一：直线与坐标轴围成的面积模块一：直线与坐标轴围成的面积 1一条直线和坐标轴围成的面积一条直线和坐标轴围成的面积 （1）求一次函数ykxb和坐标轴的交点坐标，即(0, )b和, 0 b k ； （2）直线和坐标轴围成的面积： 1 | | 2 b Sb k 2两条直线和坐标轴围成的面积两条直线和坐标轴围成的面积 （1）求两个一次函数的交点，联立方程组，解方程组； （2）求直线和 x 轴或 y 轴的交点，进行面积求解 模块二：几何中的割补思想和铅锤法模块二：几何中的割补思想和铅锤法 对于平面直角坐标系下的任意图形的面积，
2、都可以采用割补思想。遇到一个比较难处理或不能直接处理的 图形的面积，不妨尝试割补，让图像变得规则能够对面积间接的进行求解 铅锤法： （1）求三个一次函数两两的交点坐标，联立方程组，解方程组； （2）铅垂法求三角形面积： 1 2 S 水平宽 铅锤高 （实际上铅垂线法也是割补法的一种） 模块三：一次函数和全等综合模块三：一次函数和全等综合 （1） 求一次函数 4 4 3 yx 的图象与两坐标轴的交点坐标， 并求出该一次函数与两坐标轴围成三角形的面积 （2）已知一次函数3ykx的图象与 x 轴、y 轴围成的三角形面积为 15，则此一次函 数解析式为_ 【解析】【解析】（1）设该一次函数与 x 轴的交
3、点为 A，与 y 轴的交点为 B 令0y ，得 4 40 3 x，解得3x ，故(3,0)A，3OA ； 令0 x ，得4y ，故(0, 4)B，4OB 模块一 直线与坐标轴围成的面积 例题1 4 4 3 yx y x O y B A x C O y B OA x C y B OA x O y x B A y=-x+2 则 11 346 22 ABC SOA OB （2） 3 3 10 yx 或 3 3 10 yx 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查一条直线和坐标轴围成的图形面积： （1）求一次函数ykxb和坐标轴的交点坐标，即(0, )b和, 0 b k ； （2）直线和坐标轴围成的
4、面积： 1 | | 2 b Sb k （1）已知两直线 2 3 3 yx 和21yx，则它们与 y 轴所围成的三角形的面积是_，与 x 轴围成的 三角形面积是_ （2）已知直线 1 l经过点( 1, 0)A 与点(2,3)B，另一条直线 2 l经过点 B，且与 x 轴相交于点() ,0P m 求直线 1 l的解析式； 若APB的面积为 3，求 m 的值 【解析】【解析】（1）3，4； （2）1yx；1m 或 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查两条直线和坐标轴围成的图形面积： （1）求两个一次函数的交点，联立方程组，解方程组； （2）求直线和 x 轴或 y 轴的交点，进行面积求解 直线2
5、yx 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B，另一条直线(0)ykxb k过点(1, 0)C，且把AOB分成 两部分 （1）若AOB被分成的两部分面积相等，求 k 和 b 的值； （2）若AOB被分成的两部分面积之比为1:5，求 k 和 b 的值 【解析】【解析】（1）(2,0)A、(1, 0)C， 2OA ，1OC ， C 为 OA 的中点 BOCABC SS ， 将(0, 2)B和(1, 0)C代入ykxb， 得2k ，2b ； （2）本题有两种情形： 过点 C 作直线 1 l交 AB 于点 1 P，或作直线 2 l交 y 轴于点 2 P 1 222 2 AOB S ， 12 11 6
6、3 ACPCOPAOB SSS ， 又1OCAC， 点 1 P、 2 P的纵坐标都为 2 3 ， 3 例题2 例题3 易得 1 42 , 33 P 、 2 2 0, 3 P 把 1 42 , 33 P 和(1, 0)C的坐标代入 11 yk xb，求得 1 2k ， 1 2b ； 将 2 2 0, 3 P 和(1, 0)C的坐标代入 22 yk xb，求得 2 2 3 k ， 2 2 3 b 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查分面积比例的问题 （1）如图 4-1，在平面直角坐标系中，四边形各顶点坐标分别为(2,3)A，(1,0)B，(5,2)C，(6,0)D则四边形 ABCD 的面积为
7、_ （2）如图 4-2，在平面直角坐标系中，三角形各顶点坐标分别为(4,0)A，(1,3)B，(7,5)C，则ABC的面积是 _ 图 4-1 图 4-2 【解析】【解析】（1）答案：10过 A、C 点作 x 轴垂线，垂足分别为 E、F（ “割” ） （2）答案：12过 B、C 点作 x 轴垂线，垂足分别为 D、E（ “补” ） 则 ABCBDACEABDEC SSSS 梯形 . 【教师备课提示】【教师备课提示】割补思想：割（割成梯形、三角形） ；补（补成矩形、直角梯形） （1）如图 5-1，已知一次函数的图象经过( 3, 5)A ，(5, 1)C两点，则 AOC 的面积为_. （2）如图 5-
8、2， ABC 三个顶点的坐标分别为(4,1)A， (5,5)B ，( 1,2)C ，则三角形的面积为_ 图 5-1 图 5-2 模块二 割补思想和铅锤法 例题4 例题5 y O BD x A C y x O B C A y x O A B C y B C A O x （3）已知直线 1: 2lyx， 2: 6lyx ， 3 1 : 2 lyx， 1 l与 2 l交于点 A， 2 l与 3 l交于点 B， 1 l与 3 l交于点 C，则 ABC 的面积为_ 【解析】【解析】（1）答案：14使用铅锤法，可以以O 点出发（OB 为铅锤高） ，可以以C 点出发（作平行于x 轴的水平 宽） ， 还可以以
9、A 点出发 （作平行与x 轴或 y 轴的直线， 与OC 或CO 的延长线交于一点， 再使用铅锤法） ， 最后一种情况需要讲一下 （2）铅垂线法得： 21 2 （3）铅垂线法得：12 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查三条直线围成的图形面积： （1）求三个一次函数两两的交点坐标，联立方程组，解方程组； （2）铅垂法求三角形面积： 1 2 S 水平宽 铅锤高； 一定要让学生理解并学会灵活运用铅锤法 如图，直线 3 1 3 yx 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，以线段 AB 为直角边在第一象限内作等腰RtABC， 90BAC，如果在第二象限内有一点 1 , 2 P a ，且ABP的面积
10、与ABC的面积相等，求 a 的值 【解析】【解析】由题意得， 3 1 3 yx ， 令0y ，得 3 1 3 x，解得3x ，故( 3, 0)A； 令0 x ，得1y ，故(0,1)B3OA ，1OB ， 由勾股定理得，2AB ，2 ABPABC SS . 法一（割补法） ：连 PO， 3 4 AOP S ， 2 BOP a S ， 3 2 AOB S ， 由 BOPAOBAOPABPABC SSSSS ，得 33 2 224 a ，解得 38 2 a 法二： （铅锤法） ： 思路：可以过 P 点作 x 轴平行线（水平宽） ，求ABP的面积； 可以过 P 点作 y 轴平行线，交 AB 延长线于
11、点 D，再运用铅锤法 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查含参的面积的计算： （1）这道题注意参数的取值范围，第二象限的点，a 值 为负数； （2）这道题在解法上也可以采用铅锤法，通过总结发现当我们遇到有动点时一般考 虑的是过动点去作铅锤线 在平面直角坐标系中，若四边形 ABCD 各顶点的坐标已知，探究四边形 ABCD 面积的求解方法（给出辅助线和 思路即可） 例题6 教师备选 【解析】【解析】思路：可以割（铅锤法） ，可以补. 此题方法很多：分四为三，连接 AC，再运用铅锤法； 分割成四个三角形和一个矩形； 补成一个大的矩形等等 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要是让学生们开动脑筋
12、，对割补思想更加理解，对铅锤法的运用更加熟悉 （武侯区期末压轴）如图 7-1 所示，直线 AB 交 x 轴于点(4,0)A，交 y 轴于点(0,4)B （1）如图，若 C 的坐标为( 1,0)，且AHBC于点 H，AH 交 OB 于点 P，试求点 P 的坐标； （2）在（1）的条件下，如图 7-2，连接 OH，求证：45OHP； （3）如图 7-3，若点 D 为 AB 的中点，点 M 为 y 轴正半轴上一动点，连结 MD，过点 D 作DNDM交 x 轴于 N 点，当 M 点在 y 轴正半轴上运动的过程中，式子 BDMADN SS 的值是否发生改变，如发生改变，求出该式子 的值的变化范围；若不改
13、变，求该式子的值 图 7-1 图 7-2 图 7-3 【解析】【解析】（1）由题意得，4OAOBAHBC于 H， 90OAPOPABPHOBC ， OAPOBC 在OAP与OBC中， 90COBPOA OAOB OAPOBC (ASA)OAPOBC， 1OPOC，则(0,1)P. （2）过 O 分别做OMCB于 M 点，ONHA于 N 点， 在四边形 OMHN 中，3603 9090MON ， 模块三 一次函数和全等综合 例题7 y A D x B O C y A D x B O C y A D x B O C 90COMPONMOP . 在COM与PON中，90 COMPON OMCONP
14、OCOP (AAS)COMPON， OMON，HO 平分CHA， 1 45 2 OHPCHA； （3）4 BDMADN SS 连接 OD，则ODAB， 45BODAOD ，45OAD，ODAD， 90MDONDAMDA 在ODM与ADN中， 135 MDONDA ODOA DOMDAN (ASA)ODMADN ， ODMADN SS ， BDMADNBDMODMBOD SSSSS 11111 444 22222 AOB SAO BO 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题是经典的一次函数和全等综合的题目，为各个学校必考题 平面直角坐标系内有两点(4,0)A和(0 4B ，），点 P 在直线 A
15、B 上运动 （1）若 P 点横坐标为，求直线 OP 的函数解析式； （2）若点 P 在第四象限，作BMOP于 M，作ANOP于 N，求证：MNBMAN； （3）若点 P 在第一象限，仍作直线 OP 的垂线段 BM、AN，试探究线段 MN、BM、AN 所满足的数量关系式， 直接写出结论，并画图说明 【解析】【解析】（1）设直线 AB 函数解析式为 4yx ， 当 x 为2时，P 的坐标为( 2, 6) 直线过原点，解析式为 （2）由题意可证 ， ， 2 P x O y 4 4 P N M B A y x P O N M x B A ykxb 041 44 kbk bb 6y OP3yx RtRt
16、BMOONA BMONANMO 例题8 （3）如右图，证明 可得结论 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题实际上是在考查弦图，第三问中还是有一定的难度 （1）一次函数23yx的图象与两坐标轴围成三角形的面积为_ （2）两条直线312yx， 3 3 2 yx与 y 轴所围成的三角形面积是_ （3）已知一次函数(0)ykxb k图象过点(0, 2)，且与两坐标轴围成的三角形面积为 2，则一次函数的解析 式为_ 【解析】【解析】（1） 9 4 ； （2）9； （3）2yx或2yx （实外期末）如图，直线 1 l过点(0 3) A ,，点(3, ) 0D，直线 2 1 :1 2 lyx与 x 轴交于
17、点 C，两直线 1 l， 2 l相交于点 B （1）求直线 1 l的解析式和点 B 的坐标； （2）求ABC的面积 【解析】【解析】（1）直线 1 l为：3yx ；点 4 5 , 3 3 B （2）点2 0C （， ），(3,0)D，0 3A （， ）， 4 5 , 3 3 B ， （法一）割补法： 11510 (23)3(23) 2233 ABCACDBCD SSS ； （法二）铅垂线法：设直线 BC 与 y 轴的交点 E 是(0,1)， 1410 (3 1)2 233 ABC S MNBMAN RtRtBMOONA MNBMAN 复习巩固 模块一 直线与坐标轴围成的面积 演练1 演练2 x
18、 y A B COD 如图，已知一次函数 1 2 yxb 的图象经过点(2, ) 3A，ABx轴于 B，连接 OA （1）求一次函数的解析式； （2）求AOB的面积； （3）设点 P 为直线 1 2 yxb 上的一点，且在第一象限内，OP 平分AOB的面积，求点 P 的坐标 【解析】【解析】（1） 1 4 2 yx ； （2）3 AOB S ； （3） 16 12 55 ， 如图，直线 1: 24lyx 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，直线 2 1 :3 2 lyx 与 x 轴、y 轴分别交于 C，D 两点设直线 1 l， 2 l交于点 P，求ADP的面积 【解析】【解析】 28 3
19、 求出 A、 B、 D、 P 三点坐标， 从 D 点出发， 若 BD 是铅锤高， P 点与 A 点的横坐标之差为水平宽， (水平宽和铅锤高情况不唯一) 已知ABC是边长为 2 的等边三角形，点 A，B 分别在 x 轴，y 轴上，AC x 轴，点 3Pa（，） 在第一象限内，且 满足2 ABPABC S=S ，求 a 的值 【解析】【解析】3可以用铅锤法，也可以连接 OP 补全图形 演练3 模块二 割补思想和铅锤法 演练4 演练5 P y A xO B y x 1 l 2 l C D P O B A y C AO x P B 在平面直角坐标系中，已知四边形 ABCD 各顶点的坐标分别为( 1,3
20、)A ，( 3,2)B ，(4,3)C，(3, 2)D，求四 边形 ABCD 面积 【解析】【解析】28此题方法很多： 分四为三，连接 AC，再运用铅锤法； 分割成四个三角形和一个矩形； 补成一个大的矩形等等 已知： 在平面直角坐标系 xOy 中， 点(0, 4)A、 点 B 和点 C 在 x 轴上 （点 B 在点 C 的左边） ， 点 C 在原点的右边， 作BEAC，垂足为 E（点 E 在线段 AC 上，且点 E 与点 A 不重合） ，直线 BE 与 y 轴交于点 D，若BDAC （1）求点 B 的坐标； （2）设 OC 长为 m，BOD的面积为 S，求 S 与 m 的函数关系式，并写出自变
21、 量 m 的取值范围 【解析】【解析】（1）如图，由BODAOC， 可知4BOAO， B点坐标为( 4, 0)； （2）由（1）可知DOOCm， 1 4 2 Sm，2Sm，m 的取值 范围是04m 如图，直线:6AB yx 分别与 x、y 轴交于 A、B 两点，点 P 为 A 点右侧 x 轴上的一动点，以 P 为直角顶点， BP 为腰在第一象限内作等腰直角BPQ，连接 QA 并延长交 y 轴于点 K，当 P 点运动时，K 点的位置是否发现 变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由 【解析】【解析】不变，如图，过点 A 作QH x 轴于点 H （法一：解析法）设OPa，则点 (6, )Q aa ，则直线 AQ 为：6x ， 点 K 坐标为：(0, 6) x y Q AO B P H K 演练6 模块三 一次函数和全等综合 演练7 演练8 y A D B O C x A BC D E x y (0,4) y Q B O K AP x （法二：几何法）易证得Rt RtQHPPOB ，因此QH OP ，OBHP 得到AHPHAPOBAPOAAPOP，所以 AHQ 的等腰直角三角形， 得到45OAK，所以6OKOA， (0,6)K