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初二数学讲义春 直升班 第16讲 一次函数和代数综合(教师版)

1、 第十二讲第十二讲 一次函数和代数综合一次函数和代数综合 模块模块一一:一次函数一次函数(0)ykxb k图像图像的的变换及特殊位置关系:变换及特殊位置关系: 1平移平移:上加下减,左加右减; 2对称对称:关于哪轴对称那轴对应坐标不变,另外一个变为原来的相反数; 3中心对称:中心对称:x 和 y 值都变 4三大变换通解方法:三大变换通解方法:找两个点(如与坐标轴的两个交点) ,进行相应变化后,再确定解析式 5特殊位置关系:特殊位置关系: (1)若两直线平行:k(斜率)相等(b 值不等) (2)若两直线垂直:两直线 k(斜率)互为负倒数,即 12 1kk 模块模块二二:一次函数和方程(组)综合:

2、一次函数和方程(组)综合 模块模块三三:一次函数和不等式综合:一次函数和不等式综合 (1)把函数24yx的图象向上平移 2 个单位,所得函数图象的解析式为_; (2)把函数34yx的图象向右平移 2 个单位,所得函数图象的解析式为_; (3) 把函数31yx 的图象向左平移 3 个单位, 再向下平移 2 个单位, 所得函数图象的解析式为_; (4)若将直线 l 的图象向右平移 3 个单位,再向上平移 2 个单位后,得到直线21yx ,则原直线解析式为 _ 解一元一次方程 一次函数 当时,求的值 确定直线 与轴交点的横坐标 解二元一次方程组 求一次函数 与图 象 的 交点坐标 两条直线 与相交

3、解一元一次不等式 或 一次函数 求当或时 的取值范围 当时,直线上的 点 在轴 上 方 时,点在轴下方 解一元一次不等式 一次函数与 ,求当 时的取值范围 以交点为界限, 直线 位于直线上方的那 部分 模块一 一次函数的图像变换 例题1 【解析】【解析】(1)26yx ; (2)32yx; (3)312yx ; (4)27yx 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查一次函数的平移规律:上加下减,左加右减规律可以记不住,但是一定要 让学生掌握本质,通过寻找特殊点(一般是与坐标轴交点)变换后的点,运用两点式或点斜 式来确定直线的解析式。 (1)若直线(0)ykx k经过点(1,3),则该直线关

4、于轴对称的直线解析式为_ (2)函数2yx 的图象关于y轴对称,得到的函数图象的解析式为_ (3)函数23yx的图象先关于y轴对称,再关于x轴对称,得到函数的解析式为_ _ 【解析】【解析】(1)将点(1,3)关于轴对称,得到(1,3),解析式为3yx (2)2yx; (3)23yx 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查一次函数的对称规律:关于哪轴对称哪个不变 (1)直线23yx关于(0, 0)对称的直线的解析式为:_ (2)直线 1111 (0)yk xb k与直线 2222 (0)yk xb k平行,则 12 _kk (3)直线 l 平行于直线2yx ,且过点(4,5),则 l 的解

5、析式为_ (4)直线 1111 (0)yk xb k与直线 2222 (0)yk xb k垂直,则 12 _k k (5)直线 l 垂直于直线32yx,且过点(1, 4),则 l 的解析式为_ (6)点(1, 2)A关于直线5yx 的对称点A的坐标是_ 【解析】【解析】(1)23yx; (2)=; (3)213yx ; (4)1; (5) 113 33 yx ; (6) (3, 4) 【教师备课提示教师备课提示】要求学生们记住一次函数中特殊情况的基本结论平移、轴对称、及中心对称变换的通用解 法:找两个点(如与坐标轴的两个交点) ,也相应变化后,确定解析式最后,学会点关于直 线对称的求解方法(点

6、斜式或两点式,垂直+中点) x x 例题2 例题3 (1)如图所示的是函数ykxb与ymxn的图象,则方程组 ykxb ymxn 的解是 _ (2)已知直线3yx与22yx的交点为( 5,8),则方程组 30 220 xy xy 的解是 _ (3)(育才期末) 两个关于 x、 y 的一次函数52yaxb和32yaxb的图象的交点坐标为(1,4), 则_a , _b 【解析】【解析】(1) 3 4 x y ; (2) 5 8 x y ; (3)1a , 1 2 b 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要理解一次函数和二元一次方程组之间的关系: (1)每一个二元一次方程都可以看成一次函数; (2)

7、以二元一次方程的解为横纵坐标的点是两个一次函数的交点 (可以这样来理解,解就是交点,交点就是解,但是形式不同) 直线 111 yk xb经过原点和点(2, 4),直线 222 yk xb经过点(8,2)和点(1,5) (1)求 1 y及 2 y的函数关系式,并作出图象; (2)若两直线相交于 M,求点 M 的坐标 【解析】【解析】(1)由题意得,直线 111 yk xb经过原点和点(2, 4), 1 11 0 24 b kb ,解得 1 1 2 0 k b , 1 2yx, 同理, 22 22 82 5 kb kb ,解得 2 2 1 6 k b , 2 6yx 图略,都是直线,各自找两个点即

8、可 (2)由题意得, 2 6 yx yx ,解得 2 4 x y ,交点(2, 4)M 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要告诉孩子们求交点,联立方程组 模块二 一次函数和方程(组)综合 例题4 例题5 4 3x y O 一次函数 211 44 xm y 与 9 33 xm y 图象在第四象限内交于一点,求整数 m 的值 【解析】【解析】由题意得, 211 44 9 33 xm y xm y ,解得 23 2 xm ym ,交点坐标为(23,2)mm 交点(23,2)mm在第四象限内, 230 20 m m , 解得 3 2 2 m m , 3 2 2 m整数m的值为1,0,1 【教师备课提

9、示教师备课提示】这道题主要考查含参一次函数求交点,主要是考查二元一次方程组和不等式 在直角坐标系中,横纵坐标都是整数的点称为整点,设 k 为整数,当直线3yx与直线ykxk的交点为整 点时,求此时 k 的值 【解析】【解析】由题意得, 3 (1) yx k ykxk ,解得 3 1 3 3 1 k x k k y k ,交点 33 ,3 11 kk kk 只需保证 3 1 k x k 为整数,将 x 的值分离常数得 4 1 1 x k , 11,2,4k ,故5,3, 2,0,1,3k 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查一次函数的整点问题,整点问题分离常数 注意:这道题的易错点在于直线

10、y kxk 中,k 是可以取 0 的 (1)无论k取何实数,函数3ykx一定过定点_ (2)无论k取何实数,函数5ykxk一定过定点_ (3)已知函数(2)23ymxm,求证:无论m取何实数,此函数图象恒过一定点,并求出此定点 【解析】【解析】(1)(0, 3); (2)(5, 0); (3)由题意得,(2)23yxmx,则此函数图象恒过定点( 2,1); 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查一次函数过定点的问题,相对来说理解较难 例题6 例题7 例题8 在同一直角坐标系中画出 1 1yx 与 2 2yx的图象,通过观察图象,填空: 当 x_时, 1 0y =,当 x_时, 1 0y ;

11、 当 x_时, 2 0y =,当 x_时, 2 0y ; 当 x_时, 12 yy,当 x_时, 12 yy; 当 x_时, 12 1yy 【解析】【解析】1 ,1 ;2 ,2 ; 3 2 , 3 2 ; 3 0 2 x 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查一次函数和不等式的关系: (1) 把不等式的每一边都看成函数; (2) 函数值比大小, 图象比高低, 谁高谁就比较大; (3) 注意求得是 x 的取值范围 (1) 如图 10-1, 直线(0)ykxb k与 x 轴的交点为( 2, ) 0, 则关于 x 的不等式 0kxb的解集是_ (2) (嘉祥期末)如图 10-2,已知函数yxb和

12、3yax的图象交点为 P,则不等式3xbax的解集为 _ (3)如图 10-3,直线经过( 2, 1) A 和( 3,0) B 两点,则满足不等式组 1 0 2 xkxb的 x 的取值范围 为_ 图 10-1 图 10-2 图 10-3 【解析】【解析】(1)2x ; (2)1x ; (3)画出直线的图象恰好过点( 2,1),利用图象法解得 【教师备课提示教师备课提示】一次函数和不等式结合,不太好理解,需要让孩子们多练习下,多巩固一下 ykxb 1 2 yx32x 模块三 一次函数和不等式综合 例题9 例题10 x y B A O x y yxb=+ 3yax=+ P O1 x y O 2-

13、(1) 将直线l向左平移2个单位, 并向下平移4个单位, 得到直线31yx, 则原直线l的解析式为_ (2)将直线2(1)yx关于 x 轴对称所得直线的解析式为_ (3) (育才期末)平面直角坐标系中,把直线3yx 沿y轴平移后得到直线 AB,如果点( , )A a b是直线 AB 上 的一点,且 1 1 3 ab ,则直线 AB 解析式为_ (4)直线35yx 关于(0,0)对称的直线的解析式为:_ (5)直线 l 平行于直线22yx ,且过点(3, 2),则 l 的解析式为_ (6)直线 l 垂直于直线45yx,且过点(2,1),则 l 的解析式为_ (7)点(4,3)A关于直线21yx

14、的对称点A的坐标是_ 【解析】【解析】(1)31yx; (2)22yx ; (3)33yx ; (4)35yx ; (5)28yx ; (6) 11 42 yx ; (7)( 4,1). 复习巩固 模块一 一次函数的图像变换 演练1 -1 P(1,1) 2 2 O y x (1)已知一次函数yxa 与yxb的图象相交于点( ,8)m,则ab_ (2)用图象法解二元一次方程组时,在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象,如图所示,则所解 的二元一次方程组是( ) A 20 3210 xy xy B 210 3210 xy xy C 210 3250 xy xy D 20 210 xy xy

15、 【解析】【解析】(1)由题意得, 8 8 ma mb , 16ab; (2)D k 取何值时,直线210 xyk ,220 xyk的交点在第三象限内 【解析】【解析】由题意得, 210 220 xyk xyk , 得 1 3 2 3 xk y , 由 1 0 3 k,得 1 3 k 求证:不论k为何值,一次函数(21)(3)(11)0kxkyk的图象恒过一定点 【解析】【解析】由一次函数解析式得(21)(311)0 xykxy 因为该等式对一切k值均成立,所以得 210 3110 xy xy ,解得 2 3 x y 当2x ,3y 时,一次函数解析式变为恒等式,所以函数图象过定点(2,3)

16、模块二 一次函数和方程(组)综合 演练2 演练3 演练4 如图,已知直线yaxb与直线yxc的交点的横坐标为 1,根据图象有下列四个结论:0a ;0c ; 对于直线yxc上任意两点(,) AA A xy,(,) BB B xy, 若 AB xx, 则 AB yy; 1x 是不等式axbxc的 解集 其中正确的结论是( ) A B C D 【解析】【解析】C 如图,直线ykxb经过点(0,5)A,(1, 4)B (1)求直线 AB 的解析式; (2)若直线24yx与直线 AB 相交于点 C,求点 C 的坐标; (3)根据图象,写出关于 x 的不等式24xkxb的解集 【解析】【解析】(1)直线ykxb 经过点(5,0)A,(1, 4)B 50 4 kb kb ,解方程得 1 5 k b , 直线 AB 的解析式为5yx ; (2)直线24yx与直线 AB 相交于点 C, 解方程组 5 24 yx yx ,得 3 2 x y ,点 C 的坐标为(3, 2) (3)3x 模块三 一次函数和不等式综合 演练5 演练6 1 y=ax+b y=x+c O y x y x 24yx 4 15O C B