1、 第第 1515 讲讲 一次函数和几何综一次函数和几何综合（二）合（二） 模块一：一次函数和将军饮马模型综合模块一：一次函数和将军饮马模型综合 “将军饮马”问题比较经典，近两年常出现在压轴题的第 2、3 问，但是在考试中往往不是单一出现，而是 “将军饮马”模型和一次函数、勾股定理、特殊的四边形结合在一起考试，综合考察 模型模型 I：最小问题：最小问题 模型模型 II：最大问题：最大问题 模块二：一次函数与折叠问题模块二：一次函数与折叠问题 一次函数斜率与倾斜角（直线与 x 轴正方向所形成的夹角）的关系： 角度角度 30 45 60 120 135 150 斜率斜率 3 3 1 3 3 1 3
2、3 方法：解析法（根据折叠前后图像对称） 、几何法（解直角三角形） （树德期末改编）如图，已知ABC三个顶点坐标分别为(0, 4)A，( 2,2)B ，(3,0)C，点 P 在线段 AC 上移 动当点 P 坐标为(1,)m时，请在 y 轴上找点 Q，使PQC周长最小，画出图形并求出 Q 点坐标 l P P B A l B P A B P l A B C D P2 P1 P O B A F E D C C D A O B D C P P A O B l PP A B l B P B A 模块一 一次函数和将军饮马模型综合 例题1 【解析】【解析】(0, 4)A，(3,0)C，直线 AC 的解析式
3、为 4 4 3 yx ； 点 P 在线段 AC 上移动，点 P 坐标为(1, m)， 8 1, 3 P ， 作 P 点关于 y 轴的对称点 P，连接P C交 y 轴于 Q，此时PQQCPC， 根据两点之间线段最短，Q 就是使PQC周长最小的点；则 8 1, 3 P 直线 PC 的解析式为 2 2 3 yx，Q 点的坐标为(0, 2) 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查最一般的将军饮马，基本思路： （1）过定点作定直线的对称点； （2）作对称的目的是转移线段 如图， 在直角坐标系中有四个点( 6,3)A ，( 2,5)B ，(0,)Cm，( ,0)D n， 当四边形 ABCD 周长最短时
4、， 则mn _，此时四边形 ABCD 的面积为_ 【解析】【解析】作 A 点关于 x 轴对称点A，作 B 点关于 y 轴对称点B，连接A D，B C 四边形 ABCD 周长最短，且 AB 长度一定， 必须使ADCDBC最短， 即 A、 D、 C、B共线， 设直线AB 为ykxb， 则( 6 , 3 )A ，(2,5)B， 将其代入直线中得：1k ，3b ，3yx， (0,)Cm，( ,0)D n， 则代入直线方程中，得：3m ，3n ， 因此，0mn，通过四个点坐标易求出四边形 ABCD 面积为 15 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查两个动点的将军饮马模型，思路一样，过定点作定直线的
5、对称点 例题2 例题3 x y C P A O B g x y C P A O B gP Q y x A B C DO y x A B C DO B A （育才期末改编）如图，在直标系内，一次函数 1 1 2 yx 的图象分别与 x 轴、y 轴和直线4x 相交于 A、B、 C 三点，直线4x 与 x 轴交于点 D （1）若点 M 在 x 轴上运动，当 M 运动到某个位置时，|MBMC最小，试求出此时点 M 的坐标； （2） 若点 G 在直线 CD 上， 点 H 在直线 AB 上， 试问： 在 （1） 条件下， 是否存在某个合适的位置， 使得MGGH 取得最小值？如果存在请直接写出这个最小值和此
6、时点 H 的坐标；如果不存在请说明理由 【解析】【解析】（1）由条件：(0, 1)B，(4, 3)C， 如图，当MBMC时，|MBMC最小为 0， 故作线段 BC 的中垂线交 x 轴于 M，交 BC 于 N，点 M 就是符合题意 的点，设点 M 的坐标为：( ,0)m，则： 2222 ( 1)(4)( 3)mm ， 解得3m ，(3,0)M； （2）存在如图，作点 M 关于直线 CD 的对称点 M， 过点M作M HBC于 H，交 CD 于 G，则点 G，H 就是符合条件 的点，(5,0)M， 直线M H解析式为：210yx，与直线 CD 交点为点 G：(4,2) 与直线 AB 交点为点 H：
7、1 1 2 210 yx yx ，解得： 18 5 x ，H 点坐标为： 1814 , 55 MGGH的最小值为 7 5 5 MH= 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查将军饮马+垂线段最短，相对较难 （1）如图 4-1，矩形 OABC 在平面直角坐标系中，AC 的解析式为 3 1 3 yx ，把ABC沿 AC 对折，点 B 落在B处，线段AB与 x 轴交于点 D，则CDB的面积为_ 模块二 一次函数与折叠问题 例题4 A B C DO 4x = y x A B C DO 4x = y x M N A B C DO 4x = y x M N M G H （2） （嘉祥期末）直角三角形 A
8、OB 在平面直角坐标系中如图 4-2 所示，O 与坐标原点重合，点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，直线 AB 的解析式为 3 2 3 3 yx，将AOB沿直线 BE 折叠，使得 OB 边落在 AB 上，点 O 与 点 D 重合则点 D 的坐标为_ 图 4-1 图 4-2 【解析】【解析】（1） 3 6 ； （2）过 D 作DGOA于 G， 沿 BE 折叠 O、D 重合， 2DE ， 30DAE， 60DEA，90ADEBOE ， 30EDG， 1GE ，3DG ， 123OG ， D 的坐标是：( 3,3). 也可以用解析法，求点 O 关于直线 BE 的对称点 D （1）如图 5-1
9、，直线 4 8 3 yx 与 x 轴，y 轴分别交于点 A 和 B，M 是 OB 上的一点，若将ABM沿 AM 折 叠，点 B 恰好落在 x 轴上点B处，则直线 AM 的解析式为_ （2） （实外期末）如图 5-2，直线 4 4 3 yx 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，M 是 y 轴上一点，若将ABM沿 AM 折叠，点 B 恰好落在 x 轴上，则点 M 的坐标为_ 图 5-1 图 5-2 例题5 y B OAx y B O A x B M y B OA x D E 【解析】【解析】（1） （解析法） ：当0 x 时， 4 88 3 yx ，即(0,8)B， 当0y 时，6x ，即(6,
10、0)A，所以10ABAB ，即( 4,0)B ， 因为点 B 与B关于 AM 对称，所以BB的中点为 04 80 , 22 ， 即( 2,4)在直线 AM 上，设直线 AM 的解析式为 ykxb， 把( 2,4)，(6, 0)，代入可得 1 3 2 yx （几何法） ：直线 4 8 3 yx 与 x 轴，y 轴分别交于点 A 和 B， (6,0)A，(0,8)B， 22 6810AB， 则10AB ， 设OMx， 则8B MBMBOMOx，1064B OABAO， 222 4(8)xx，解得3x ， (0,3)M又(6,0)A， 故直线 AM 的解析式为 1 3 2 yx . （2）(0, 6
11、)或 3 0, 2 （成外期末）将矩形 OABC 放在平面直角坐标系中，顶点 O 为原点，顶点 C、A 分别在 x 轴和 y 轴上在 OA 边上选取适当点 E，连接 CE，将EOC沿 CE 折叠，如图 （1）若矩形 OABC 的边长8OA ，10OC ，如图 6-1，当点 O 落在矩形 OABC 内部的点 D 处时，过点 E 作 EG/x 轴交 CD 于点 H，交 BC 于点 G设( , )H m n，用含 n 的代数式表示 m 为_； （2）如图 6-2，将矩形 OABC 变为正方形，10OC ，当点 E 为 AO 中点时，点 O 落在正方形 OABC 内部的点 D 处，延长 CD 交 AB
12、 于点 T，求此时 AT 长度 图 6-1 图 6-2 【解析】【解析】（1）m 与 n 之间的关系式为： 2 1 5 20 mn； （2） （几何法） 解： （如图）连接 ET，由题意可知，EDEO，EDTC，10DCOC， E是 AO 中点，AEEO AEED 例题6 y B O A x D EG H C y B O A x D E T C 在RtATE和RtDTE中， TETE AEED ， RtRt(HL)ATEDTE ATDT 设ATx，则10BTx，10TCx， 在RtBTC中， 222 BTBCTC， 即 222 (10)10(10)xx， 解得2.5x ， 即2.5AT （解析
13、法） ：先求 O 点关于 CE 的对称点 D，再求 CD 解析式，最后求 T 点坐标 （1）在平面直角坐标系中，x 轴上一动点 P 到定点(1,1)A、(5,7)B的距离分别为 AP 和 BP，那么当BPAP最 小时，P 点坐标为_ （2）已知点 P 坐标是(4, 0)，点 Q 坐标是(6, 2)，在直线 yx 上找一点 M，使得 QMP 的周长最小，则点 M 的坐标为_ 【解析】【解析】（1） 3 , 0 2 ； （2）(3,3) （1）在直角坐标系中，有四个点(1,3)A、(3,1)B、(0, )Cn、( ,0)D m，当四边形 ABCD 的周长最小时，mn 的 值为_ （2）如图，在直角
14、坐标系中有线段 AB，50cmAB ，A、B 到 x 轴的距离分别为 10cm 和 40cm，B 点到 y 轴的 距离为 30cm，现在在 x 轴、y 轴上分别有动点 P、Q，当四边形 PABQ 的周长最短时，则这个值为_ 【解析】【解析】（1）由 A、B 两点固定可知，AB 的线段长度固定，故只需考虑 的长度， 取点B关于x轴的对称点(3,1) B ， 点A关于y轴的对称点( 1,3)A ， 易知当 A 、D、C、 B 四点共线时，的长度最小， 最小值为A B 易知直线A B 的解析式为：2yx ，此时(0, 2)C、(2,0)D，故 BCCDAD BCCDAD 复习巩固 模块一 一次函数和
15、将军饮马模型综合 演练1 演练2 O B A x y （2）(50 550)cm （树德期末） 如图， 将一矩形纸片 OABC 放在直角坐标系中， O 为原点， C 在 x 的正半轴上，6OA ，10OC ， 在 OA 上取一点 E，将EOC沿 EC 折叠，使 O 点落在 AB 边上的 D 点，则直线 CE 的解析式为_ 【解析】【解析】 110 33 yx （嘉祥期末）如图，矩形 OABC 在平面直角坐标系中，若 OA、OC 的长满足 2 |2| (2 3)0OAOC （1）求 B、C 两点的坐标； （2）把ABC沿 AC 对折，点 B 落在点B处， AB与 x 轴交于点 D，求直线BB解析
16、式 【解析】【解析】（1）根据题意得，2OA ，2 3OC ， 四边形 OABC 为矩形 2BCOA， 故(2 3, 2)B，(2 3,0)C， （2）法一：计算出( 3,1)B， 设直线BB的解析式为ykxb， 过点(2 3, 2)B和( 3,1)B， 有 22 3 13 kb kb ， 解得 3 4 k b 所以34yx 法二：利用 B 点坐标和BB的斜率。因为 AC 与BB垂直，则斜率乘积为1 （1）如图 5-1，在平面直角坐标系中，矩形 ABCO 的边 OA 在 x 轴上，边 OC 在 y 轴上，点 B 的坐标为(1,3)， 将矩形沿对角线 AC 翻折，点 B 落在点 D 的位置，且
17、AD 交 y 轴于点 E，那么点 D 的坐标为_ （2）如图 5-2，长方形 OABC 在平面直角坐标系 xOy 的第一象限内，点 A 在 x 轴正半轴上，点 C 在 y 轴的正半 轴上，30CDE，点 E 的坐标为(2, 4 3)现将长方形 OABC 沿 DE 折叠，使顶点 C 落在 AB 上的点C处， 则C的坐标为_ 4mn 模块二 一次函数与折叠问题 演练3 演练4 演练5 y D B A E OC x y BA OD C x B 图 5-1 图 5-2 【解析】【解析】（1）D 的坐标为 4 12 , 55 ： 法一：几何法，CEDAEO，1CD ，设DEx，则3CEx，用勾股定理 法二：解析法，求出 AC 的解析式，那么点 D 就是点 B 关于直线 AC 的对称点 （2）将长方形 OABC 沿 DE 折叠，使顶点 C 落在平面内的点C处， 60CEDC ED ，2C ECE， 1EB ，3C B， 213CBCEEB ，4 333 3C AABC B， (3,3 3)C 也可以用解析法，求点 C 关于直线 DE 的对称点C EB OA x D C C y