1、四边形动态问题四边形动态问题 模块一 动态几何中的函数关系 模块二 运动产生的特殊图形 动态几何问题指图形中的点、线或部分图形按照一定的方式或速度运动变化，从而探索出一些变化过程中 的函数关系的问题或存在性问题。 是近几年中考的一个热点类问题。 主要包括求解线段长度、 线段比例、 周长、 面积等函数关系；或在运动过程中产生的一些特殊图形、图形关系等问题。解题时要善于观察运动过程中的不 变性。 解决动态几何问题的三步曲：解决动态几何问题的三步曲： 1用自变量表示线段长（自变量一般为动点运动速度或某条线段长） ； 2分析运动停止条件，求出自变量取值范围； 3分析运动轨迹，重点关注临界情况，找到分类
2、讨论标准。 模块一 动态几何中的函数关系 已知：等边三角形 ABC 的边长为 4 厘米，长为 1 厘米的线段 MN 在ABC的边 AB 上沿 AB 方向以 1 厘米/秒的 速度向 B 点运动（运动开始时，点 M 与点 A 重合，点 N 到达点 B 时运动终止） ，过点 M、N 分别作 AB 边的垂 线，与ABC的其它边交于 P、Q 两点，线段 MN 运动的时间为 t 秒线段 MN 在运 动的过程中，四边形 MNQP 的面积为 S，运动的时间为 t求四边形 MNQP 的面积 S 随运动时间 t 变化的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围 当01t 时， 1 () 2 MNQP SPMQNMN
3、 四边形 1 3 3(1) 2 tt 3 3 2 t； 当12t 时 1 () 2 MNQP SPMQNMN 四边形 1 33(3) 1 2 tt 3 3 2 ； 当23t 时， 1 () 2 MNQP SPMQNMN 四边形 1 3(3 )3(4) 2 tt 7 33 2 t 综上所述， 3 3(01) 2 3 3(12) 2 7 33(23) 2 tt St tt 例题 1 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解动态问题的基本三步走 如图，在平行四边形 ABCD 中，4cmAD ，60A ，BDAD一动点 P 从 A 出发，以每秒 1cm 的速度 沿 ABC 的路线匀速运动，过点
4、P 作直线 PM，使PMAD （1）当点 P 运动 2 秒时，设直线 PM 与 AD 相交于点 E，求APE的面积； （2）当点 P 运动 2 秒时，另一动点 Q 也从 A 出发沿ABC的路线运动，且在 AB 上以每秒 1cm 的速度匀 速运动， 在BC上以每秒2cm的速度匀速运动 过Q作直线QN， 使QN/PM 设点Q运动的时间为t秒010t （）， 直线 PM 与 QN 截平行四边形 ABCD 所得图形的面积为 S cm2求 S 关于 t 的函数关系式 （1）当点 P 运动 2 秒时，2cmAP ， 由60A ，知1cmAE ，3cmPE 3 2 APE S cm2 （2）当06t 时，点
5、 P 与点 Q 都在 AB 上运动，设 PM 与 AD 交于点 G，QN 与 AD 交于点 F，则 AQt， 2 t AF ， 3 2 QFt，2APt ，1 2 t AG ， 3 3 2 PGt 此时两平行线截平行四边形 ABCD 的面积为 33 22 St 当68t 时，点 P 在 BC 上运动，点 Q 仍在 AB 上运动 设 PM 与 DC 交于点 G，QN 与 AD 交于点 F，则AQt， 2 t AF ，4 2 t DF ， 3 2 QFt， 6BPt ，10CPt，103PGt（），而4 3BD ， 故此时两平行线截平行四边形 ABCD 的面积为 2 5 3 10 334 3 8
6、Stt 当810t 时，点 P 和点 Q 都在 BC 上运动 设 PM 与 DC 交于点 G，QN 与 DC 交于点 F， 则202CQt，(202 ) 3QFt，10CPt，103PGt（） 此时两平行线截平行四边形 ABCD 的面积为 2 2 3 30 3150 3 3 Stt 故 S 关于 t 的函数关系式为 2 2 33 (0t6) 22 5 3 10 334 3 (68) 8 3 3 30 3150 3 (810) 2 t Sttt ttt 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要让孩子们练习下方法，锻炼计算能力 如图，矩形 OABC 顶点 B 的坐标为, 3)(8，定点 D 的坐
7、标为(12,0)，动点 P 从点 O 出发，以每秒 2 个单位长度 的速度沿 x 轴的正方向匀速运动，动点 Q 从点 D 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴的负方向匀速运动， 例题 2 例题 3 M DC A PB E PQ 两点同时运动，相遇时停止在运动过程中，以 PQ 为斜边在 x 轴上方作等腰直角三角形 PQR设运动时 间为 t 秒 （1）当t _时，PQR的边 QR 经过点 B； （2）设PQR和矩形 OABC 重叠部分的面积为 S，求 S 关于 t 的函数关系式 （1）当1t 秒时， PQR 的边 QR 经过点 B （2）当01t 时，如图 1-1 所示设 PR 交 BC
8、于点 G， 过点 P 作PHBC于点 H，则2CHOPt，3GHPH 139 8 3(223)36 22 OABCOPGC SSSttt 矩形梯形 ； 当12t 时，如图 1-2 所示设 PR 交 BC 于点 G，RQ 交 BC、AB 于点 S、T 过点 P 作PHBC于点 H，则2CHOPt，3GHPH QD=t，则4AQATt，3(4t)t 1BTBSABAQ 2 11 8 3(223)3(1) 22 OABCBSTOPGC SSSSttt 矩形梯形 2 1 519 2 tt 当 2t4 时，如图 1-3 所示设 RQ 与 AB 交于点 T， 则4ATAQt123PQt， 2 (123t)
9、 2 PRRQ 22222 11117 (123t)(4)1428 22424 PQRAQT SSSPRAQttt . 综上所述， 2 2 39 6 (01) 2 1 519(12) 2 7 1428(2t4) 4 tt Sttt tt 模块二 运动产生的特殊图形 例题 4 图 1-1 y C R B O PAQ Dx HG y C R B O PAQ D 图 1-2 y C R H OPAQD x GS T B 图 1-3 y C R OPAQD x T B 如图，在四边形 ABCD 中，DCAB，DAAB，3cmAD ，5cmDC ，8cmAB 如果点 P 由 B 点出发 沿 BC 方向以
10、 1cm/s 速度向点 C 匀速运动，同时点 Q 由 A 点出发以 2cm/s 速度沿 AB 方向点 B 匀速运动，当 Q 点到达 B 点时，两点同时停止运动，连接 PQ，设运动时间为( )t s （1）当 t 为何值时，P，Q 两点同时停止运动？ （2）当PQB为等腰三角形时，求 t 的值 （1）4t ； （2） 1 8 3 t ； 2 84 2t ， 3 328 2 7 t 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查运动过程中产生的等腰三角形，需要分类讨论，注意题目中的特殊角 如图 5-1，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A，C 的坐标分别为(12,0)A，(0, 4)C，
11、点 D 为 OA 边的中 点，连接 BD （1）直接写出点 D 的坐标：_，BD _； （2）如图 5-2，若点 M 从点 D 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿DABC运动，同时点 N 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿OCB运动，当点 M，N 相遇时运动即停止，设运动时间为 t（秒） ， 求使得MON为直角三角形时所有 t 值和取值范围 图 5-1 图 5-2 备用图 （1）(6, 0)，2 13 （2）如图 1 所示： 4OC ，6DA， 点 N 从 O 到 C 需要 4s，点 M 从 D 到 A 需要 2s 02t 时，点 N 在 OC 上，点 M 在 DA 上 当02t
12、 时，AOM为直角三角形 如图 2 所示： 当MNOC时，MON是直角三角形 MNOC，90MNO MNONOAOAM 四边形 OAMN 为矩形 ONAM 36tt 解得：3t 当3st 时，AOM为直角三角形 如图 3 所示： 当点 N 与点 C 重合时，NOM为直角三角形 例题 5 D P AQB C 图 1 y C B D OA x N M 图 2 y C B DOA x NM 图 3 y ()C N B D OA x M（ ） y C B DOA x y C B D OA x N M y C B D OA x N M 4ONOC， 4t 综上所述，当02t 时或3t 时或4t 时，NO
13、M为直角三角形 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查运动过程中产生的直角三角形，需分析运动过程 已知：矩形 ABCD 中，ADAB，O 是对角线的交点，过 O 任作一直线分别交 BC、AD 于点 M、N（如图 6-1） （1）如图 6-2，四边形 AMNE 是由四边形 CMND 沿 MN 翻折得到的，连接 CN，求证：四边形 AMCN 是菱形； （2）在（1）的条件下，如图 6-3，若4cmAB ，8cmBC ，动点 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发，沿AMB 和CDN各边匀速运动一周 即点 P 自AMBA停止， 点 Q 自CDNC停止 在运动过程中， 已知点 P 的速度为每秒
14、5cm，点 Q 的速度为每秒 4cm，运动时间为 t 秒，当 A、C、P、Q 四点为顶点的四边形 是平行四边形时，求 t 的值 图 6-1 图 6-2 图 6-3 （1）证法一：矩形 ABCD， AD/BC，ADBC， BMDN， ADDNBCBM， 即ANCM， 四边形 AMCN 是平行四边形， 由翻折得，AMCM， 四边形 AMCN 是菱形； 证法二：由翻折得，ANNC，AMMC，AMNCMN ， AD/BC， ANMCMN ， AMNANM ， AMAN， AMMCCNNA， 四边形 AMCN 是菱形； （2）设菱形 AMCN 的边长为 x cm，则8BMx， 在RtABM中， 222
15、ABBMAM， 即 222 48xx（）， 解得5x ， 5cmAM ， 显然，当点 P 在 AM 上时，点 Q 在 CD 上，此时 A、C、P、Q 四点不可能构成平行四边形，同理，点 P 在 AB 上时，点 Q 在 DN 或 CN 上，此时 A、C、P、Q 四点也不可能构成平行四边形，因此，只有 点 P 在 BM 上，点 Q 在 DN 上时，才能构成平行四边形，此时PCQA， 例题 6 A ND B O MC A ND B O MC E A ND BMC 点 P 的速度为每秒 5cm，点 Q 的速度为每秒 4cm，运动时间为 t， 5PCPMMCPMAMt， 844124QAADCDCQtt
16、， 5124tt， 解得 4 3 t ， 以 A、C、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时， 4 3 t 秒 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查运动过程中产生的平行四边形，需要分类讨论，注意题目中的特殊角 模块一 动态几何中的函数关系 如图，在矩形 ABCD 中，12cmAB ，8cmBC 点 E、F、G 分别从点 A、B、C 三点同时出发，沿矩形的边 按逆时针方向移动点 E、G 的速度均为 2cm/s，点 F 的速度为 4cm/s，当点 F 追上点 G（即点 F 与点 G 重合） 时，三个点随之停止移动设移动开始后第 t 秒时，EFG的面积为 S(cm2) （1）当1t 秒时
17、，S 的值是多少？ （2）写出 S 和 t 之间的函数解析式，并指出自变量 t 的取值范围 （1）如图 1，当1t 秒时，2AE ，10EB ，4BF ，4FC ，2CG ， 由 111 () 222 EBFFCGGCBE EBCGBCEB BFFC CSSSSG 梯形 2 111 (102)81044224cm 222 ； （2）如图 1，当02t 时，点 E、F、G 分别在边 AB、BC、CD 上移动， 此时2AEt，122EBt，4BFt，84FCt，2CGt， 111 () 222 EBFFCGGCBE EBCGBCEB BFFC CSSSSG 梯形 2 111 8(1222 )4 (
18、122 )2 (84 )83248(02) 222 ttttttttt 如图 2，当点 F 追上点 G 时，428tt，解得4t ， 当24t时，点 E 在边 AB 上移动，点 F、G 都在边 CD 上移动，此时48CFt，2CGt， 2(48)82FGCGCFttt， 演练 1 E B D FC G A E B D FC G A 1图 E B D F C G A 2图 11 (82 ) 8832 22 SFG BCtt 即832(24)Stt 在平面直角坐标系 xOy 中， 矩形 OABC 如图所示， 且5AO 、10OC ，RtDEF中，90D，6DEDF， DE 边在 x 轴上且 E 点
19、与原点重合，将RtDEF沿 x 轴的正方向以每秒 1 个单位的速度平移，当点 E 与点 C 重 合时停止运动，设平移的时间为 t，RtDEF与矩形 OABC 重叠部分的面积为 S，求在平移过程中 S 与 t 的函 数关系式 分为三种情况： 当05t 时，如图 1，设 EF 交 OA 于 Q， DFDE，90FDE， 45FED， 四边形 AOCB 是矩形， 90AOC， 45OQEFEO， 1OQOEtt ， 重叠部分的面积 2 11 22 QOE SSt tt ； 当56t 时，如图 2， 由知：OEOQt， 四边形 AOCB 是矩形， AB/OC，90QAB， 45QRAFED， 45AQ
20、RQRA， 5ARAQt ， 重叠部分的面积 11 ()(5) 5 22 AOER SSAROEOAtt 梯形 ， 即512.5St； 当610t 时，如图 3， 651QFQR， 重叠部分的面积 11 ()(16)517.5 22 SQRDEDQ； 综上所述： 2 1 ,(05) 2 512.5, (56) 17.5,(610) tt Stt t 模块二 运动产生的特殊图形 演练 2 F y B DOEC x A Q 1图 F y BR OEC x A Q 2图 D F y BR OEC x A Q 3图 D F y B DO( )EC x A 如图，正方形 ABCD 的边长为 6cm，P、
21、Q 分别是 BC、AD 边上的两个动点，点 P 从点 B 出发以 3cm/s 的速度 向点 C 运动，点 Q 从点 D 出发以 4cm/s 的速度向点 A 运动P、Q 两点同时出发，当 Q 到达 A 点时，Q、P 点 同时停止运动 过 Q 作QFBC于 F， 交 AC 于 E， 连接 EP 设运动的时间为( )x s，EPC的面积为 2 (cm )y 当 x 为多少时，EPC是等腰直角三角形 45ACB， PECE和PEFC时，EPC是等腰直角三角形， PECE时，2PCCF， 6324xx， 解得 6 11 x ， PEFC时，点 P 和点 F 重合， PCCF， 634xx， 解得 6 7
22、 x ， 综上所述， 6 11 x 或 6 7 时，EPC是等腰直角三角形 如图，在RtABC中，90B，5 3BC ，30C点 D 从点 C 出发沿 CA 方向以每秒 2 个单位长的速 度向点 A 匀速运动，同时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动，当其中一个点 到达终点时，另一个点也随之停止运动. 设点 D、E 运动的时间是 t 秒(0)t过点 D 作DFBC于点 F，连接 DE、EF （1）求证：AEDF； （2）四边形 AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 t 值；如果不能，说明理由； （3）当 t 为何值时，DEF为直角三角形？请说
23、明理由 （1）在DFC中，90DFC，30C，2DCt， DFt， 又AEt，AEDF； （2）能.理由如下： ABBC，DFBC，AE/DF. 又AEDF，四边形 AEFD 为平行四边形 tan3 3 5 35 3 0ABBC，210ACAB， 102ADACDCt 若使AEFD为菱形，则需AEAD 即102tt， 10 3 t 即当 10 3 t 时，四边形 AEFD 为菱形； （3）90EDF时，四边形 EBFD 为矩形 演练 3 演练 4 Q AD B PFC E A E BFC D 在RtAED中，30ADEC ，2ADAE即1022tt， 5 2 t 90DEF时， 由（2）知 EF/AD，90ADEDEF ，9060AC ， 1 2 ADAE即 1 102 2 tt，4t 90EFD时，此种情况不存在 综上所述，当 5 2 t 或 4 时，DEF为直角三角形