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初二数学讲义春 直升班 第9讲 特殊四边形的存在性问题(教师版)

1、特殊四边形的存在性问题特殊四边形的存在性问题 模块一 平行四边形的存在性问题 模块二 菱形的存在性问题 模块三 矩形的存在性问题 模块一:坐标系下平行四边形的存在性问题模块一:坐标系下平行四边形的存在性问题 1已知三点求第四点构成平行四边形: 如图所示,已知 11 ( ,)B xy, 22 (,)C xy, 33 (,)D xy,在平面内找一点( , )A x y,使得以 A、B、C、D 为顶点的 四边形为平行四边形 2解决方法,分两步走: (1)找点:连接 BC、CD、BD 得到BCD,以三角形中任意一条边作为平行四边形的对角线,另外两条 边作为平行四边形的一组邻边,依次做两邻边的平行线,分

2、别相交于 A、A、A三点 (2)求点定点:分类讨论,以哪条线为对角线分类讨论 几何中心法(适用解答大题) : 在平行四边形 ABCD 中, 连接其对角线 AC、 BD 相交于点 00 (,)E xy, 则 E 是 BD 的中点,E 点坐标可表示为 1313 , 22 xxyy , 同理 E 也是 AC 的中点,E 点坐标也可表示为 22 , 22 xxyy , 132 22 xxxx , 132 22 yyyy ,由此即可求出 A 点坐标 同理可以求得,A、A的坐标 公式法(填空选择题) : 直接利用对角的点的横坐标的和相等,纵坐标的和相等,即 132 xx =xx, 132 yy =yy 模

3、块二:菱形的存在性问题模块二:菱形的存在性问题 1题型描述:已知两个定点 A、B,在定直线 l 上有一点 C,在平面内有一点 D 使得以 A、B、C、D 为顶 点的四边形为菱形 2解决方法,分两步走: (1)转化:转化为等腰三角形的存在性问题 (2)等腰三角形存在性问题: 找点:两圆一线; 求点:以谁为顶点分类讨论 模块三:矩形的存在性问题模块三:矩形的存在性问题 1题型描述:已知两个定点 A、B,在定直线 l 上有一点 C,在平面内有一点 D 使得以 A、B、C、D 为顶 点的四边形为矩形 2解决方法,分两步走: (1)转化:转化为直角三角形的存在性问题 (2)直角三角形存在性问题: 找点:

4、两线一圆; y A D A x B E CO A 求点:以谁为直角分类讨论 模块一 平行四边形的存在性问题 (1)在平面直角坐标系内 A,B,C 三点的坐标分别是 1 5 , 2 2 , 1 9 , 2 2 ,(2, 0),以 A,B,C 三点为顶点画 平行四边形,则第四个顶点坐标为_ (2)(嘉祥) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知直线 PA 是一次函数(0)yxm m 的图象,直线 PB 是一次函数3()yxn nm 的图象,点 P 是两直线的交点,点 A、 B、C、Q 分别是两条直线与坐标轴的交点若四边形 PQOB 的面积是 5.5,且 :1: 2CQ AO,若存在一点 D,

5、使以 A、B、P、D 为顶点的四边形是平行四边形,则 点 D 的坐标为_ (1)( 2, 7),(3, 2),(1,2); (2) 1 59 , 22 D 、 2 11 9 , 2 2 D 、 3 13 9 , 2 2 D 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查已知三点,求另外一点的坐标 如图,已知一次函数 3 6 3 yx的图像分别交 x 轴,y 轴于 A,B 两点,点(0, 2)D,点 N 在 x 轴上,直线 AB 上是否存在点 M,使以 M、N、B、D 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出 M 点的坐标;若不存在, 请说明理由 由题意得,(0,6)B,(0, 2)D, 设

6、3 ,6 3 M mm ,( ,0)N n, 当 BD 为对角线时, 由题意得, 3 86 3 0mn m ,解得 2 3 2 3 m n , (2 3,8)M; 当 BM 为对角线时, 由题意得, 3 122 3 m m n ,解得 10 3 10 3 m n ,( 10 3, 4)M , 当 DM 为对角线时, 例题 1 例题 2 备用图 A B Q P C B A y O x O x y 由题意得, 3 86 3 m m n ,解得 2 3 2 3 m n ,( 2 3,4)M , 综上所述,(2 3,8)M或( 10 3, 4)M 或( 10 3, 4)M 【教师备课提示】【教师备课提

7、示】这道题主要考查已知两点,另外有一点在特殊的直线上 如图 3-1,在平面直角坐标中,直角梯形 OABC 的顶点 A 的坐标为(4, 0),直线 1 3 4 yx 经过顶点 B,与 y 轴交于顶点 C,AB/OC (1)求顶点 B 的坐标; (2)如图 3-2,直线 l 经过点 C,与直线 AB 交于点 M,点 O 为点 O 关于直线 l 的对称点,连接 CO ,并延长 交直线 AB 于第一象限的点 D,当5CD 时,求直线 l 的解析式; (3)在(2)的条件下,点 P 在直线 l 上运动,点 Q 在直线 OD 上运动,以 P、Q、B、C 为顶点的四边形能否 成为平行四边形?若能,求出点 P

8、 的坐标;若不能,说明理由 图 3-1 图 3-2 (1)(4,0)A,AB/OC,设点 B 的坐标为(4,)y, 把4x 代入 1 3 4 yx中,得2y , (4, 2)B; (2)过 C 点作CNAB于 N, AB/OC,OCMDMC , 由题意DCMOCM , DCMDMC 5CDMD, 1 3 4 yx ,当0 x 时3y , 3OC , 4CNOA, 2NM , 1AM , (4,1)M 设 l 解析式ykxb把(0 3),(4,1)代入得 图2图1 l O D M y O x A B C C B A x O y 图2图1 l O D M y O x A B C C B A x O

9、 y 例题 3 N M B A C O D O x y U V 备用图1 C Q M A P B D Ox y 3 14 b kb ,解得 1 2 3 k b , l 的解析式 1 3 2 yx ; (3)6AD ,BC 为一边, (4,6)D, OD 的解析式为 3 2 yx, 过 P 作 y 轴垂线交直线 AD 于点 U,过点 Q 作 x 轴平行线与 y 轴交于点 V, 设点 1 ,3 2 P xx , OCQABP,90CVQPUB,且CQPB, CVQBUP,则4PUQVx, 1 4, 4 2 Q xx ,代入 3 2 yx中,得5x , 1 1 5, 2 P , 如图,同理 2( 2

10、, 4) P , 当BC为对角线时,设 1 ,3 2 P aa , 3 , 2 Q bb , 即 4 13 35 22 ab ab , 解得 2 2 a b , 3(2, 2) P 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查已知两点,另外两点均在一般的直线上 模块二 菱形的存在性问题 (1)已知如图,直线 3 2 3 yx与坐标轴交于 A、B 两点,若点 P 是直线 AB 上的一个动点,试在坐标平面内 找一点 Q,使以 O、B、P、Q 为顶点的四边形为菱形,则 Q 的坐标是_ (2)如图,在平面直角坐标系中,直角梯形 OABC 的边 OC、OA 分别与 x 轴、y 轴重合,AB/OC90A

11、OC, 45BCO,12 2BC ,点 C 的坐标为( 18,0) 求点 B 的坐标; 若点 P 是直线:4DE yx 上的一个动点,在坐标平面内是否存在点 Q,使以 O、E、P、Q 为顶点的四边 形是菱形?若存在,直接写出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由 例题 4 A M P B D C y O Q x (1)3,1)(或(3,3)或3 3(, )或( 3,3) (2)过点 B 作BFx轴于 F, 在RtBCF中,45BCO,12 2BC ,12CFBF, C 的坐标为( 18,0),6ABOF, 点 B 的坐标为( 6,12) 结论:存在将菱形的问题转化成等腰三角形的问题 1)当 OP

12、 为对角线,即EOEP, 则有 12 4PEP EOE, 11 2 42 2 2 PNNFPF; 1(2 2,4 2 2)P, 1(2 2 2 2)Q,; 2( 2 2,4 2 2)P , 2( 2 2 2 2) Q ,; 2)当 EP 为对角线,即OEOP, 3(4,0) P, 3(4, 4) Q; 3)当 OE 为对角线,即EPOP, 4(2,2) P, 4( 2, 2) Q 综上所述,存在点 Q,使以 O、E、P、Q 为顶点的四边形是菱形; 点 Q 的坐标为: 1(2 2, 2 2)Q, 2( 2 2, 2 2) Q , 3(4, 4) Q, 4( 2, 2) Q 【教师备课提示】【教师

13、备课提示】这道题主要考查菱形存在性问题转化为等腰三角形的问题,当然直线都是倾斜角度比较特殊 的直线 如图,在平面直角坐标系中,四边形 ABCD 是平行四边形,6AD ,4OA 、3OB ,若点 M 在平面直角坐 标系内,则在直线 AB 上是否存在点 F,使以 A、C、F、M 为顶点的四边形为菱形?若存在,求 F 点的坐标, 若不存在,请说明理由 1(3,8) F; 2( 3, 0) F ; 3 7522 147 F ,; 4 42 44 , 25 25 F 【教师备课提示】【教师备课提示】 这道题主要考查菱形存在性问题转化为等腰三角形的问题, 直线 是一般的直线 A E D B CxO y 例

14、题 5 y B A O x y x A D BOC 模块三 矩形的存在性问题 如图,平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的函数解析式为23yx,点 P 在直线 l 上,已知( 1, 0)A 、3 2B (, ), 在坐标平面内是否存在一点 Q,使得以 P、A、Q、B 为顶点的四边形为矩形,若存在,请求出 P、Q 两点的坐 标,若不存在,请说明理由 存在,将矩形的问题转化成直角三角形的问题 由题意得,( 1, 0)A 、3 2B (, ), 直线 AB 为: 11 22 yx 当90A时,则APAB,点 P 在过点 A 且垂 直于 AB 的直线上, 此时直线 AP 的解析式为:22yx , 由

15、题意得, 22 23 yx yx ,解得 5 4 1 2 x y , 5 1 , 4 2 P , 11 5 , 4 2 Q , 当90B,则BPAB,点 P 在过点 B 且垂直于 AB 的直线上, 此时直线 BP 的解析式为:28yx , 由题意得, 28 23 yx yx ,解得 5 4 11 2 x y , 5 11 , 4 2 P , 11 7 , 4 2 Q , 当90P,则PAPB,设点( ,23)P mm, 由题意得, (23)(21) 1 (1)(3) mm mm ,即 2 560mm, 解得 1 0m , 2 6 5 m ,0,3P或 6 3 , 5 5 P , (2, 1)Q

16、或 16 7 , 55 Q , 综上所述, 5 1 , 4 2 P , 5 11 , 4 2 P ,(0,3)P, 6 3 , 5 5 P , 对应的点 Q 为 11 5 , 4 2 Q , 11 7 , 4 2 Q ,(2, 1)Q, 16 7 , 55 Q 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查矩形的问题转化为直角三角形的问题 例题 6 AO x B P l y 如图,已知直线 1 :2 2 l yx 与 x 轴,y 轴交于 M,N 两点,直线yxm与直线 l 交于点 P (1)若点 P 在第一象限,试求出 m 的取值范围 (2)当直线yxm经过线段 OM 的中点 B,求出两直线交

17、点 P 的坐标 (3) 若点 M 关于原点的对称点为 C, 过 C 作 x 轴的垂线xn, 点 A 在 x 轴上, 与原点 O 关于直线xn对称, 设点 Q 在直线 1 2 2 yx 上,点 E 在直线xn上,若以 A,O,E,Q 为顶点的四边形是平行四边形,求点 E 的坐标 (1)直线 1 2 2 yx 和直线yxm相交点 P, 可得: 1 2 2 yx yxm ,解得 42 3 4 3 m x m y ,点 P 的坐标为 424 , 33 mm , 点 P 在第一象限,可得 42 0 3 4 0 3 m m ,解得 2 4 m m , 解得42m ,m 的取值范围为42m (2)直线 1

18、2 2 yx 与 x 轴交于 M 点, 把0y 分别代入解析式中,可得:点(4,0)M, B 为 OM 的中点,点 B 的坐标为(2, 0),(2,0)B在yxm上, 得:20m,解得:2m , 直线的解析式为:2yx, 8 2 , 3 3 P (3)(4,0)M,( 4,0)C ,可得直线的解析式为:4x , 且可得( 8,0)A ,又(0,0)O,设( 4,)Em, 1 ,2 2 Q nn 演练 1 y N P OBM x y N P OBM x C D 当 OA 为对角线时,由题意得, 480 1 20 2 n mn ,解得 4 4 m n ,( 4, 4)E , 当 OE 为对角线时,

19、由题意得, 840 1 200 2 n nm ,解得 0 4 m n ,( 4,0)E (舍去) 当 AE 为对角线时,由题意得, 048 1 200 2 n nm ,解得 8 12 m n ,( 4,8)E , 综上所述,( 4, 4)E 或( 4,8)E 模块二 菱形的存在性问题 如图,在平面直角坐标系中,点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上,线段 OA、OB 的长()OAOB是方程 2 18720 xx 的两个根,点 C 是线段 AB 的中点,点 D 在线段 OC 上,2ODCD (1)求点 C 的坐标; (2)求直线 AD 的解析式; (3)P 是直线 AD 上的点,在平面内是否存在点

20、 Q,使以 O、A、P、Q 为顶点的四边形是菱形?若存在,请直 接写出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由 (1)由题意得, 2 18720 xx,解得 1 6x , 2 12x , 6OA ,12OB ,(6,0)A,(0,12)B,(3,6)C (2)作DFx轴于点 F,CEx轴于点 E, 则OFDOEC, 2 3 OFOD OEOC , 可得2OF ,4DF (2, 4)D 设直线 AD 的解析式为 ykxb 60 24 kb kb ,解得 1 6 k b ,6yx 直线 AD 的解析式为6yx (3)存在如图:分为 P 在 x 轴上方和 P 在 x 轴下方两种情况, 1( 3 2,3

21、2) Q ; 2(3 2, 3 2)Q; 3(3, 3)Q; 4(6, 6) Q x y O D C A B 演练 2 模块三 矩形的存在性问题 如图,在平面直角坐标系中,已知RtAOB的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上,且 OA、OB 的长满足 2 |8| (60OAOB),ABO的平分线交 x 轴于点 C 过,点 C 作 AB 的垂线,垂足为点 D, 交 y 轴于点 E (1)求线段 AB 的长; (2)求直线 CE 的解析式; (3) 若 M 是射线 BC 上的一个动点, 在坐标平面内是否存在点 P, 使以 A、 B、 M、P 为顶点的四边形是矩形?若存在,请直接写出点 P 的坐标;若不存在, 请说明理由 (1) 2222 8610ABOAOB; (2) 4 4 3 yx ; (3) 1(3, 2) P或 2( 4,8) P 演练 3 y x O A E C D B