1、2021 年湖南省岳阳市城区二十八校中考数学一模试卷年湖南省岳阳市城区二十八校中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 24 分，在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的分，在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的 一项一项) 1 （3 分）电梯上升 16 层记为+16，下降 5 层记为（ ） A+5 B|5| C5 1 D5 2 （3 分）下列因式分解正确的是（ ） Ax29（x+3） （x3） Ba3+2a2b+ab2ab（a+b）2 Ca3+aa2（a+） Dx22xy+4y2（x2y）2 3 （3 分）图中是一个
2、少数名族手鼓的轮廓图，其主视图是（ ） A B C D 4 （3 分）岳阳是国家历史文化名城，区域内的岳阳楼、君山岛、张谷英村、屈子祠、左宗棠故居都有深厚 的文化底蕴 某班同学分小组到以上五个地方进行研学旅行， 人数分别为： 13， 8， 12， 9， 8 （单位： 人） ， 这组数据的众数和中位数分别是（ ） A9 人，8 人 B8 人，12 人 C8 人，9 人 D9 人，12 人 5 （3 分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A B C D 6 （3 分）如图，在 RtABC 中，C90，以顶点 B 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交 AB，BC 于 点 M，N，再分别以点 M，N
3、为圆心，以大于MN 的长为半径作弧，两弧相交于点 P；作射线 BP 交 AC 于点 D若 CD4，则点 D 到 AB 的距离为（ ） A4 B3 C D1 7 （3 分）下列命题是真命题的是（ ） A同弧所对的圆心角相等 B对角线互相垂直的四边形是菱形 C二次函数 yax2+bx（ab0）的图象与坐标轴有两个交点 D若 ab，则 a2b2 8 （3 分）如图，点 A1，A2，A3在反比例函数 y（x0）的图象上，点 B1，B2，B3，Bn在 y 轴上， 且B1OA1B2B1A2B3B2A3，直线 yx 与双曲线 y交于点 A1，B1A1OA1，B2A2B1A2， B3A3B2A3，则 Bn（n
4、 为正整数）的坐标是（ ） A （2，0） B （0，） C （0，） D （0，2） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，满分分，满分 32 分）分） 9 （4 分）岳阳“马赛克”建筑广电中心，耗资 176000000 元，数据 176000000 用科学记数法表示 为 10 （4 分）若 7axb2与3a3by的和为单项式，则 xy 11 （4 分）函数 y中，自变量 x 的取值范围是 12 （4 分）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射如图，水面 AB 与水杯下沿 CD 平行，光线 EF 从水中射向空气时发生折
5、射，光线变成 FH，点 G 在射线 EF 上，已知 HFB20，FED45，则GFH 13 （4 分）若关于 x 的一元二次方程（k1）x2+4x+10 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围 是 14 （4 分）如图，点 O 是矩形纸片 ABCD 的对称中心，点 E 在 BC 上，将纸片沿 AE 折叠后，点 B 与点 O 重合，若 BE1，则矩形 ABCD 的周长为 15 （4 分） 九章算术中记载： “今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各 几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出 5 钱，还差 45 钱；若每人出 7 钱，还差 3 钱，问合伙人 数、羊价各是多
6、少？设合伙人数为 x 人，羊价为 y 元，根据题意可列方程组 16 （4 分）如图，ABC 内接于O，AD 平分BAC 交 BC 边于点 E，交O 于点 D，过点 D 作O 的切 线，作 A 作 AFBC 于点 F，设O 的半径为 R，AFh则下列结论正确的是 （写出所有正 确结论的序号） MNBC；BDEBCA；ABAC2Rh；若BAC2，则2cos 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，满分小题，满分 64 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （6 分） （1）计算：（2021）02cos30+（） 1
7、（2）先化简：，再从2x3 中选取一个合适的整数，代入求值 18 （6 分）如图，E、F、G、H 为四边形 ABCD 各边的中点，对角线 ACBD求证：四边形 EFGH 为菱 形 19 （8 分）如图，已知直线 yax+b 与双曲线 y（k0）交于 A（x1，y1） ，B（x2，y2）两点（A 与 B 不重合） ，直线 AB 与 x 轴交于点 P（x0，0） ，与 y 轴交于点 C （1）若 A，B 两点的坐标分别为（1，3） ， （3，y2） ，求两函数的解析式； （2）在（1）的条件下，求证：ACBP； （3）猜想并用等式表示 x1，x2，x0之间的关系（不要求证明） 20 （8 分）某校
8、数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题： “A5G 通讯：B民法典；C北斗导航； D数字经济；E小康社会” ，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注 的话题，根据调查结果绘制了统计图 请结合图中的信息解决下列问题： （1）在这次活动中，调查的居民共有 人； （2）将条形统计图补充完整； （3）扇形统计图中的 a ，D 所在扇形的圆心角是 度； （4）该小组讨论中，甲、乙两个小组从三个话题： “A5G 通讯；B民法典；C北斗导航”中抽签（不 放回）选一项进行发言，利用树状图或表格，求出两个小组选择 A、B 话题发言的概率 21 （8 分）随着某市养老机构建设的稳步推进，
9、拥有的养老床位不断增加 （1）该市的养老床位数从 2018 年底的 2 万个增长到 2020 年底的 2.88 万个，求该市这两年（从 2018 年 度到 2020 年底）拥有的养老床位数的平均年增长率； （2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共 100 间，这三类养老专 用房间分别为单人间（1 个养老床位） ，双人间（2 个养老床位） ，三人间（3 个养老床位） ，因实际需要， 规划建造单人间的房间数为 t（10t30） ，且双人间的房间数是单人间的 2 倍设该养老中心建成后能 提供养老床位 y 个，求 y 与 t 的函数关系式，并求该养老中心建成后最多提供养
10、老床位多少个？ 22 （8 分）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区 AC 的坡度 i 为 1：2，顶端 C 离水平地面 AB 的高 度为 10m，从顶棚的 D 处看 E 处的仰角 1830，竖直的立杆上 C、D 两点间的距离为 4m，E 处到 观众区底端 A 处的水平距离 AF 为 3m求： （1）观众区的水平宽度 AB； （2）顶棚的 E 处离地面的高度 EF （sin18300.32，tanl8300.33，结果精确到 0.1m） 23 （10 分）一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点 E、A、D 在同一条直 线上） ，发现 BEDG 且 BEDG 小组讨论后
11、，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）将正方形 AEFG 绕点 A 按逆时针方向旋转（如图 1） ，还能得到 BEDG 吗？若能，请给出证明； 若不能，请说明理由； （2）把背景中的正方形分别改成菱形 AEF 和菱形 ABCD，将菱形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转（如 图 2） ， 试问当EAG 与BAD 的大小满足怎样的关系时， 背景中的结论 BEDG 仍成立？请说明理由； （3）把背景中的正方形分别改写成矩形 AEFG 和矩形 ABCD，且，AE2a，AB2b，将矩 形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转（如图 3） ，连接 DE，BG试求 DE2+BG2的值（用 a，b
12、表示） 24 （10 分）如图，抛物线 yax22x+c（a0）过点 O（0，0）和 A（6，0） 点 B 是抛物线的顶点， 点 D 是 x 轴下方抛物线上的一点，连接 OB，OD （1）求抛物线的解析式； （2）如图，当BOD30时，求点 D 的坐标； （3）如图，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交 x 轴于点 C，交线段 OD 于点 E，点 F 是线段 OB 上的动点（点 F 不与点 O 和点 B 重合） ，连接 EF，将BEF 沿 EF 折叠，点 B 的对应点为点 B，EFB 与OBE 的重叠部分为EFG，在坐标平面内是否存在一点 H，使以点 E，F，G，H 为顶点的四边形是 矩形？若存
13、在，请直接写出点 H 的坐标，若不存在，请说明理由 2021 年湖南省岳阳市城区二十八校中考数学一模试卷年湖南省岳阳市城区二十八校中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 24 分，在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的分，在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的 一项一项) 1 （3 分）电梯上升 16 层记为+16，下降 5 层记为（ ） A+5 B|5| C5 1 D5 【分析】直接利用正数和负数的意义分析得出答案 【解答】解：电梯上升 16 层记为+16，下降 5 层记为：
14、5 故选：D 【点评】此题主要考查了正数和负数，正确掌握相关定义是解题关键 2 （3 分）下列因式分解正确的是（ ） Ax29（x+3） （x3） Ba3+2a2b+ab2ab（a+b）2 Ca3+aa2（a+） Dx22xy+4y2（x2y）2 【分析】各式计算得到结果，即可作出判断 【解答】解：A、原式（x+3） （x3） ，符合题意； B、原式a（a2+2ab+b2）a（a+b）2，不符合题意； C、原式a（a2+1） ，不符合题意； D、原式不能分解，不符合题意 故选：A 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 3 （3 分）图中是一个少数
15、名族手鼓的轮廓图，其主视图是（ ） A B C D 【分析】直接利用几何体的形状结合主视图的观察角度得出答案 【解答】解：由几何体可得：其主视图为： 故选：B 【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，正确掌握观察角度是解题关键 4 （3 分）岳阳是国家历史文化名城，区域内的岳阳楼、君山岛、张谷英村、屈子祠、左宗棠故居都有深厚 的文化底蕴 某班同学分小组到以上五个地方进行研学旅行， 人数分别为： 13， 8， 12， 9， 8 （单位： 人） ， 这组数据的众数和中位数分别是（ ） A9 人，8 人 B8 人，12 人 C8 人，9 人 D9 人，12 人 【分析】根据众数、中位数的定义分别进
16、行解答即可 【解答】解：8 出现了 2 次，出现的次数最多， 这组数据的众数是 8 人； 把这些数从小大排列为 8，8，9，12，13， 则中位数是 9 人 故选：C 【点评】本题考查了众数和中位数的定义用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数 据的众数将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间 位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据 的中位数 5 （3 分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A B C D 【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可 【解答】解：， 由得 x2，
17、由得 x1， 不等式组的解集为2x1 故选：B 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同 小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 6 （3 分）如图，在 RtABC 中，C90，以顶点 B 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交 AB，BC 于 点 M，N，再分别以点 M，N 为圆心，以大于MN 的长为半径作弧，两弧相交于点 P；作射线 BP 交 AC 于点 D若 CD4，则点 D 到 AB 的距离为（ ） A4 B3 C D1 【分析】过 D 作 DEAB 于 E，依据角平分线的的性质即可得到 DEDC，可得结论 【解答】
18、解：由作法得 BD 平分ABC， 过 D 作 DEAB 于 E，则 DEDC（角平分线上的点到角两边的距离相等） ， CD4， DE4， 故选：A 【点评】本题主要考查了角平分线的的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题 7 （3 分）下列命题是真命题的是（ ） A同弧所对的圆心角相等 B对角线互相垂直的四边形是菱形 C二次函数 yax2+bx（ab0）的图象与坐标轴有两个交点 D若 ab，则 a2b2 【分析】利用圆周角定理、菱形的判定、二次函数的图像与性质及不等式的性质分别判断后即可确定正 确的选项 【解答】解：A、同弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意； B、对角线
19、互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、二次函数 yax2+bx（ab0）中b24a0b20，图象与坐标轴有两个交点，与坐标轴有 3 个交点，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、当 a1，b3 时，满足 ab，但不满足 a2b2，故原命题错误，是假命题，不符合题意， 故选：A 【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆周角定理、菱形的判定、二次函数的图像与性 质及不等式的性质，难度不大 8 （3 分）如图，点 A1，A2，A3在反比例函数 y（x0）的图象上，点 B1，B2，B3，Bn在 y 轴上， 且B1OA1B2B1A2B3B2A3，直线 yx
20、与双曲线 y交于点 A1，B1A1OA1，B2A2B1A2， B3A3B2A3，则 Bn（n 为正整数）的坐标是（ ） A （2，0） B （0，） C （0，） D （0，2） 【分析】由题意，OA1B1，B1A2B2，B2A3B3，都是等腰直角三角形，想办法求出 OB1，OB2， OB3，OB4，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论 【解答】解：由题意，OA1B1，B1A2B2，B2A3B3，都是等腰直角三角形， A1（1，1） ， OB12，设 A2（m，2+m） ， 则有 m（2+m）1， 解得 m1， OB22， 设 A3（a，2+a） ，则有 a（2+a）1， 解得 a， OB3
21、2， 同法可得，OB42， OBn2， Bn（0，2） 故选：D 【点评】 本题考查反比例函数与一次函数的交点问题， 规律型问题， 解题的关键是学会探究规律的方法， 属于中考选择题中的压轴题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，满分分，满分 32 分）分） 9 （4 分）岳阳“马赛克”建筑广电中心，耗资 176000000 元，数据 176000000 用科学记数法表示为 1.76 108 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小
22、数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：1760000001.76108 故答案为：1.76108 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 10 （4 分）若 7axb2与3a3by的和为单项式，则 xy 9 【分析】直接利用已知得出 x，y 的值，进而得出答案 【解答】解：7axb2与3a3by的和为单项式， x3，y2， xy329 故答案为：9 【点评】此题主要考查了合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键 11
23、 （4 分）函数 y中，自变量 x 的取值范围是 x2 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案 【解答】解：由题意得，2x0， 解得，x2， 故答案为：x2 【点评】 本题考查的是函数自变量的取值范围的确定， 掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键 12 （4 分）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射如图，水面 AB 与水杯下沿 CD 平行，光线 EF 从水中射向空气时发生折射，光线变成 FH，点 G 在射线 EF 上，已知 HFB20，FED45，则GFH 25 【分析】根据平行线的性质知GFBFED45，结合图形求得GFH 的度数 【
24、解答】解：ABCD， GFBFED45 HFB20， GFHGFBHFB452025 故答案为：25 【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等 13 （4 分）若关于 x 的一元二次方程（k1）x2+4x+10 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 k 5 且 k1 【分析】根据二次项系数非零以及根的判别式0，即可得出关于 k 的一元一次不等式组，解之即可得 出结论 【解答】解：关于 x 的一元二次方程（k1）x2+4x+10 有两个不相等的实数根， ， 解得：k5 且 k1 故答案为：k5 且 k1 【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式组，根
25、据二次项系数非零以及根的判别式0， 找出关于 k 的一元一次不等式组是解题的关键 14 （4 分）如图，点 O 是矩形纸片 ABCD 的对称中心，点 E 在 BC 上，将纸片沿 AE 折叠后，点 B 与点 O 重合，若 BE1，则矩形 ABCD 的周长为 6+2 【分析】由折叠的性质及矩形的性质得到 OE 垂直平分 AC，得到 AEEC，根据 AB 为 AC 的一半确定 出ACE30，进而得到 OE 等于 EC 的一半，求出 EC 和 OC 的长，进而可得矩形的周长 【解答】解：由题意得：ABAOCO，即 AC2AB， 且 OE 垂直平分 AC， AECE， 设 ABAOOCx， 则有 AC2
26、x，ACB30， 在 RtABC 中，根据勾股定理得：BCx， 在 RtOEC 中，OCE30， OEEC，即 BEEC， BE1， OE1，EC2，AO， 则 AB，BC3， 矩形 ABCD 的周长为： （3+）26+2 故答案为：6+2 【点评】此题考查了中心对称，矩形的性质，以及翻折变换，熟练掌握各自的性质是解本题的关键 15 （4 分） 九章算术中记载： “今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各 几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出 5 钱，还差 45 钱；若每人出 7 钱，还差 3 钱，问合伙人 数、羊价各是多少？设合伙人数为 x 人，羊价为 y 元，根
27、据题意可列方程组 【分析】 设合伙人数为 x 人 羊价为 y 元， 根据 “若每人出 5 钱， 还差 45 钱； 若每人出 7 钱， 还差 3 钱” ， 即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，此题得解 【解答】解：设合伙人数为 x 人羊价为 y 元， 依题意，得： 故答案为： 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解 题的关键 16 （4 分）如图，ABC 内接于O，AD 平分BAC 交 BC 边于点 E，交O 于点 D，过点 D 作O 的切 线，作 A 作 AFBC 于点 F，设O 的半径为 R，AFh则下列结论正确的是 （写出所有 正确结
28、论的序号） MNBC；BDEBCA；ABAC2Rh；若BAC2，则2cos 【分析】连接 OD，如图，利用垂径定理得到 ODBC，利用切线的性质得到 ODMN，则可对进行 判断；根据圆周角定理得到DBCCAD，所以DBCBAD，要判定DBEDAB，则BAC 2ABC，所以不正确；过 A 点作直径 AG，如图，利用圆周角定理得到ABG90，再证明ABG AFC，利用相似比可对进行判断；过 D 点作 DPAB 于 P，DQAC 于 Q，连接 CD，如图，根 据角平分线的性质得到BADQAD， DPDQ， 利用余弦定义得到 APADcos， AQADcos， 再证明 RtDBPRtDCQ 得到 BP
29、CQ，即 ABAPAQAC，原式可对进行判断 【解答】解：连接 OD，如图， AD 平分BAC， BADCAD， ， ODBC， MN 为O 的切线， ODMN，所以正确； DBCCAD， DBCBAD， 当DBCABC 时，DBEDAB，所以不正确； 过 A 点作直径 AG，如图， AG 为直径， ABG90， AFBC， AFC90， ABGAFC， AGBACF， ABGAFC， ， 即 ABACAGAF2Rh，所以正确； 过 D 点作 DPAB 于 P，DQAC 于 Q，连接 CD，如图， AD 平分BAD， BADQAD，DPDQ， ， DBDC， 在 RtADP 中，cos， AP
30、ADcos， 在 RtADP 中，AQADcos， 在 RtDBP 和 RtDCQ 中， ， RtDBPRtDCQ（HL） ， BPCQ， 即 ABAPAQAC， AB+ACAP+AQ2ADcos， 2cos，所以正确 故答案为 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公 共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构 造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了切线的性质、圆周角定理和 垂径定理 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，满分小题，满分 64 分，解答应
31、写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （6 分） （1）计算：（2021）02cos30+（） 1 （2）先化简：，再从2x3 中选取一个合适的整数，代入求值 【分析】 （1）根据立方根、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂可以解答本题； （2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从2x3 中选取一个使得原分式有意义的 整数代入化简后的式子，即可解答本题 【解答】解： （1）（2021）02cos30+（） 1 312+（2） 31+（2） ； （2） （） ， 2x3 中整数是2，1，0，1，2， （x+2） （x2
32、）0，x（x1）0， x2，0，1，2， x1， 当 x1 时，原式1 【点评】本题考查分式的化简求值、实数的运算，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法和实数运 算的计算方法 18 （6 分）如图，E、F、G、H 为四边形 ABCD 各边的中点，对角线 ACBD求证：四边形 EFGH 为菱 形 【分析】根据三角形中位线定理得到 EFAC，EFAC，GHAC，GHAC，FGBD，根据菱 形的判定定理证明结论 【解答】证明：E、F 分别为 AB、BC 的中点， EF 是ABC 的中位线， EFAC，EFAC， 同理，GHAC，GHAC，FGBD， EFGH，EFGH， 四边形 EFGH 为平行四
33、边形， ACBD， EFFG， 四边形 EFGH 为菱形 【点评】本题考查的是中点四边形的知识，掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键 19 （8 分）如图，已知直线 yax+b 与双曲线 y（k0）交于 A（x1，y1） ，B（x2，y2）两点（A 与 B 不重合） ，直线 AB 与 x 轴交于点 P（x0，0） ，与 y 轴交于点 C （1）若 A，B 两点的坐标分别为（1，3） ， （3，y2） ，求两函数的解析式； （2）在（1）的条件下，求证：ACBP； （3）猜想并用等式表示 x1，x2，x0之间的关系（不要求证明） 【分析】 （1）把 A 点坐标代入反比例函数解析式可求
34、得 k，进一步可求得 B 点坐标，再利用待定系数法 可求得直线解析式； （2）由直线解析式求得 P（4，0） ，C（0，4） ，然后根据勾股定理求得 AC，PB，即可证得 ACPB； （3）结合（1） 、 （2）中的坐标可猜得结论 【解答】解： （1）点 A（1，3）在双曲线 y（k0）上， k3， 双曲线为 y， 点 B（3，y2）在 y上， y21，即 B 点坐标为（3，1） ， 把 A、B 两点坐标代入直线 yax+b， 可得，解得， 直线 AB 的解析式为 yx+4； （2）证明：直线 AB 的解析式为 yx+4， P（4，0） ，C（0，4） ， A（1，3） ，B（3，1） ， A
35、C，PB， ACPB； （3）猜想 x1，x2，x0之间的关系式为：x1+x2x0 理由如下： A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， ，解得， 直线 AB 解析式为 yx， 令 y0 可得 x， x1y1x2y2， xx1+x2， 即 x1+x2x0 【点评】本题为反比例函数与一次函数的交点问题，涉及知识点有待定系数法、反比例函数图象上点的 坐标特征、勾股定理的应用等在（1）中求得 B 点的坐标是解题的关键，在（2）中由直线解析式求得 与坐标轴的交点的坐标是解题的关键，在（3）中观察（1） （2）的结论即可得到本题考查知识点较多， 综合性较强，难度适中 20 （8 分）某校数学实践小组就近
36、期人们比较关注的五个话题： “A5G 通讯：B民法典；C北斗导航； D数字经济；E小康社会” ，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注 的话题，根据调查结果绘制了统计图 请结合图中的信息解决下列问题： （1）在这次活动中，调查的居民共有 200 人； （2）将条形统计图补充完整； （3）扇形统计图中的 a 25 ，D 所在扇形的圆心角是 36 度； （4）该小组讨论中，甲、乙两个小组从三个话题： “A5G 通讯；B民法典；C北斗导航”中抽签（不 放回）选一项进行发言，利用树状图或表格，求出两个小组选择 A、B 话题发言的概率 【分析】 （1）根据选择 B 的人数和所占的
37、百分比，可以求得本次调查的学生人数； （2）根据（1）中的结果和统计图中的数据，可以计算出选择 A 和 C 的人数，从而可以将条形统计图补 充完整； （3）由 A 的人数除以抽查人数求出 a 的值，再由 360乘以 D 所占的比例即可； （4）画树状图，再由概率公式求解即可 【解答】解： （1）调查的学生共有：6030%200（人） ， 故答案为：200； （2）选择 C 的学生有：20015%30（人） ， 选择 A 的学生有：2006030204050（人） ， 补全的条形统计图如图所示： （3）a%50200100%25%， a25， 话题 D 所在扇形的圆心角是：36036， 故答案为
38、：25，36； （4）画树状图如图： 共有 6 个等可能的结果，两个小组选择 A、B 话题发言的结果有 2 个， 两个小组选择 A、B 话题发言的概率为 【点评】本题考查了列表法与树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键；用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比也考查了条形统计图和扇形统计图 21 （8 分）随着某市养老机构建设的稳步推进，拥有的养老床位不断增加 （1）该市的养老床位数从 2018 年底的 2 万个增长到 2020 年底的 2.88 万个，求该市这两年（从 2018 年 度到 2020 年底）拥有的养老床位数的平均年增长率； （2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其
39、中规划建造三类养老专用房间共 100 间，这三类养老专 用房间分别为单人间（1 个养老床位） ，双人间（2 个养老床位） ，三人间（3 个养老床位） ，因实际需要， 规划建造单人间的房间数为 t（10t30） ，且双人间的房间数是单人间的 2 倍设该养老中心建成后能 提供养老床位 y 个，求 y 与 t 的函数关系式，并求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？ 【分析】 （1）设该市这两年（从 2018 年度到 2020 年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为 x，根据 该市 2018 年底和 2020 年底的养老床位数，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结 论； （2）
40、设该养老中心建成后能提供养老床位 y 个，根据床位数单人间数+2双人间数+3三人间数，即 可得出 y 关于 t 的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题 【解答】解： （1）设该市这两年（从 2018 年度到 2020 年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为 x， 依题意得：2（1+x）22.88， 解得：x10.220%，x22.2（不合题意，舍去） 答：该市这两年（从 2018 年度到 2020 年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为 20% （2）设该养老中心建成后能提供养老床位 y 个， 则 yt+22t+3（100t2t）4t+300（10t30） k40， y 随 t 的
41、增大而减小， 当 t10 时，y 取得最大值，最大值410+300260（个） 答：该养老中心建成后最多提供养老床位 260 个 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正 确列出一元二次方程； （2）根据各数量之间的关系，找出 y 关于 t 的函数关系式 22 （8 分）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区 AC 的坡度 i 为 1：2，顶端 C 离水平地面 AB 的高 度为 10m，从顶棚的 D 处看 E 处的仰角 1830，竖直的立杆上 C、D 两点间的距离为 4m，E 处到 观众区底端 A 处的水平距离 AF 为 3m求： （1）观
42、众区的水平宽度 AB； （2）顶棚的 E 处离地面的高度 EF （sin18300.32，tanl8300.33，结果精确到 0.1m） 【分析】 （1）根据坡度的概念计算； （2）作 CMEF 于 M，DNEF 于 N，根据正切的定义求出 EN，结合图形计算即可 【解答】解： （1）观众区 AC 的坡度 i 为 1：2，顶端 C 离水平地面 AB 的高度为 10m， AB2BC20（m） ， 答：观众区的水平宽度 AB 为 20m； （2）作 CMEF 于 M，DNEF 于 N， 则四边形 MFBC、MCDN 为矩形， MFBC10，MNCD4，DNMCBF23， 在 RtEND 中，tan
43、EDN， 则 ENDNtanEDN7.59， EFEN+MN+MF7.59+4+1021.6（m） ， 答：顶棚的 E 处离地面的高度 EF 约为 21.6m 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡 度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键 23 （10 分）一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点 E、A、D 在同一条直 线上） ，发现 BEDG 且 BEDG 小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）将正方形 AEFG 绕点 A 按逆时针方向旋转（如图 1） ，还能得到 BEDG 吗？若能，请给出证明；
44、 若不能，请说明理由； （2）把背景中的正方形分别改成菱形 AEF 和菱形 ABCD，将菱形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转（如 图 2） ， 试问当EAG 与BAD 的大小满足怎样的关系时， 背景中的结论 BEDG 仍成立？请说明理由； （3）把背景中的正方形分别改写成矩形 AEFG 和矩形 ABCD，且，AE2a，AB2b，将矩 形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转（如图 3） ，连接 DE，BG试求 DE2+BG2的值（用 a，b 表示） 【分析】 （1）由正方形的性质得出 AEAF，EAG90，ABAD，BAD90，得出EAB GAD，证明AEBAGD（SAS） ，则可得出结
45、论； （2）由菱形的性质得出 AEAG，ABAD，证明AEBAGD（SAS） ，由全等三角形的性质可得出 结论； （3）设 BE 与 DG 交于 Q，BE 与 AG 交于点 P，证明EABGAD，得出EBAGDA，得出 GD EB，连接 EG，BD，由勾股定理可求出答案 【解答】 （1）证明：四边形 AEFG 为正方形， AEAG，EAG90， 又四边形 ABCD 为正方形， ABAD，BAD90， EABGAD， AEBAGD（SAS） ， BEDG； （2）解：当EAGBAD 时，BEDG， 理由如下： EAGBAD， EABGAD， 又四边形 AEFG 和四边形 ABCD 为菱形， AE
46、AG，ABAD， AEBAGD（SAS） ， BEDG； （3）设 BE 与 DG 交于 Q，BE 与 AG 交于点 P， 由题意知，AE2a，AB2b， ，EABGDA90+GAB， EABGAD， EBAGDA， AHD+GAD90QHB+EBA， GDEB， 连接 EG，BD， ED2+GB2EQ2+QD2+GQ2+QB2EG2+BD2 （2a）2+（3a）2+（2b）2+（3b）2 13a2+13b2 【点评】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与 性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键 24
47、（10 分）如图，抛物线 yax22x+c（a0）过点 O（0，0）和 A（6，0） 点 B 是抛物线的顶点， 点 D 是 x 轴下方抛物线上的一点，连接 OB，OD （1）求抛物线的解析式； （2）如图，当BOD30时，求点 D 的坐标； （3）如图，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交 x 轴于点 C，交线段 OD 于点 E，点 F 是线段 OB 上的动点（点 F 不与点 O 和点 B 重合） ，连接 EF，将BEF 沿 EF 折叠，点 B 的对应点为点 B，EFB 与OBE 的重叠部分为EFG，在坐标平面内是否存在一点 H，使以点 E，F，G，H 为顶点的四边形是 矩形？若存在，请直接写出
48、点 H 的坐标，若不存在，请说明理由 【分析】 （1）利用待定系数法解决问题即可 （2）如图中，设抛物线的对称轴交 x 轴于 M，与 OD 交于点 N解直角三角形求出点 N 的坐标，求出 直线 ON 的解析式，构建方程组确定点 D 坐标即可 （3）分三种情形：如图1 中，当EFG90时，点 H 在第一象限，此时 G，B，O 重合如图 2 中，当EGF90时，点 H 在对称轴右侧如图3 中当FEG90时，点 H 在对称轴左 侧，点 B在对称轴上，分别求解即可 【解答】解： （1）把点 O（0，0）和 A（6，0）代入 yax22x+c 中， 得到， 解得， 抛物线的解析式为 yx22x （2）如图中，设抛物线的对称轴交 x 轴于 M，与 OD 交于点 N yx22x（x3）23， 顶点 B（3，3） ，M（3，0）