1、2021 年浙江省宁波市中考数学冲刺试卷（四）年浙江省宁波市中考数学冲刺试卷（四） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1 （4 分）2 的绝对值是（ ） A2 B1 C2 D 2 （4 分）下列运算正确的是（ ） A2a+3b5ab Ba2a3a5 C （2a）36a 3 Da6+a3a9 3 （4 分）2019 年 1 月 1 日， “学习强国”平台全国上线，截至 2021 年 3 月 5 日某市党员“学习强国” 客户端注册人数约为 1180000，将数据 11
2、80000 用科学记数法表示为（ ） A118104 B11.8105 C1.18107 D1.18106 4 （4 分）如图，一个由圆柱和长方体组成的几何体水平放置，它的俯视图是（ ） A B C D 5 （4 分）如果在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax4 Bx4 Cx4 Dx4 6 （4 分）小甬参加射击比赛，成绩统计如表： 成绩（环） 6 7 8 9 10 次数 1 3 2 3 1 关于他的射击成绩，下列说法正确的是（ ） A平均数是 9 环 B标准差为 1.4 环 C众数是 9 环 D中位数是 8 环 7 （4 分） 孙子算经是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五
3、百年前，其中一道题，原文是： “今 三人共车，两车空；二人共车，九人步问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐 3 人，则空余两辆车；若每辆车乘坐 2 人，则有 9 人步行问人与车各多少？设有 x 人，y 辆车，可列方 程组为（ ） A B C D 8 （4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，ABECDF30，EFBC，则 EF 的长为（ ） A44 B3 C2 D62 9 （4 分）二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，给出下列结论：abc0；2a+b0；若1mn 1，则 m+n；3|a|+|c|2|b|，其中正确的结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D
4、4 个 10 （4 分）如图，所有角均为直角，所有线段均不相等，若要知道该图形周长，至少需要知道几条线段的 长（ ） A3 条 B4 条 C5 条 D6 条 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）9 的算术平方根是 12 （5 分）分解因式：my29m 13 （5 分）一个布袋里放有红色、黄色、黑色三种球，它们除颜色外其余都相同红色、黄色、黑色三种 球的个数之比为 5：3：2，则从布袋里任意摸出 1 个球是黄球的概率是 14 （5 分）如图，将半径为 2 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 O，则阴影部分的面积 为 15 （5 分）在 RtAB
5、C 中，tanA，点 O 为 AC 上一点，O 与斜边 AB 相切于点 P，分别与 AC、BC 交于点 M，N，若，则的值为 16 （5 分）如图，点 A 在反比例函数 y（x0）的图象上，点 B 在反比例函数 y（x0）的图象 上，且 OAOB，点 C 为 AB 的中点，若点 C 也恰好在反比例函数 y（x0）的图象上，则AOB 的面积为 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 8 小题，共小题，共 80 分）分） 17 （8 分） （1）计算： （a3）2+a（6a） （2）解不等式：x32（3x+1） 18 （8 分）某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取 n 名
6、学生进行测试，测试 成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数直方图和扇形统计图 请根据图中信息解答下列问题： （1）补全频数直方图； （2）在扇形统计图中， “7080”这组的百分比 m ； （3）已知“8090”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89抽取的 n 名学生测试成绩的中位数是 分； （4）若成绩达到 80 分以上（含 80 分）为优秀，请你估计全校 1200 名学生对海洋科普知识了解情况为 优秀的学生人数 19 （8 分）图 1，图 2，图 3 都是由小等边三角形构成的网格，ABC 的三个顶点都在格点上请分别在图 1 ， 图2 ，
7、图3中 各 作 一 个 格 点D （ 互 不 相 同 ）， 使 得 ADB ACB 20 （10 分）图 1 是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框 上，通过推动左侧活页门开关；图 2 是其俯视图简化示意图，已知轨道 AB120cm，两扇活页门的宽 OCOB60cm，点 B 固定，当点 C 在 AB 上左右运动时，OC 与 OB 的长度不变（所有结果保留小数点 后一位） （1）若OBC50，求 AC 的长； （2）当点 C 从点 A 向右运动 60cm 时，求点 O 在此过程中运动的路径长 （参考数据：sin500.77，cos500.64，tan501
8、.19， 取 3.14） 21 （10 分）如图，已知二次函数 yax2+bx+c（a0）图象的顶点为（1，2） ，与 y 轴的交点为 C（0，3） （1）求二次函数的表达式； （2）求与此二次函数图象关于 y 轴对称的图象的二次函数表达式； （3）已知点 A（1，1） ，点 B（3，1） 若原二次函数图象向下平移 m 个单位，与线段 AB 有公共点， 结合函数图象，直接写出 m 的取值范围 22 （10 分）周日上午 8：00 小聪从家里出发，骑公共自行车前往离家 5 千米的新华书店，1 小时后小聪爸 爸从家里出发，沿同一条路以 25 千米/时的速度开车去接小聪，一起买好书后接上小聪按原速度
9、返回家 中，已知小聪在书店停留的时间比爸爸多 0.7 小时，两人离家的路程 y（千米）与小聪所用的时间 x（小 时）之间的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题： （1）求爸爸在新华书店停留的时间及小聪骑自行车的速度； （2）求小聪爸爸开车返回途中，y 关于 x 的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）问上午几时小聪爸爸离家路程为 2.5 千米 23 （12 分） 【基础巩固】 如图 1，ABCADE，求证：ABDACE； 【尝试应用】 如图 2，ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，AC 上，AEFACD，BE2，CE6，求 AFAC 的值 【拓展提高】 如图 3，在（2）的条
10、件下，连接 DF，ABAF，已知 cosACD，求 tanACB 的 值 24 （14 分）定义：ABC 中，A+2B90，则称ABC 为倍余三角形 （1）下列说法正确的是 倍余三角形一定是钝角三角形； 等腰三角形不可能是倍余三角形 （2）如图 1，ABC 内接于O，点 D 在直径 BC 上（不与 B，C 重合） ，满足 ABAD，求证：ACD 为倍余三角形； （3）在（2）的条件下， 如图 1，连接 AO，若AOD 也为倍余三角形，求C 的度数； 如图 2，过点 D 作 DEBC 交 AC 于点 E，若ABC 面积为ADE 面积的 7.5 倍，求的值 2021 年浙江省宁波市中考数学冲刺试卷
11、（四）年浙江省宁波市中考数学冲刺试卷（四） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1 （4 分）2 的绝对值是（ ） A2 B1 C2 D 【分析】利用数轴上表示某个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，进而得出答案 【解答】解：2 的绝对值为 2 故选：C 【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键 2 （4 分）下列运算正确的是（ ） A2a+3b5ab Ba2a3a5 C （2a）36a 3 Da6+a3a
12、9 【分析】直接利用合并同类项法则以及结合幂的乘方与积的乘方法则，分别化简求出答案 【解答】解：A、2a+3b 无法计算，故此选项不合题意； B、a2a3a5，正确，符合题意； C、 （2a）38a 3，故此选项不合题意； D、a6+a3，无法计算，故此选项不合题意； 故选：B 【点评】此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，正确掌握运算法则是解题关键 3 （4 分）2019 年 1 月 1 日， “学习强国”平台全国上线，截至 2021 年 3 月 5 日某市党员“学习强国” 客户端注册人数约为 1180000，将数据 1180000 用科学记数法表示为（ ） A118104 B11
13、.8105 C1.18107 D1.18106 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将 1180000 用科学记数法表示为：1.18106 故选：D 【点评】 此题考查了科学记数法的表示方法 科学记数法的表示形式为 a10n的形式， 其中 1|a|10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4 （4 分）如图，一个由圆柱和长方体组成的几何体水平放置，它的俯
14、视图是（ ） A B C D 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中 【解答】解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间是一个圆 故选：C 【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图 5 （4 分）如果在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax4 Bx4 Cx4 Dx4 【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解 【解答】解：根据题意得：4x0，解得 x4 故选：B 【点评】主要考查了二次根式的意义和性质 概念：式子（a0）叫二次根式 性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义 6 （4 分）小
15、甬参加射击比赛，成绩统计如表： 成绩（环） 6 7 8 9 10 次数 1 3 2 3 1 关于他的射击成绩，下列说法正确的是（ ） A平均数是 9 环 B标准差为 1.4 环 C众数是 9 环 D中位数是 8 环 【分析】根据平均数、标准差、众数和中位数的概念逐一计算可得 【解答】解：A这组数据的平均数为8（环） ，此选项错误； B方差为（68）2+3（78）2+2（88）2+3（98）2+（108）2， 则标准差为1.87（环） ，此选项错误； C众数为 7 环和 9 环，此选项错误； D中位数是8（环） ，此选项正确； 故选：D 【点评】本题主要考查标准差，解题的关键是掌握平均数、标准差
16、、众数和中位数的概念 7 （4 分） 孙子算经是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是： “今 三人共车，两车空；二人共车，九人步问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐 3 人，则空余两辆车；若每辆车乘坐 2 人，则有 9 人步行问人与车各多少？设有 x 人，y 辆车，可列方 程组为（ ） A B C D 【分析】根据“每辆车乘坐 3 人，则空余两辆车；若每辆车乘坐 2 人，则有 9 人步行” ，即可得出关于 x， y 的二元一次方程组，此题得解 【解答】解：依题意，得： 故选：B 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确
17、列出二元一次方程组是解 题的关键 8 （4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，ABECDF30，EFBC，则 EF 的长为（ ） A44 B3 C2 D62 【分析】延长 BE 交 AD 于 G，过点 G 作 GHBC，交 DF 于 H，先求出 AG 的长，GH 的长，通过证明 四边形 EGHF 是平行四边形，可求解 【解答】解：如图，延长 BE 交 AD 于 G，过点 G 作 GHBC，交 DF 于 H， 正方形 ABCD 的边长为 4，ABECDF30， ABAG，AGBADF60， AG，BGDF， GD4， HGD90，ADF60， GHGD44， EFBC，GHBC， EFG
18、H， 四边形 EGHF 是平行四边形， EFGH44， 故选：A 【点评】本题考查了正方形的性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，添加恰当辅助线构 造平行四边形是本题的关键 9 （4 分）二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，给出下列结论：abc0；2a+b0；若1mn 1，则 m+n；3|a|+|c|2|b|，其中正确的结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】分别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与 y 轴交点得出 a，b，c 的符号，再利用特 殊值法分析得出各选项 【解答】解：抛物线开口向下， a0， 2a0， 对称轴 x1，b0， 抛物线与
19、y 轴交于负半轴， c0， abc0，故选项正确； 对称轴 x1，又 a0，则b2a，则 2a+b0，故正确； 1mn1，则2m+n2， 抛物线对称轴为：x1，2，m+n，故选项正确； 当 x1 时，a+b+c0，2a+b0，则 3a+2b+c0， 3a+c2b， 3ac2b， a0，b0，c0（图象与 y 轴交于负半轴） ， 3|a|+|c|3ac2b2|b|，故选项正确 故选：D 【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，利用特殊值法求出 m+n 的取值范围是解题关键 10 （4 分）如图，所有角均为直角，所有线段均不相等，若要知道该图形周长，至少需要知道几条线段的 长（ ） A3
20、条 B4 条 C5 条 D6 条 【分析】根据题意，结合图形，通过平移构成矩形，据此判断即可 【解答】解：如图： 若要知道该图形周长，至少需要知道 4 条线段的长：BC、AB，IJ，EF， BCAL+KJ+IH+GF+DE，ABLK+KKLK+CC，IJHG+GGHG+CD，EFDD， 只要知道 BC、AB，IJ，EF4 条线段的长，就能知道该图形周长 故选：B 【点评】此题考查了生活中的平移现象，此题的本质可理解为将线段平移构成矩形 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）9 的算术平方根是 3 【分析】9 的平方根为3，算术平方根为非负，从而
21、得出结论 【解答】解：（3）29， 9 的算术平方根是 3 故答案为：3 【点评】本题考查了数的算术平方根，解题的关键是牢记算术平方根为非负 12 （5 分）分解因式：my29m m（y+3） （y3） 【分析】首先提取公因式 m，进而利用平方差公式进行分解即可 【解答】解：my29mm（y29）m（y+3） （y3） 故答案为：m（y+3） （y3） 【点评】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键 13 （5 分）一个布袋里放有红色、黄色、黑色三种球，它们除颜色外其余都相同红色、黄色、黑色三种 球的个数之比为 5：3：2，则从布袋里任意摸出 1 个球是黄球的
22、概率是 【分析】根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其 发生的概率 【解答】解：是黄球的概率是， 故答案为： 【点评】本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中 事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A） 14（5分） 如图， 将半径为2的圆形纸片折叠后， 圆弧恰好经过圆心O， 则阴影部分的面积为 2 【分析】连接 OA，OB，过点 O 作 OFAB 于 F 交O 于 E求出弓形 AEB 的面积，可得结论 【解答】解：连接 OA，OB，过点 O 作 OFAB 于 F 交O 于 E 由题意 AB
23、垂直平分线段 OE， OFEF1， OAOE， OA2OF， OAF30， AB2AF22， OAOB， OABOBA30， AOB120， S弓形AEB21， S阴222（）2， 故答案为：2 【点评】本题考查翻折变换，垂径定理，解直角三角形，扇形的面积等知识，解题的关键是理解题意， 灵活运用所学知识解决问题 15 （5 分）在 RtABC 中，tanA，点 O 为 AC 上一点，O 与斜边 AB 相切于点 P，分别与 AC、BC 交于点 M，N，若，则的值为 【分析】连接 OP 交 MN 于点 H，根据切线的性质可得 OPAB， 设 OP3x， 则 AP4x， 可得 OA5x， 根据垂径定
24、理可得 OP 垂直平分 MN，然后根据锐角三角函数用含 x 的式子表示出 BP 和 AP 的长，进而 可得结果 【解答】解：如图，连接 OP 交 MN 于点 H， O 与斜边 AB 相切于点 P， OPAB， APO90， tanA， 设 OP3x，则 AP4x， AO5x， ，OP 是O 的半径， OP 垂直平分 MN， MNAB， HMOA， tanAtanHMO， OMOP3x， MHOMx， MN2MHx， cosAcosNMC， MCMNx， AMOAOM5x3x2x， ACAM+MC2x+xx， cosA， ABACxx， BPABAPx4xx 故答案为： 【点评】本题考查了切线的
25、性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，解决本题的关键是综合运用 以上知识 16 （5 分）如图，点 A 在反比例函数 y（x0）的图象上，点 B 在反比例函数 y（x0）的图象 上，且 OAOB，点 C 为 AB 的中点，若点 C 也恰好在反比例函数 y（x0）的图象上，则AOB 的面积为 【分析】过点 A 作 ADx 轴于点 D，过点 B 作 BEx 轴于点 E，可证得AODOBE，根据反比例函 数系数的几何意义可得，即可得出，设 A（m，） ，则 B（，2m） ， 运用中点坐标公式可得 C（，） ，代入 y，可得1，利用乘法公式即 可得出 m2，m2+，从而可求得答案 【解答】解：如图
26、，过点 A 作 ADx 轴于点 D，过点 B 作 BEx 轴于点 E， ADOBEO90， OAOB， AOB90， AOD+BOEAOD+OAD90， OADBOE， AODOBE， （）2， ， ， 设 A（m，） ，则 B（，2m） ， 点 C 为 AB 的中点， C（，） ， 点 C 也恰好在反比例函数 y（x0）的图象上， 1， m2， m2+， SAOBOAOBOA2OAOA2m2+， 故答案为： 【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式，乘法公式 等知识点，熟练掌握反比例函数系数的运用及乘法公式恒等变形是解题关键 三、解答题（本大题有三、解
27、答题（本大题有 8 小题，共小题，共 80 分）分） 17 （8 分） （1）计算： （a3）2+a（6a） （2）解不等式：x32（3x+1） 【分析】 （1）根据完全平方公式和单项式乘多项式的法则进行计算，再进行合并同类项即可得到答案； （2）先利用单项式乘多项式法则进行计算，然后再根据解一元一次不等式的步骤进行求解即可 【解答】解： （1）原式a26a+9+6aa2 9； （2）去括号得，x36x+2， 移项得，x6x2+3， 合并同类项得，5x5， 系数化为 1 得，x1 【点评】本题主要考查了单项式乘多项式及完全平方公式的运算法则，解答本题的关键是能够明确运算 法则 18 （8 分）
28、某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取 n 名学生进行测试，测试 成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数直方图和扇形统计图 请根据图中信息解答下列问题： （1）补全频数直方图； （2）在扇形统计图中， “7080”这组的百分比 m 20% ； （3）已知“8090”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89抽取的 n 名学生测试成绩的中位数是 84.5 分； （4）若成绩达到 80 分以上（含 80 分）为优秀，请你估计全校 1200 名学生对海洋科普知识了解情况为 优秀的学生人数 【分析】 （1）求出调查人数，和“9010
29、0”的人数即可补全频数直方图； （2）用“7080”的频数 10 除以调查人数 50 即可得出 m 的值； （3）利用中位数的意义，求出中间位置的两个数的平均数，即可得出中位数； （4） 样本估计总体， 样本中优秀所占的百分比为， 因此估计总体 1200 人的是优秀的人数 【解答】解： （1）816%50（人） ，5048101216（人） ，补全频数直方图如图所示： （2）m105020%， 故答案为：20%； （3）将 50 个数据从小到大排列后，处在第 25、26 位的两个数的平均数为84.5， 因此中位数是 84.5， 故答案为：84.5； （4）1200672（人） ， 答：全校 1
30、200 名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生有 672 人 【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图的意义和制作方法，理解和掌握统计图中的数量关系是 正确计算的关键 19 （8 分）图 1，图 2，图 3 都是由小等边三角形构成的网格，ABC 的三个顶点都在格点上请分别在图 1 ， 图2 ， 图3中 各 作 一 个 格 点D （ 互 不 相 同 ）， 使 得 ADB ACB 【分析】利用全等三角形的判定和性质解决问题即可 【解答】解：如图，ADB 即为所求作 【点评】本题考查作图应用与设计作图，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题 的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问
31、题 20 （10 分）图 1 是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框 上，通过推动左侧活页门开关；图 2 是其俯视图简化示意图，已知轨道 AB120cm，两扇活页门的宽 OCOB60cm，点 B 固定，当点 C 在 AB 上左右运动时，OC 与 OB 的长度不变（所有结果保留小数点 后一位） （1）若OBC50，求 AC 的长； （2）当点 C 从点 A 向右运动 60cm 时，求点 O 在此过程中运动的路径长 （参考数据：sin500.77，cos500.64，tan501.19， 取 3.14） 【分析】 （1）作 OHAB 于 H，利用锐角三角函数
32、即可求出 AC 的长； （2）根据题意证明OBC 是等边三角形，可得点 O 在此过程中运动的路径长即为半径为 OB，圆心角为 60 度的弧长 【解答】解： （1）如图，作 OHAB 于 H， OCOB60cm， CHBH， 在 RtOBH 中， cosOBC， BHOBcos50600.6438.4（cm） ， ACAB2BH120238.443.2（cm） ， AC 的长约为 43.2cm； （2）AC60cm， BC60cm， OCOB60cm， OCOBBC60cm， OBC 是等边三角形， 半径为 OB，圆心角为 60 度的弧长203.1462.8（cm） ， 点 O 在此过程中运动的
33、路径长约为 62.8cm 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握解直角三角形 21 （10 分）如图，已知二次函数 yax2+bx+c（a0）图象的顶点为（1，2） ，与 y 轴的交点为 C（0，3） （1）求二次函数的表达式； （2）求与此二次函数图象关于 y 轴对称的图象的二次函数表达式； （3）已知点 A（1，1） ，点 B（3，1） 若原二次函数图象向下平移 m 个单位，与线段 AB 有公共点， 结合函数图象，直接写出 m 的取值范围 【分析】 （1）根据点 C（0，3）和顶点（1，2） ，利用抛物线的顶点坐标公式即可求解； （2）依据关于 y 轴对称的点横坐标互为
34、相反数，纵坐标相等可得到抛物线关于 y 轴对称的抛物线的解析 式； （3）结合函数图象根据 A、B 点的坐标可得答案 【解答】解： （1）二次函数 yax2+bx+c（a0）图象与 y 轴的交点为 C（0，3） c3， 顶点为（1，2） ， x1，即 b2a， a2a+32，解得：a1，b2， 二次函数的表达式为 yx22x+3； （2）关于 y 轴对称点的横坐标互为相反数，纵坐标不变， 抛物线 yx22x+3 关于 y 轴对称的抛物线的解析式为 yx2+2x+3； （3）如图： 若原二次函数图象向下平移 m 个单位，与线段 AB 只有一个公共点，此时，m1； 若原二次函数图象向下平移 m 个
35、单位，与线段 AB 有 2 个公共点，且恰好为点 A、B，设此时函数解析 式为 y（x1）2+c， 将 A（1，1） ，点 B（3，1）代入得：c3，即向下平移 5 个单位， 此时，m5； 综上所述，若原二次函数图象向下平移 m 个单位，与线段 AB 有公共点，m 的取值范围为 1m5 【点评】本题主要考查的是二次函数图象与几何变换，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解 析式，关于 y 轴对称点的坐标特点，分类讨论是解题的关键 22 （10 分）周日上午 8：00 小聪从家里出发，骑公共自行车前往离家 5 千米的新华书店，1 小时后小聪爸 爸从家里出发，沿同一条路以 25 千米/时的速度
36、开车去接小聪，一起买好书后接上小聪按原速度返回家 中，已知小聪在书店停留的时间比爸爸多 0.7 小时，两人离家的路程 y（千米）与小聪所用的时间 x（小 时）之间的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题： （1）求爸爸在新华书店停留的时间及小聪骑自行车的速度； （2）求小聪爸爸开车返回途中，y 关于 x 的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）问上午几时小聪爸爸离家路程为 2.5 千米 【分析】 （1）根据函数图象中的数据，可以计算出小聪骑自行车的速度及爸爸在新华书店停留的时间； （2）根据函数图象中的数据和题意，可以得到小聪爸爸开车返回途中，y 关于 x 的函数表达式，并写出 自
37、变量 x 的取值范围； （3）根据（2）中的结果和图象，可以得到上午几时小聪爸爸离家路程为 2.5 千米 【解答】解： （1）由图象可得，小聪爸爸从家里出发到新华书店的途中时间：5250.2 爸爸在新华书店停留的时间：1.610.20.4（小时） ， 小聪在新华书店停留的时间为：0.4+0.71.1（小时） ， 小聪骑自行车的速度为：5（1.61.1）10（千米/小时） ， 即小聪爸爸在新华书店停留的时间为 0.4，小聪骑自行车的速度是 10 千米/小时； （2）设途中，y 关于 x 的函数表达式为 ykx+b， 小聪爸爸开车返回用 0.2 小时，即小聪从家里出发到返回家中的时间为：1.6+0
38、.21.8（小时） ， 则，解得， 即小聪爸爸开车返回途中，y 关于 x 的函数表达式是 y25x+45（1.6x1.8） ； （3）由（2）知，小聪爸爸从书店返回家中用的时间为 0.2 小时， 8+1+0.19.1（时） ，8+1.6+0.19.7（时） ， 故上午 9.1 时或 9.7 时，小聪爸爸离家路程为 2.5 千米 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思 想解答 23 （12 分） 【基础巩固】 如图 1，ABCADE，求证：ABDACE； 【尝试应用】 如图 2，ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，AC 上，AEFACD，B
39、E2，CE6，求 AFAC 的值 【拓展提高】 如图 3，在（2）的条件下，连接 DF，ABAF，已知 cosACD，求 tanACB 的 值 【分析】 （1）由相似三角形的性质得出BACDAE，得出BADCAE，由 相似三角形的判定定理可得出结论； （2） 由平行四边形的性质得出 ADBC， ADBC， 由相似三角形的性质得出EAFCAD， 证出 AECE6，则可得出答案； （3）过点 D 作 DHAC 于点 H，由（1）可知，AEFACD，设 CHa，则 CD4a，由等腰三角 形的性质得出 FHCHa，AF4a，由勾股定理求出 DH，由锐角三角函数的定义可得出答案 【解答】 （1）证明：A
40、BCADE， BACDAE， BADCAE， ABDACE； （2）解：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC， BE2，CE6，ACEDAC， BCAD2+68， 又AEFACD， EAFCAD， EAFACE， AECE6， AFACAEAD6848； （3）过点 D 作 DHAC 于点 H，由（1）可知，AEFACD， AECAFD， 由（2）知，EAEC， FDFAABCD， 设 CHa，则 CD4a， FHCHa，AF4a， AH5a， 在 RtDCH 中，DHa， tanACBtanCAD 【点评】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平
41、行四边形的性 质，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键 24 （14 分）定义：ABC 中，A+2B90，则称ABC 为倍余三角形 （1）下列说法正确的是 倍余三角形一定是钝角三角形； 等腰三角形不可能是倍余三角形 （2）如图 1，ABC 内接于O，点 D 在直径 BC 上（不与 B，C 重合） ，满足 ABAD，求证：ACD 为倍余三角形； （3）在（2）的条件下， 如图 1，连接 AO，若AOD 也为倍余三角形，求C 的度数； 如图 2，过点 D 作 DEBC 交 AC 于点 E，若ABC 面积为ADE 面积的 7.5 倍，求的值 【分析】 （1）由倍余
42、三角形的定义及等腰三角形的性质可得出答案； （2）由圆周角定理得出B+C90，由等腰三角形的性质得出ABDADB，根据三角形外角的 性质可得出答案； （3）若AOD 为钝角，设OADx，则DACx，C2x，得出ADO3x，即 5x90，求出 C36； ，若ADC 为钝角，设OADx，则OACCx，AOD2x，即 4x90，求出 x 22.5，则可得出答案； 如图 3，作 AFBC，不妨设 DF1，CDx，得出，解方程求出 x 的值则可得出答 案 【解答】 （1）解：ABC 为倍余三角形， A+2B90， A+B90B90， C90， 倍余三角形一定是钝角三角形，故正确， 等腰三角形可能是倍余三
43、角形如AB30，ABC 是倍余三角形故错误， 故答案为； （2）证明：BC 是O 的直径， BAC90， B+C90， ABAD， ABDADB， DAC+2CDAC+C+CADB+CB+C90， ACD 为倍余三角形； （3）如图 1， AOD 为钝角， OAD+2ADOB+AOB90，和不可能为 90， 当 2OAD+B90时，即 2OAD+B90， 又B+C90， OACC2OAD， 设OADx，则DACx，C2x， ADO3x， 即 5x90， x18， 即C36， 如图 2，ADC 为钝角， OAD+2AODB+AOB90，和不可能为 90， 当 2OAD+AOD90时，即OAD+B90， OAD+B90， OADCOAC， 设OADx，则OACCx，AOD2x， 即 4x90， x22.5， 即C22.5， 综合以上可得C 为 36或 22.5； 如图 3，作 AFBC，不妨设 DF1，CDx，若ABC 的面积为ADE 面积的 7.5 倍， ， 解得 x14， 当 x4 时，BC6，AD， ， 当 x时，BC2.5，AD， 综合以上得出的值为或 【点评】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，新定义倍余 三角形的理解与运用，熟练掌握与三角形有关的性质定理是解题的关键