1、江苏省南京市江苏省南京市 2021 届期中考试考前训练数学试题届期中考试考前训练数学试题 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1. 已知复数1 23zii (其中i是虚数单位)，则z在复平面内对应点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 先由复数的运算化简复数 z，再运用复数的几何表示可得选项. 【详解】由已知得 31231 717 1+21+212555
2、 iiii zi iii ， 所以复数 z在复平面上所对应的点为 17 , 55 ，在第四象限， 故选：D. 2. 已知集合 2 2 1 ,650AxBy yy x ，则=AB( ) A. 0,5 B. 0,5 C. 0,3 D. 0,3 【答案】A 【解析】 【分析】 先求得集合 A、B，再由集合的并集运算可得选项. 【详解】由 2 1 x 得 2 10 x ，即 2 0 x x ，解得02x， 由 2 650yy得150yy，解得1 5y ， 所以=(0,2,B=1,5,A所以=(0,5AB 故选：A. 3. 已知双曲线 22 22 :1 xy C ab (0,0)ab 的离心率为 5 2
3、 ，则双曲线C的渐近线方程为( ) A. 20 xy B. 20 xy C. 30 xy D. 30 xy 【答案】B 【解析】 【分析】 根据双曲线的离心率公式得到 22 22 511 1 242 cbbb aaaa 进而得到渐近线方程. 【详解】已知双曲线 22 22 :1 xy C ab ( 0,0)ab 的离心率为 5 2 ， 即 22 22 5511 ,1 2242 ccbbb aaaaa 双曲线的渐近线方程为： 1 2 b yxyx a 故答案为 B. 【点睛】这个题目考查了双曲线的离心率的求法，以及设计了离心率和渐近线的表达式间的关系，属于基 础题. 4. 函数 3 1 2 x
4、f xx 的零点所在区间为( ) A. 1,0 B. 1 ,1 2 C. 1 0, 2 D. 1,2 【答案】B 【解析】 【分析】 由零点存在性定理运算即可得解. 【详解】由题意，函数 3 1 ( ) 2 x f xx 是增函数并且是连续函数， 因为11 230f ， 00 110f ， 111 0 282 f ， 11 110 22 f ， 所以 1 10 2 ff ， 所以函数的零点在区间 1 ,1 2 故选：B 5. 函数 22 ( )ln xx f xeex 的部分图象大致为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用排除法，先判断函数为偶函数，则图像关于y轴
5、对称，可排除 B 选项，再由函数的变化情况，可排除 A，C选项，从而可得答案 【详解】根据题意，函数 f x的定义域为0 x x ， 因为 2222 ()ln|ln( ) xxxx fxeexeexf x ， 所以 f x为偶函数，则其图像关于y轴对称，所以排除 B选项， 当1x 时， 0f x ；当01x时， 0f x ，排除 A，C 选项 故选：D 【点睛】此题考查函数图像的识别，考查函数奇偶性的应用，属于基础题 6. 已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只 会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲.乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以若甲
6、乙丙丁购物后依次结 账，那么他们结账方式的组合种数共有( ) A. 36种 B. 30种 C. 24种 D. 20种 【答案】D 【解析】 【分析】 分乙使用现金和银联卡两种方法，分类求结账方法的组合数. 【详解】当乙用现金结算时，此时甲和乙都用现金结算，所以丙有 3种方法，丁有 4种方法， 共有3 4 12 种方法；当乙用银联卡结算时，此时甲用现金结算，丙有 2种方法，丁有 4种方法，共有 2 48 种方法， 综上，共有12 820 种方法. 故选：D 【点睛】本题考查分类和分步计数原理，意在考查分析问题和解决问问他的能力，属于基础题型. 7. 已知四边形ABCD是边长为 2的正方形，P为平
7、面ABCD内一点，则 PAPBPCPD的最小 值为( ). A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】 建立如图所示的直角坐标系，设,P x y，求出 PAPBPCPD 22 4(1)4(1)4xy，即得 解. 【详解】建立如图所示的直角坐标系， 则0,0A，2,0B，2,2C0,2D. 设,P x y， 则,PAxy ，2,PBxy，2,2PCxy，,2PDxy ， 所以 2 2 22 , 222 ,422248PAPBPCPDxyxyxyy 22 4(1)4(1)4xy. 所以当1x ，1y 时， PAPBPCPD取得最小值4. 故选：C 【点睛】本题主要考查平
8、面向量的坐标运算，考查平面向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的 理解掌握水平. 8. 已知直线 1: 0lkxy()kR与直线 2: 220lxkyk相交于点 A，点 B是圆 22 (2)(3)2xy上的动点，则|AB的最大值为( ) A. 3 2 B. 5 2 C. 5 2 2 D. 3 2 2 【答案】C 【解析】 【分析】 求出点A的轨迹方程，确定A点轨迹，然后通过几何意义求得最大值 【详解】由 0 220 kxy xkyk ，消去参数k得 22 (1(1)2xy）， 所以A在以(1,1)C为圆心， 2为半径的圆上， 又点 B是圆 22 (2)(3)2xy上的动点，此圆圆心为 (
9、 2, 3)D ，半径为 2， 22 (1 2) )(1 3)5CD ， AB的最大值为2252 2CD 故选：C. 【点睛】本题考查交轨法求轨迹方程，考查两点间的距离公式由圆的性质知某点到圆上的点间距离的最 大值可以转化为到圆心的距离与半径的和 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0分分. 9. 某特长班有男生和女生各 10 人，统计他们的身高
10、，其数据(单位：cm)如下面的茎叶图所示，则下列结论 正确的是( ) A. 女生身高的极差为 12 B. 男生身高的均值较大 C. 女生身高的中位数为 165 D. 男生身高的方差较小 【答案】AB 【解析】 【分析】 从茎叶图上计算极差，中位数，而均值和方差可通过茎叶图估计即可(当做也可计算实际值) 【详解】女生的极差是 173-161=12，A 正确；由茎叶图数据，女生数据偏小，男生平均值大于女生值，B 正确； 女生身高中位数是 166， C 错误； 女生数据较集中， 男生数据分散， 应该是男生方差大， 女生方差小， D 错(也可实际计算均值和方差比较) 故选：AB. 【点睛】本题考查茎叶
11、图，考查学生的数据处理能力掌握样本数据特征如极差、方差、均值、中位数是 解题基础 10. 已知函数( )sin(3 )f xx 22 的图象关于直线 4 x 对称，则( ) A. 函数 12 fx 为奇函数 B. 函数 f x在 12 3 ， 上单调递增 C. 若 12 2f xf x ，则 12 xx的最小值为 3 D. 函数 f x的图象向右平移 4 个单位长度得到函数cos3yx 的图象 【答案】AC 【解析】 【分析】 利用( )sin(3)f xx的图象关于直线 4 x 对称，即可求出的值，从而得出 f x的解析式，再利用 三角函数的性质逐一判断四个选项即可. 【详解】因为( )si
12、n(3)f xx的图象关于直线 4 x 对称， 所以3 42 kkZ ， 得 4 k ，kZ，因为 22 ，所以0, 4 k ， 所以( )sin 3 4 f xx ， 对于 A：sin 3sin3 12124 fxxx ，所以 12 fx 为奇函数成立，故选项 A正确； 对于 B： 12 3 x ， 时， 3 0, 4 3 4 x ，函数 f x在 12 3 ， 上不是单调函数；故选项 B 不正确； 对于 C：因为 max1f x， min1f x ，又因为 12 2f xf x ，所以 12 xx的最小值为半个周 期，即 21 323 ，故选项 C 正确； 对于 D：函数 f x的图象向右
13、平移 4 个单位长度得到 sin 3sin 3sin3 44 yxxx ，故选项 D不正确； 故选：AC 【点睛】本题主要考查了利用三角函数的对称轴求函数解析式，考查了三角函数平移变换、三角函数的周 期、单调性、最值，属于中档题 11. 已知等比数列an的公比 2 3 q ，等差数列bn的首项 b112，若 a9b9且 a10b10，则以下结论正确 的有( ) A. a9a100 B. a9a10 C. b100 D. b9b10 【答案】AD 【解析】 【分析】 设等差数列的公差为 d，运用等差数列和等比数列的通项公式分析 A正确，B与 C 不正确，结合条件判断等 差数列为递减数列，即可得到
14、 D正确 【详解】数列an是公比 q 为 2 3 的等比数列，bn是首项为 12，公差设为 d 的等差数列， 则 8 91 2 () 3 aa， 9 101 2 () 3 aa， a9a10 217 1 2 () 3 a0，故 A正确； a1正负不确定，故 B错误； a10正负不确定，由 a10b10，不能求得 b10的符号，故 C 错误； 由 a9b9且 a10b10，则 a1( 2 3 )812+8d，a1( 2 3 )912+9d， 由于 910 ,a a异号，因此 9 0a 或 10 0a 故 9 0b 或 10 0b ，且 b112 可得等差数列bn一定是递减数列，即 d0， 即有
15、a9b9b10，故 D正确 故选：AD 【点睛】本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了等比数列的通项公式、求和公式和等差数列的单调 性，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 12. 当1x 时， 41 lnln3kx xxx 恒成立，则整数k的取值可以是( ). A. 2 B. 1 C. 0 D. 1 【答案】ABC 【解析】 【分析】 将41 lnln3kx xxx ，当1x 时，恒成立，转化为 13ln ln 4 x kx xx ，.当1x 时，恒成 立，令 3ln ln1 x F xxx xx ，利用导数法研究其最小值即可. 【详解】因为当1x 时，41 lnln
16、3kx xxx 恒成立， 所以 13ln ln 4 x kx xx ，当1x 时，恒成立， 令 3ln ln1 x F xxx xx ， 则 222 131 ln2lnxxx Fx xxxx . 令 ln2xxx， 因为 1 0 x x x ，所以 x在 1,上单调递增. 因为 10，所以 0Fx 在1,上有且仅有一个实数根 0 x， 于是 F x在 0 1,x上单调递减，在 0, x 上单调递增， 所以 0 00 min 00 ln3 ln x F xF xx xx .(*) 因为 1 ln3 30 9 F ， 2 1 ln22ln4 40 1616 F ， 所以 0 3,4x ，且 00
17、2ln0 xx ， 将 00 ln2xx代入(*)式， 得 0 000 min 000 231 21 x F xF xxx xxx ， 0 3,4x . 因为 0 0 1 1tx x 在3,4上为增函数， 所以 7 13 , 34 t ，即 min 17 13 , 412 16 F x . 因为k为整数，所以0k . 故选：ABC 【点睛】本题主要考查函数与不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难 题. 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.请把答案直接填写在请把答案直接填写在答题卡相应位置上答题卡相应位置上
18、 . 13. 已知锐角，且cos 3 22 ，则tan_ 【答案】3 【解析】 【分析】 由已知利用诱导公式求得，进一步得到tan的值 【详解】解：由 3 cos 22 ，得 3 sin 2 ， 是锐角， 60， 则tan3 故答案为 3 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查由已知三角函数值求角，是基础题 14. 曲线 2 x f xxe在点 0,0f处的切线方程为_ 【答案】20 xy 【解析】 【分析】 本题首先可以求出曲线 ( ) 2 x fxxe=+的导函数，然后将0 x带入曲线 ( ) 2 x fxxe=+中计算出纵坐标， 再然后将0 x带入曲线的导函数中求出曲线在这一点处的切线
19、斜率，最后根据点斜式方程即可得出结果 【详解】因为曲线 ( ) 2 x fxxe=+，所以 ( ) xx fxexe =+ 将0 x带入曲线中可得 02f，带入导函数中可得 ( ) 0 01fe =， 所以曲线 ( ) 2 x fxxe=+在点0,2处的切线方程为2yx，即20 xy 【点睛】本题考查了曲线的某一点处的切线方程的求法，首先可以根据曲线方程计算出切点坐标，然后根 据曲线的导函数计算出切线斜率，最后根据点斜式方程即可得出切线方程，考查计算能力，考查对导数的 理解，是简单题 15. 在三角形ABC中，角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c， 0 30A ， 0 45C ，3
20、c ，点P是平面ABC内 的一个动点，若 0 60BPC，则PBC面积的最大值是_ 【答案】 9 3 8 【解析】 【分析】 由已知利用正弦定理计算得 a,再在三角形PBC中用余弦定理结合不等式求出 BP 与 PC 乘积的最大值， 代入 面积即可求解. 【详解】 0 30A ， 0 45C ，3c ， 由正弦定理 ac sinAsinC ，可得：a 1 3 3 2 2 22 2 c sinA sinC 又 0 60BPC， 在三角形PBC中，令 PB=m，令 PC=n， 由余弦定理可得 cos 22 9 2 2 mn BPC mn = 1 2 ， 22 9 2 mn=mn2mn- 9 2 ，(
21、当且仅当 m=n= 3 2 2 时等号成立) mn 9 2 ，S= 1 2 mnsinBPC= 9 3 8 故答案为 9 3 8 【点睛】本题主要考查了正、余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形的面积公式，属于中档题 16. 数列 n a的前n项和为 n S， 1 2a ， 1 1 1 2 nn n Sa ， 2 log nn ba， 则数列 1 1 nn b b 的前n项和 n T _ 【答案】 1 n n 【解析】 【分析】 利用 1nnn aSS 可得 n a为等比数列，即可求出 n a，进而得出 n b，利用裂项相消法即可求出. 【详解】 1 1 1 2 nn n Sa ， 2n时，
22、 1 1 1 1 2 nn n Sa ， 两式作差，得 1 1 11 112 22 nnn nn aaan ， ， 化简得 1 22 n n a n a ， ， 检验：当1n 时， 112 1 2 2 Saa， 2 4a ， 2 1 2 a a ，所以数列 n a是以 2 为首项，2 为公比的等比 数列；2n n a ， 22 l2logog n nn ban， 令 1 1111 11 n nn c b bn nnn ， 11111111 11 22334111 n n T nnnn . 故答案为： 1 n n 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： (1)对于等差等比数列，利用公式法可直接求
23、解； (2)对于 n n a b结构，其中 n a是等差数列， n b是等比数列，用错位相减法求和； (3)对于+ nn ab结构，利用分组求和法； (4)对于 1 1 nn a a 结构，其中 n a是等差数列，公差为d，则 11 1111 nnnn a adaa ，利用裂项相消法求 和. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.请在请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答内作答.解答时应写出文字说明、证解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤明过程或演算步骤. 17. 已知ABC中，C为钝角，而且8AB，3BC ，AB边上的高为 3 3 2 . (1)求B
24、的大小； (2)求cos3cosACAB的值. 【答案】(1) 3 ；(2)8. 【解析】 【分析】 (1)利用三角形 ABC的面积相等，求出B的大小； (2)由余弦定理得出AC，以及cosA，可得cos3cosACAB的值 【详解】(1)由三角形面积可知 131 833 8 sin 222 B ， 3 sin 2 B ，又因为 B是锐角，所以 3 B. (2)由(1)可知 222 2cos6492449ACABBCABBCB， 所以7AC . 又因为 222 6449913 cos 22 8 714 ABACBC A ABAC ， 因此 113 cos3cos378 214 ACAB . 【
25、点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形的面积公式，属于基础题 18. 2017 年 4 月 1 日，新华通讯社发布:国务院决定设立河北雄安新区，消息一出，河北省雄县、容城、安 新 3 县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点. (1)为了响应国家号召，北京市某高校立即在所属的 8 个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁 至雄安新区”的问卷调查，8 个学院的调查人数及统计数据如下: 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归方程ybxa $(b保留小数点后 两位有效数字)；若该校共有教职员工 2500 人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人
26、数； (2)若该校的 8 位院长中有 5 位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区，现该校拟在这 8 位院长中随机选取 4 位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察， 记X为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数， 求X的分布列及数学期望. 参考公式及数据： 1 22 1 n ii i n i i x yn x y b xn x ，a yb x ， 8 1 16310 ii i x y ， 8 2 1 20400 i i x . 【答案】(1)2000；(2)见解析 【解析】 试题分析：(1)依据公式计算回归方程，在根据求出的结果得到相应的预测值.(2)X是离散型随机变量，它 服从超几何分布，
27、故根据公式计算出相应的概率，得到分布列后再利用公式计算期望即可. 解析：(1)由已知有 1 22 1 163108 45 36 45,36,0.8 204008 45 5 4 n ii i n i i x yn x y xyb xn x ， 36 0.80 450a,故变量 y关于变量 x 的线性回归方程为 0.8yx，所以当 2500 x时， 2500 0.802000y . (2)由题意可知X的可能取值有 1，2,3,4. 1322 5353 44 88 13 1,2 147 CCCC P XP X CC ， 214 535 44 88 31 3,4 714 CCC P XP X CC .
28、 所以 X的分布列为 X 1 2 3 4 p 1 14 3 7 3 7 1 14 13315 1234 1477142 E X 19. 如图， 在四棱锥SABCD中，ABCD为直角梯形， / /ADBC，BCCD， 平面SCD平面ABCD， SCD是以CD为斜边的等腰直角三角形，224BCADCD，E为BS上一点，且2BEES. (1)证明：直线/SD平面ACE； (2)求二面角SACE的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 1 3 【解析】 【分析】 (1)连接BD交AC于点F,连接EF,利用相似证得/EFSD,进而得证； (2)以C为坐标原点,CD CB所在的方向分别为y轴、z轴的正
29、方向,与,CD CB均垂直的方向作为x轴的 正方向,利用平面法向量求解二面角余弦值即可 【详解】解：(1)连接BD交AC于点F,连接EF, 因为/ /ADBC,所以AFD与BCF相似, 所以2 BFBC FDAD , 又=2 BEBF ESFD ,所以/EFSD, 因为EF 平面ACE,SD 平面ACE, 所以直线/SD平面ACE (2)由题,因为平面SCD平面ABCD,平面SCD平面ABCDCD,BC平面ABCD,BCCD, 所以BC平面SCD, 以C为坐标原点,CD CB所在的方向分别为y轴、z轴的正方向,与,CD CB均垂直的方向作为x轴的正方 向,建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,
30、 因为224BCADCD,2BEES, 则(0,0,0)C,(1,1,0)S,(0,2,2)A, 2 2 4 ( , ) 3 3 3 E, 所以(0,2,2)CA ,(1,1,0)CS , 2 2 4 ( , ) 3 3 3 CE , 设平面SAC的一个法向量为( , , )mx y z,则 0 0 m CA m CS ,即 0 0 yz xy , 令1z ,得1x ,1y ,于是(1, 1,1)m , 设平面EAC的一个法向量为( , , )nx y z,则 0 0 n CA n CE ,即 0 20 yz xyz , 令1z ,得1x,1y ,于是( 1, 1,1)m , 设二面角SACE
31、的平面角的大小为,则 1 cos 3 m n m n , 所以二面角SACE的余弦值为 1 3 【点睛】本题考查线面平行的证明,考查利用空间向量求二面角余弦值,考查运算能力 20. 记 n S是正项数列 n a的前n项和，1 n a 是4和 n S的等比中项. (1)求数列 n a的通项公式； (2)记 1 1 (1)(1) n nn b aa ，求数列 n b的前n项和 n T. 【答案】(1)21 n an；(2) 4(1) n n T n . 【解析】 【分析】 (1)本小题先借 n S与 n a的关系判断数列 n a为等差数列，再求通项公式即可； (2)本小题直接运用裂项相消法求解即可
32、. 【详解】(1)因为1 n a 是4和 n S等比中项， 所以 2 (1)4 nn aS，当2n时， 2 11 (1)4 nn aS ， 由得： 22 11 (1)(1)44 nnnn aaSS ， 化简得 22 1 (1)(1) nn aa ，即 1 11 nn aa 或者 1 1 (1)0 nn aa (舍去)， 故 1 2 nn aa (2)n ，数列 n a为等差数列， 因为 2 11 (1)4aS，解得 1 1a ， 所以数列 n a是首项为1、公差为2的等差数列， 通项公式：21 n an. (2) 1 111 11 (1)(1)2(22)41 n nn b aannnn ， 1
33、23 11111111 (1)()()() 42233414(1) nn n Tbbbb nnn . 【点睛】本题考查数列通项公式的求法以及数列的前n项和的求法，考查等差数列的判定，考查裂项相 消法求和，考查推理能力与计算能力，是中档题. 21. 已知 1 F， 2 F分别为椭圆 22 22 :1 xy C ab (0)ab 的左、右焦点，P为C上的动点，其中P到 1 F的 最短距离为1，且当 12 PFF的面积最大时， 12 PFF恰好为等边三角形. (1)求椭圆C的标准方程； (2)以椭圆长轴为直径的圆叫做椭圆的“外切圆”，记椭圆C的外切圆为E. (i)求圆E的方程； (ii)在平面内是否
34、存在定点Q，使得以PQ为直径的圆与E相切，若存在求出定点Q的坐标；若不存在， 请说明理由 【答案】(1) 22 1 43 xy (2)(i) 22 4xy(ii)当定点Q恰好为椭圆C的焦点1,0时，符合题意 【解析】 【分析】 (1)由题意联立方程组可解得2a,1c,3b ,即可得椭圆C的方程. (2)(i)因为椭圆长轴端点坐标为( 2,0)和(2,0),得出椭圆的“外切圆”E的方程. (ii)设定点Q,根据以PQ为直径的圆与E相切,利用圆与圆的位置求解即可. 【详解】解：(1)由题意可知 1 2 ac ac ,解得2a,1c,所以3b , 故椭圆C的方程为 22 1 43 xy ; (2)(
35、i)因为椭圆长轴端点坐标为( 2,0)和(2,0), 所以椭圆的“外切圆”E的方程为 22 4xy (ii)解法一：假设存在满足条件的定点Q, 由题意可知定点Q必在x轴上,设( ,0)Q m, 00 ,P xy,则 22 00 1 43 xy , 由(i)可知,圆E的圆心为坐标原点O,半径为2, 设以PQ为直径的圆的圆心为G,半径为r,则G为线段PQ的中点, | 2 PQ r , 即 00 , 22 xm y G 2 2 00 1 2 rxmy 因为圆E与圆G相切,则| 2OGr, 所以 2 2 2 2 00 00 1 2 242 xmy xmy ,其中 22 00 3 3 4 yx, 两边平
36、方并整理： 2 2 000 42mxxmy , 化简得： 22 0 140mx , 上式对任意 0 2,2x 恒成立, 故 2 10m ,解得：1m, 所以当定点Q恰好为椭圆C的焦点时,符合题意. 解法二：假设存在满足条件的定点Q, 由题意可知定点Q必在x轴上,设( ,0)Q m, 00 ,P xy,则 22 00 1 43 xy , 由(i)可知,圆E的圆心为坐标原点O,半径为2, 设以PQ为直径的圆的圆心为G,半径为r,则G为线段PQ的中点, | 2 PQ r , 即 00 , 22 xm y G , 2 2 00 1 2 rxmy 因圆E与圆G相切,则| 2OGr, 所以 2 2 2 2
37、 00 00 1 2 242 xmy xmy , 则 2 2 2 2 00 00 1 2 242 xmy xmy , 则 22 22 0000 4xmyxmy , 设(,0)Qm ,则| 4PQPQ 又因为,点P在椭圆 22 1 43 xy 上,设 1 F, 2 F分别为椭圆的左右焦点, 则 12 4PFPF, 故Q, Q 分别与 1 F, 2 F重合, 所以当定点Q恰好为椭圆C的焦点时,符合题意. 解法三：假设存在满足条件的定点Q, 由题意可知定点Q必在x轴上, 由(i)可知,圆E的圆心为坐标原点O,半径为2, 设以PQ为直径的圆的圆心为G,半径为r,则G为线段PQ的中点, | 2 PQ r
38、 , 因为圆E与圆G相切,则| 2OGr, 即 | | 2 2 PQ OG , 所以2| 4OGPQ, 设 Q 为Q关于原点的对称点,则OG恰好为QQ P 的中位线, 所以2|OG PQ , 所以| 4PQPQ 又因为,点P在椭圆 22 1 43 xy 上,设 1 F, 2 F分别为椭圆的左右焦点, 则 12 4PFPF, 故Q, Q 分别与 1 F, 2 F重合, 所以当定点Q恰好为椭圆C的焦点时,符合题意. 解法四：假设存在满足条件的定点Q,设 ( , )Q m n, 00 ,P xy,则 22 00 1 43 xy , 由(i)可知,圆E的圆心为坐标原点O,半径为2, 设以PQ为直径的圆
39、的圆心为G,半径为r,则G为线段PQ的中点, | 2 PQ r , 即 00 , 22 xm yn G , 22 00 1 2 rxmyn 因为圆E与圆G相切,则| 2OGr, 所以 22 22 00 00 1 2 442 xmyn xmyn , 则 22 22 00 00 1 2 442 xmyn xmyn , 则 2222 0000 4xmynxmyn , 设(,)Qmn ,则| 4PQPQ 又因为,点P在椭圆 22 1 43 xy 上,设 1 F, 2 F分别为椭圆的左右焦点, 则 12 4PFPF, 故Q, Q 分别与 1 F, 2 F重合, 所以当定点Q恰好为椭圆C的焦点时,符合题意
40、. 【点睛】本意考查求椭圆的标准方程和求圆的标准方程,以及根据圆与圆的位置关系求解点的坐标,属于中档 题. 22. 已知函数( ) ln(2)f xxa (0,0)xa 曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线在y轴上的截距为 2 ln3 3 . (1)求a； (2)讨论函数( )( )2g xf xx (0)x 和 2 ( )( ) 21 x h xf x x (0)x 的单调性； (3)设 1 2 5 a ， 1 () nn af a ，求证： 1 521 2(2) 2 n n n n a . 【答案】(1)1a ；(2)( )g x0 x（）为减函数，( )h x0 x（）为增函数；
41、(3)证明详见解析. 【解析】 【分析】 (1)求出导函数( ) fx，求出切方程，令0 x得切线的纵截距，可得a； (2)求函数的导数，由导函数的正负确定单调性； (3)不等式 1 521 2 2 n n n a 变形为 2 5 n n a ， ( )g x为减函数， 得到( )(0)0g xg，即( )2f xx， 1 () nn af a ，即 1 2 nn aa ， 依次得到 21 121 2 222 5 n n nnn aaaa ； 1 20 n a ( )h x 为增函数，( )(0)0h xh， 2 ( )0 21 x f x x ， 得 11 111 22 ()2 nn f a
42、a ， 22 122 1111111 22220 222n nnn aaaa ，得 1 20 n a . 【详解】(1)对( )ln(2)f xxa求导，得. 2 ( ) 2 fx xa 因此 2 (1) 2 f a .又因为(1) ln(2)fa ， 所以曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程为 2 ln(2)(1) 2 yax a 即 22 ln(2) 22 yxa aa ， 由题意， 22 ln(2)ln3 23 a a ， 显然1a ，适合上式， 令 2 ( )ln(2)(0) 2 aaa a ， 求导得 2 12 ( )0 2(2) a aa ， 因此( )a为增函数：故1
43、a 是唯一解. (2)由(1)可知，( )ln(21)2g xxx (0)x 2 ( )ln(21) 21 x h xx x (0)x ， 因为 24 ( )20 2121 x g x xx ， 所以( )( )2g xf xx (0)x 为减函数， 因 22 224 ( )0 21(21)(21) x h x xxx ， 所以 2 ( )( ) 21 x h xf x x (0)x 为增函数. (3)证明： 由 1 2 5 a ， 1 ()ln(21) nnn af aa ，易得0 n a 1 5212 2 25 nn n n n a a 由(2)可知，( )( )2g xf xxln(21
44、)2xx在(0,)上为减函数， 因此，当0 x时，( )(0)0g xg，即( )2f xx， 令 1n xa (2)n ，得 11 ()2 nn f aa ，即 1 2 nn aa ， 因此，当2n， 1 2a 时 ， 21 121 2 222 5 n n nnn aaaa ， 所以 1 521 2 2 n n n a 成立. 下面证明： 1 20 n a ， 由(2)可知， 2 ( )( ) 21 x h xf x x 2 ln(21) 21 x x x 在(0,)上为增函数， 因此，当0 x时，( )(0)0h xh， 即 2 ( )0 21 x f x x ， 因此 11 1 ( )2
45、f xx ， 即 11 1 22 ( )2f xx ， 令 1n xa (2)n ，得 11 111 22 ()2 nn f aa ， 即 1 111 22 2 nn aa ， 当2n时， 21 11111 22222 2ln1.8 5 n aaf a f . 因为 1 ln1.8ln3ln 2 e， 所以 1 20 ln1.8 ，所以 2 1 20 a ， 所以，当3n时， 22 122 1111111 22220 222n nnn aaaa ， 所以，当2n时， 1 20 n a 成立， 综上所述，当2n时， 1 521 20 2 n n n a 成立. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的单调性，考查用导数证明不等式.本题中不等式 的证明，考查了转化与化归的能力，把不等式变形后利用第(2)小题函数的单调性得出数列的不等关系 1 2 nn aa ， 1 111 22 2 nn aa 是最关键的一步，然后一步一步放缩即可证明，本题属于困难题.