1、2020-2021 学年浙江省湖州学年浙江省湖州市市吴兴区吴兴区中九年级（上）期中数学试卷中九年级（上）期中数学试卷 一一.选择题（本题有选择题（本题有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）O 的半径为 8cm，点 A 到圆心 O 的距离为 6cm，则点 A 与O 的位置关系是（ ） A点 A 在圆内 B点 A 在圆上 C点 A 在圆外 D不能确定 2 （3 分）二次函数 y2x2的图象先向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位后，所得到的抛物线的表达 式为（ ） Ay2（x+1）2+3 By2（x+1）23 Cy2（x1）2+3 Dy2（x1）
2、23 3 （3 分）下列事件中，必然事件是（ ） A2 月份有 31 天 B一个等腰三角形中，有两条边相等 C明天的太阳从西边出来 D投掷一枚质地均匀的骰子，出现 6 点朝上 4 （3 分）如图，四边形 ABCD 为圆内接四边形A85，B105，则C 的度数为（ ） A115 B75 C95 D无法求 5 （3 分）下列函数中，y 总随 x 的增大而减小的是（ ） Ay4x By4x Cyx4 Dyx2 6 （3 分）如图，在直角坐标系中，点 A（0，3） 、点 B（4，3） 、点 C（0，1） ，则ABC 外接圆的半径 为（ ） A2 B3 C4 D 7 （3 分）如图，在 22 的正方形网
3、格中有 9 个格点，已经取定点 A 和 B，在余下的 7 个点中任取一点 C， 使ABC 为直角三角形的概率是（ ） A B C D 8 （3 分）如图，AB 是O 的直径，C，D 是O 上的两点，且 BC 平分ABD，AD 分别与 BC，OC 相交 于点 E，F，则下列结论不一定成立的是（ ） AOCBD BADOC CCEFBED DAFFD 9 （3 分）10 个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O 均是正 六边形的顶点则点 O 是下列哪个三角形的外心（ ） AAED BABD CBCD DACD 10 （3 分）如图，平面直角坐标系中，已知 A（
4、2，0） ，B（4，0） ，P 为 y 轴正半轴上一个动点，将线段 PA 绕点 P 逆时针旋转 90，点 A 的对应点为 Q，则线段 BQ 的最小值是（ ） A3 B5 C D2 二二.填空题（本题有填空题（本题有 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）抛物线 y2x2+4x1 的对称轴是 12 （4 分）如图，半径为 10 的O 中，弦 AB 的长为 16，则这条弦的弦心距为 13 （4 分）如图，在 RtACB 中，ACB90，A27，将ABC 绕点 C 逆时针旋转 到A1B1C 的位置，A1B1恰好经过点 B，则旋转角 的度数是 14 （4 分）
5、现有 A、B 两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别打有数字 1，2，3，4，5，6） ，用小芳 掷 A 立方体朝上的数字为 x，小明掷 B 立方体朝上的数字为 y 来确定点 P（x，y） ，那么他们各掷一次所 确定的点 P 落在已知抛物线 yx2+4x 上的概率为 15 （4 分）如图，抛物线 yx2+2x+m+1（m 为常数）交 y 轴于点 A，与 x 轴的一个交点在 2 和 3 之间， 顶点为 B 若点 M（2，y1） 、P（2，y3）在该函数图象上，则 y1y2y3； 将抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位，所得抛物线解析式为 y（x+1）2+m； 抛物线 yx2+2x
6、+m+1 与直线 ym+3 有且只有一个交点； 点 A 关于直线 x1 的对称点为 C，点 D、E 分别在 x 轴和 y 轴上，当 m1 时，四边形 BCDE 周长的 最小值为 其中正确判断的序号是 16 （4 分） 如图， 矩形纸片 ABCD 中， BC5， AB3， 点 P 是 BC 边上的动点（点 P 不与点 B、C 重合） 现 将PCD 沿 PD 翻折，得到PCD；作BPC的角平分线，交 AB 于点 E设 BPx，BEy，则 y 与 x 的函数关系式为 三三.解答题（本题有解答题（本题有 8 个小题，共有个小题，共有 66 分）分） 17 （6 分）已知等腰三角形 ABC，如图 （1）
7、用直尺和圆规作ABC 的外接圆； （2）设ABC 的外接圆的圆心为 O，若BOC128，求BAC 的度数 18 （6 分）如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位 AB 时，宽 20m，水位上升 3m 就达到警戒 线 CD，这时水面宽度为 10m （1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式； （2） 若洪水到来时， 水位以每小时 0.2m 的速度上升， 从警戒线开始， 再持续多少小时才能到达拱桥顶？ 19 （6 分）在湖州创建国家卫生文明城市的过程中，张辉和夏明积极参加志愿者活动，当时有下列四个志 愿者工作岗位供他们选择： 清理类岗位：清理花坛卫生死角；清理楼道杂物（分别用 A1，A2表示）
8、 宣传类岗位：垃圾分类知识宣传；交通安全知识宣传（分别用 B1，B2表示） （1）张辉同学从四个岗位中随机选取一个报名，恰好选择清理类岗位概率为是 ； （2） 若张辉和夏明各随机从四个岗位中选一个报名，请你利用树状图或列表法求出他们恰好都选择同一 个岗位的概率 20 （8 分）如图，二次函数 yx2+4x+e 的图象与 x 轴交于 A、 B 两点（A 在 B 的左侧） ， 与 y 轴交于点 D， 点 A 的坐标是（1，0） ，C 是抛物线的顶点 （1）求二次函数的解析式； （2）当 0 x5 时，求 y 的取值范围； （3）连接 BC，线段 OD 上有一点 E，点 E 关于抛物线的对称轴的对称
9、点 F 恰好在线段 BC 上，求点 E 的坐标 21 （8 分）如图，圆内接四边形 ABCD，AB 是O 的直径，ODAC 交 BC 于点 E （1）求证：BCD 为等腰三角形； （2）若 BE4，AC6，求 DE 22 （10 分）某宾馆有 50 个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天 160 元时，房间会全部住满，当每 个房间每天的定价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支 出 20 元的各种费用设每个房间的定价为 x 元时，相应的住房数为 y 间 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）定价为多少时宾馆当天利润 w 最大？并求出一天的最大利
10、润； （3）若老板决定每住进去一间房就捐出 a 元（a30）给当地福利院，同时要保证房间定价 x 在 160 元 至 350 元之间波动时（包括两端点） ，利润 w 随 x 的增大而增大，求 a 的取值范围 23 （10 分）定义：如果一条抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这 两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征轴三角形” 显然， “特征轴三角形”是等腰三角形 （1） 抛物线 yx22 对应的 “特征轴三角形” 是 ； 抛物线 yx22x 对应的 “特征轴三角形” 是 （把下列较恰当结论的序号填在横线上：腰与底边不相等的等腰三角形；等边三角形
11、； 非等腰的直角三角形；等腰直角三角形 ） （2）若抛物线 yax2+2ax3a 对应的“特征轴三角形”是直角三角形，则 a 的值为 （3） 如图， 面积为 12的矩形 ABCO 的对角线 OB 在 x 轴的正半轴上， AC 与 OB 相交于点 E， 若ABE 是抛物线 yax2+bx+c 的“特征轴三角形” ，求此抛物线的解析式 24 （12 分）如图，已知抛物线 yax2+bx+5 经过 A（5，0） ，B（4，3）两点，与 x 轴的另一个交点 为 C，顶点为 D，连接 CD （1）求该抛物线的表达式； （2）点 P 为该抛物线上一动点（与点 B、C 不重合） ，设点 P 的横坐标为 t
12、当点 P 在直线 BC 的下方运动时，求PBC 的面积的最大值； 该抛物线上是否存在点 P，使得PBCBCD？若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明 理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.选择题（本题有选择题（本题有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）O 的半径为 8cm，点 A 到圆心 O 的距离为 6cm，则点 A 与O 的位置关系是（ ） A点 A 在圆内 B点 A 在圆上 C点 A 在圆外 D不能确定 【解答】解：O 的半径为 8cm，点 A 到圆心 O 的距离为 6cm， 即点 A 到圆心的距离小于圆的半径， 点 A
13、 在圆内 故选：A 2 （3 分）二次函数 y2x2的图象先向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位后，所得到的抛物线的表达 式为（ ） Ay2（x+1）2+3 By2（x+1）23 Cy2（x1）2+3 Dy2（x1）23 【解答】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0，0） ， 平移后抛物线顶点坐标为（1，3） ， 又因为平移不改变二次项系数， 所以所得抛物线解析式为：y2（x1）2+3 故选：C 3 （3 分）下列事件中，必然事件是（ ） A2 月份有 31 天 B一个等腰三角形中，有两条边相等 C明天的太阳从西边出来 D投掷一枚质地均匀的骰子，出现 6 点朝上 【解答】解：A、2
14、月份有 31 天，是不可能事件； B、一个等腰三角形中，有两条边相等，是必然事件； C、明天的太阳从西边出来，是不可能事件； D、投掷一枚质地均匀的骰子，出现 6 点朝上，是随机事件； 故选：B 4 （3 分）如图，四边形 ABCD 为圆内接四边形A85，B105，则C 的度数为（ ） A115 B75 C95 D无法求 【解答】解：四边形 ABCD 为圆内接四边形A85， C1808595， 故选：C 5 （3 分）下列函数中，y 总随 x 的增大而减小的是（ ） Ay4x By4x Cyx4 Dyx2 【解答】解：y4x 中 y 随 x 的增大而增大，故选项 A 不符题意， y4x 中 y
15、 随 x 的增大而减小，故选项 B 符合题意， yx4 中 y 随 x 的增大而增大，故选项 C 不符题意， yx2中，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，故选项 D 不符合题意， 故选：B 6 （3 分）如图，在直角坐标系中，点 A（0，3） 、点 B（4，3） 、点 C（0，1） ，则ABC 外接圆的半径 为（ ） A2 B3 C4 D 【解答】解：连接 AB、BC，如图， A（0，3） 、B（4，3） ， ABy 轴， BAC90， BC 为ABC 外接圆的直径， AC3+14，AB4， BC4， ABC 外接圆的半径为 2 故选：D 7 （3
16、 分）如图，在 22 的正方形网格中有 9 个格点，已经取定点 A 和 B，在余下的 7 个点中任取一点 C， 使ABC 为直角三角形的概率是（ ） A B C D 【解答】解：如图，C1，C2，C3，C4均可与点 A 和 B 组成直角三角形 P， 故选：D 8 （3 分）如图，AB 是O 的直径，C，D 是O 上的两点，且 BC 平分ABD，AD 分别与 BC，OC 相交 于点 E，F，则下列结论不一定成立的是（ ） AOCBD BADOC CCEFBED DAFFD 【解答】解：AB 是O 的直径，BC 平分ABD， ADB90，OBCDBC， ADBD， OBOC， OCBOBC， DB
17、COCB， OCBD，选项 A 成立； ADOC，选项 B 成立； AFFD，选项 D 成立； CEF 和BED 中，没有相等的边， CEF 与BED 不全等，选项 C 不成立； 故选：C 9 （3 分）10 个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O 均是正 六边形的顶点则点 O 是下列哪个三角形的外心（ ） AAED BABD CBCD DACD 【解答】解：从 O 点出发，确定点 O 分别到 A，B，C，D，E 的距离，只有 OAOCOD， 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等， 点 O 是ACD 的外心， 故选：D 10 （3 分）如图，平面直角
18、坐标系中，已知 A（2，0） ，B（4，0） ，P 为 y 轴正半轴上一个动点，将线段 PA 绕点 P 逆时针旋转 90，点 A 的对应点为 Q，则线段 BQ 的最小值是（ ） A3 B5 C D2 【解答】解：A（2，0） ， OA2， 设 P（0，m） ，则 OPm， 作 QMy 轴于 M， APQ90， OAP+APOAPO+QPM， OAPQPM， AOPPMQ90，PAPQ， AOPPMQ（AAS） ， MQOPm，PMOA2， Q（m，m+2） ， B（4，0） ， BQ， 当 m1 时，BQ 有最小值 3， 故选：A 二二.填空题（本题有填空题（本题有 6 小题，每小题小题，每小
19、题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）抛物线 y2x2+4x1 的对称轴是 直线 x1 【解答】解：抛物线 y2x2+4x12（x+1）23， 该抛物线的对称轴是直线 x1， 故答案为：直线 x1 12 （4 分）如图，半径为 10 的O 中，弦 AB 的长为 16，则这条弦的弦心距为 6 【解答】解：过点 O 作 ODAB 于点 D，连接 OA， AB16， ADAB168， 在 RtAOD 中， OA2OD2+AD2，即 102OD2+82，解得，OD6 故答案为：6 13 （4 分）如图，在 RtACB 中，ACB90，A27，将ABC 绕点 C 逆时针旋转 到A1B1C
20、 的位置，A1B1恰好经过点 B，则旋转角 的度数是 54 【解答】解：在 RtACB 中，ACB90，A27， ABC63， 将ABC 绕点 C 逆时针旋转 角到A1B1C 的位置， B1ABC63，B1CA1ACB90，CBCB1， CB1BCBB163， BCB154 故答案为：54 14 （4 分）现有 A、B 两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别打有数字 1，2，3，4，5，6） ，用小芳 掷 A 立方体朝上的数字为 x，小明掷 B 立方体朝上的数字为 y 来确定点 P（x，y） ，那么他们各掷一次所 确定的点 P 落在已知抛物线 yx2+4x 上的概率为 【解答】解：列表得：
21、6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） 5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） 4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） 3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） 2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） 1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） 1 2 3 4 5 6 共有 36 种等可能的结果，他们各掷一次所确定的点 P 落在已知抛物线 yx2+4x 上的有： （1，3） ， （2，4
22、） ， （3，3） ， 们各掷一次所确定的点 P 落在已知抛物线 yx2+4x 上的概率为： 故答案为： 15 （4 分）如图，抛物线 yx2+2x+m+1（m 为常数）交 y 轴于点 A，与 x 轴的一个交点在 2 和 3 之间， 顶点为 B 若点 M（2，y1） 、P（2，y3）在该函数图象上，则 y1y2y3； 将抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位，所得抛物线解析式为 y（x+1）2+m； 抛物线 yx2+2x+m+1 与直线 ym+3 有且只有一个交点； 点 A 关于直线 x1 的对称点为 C，点 D、E 分别在 x 轴和 y 轴上，当 m1 时，四边形 BCDE 周长
23、的 最小值为 其中正确判断的序号是 【解答】解：抛物线的对称轴为直线 x1， 点 P（2，y3）关于 x1 的对称点 P（0，y3） ， a10， 当 x1 时，y 随 x 增大而增大， 又，点 M（2，y1） 、P（0，y3）在该函数图象上， y2y3y1， 故错误； 将该抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位，所得抛物线解析式为 y（x+2）2+2（x+2） +m+12，即 y（x+1）2+m， 故正确； 把 ym+3 代入 yx2+2x+m+1 中， 得 x22x+20， b24ac0， 抛物线 yx2+2x+m+1 与直线 ym+3 没有交点， 故错误； 当 m1 时，抛物
24、线的解析式为 yx2+2x+2， A（0，2） ，C（2，2） ，B（1，3） 作点 B 关于 y 轴的对称点 B（1，3） ，作 C 关于 x 轴的对称点 C（2，2） ， 连接 BC，与 x 轴、y 轴分别交于 D、E 点，则 BE+ED+CD+BCBE+ED+CD+BC， 根据两点之间线段最短， 知BC最短， 而BC的长度一定， 此时四边形BCDE的周长最小， 最小为， 故正确 故答案为： 16 （4 分） 如图， 矩形纸片 ABCD 中， BC5， AB3， 点 P 是 BC 边上的动点（点 P 不与点 B、C 重合） 现 将PCD 沿 PD 翻折，得到PCD；作BPC的角平分线，交
25、AB 于点 E设 BPx，BEy，则 y 与 x 的函数关系式为 yx2+x 【解答】解：如图，连接 DE， PCD 是PCD 沿 PD 折叠得到， CPDCPD， PE 平分BPC， BPECPE， EPC+DPC18090， DPE 是直角三角形，EPD90， BPx，BEy，AB3，BC5， AEABBE3y，CPBCBP5x， 在 RtBEP 中，PE2BP2+BE2x2+y2， 在 RtADE 中，DE2AE2+AD2（3y）2+52， 在 RtPCD 中，PD2PC2+CD2（5x）2+32， 在 RtPDE 中，DE2PE2+PD2， 则（3y）2+52x2+y2+（5x）2+3
26、2， 整理得，6y2x210 x， yx2+x 故答案为：yx2+x 三三.解答题（本题有解答题（本题有 8 个小题，共有个小题，共有 66 分）分） 17 （6 分）已知等腰三角形 ABC，如图 （1）用直尺和圆规作ABC 的外接圆； （2）设ABC 的外接圆的圆心为 O，若BOC128，求BAC 的度数 【解答】解： （1） （4 分） （2） 在优弧 BC 上任取一点 D，连接 BD，CD， BOC128， BDCBOC64， BAC180BDC116 18 （6 分）如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位 AB 时，宽 20m，水位上升 3m 就达到警戒 线 CD，这时水面宽度
27、为 10m （1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式； （2） 若洪水到来时， 水位以每小时 0.2m 的速度上升， 从警戒线开始， 再持续多少小时才能到达拱桥顶？ 【解答】解： （1）设所求抛物线的解析式为：yax2（a0） ， 由 CD10m，可设 D（5，b） ， 由 AB20m，水位上升 3m 就达到警戒线 CD， 则 B（10，b3） ， 把 D、B 的坐标分别代入 yax2得： ， 解得 y； （2）b1， 拱桥顶 O 到 CD 的距离为 1m， 5（小时） 所以再持续 5 小时到达拱桥顶 19 （6 分）在湖州创建国家卫生文明城市的过程中，张辉和夏明积极参加志愿者活动，当时有下列四
28、个志 愿者工作岗位供他们选择： 清理类岗位：清理花坛卫生死角；清理楼道杂物（分别用 A1，A2表示） 宣传类岗位：垃圾分类知识宣传；交通安全知识宣传（分别用 B1，B2表示） （1）张辉同学从四个岗位中随机选取一个报名，恰好选择清理类岗位概率为是 ； （2） 若张辉和夏明各随机从四个岗位中选一个报名，请你利用树状图或列表法求出他们恰好都选择同一 个岗位的概率 【解答】解： （1）张辉同学选择清理类岗位的概率为：； 故答案为：； （2）根据题意画树状图如下： 共有 16 种等可能的结果数，张辉和夏明恰好选择同一岗位的结果数为 4， 所以他们恰好选择同一岗位的概率： 20 （8 分）如图，二次函数
29、 yx2+4x+e 的图象与 x 轴交于 A、 B 两点（A 在 B 的左侧） ， 与 y 轴交于点 D， 点 A 的坐标是（1，0） ，C 是抛物线的顶点 （1）求二次函数的解析式； （2）当 0 x5 时，求 y 的取值范围； （3）连接 BC，线段 OD 上有一点 E，点 E 关于抛物线的对称轴的对称点 F 恰好在线段 BC 上，求点 E 的坐标 【解答】解： （1）将点 A 的坐标代入函数表达式得： 014+e，解得：e5， 故抛物线的表达式为：yx2+4x+5； （2）令 yx2+4x+50，则 x1 或 5， 故点 B（5，0） ， 函数顶点 C 的坐标为： （2，9） ， 故：当
30、 0 x5 时， y 的取值范围 0y9； （3）将点 B、C 的坐标代入一次函数表达式：ykx+b 得： ，解得：， 故直线 BC 的表达式为：y3x+15， 设点 E（0，m） ，则点 F（4，m） ， 将点 F 的坐标代入直线 BC 的表达式得： m34+153， 故点 E（0，3） 21 （8 分）如图，圆内接四边形 ABCD，AB 是O 的直径，ODAC 交 BC 于点 E （1）求证：BCD 为等腰三角形； （2）若 BE4，AC6，求 DE 【解答】解： （1）ODBC 于 E， ， BDCD， BDC 是等腰三角形 （2）AB 是O 的直径， ACB90， ODBC 于 E，
31、ODAC， 点 O 是 AB 的中点， OE 是ABC 的中位线， OEAC63， 在 RtOBE 中， BE4，OE3， OB5，即 ODOB5， DEODOE532 22 （10 分）某宾馆有 50 个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天 160 元时，房间会全部住满，当每 个房间每天的定价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支 出 20 元的各种费用设每个房间的定价为 x 元时，相应的住房数为 y 间 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）定价为多少时宾馆当天利润 w 最大？并求出一天的最大利润； （3）若老板决定每住进去一间房就捐出 a
32、 元（a30）给当地福利院，同时要保证房间定价 x 在 160 元 至 350 元之间波动时（包括两端点） ，利润 w 随 x 的增大而增大，求 a 的取值范围 【解答】解： （1）根据题意得：y500.1x+66； （2）由题意知：w（x20） （0.1x+66）0.1（x660） （x20） ， 函数的对称轴为 x（660+20）340， 0.10，故 w 有最大值，此时 w 为 10240， 即定价为 340 元时，宾馆当天利润 w 最大，最大值为 10240 元； （3）由题意得：w（0.1x+66） （x20a）0.1（x660） （x20a） ， 函数的对称轴为 x（660+20+
33、a） ， 要保证房间定价 x 在 160 元至 350 元之间波动且利润 w 随 x 的增大而增大， x（660+20+a）350，解得 a20， 故 20a30 23 （10 分）定义：如果一条抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这 两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征轴三角形” 显然， “特征轴三角形”是等腰三角形 （1）抛物线 yx22 对应的“特征轴三角形”是 ；抛物线 yx22x 对应的“特征轴三角 形” 是 （把下列较恰当结论的序号填在横线上： 腰与底边不相等的等腰三角形； 等边三角形； 非等腰的直角三角形；等腰直角三角形 ） （2
34、）若抛物线 yax2+2ax3a 对应的“特征轴三角形”是直角三角形，则 a 的值为 （3） 如图， 面积为 12的矩形 ABCO 的对角线 OB 在 x 轴的正半轴上， AC 与 OB 相交于点 E， 若ABE 是抛物线 yax2+bx+c 的“特征轴三角形” ，求此抛物线的解析式 【解答】解： （1）设抛物线 yx22 与 x 轴的交点坐标为 G，F（点 G 在点 F 左边） ，顶点为 D， G（2，0） ，F（2，0） ，D（0，2） ， GDFD2，GD2+FD28+842EF2， GFD 是等腰直角三角形， 抛物线 yx22 对应的“特征轴三角形”是等腰直角三角形， 设抛物线 yx2
35、2x 与 x 轴的交点坐标为 M，N（点 M 在 N 的左边） ，顶点为 D， M（0，0） ，N（2，0） ，D（，3） ， MDND2，MN2， MBNDND， MND 是等边三角形， 抛物线 yx22x 对应的“特征轴三角形”是等边三角形， 故答案为：，； （2）设抛物线 yax2+2ax3a 与 x 轴的交点坐标为 A，B，顶点为 D， A（3，0） ，B（1，0） ，D（1，4a） ， 抛物线 yax2+2ax3a 对应的“特征轴三角形”是直角三角形， AB2AD2+BD2， 164+16a2+4+16a2， a， 故答案为：； （3）如图， 四边形 ABCD 是矩形， AECEOE
36、BE， SABES 矩形 ABCD123， ABE 是抛物线的“特征轴三角形” ， 根据抛物线的对称性得，AEAB， AEABBE， ABE 是等边三角形， 过点 A 作 AHBE， AHABsinABEABBE， BE23， BE2， AH3，EH， A（3，3） ，E（2，0） ，B（4，0） ， 设抛物线解析式为 ya（x3）2+3， 将点 E（2，0）代入得，a1， y（x3）2+3x2+6x24 过点 A，B，E 三点的抛物线的解析式 yx2+6x24 24 （12 分）如图，已知抛物线 yax2+bx+5 经过 A（5，0） ，B（4，3）两点，与 x 轴的另一个交点 为 C，顶点
37、为 D，连接 CD （1）求该抛物线的表达式； （2）点 P 为该抛物线上一动点（与点 B、C 不重合） ，设点 P 的横坐标为 t 当点 P 在直线 BC 的下方运动时，求PBC 的面积的最大值； 该抛物线上是否存在点 P，使得PBCBCD？若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明 理由 【解答】解： （1）将点 A、B 坐标代入二次函数表达式得：，解得：， 故抛物线的表达式为：yx2+6x+5， 令 y0，则 x1 或5， 即点 C（1，0） ； （2）如图 1，过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 G， 将点 B、C 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线 BC 的表达式为
38、：yx+1， 设点 G（t，t+1） ，则点 P（t，t2+6t+5） ， SPBCPG（xCxB）（t+1t26t5）t2t6， 0，SPBC有最大值，当 t时，其最大值为； 设直线 BP 与 CD 交于点 H， 当点 P 在直线 BC 下方时， PBCBCD，点 H 在 BC 的中垂线上， 线段 BC 的中点坐标为（，） ， 过该点与 BC 垂直的直线的 k 值为1， 设 BC 中垂线的表达式为：yx+m，将点（，）代入上式并解得： 直线 BC 中垂线的表达式为：yx4， 同理直线 CD 的表达式为：y2x+2， 联立并解得：x2，即点 H（2，2） ， 同理可得直线 BH 的表达式为：yx1， 联立并解得：x或4（舍去4） ， 故点 P（，） ； 当点 P（P）在直线 BC 上方时， PBCBCD，BPCD， 则直线 BP的表达式为：y2x+s，将点 B 坐标代入上式并解得：s5， 即直线 BP的表达式为：y2x+5， 联立并解得：x0 或4（舍去4） ， 故点 P（0，5） ； 故点 P 的坐标为 P（，）或（0，5）