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2020-2021学年浙江省湖州市吴兴区二校联考九年级上期中数学试卷(含答案详解)

1、2020-2021 学年浙江省湖州学年浙江省湖州市市吴兴区吴兴区中九年级(上)期中数学试卷中九年级(上)期中数学试卷 一一.选择题(本题有选择题(本题有 10 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 30 分)分) 1 (3 分)O 的半径为 8cm,点 A 到圆心 O 的距离为 6cm,则点 A 与O 的位置关系是( ) A点 A 在圆内 B点 A 在圆上 C点 A 在圆外 D不能确定 2 (3 分)二次函数 y2x2的图象先向右平移 1 个单位,再向上平移 3 个单位后,所得到的抛物线的表达 式为( ) Ay2(x+1)2+3 By2(x+1)23 Cy2(x1)2+3 Dy2(x1)

2、23 3 (3 分)下列事件中,必然事件是( ) A2 月份有 31 天 B一个等腰三角形中,有两条边相等 C明天的太阳从西边出来 D投掷一枚质地均匀的骰子,出现 6 点朝上 4 (3 分)如图,四边形 ABCD 为圆内接四边形A85,B105,则C 的度数为( ) A115 B75 C95 D无法求 5 (3 分)下列函数中,y 总随 x 的增大而减小的是( ) Ay4x By4x Cyx4 Dyx2 6 (3 分)如图,在直角坐标系中,点 A(0,3) 、点 B(4,3) 、点 C(0,1) ,则ABC 外接圆的半径 为( ) A2 B3 C4 D 7 (3 分)如图,在 22 的正方形网

3、格中有 9 个格点,已经取定点 A 和 B,在余下的 7 个点中任取一点 C, 使ABC 为直角三角形的概率是( ) A B C D 8 (3 分)如图,AB 是O 的直径,C,D 是O 上的两点,且 BC 平分ABD,AD 分别与 BC,OC 相交 于点 E,F,则下列结论不一定成立的是( ) AOCBD BADOC CCEFBED DAFFD 9 (3 分)10 个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内,A、B、C、D、E、O 均是正 六边形的顶点则点 O 是下列哪个三角形的外心( ) AAED BABD CBCD DACD 10 (3 分)如图,平面直角坐标系中,已知 A(

4、2,0) ,B(4,0) ,P 为 y 轴正半轴上一个动点,将线段 PA 绕点 P 逆时针旋转 90,点 A 的对应点为 Q,则线段 BQ 的最小值是( ) A3 B5 C D2 二二.填空题(本题有填空题(本题有 6 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 24 分)分) 11 (4 分)抛物线 y2x2+4x1 的对称轴是 12 (4 分)如图,半径为 10 的O 中,弦 AB 的长为 16,则这条弦的弦心距为 13 (4 分)如图,在 RtACB 中,ACB90,A27,将ABC 绕点 C 逆时针旋转 到A1B1C 的位置,A1B1恰好经过点 B,则旋转角 的度数是 14 (4 分)

5、现有 A、B 两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别打有数字 1,2,3,4,5,6) ,用小芳 掷 A 立方体朝上的数字为 x,小明掷 B 立方体朝上的数字为 y 来确定点 P(x,y) ,那么他们各掷一次所 确定的点 P 落在已知抛物线 yx2+4x 上的概率为 15 (4 分)如图,抛物线 yx2+2x+m+1(m 为常数)交 y 轴于点 A,与 x 轴的一个交点在 2 和 3 之间, 顶点为 B 若点 M(2,y1) 、P(2,y3)在该函数图象上,则 y1y2y3; 将抛物线向左平移 2 个单位,再向下平移 2 个单位,所得抛物线解析式为 y(x+1)2+m; 抛物线 yx2+2x

6、+m+1 与直线 ym+3 有且只有一个交点; 点 A 关于直线 x1 的对称点为 C,点 D、E 分别在 x 轴和 y 轴上,当 m1 时,四边形 BCDE 周长的 最小值为 其中正确判断的序号是 16 (4 分) 如图, 矩形纸片 ABCD 中, BC5, AB3, 点 P 是 BC 边上的动点(点 P 不与点 B、C 重合) 现 将PCD 沿 PD 翻折,得到PCD;作BPC的角平分线,交 AB 于点 E设 BPx,BEy,则 y 与 x 的函数关系式为 三三.解答题(本题有解答题(本题有 8 个小题,共有个小题,共有 66 分)分) 17 (6 分)已知等腰三角形 ABC,如图 (1)

7、用直尺和圆规作ABC 的外接圆; (2)设ABC 的外接圆的圆心为 O,若BOC128,求BAC 的度数 18 (6 分)如图所示,有一座抛物线形拱桥,桥下面在正常水位 AB 时,宽 20m,水位上升 3m 就达到警戒 线 CD,这时水面宽度为 10m (1)在如图的坐标系中求抛物线的解析式; (2) 若洪水到来时, 水位以每小时 0.2m 的速度上升, 从警戒线开始, 再持续多少小时才能到达拱桥顶? 19 (6 分)在湖州创建国家卫生文明城市的过程中,张辉和夏明积极参加志愿者活动,当时有下列四个志 愿者工作岗位供他们选择: 清理类岗位:清理花坛卫生死角;清理楼道杂物(分别用 A1,A2表示)

8、 宣传类岗位:垃圾分类知识宣传;交通安全知识宣传(分别用 B1,B2表示) (1)张辉同学从四个岗位中随机选取一个报名,恰好选择清理类岗位概率为是 ; (2) 若张辉和夏明各随机从四个岗位中选一个报名,请你利用树状图或列表法求出他们恰好都选择同一 个岗位的概率 20 (8 分)如图,二次函数 yx2+4x+e 的图象与 x 轴交于 A、 B 两点(A 在 B 的左侧) , 与 y 轴交于点 D, 点 A 的坐标是(1,0) ,C 是抛物线的顶点 (1)求二次函数的解析式; (2)当 0 x5 时,求 y 的取值范围; (3)连接 BC,线段 OD 上有一点 E,点 E 关于抛物线的对称轴的对称

9、点 F 恰好在线段 BC 上,求点 E 的坐标 21 (8 分)如图,圆内接四边形 ABCD,AB 是O 的直径,ODAC 交 BC 于点 E (1)求证:BCD 为等腰三角形; (2)若 BE4,AC6,求 DE 22 (10 分)某宾馆有 50 个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天 160 元时,房间会全部住满,当每 个房间每天的定价每增加 10 元时,就会有一个房间空闲,如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支 出 20 元的各种费用设每个房间的定价为 x 元时,相应的住房数为 y 间 (1)求 y 与 x 的函数关系式; (2)定价为多少时宾馆当天利润 w 最大?并求出一天的最大利

10、润; (3)若老板决定每住进去一间房就捐出 a 元(a30)给当地福利院,同时要保证房间定价 x 在 160 元 至 350 元之间波动时(包括两端点) ,利润 w 随 x 的增大而增大,求 a 的取值范围 23 (10 分)定义:如果一条抛物线 yax2+bx+c(a0)与 x 轴有两个交点,那么以该抛物线的顶点和这 两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征轴三角形” 显然, “特征轴三角形”是等腰三角形 (1) 抛物线 yx22 对应的 “特征轴三角形” 是 ; 抛物线 yx22x 对应的 “特征轴三角形” 是 (把下列较恰当结论的序号填在横线上:腰与底边不相等的等腰三角形;等边三角形

11、; 非等腰的直角三角形;等腰直角三角形 ) (2)若抛物线 yax2+2ax3a 对应的“特征轴三角形”是直角三角形,则 a 的值为 (3) 如图, 面积为 12的矩形 ABCO 的对角线 OB 在 x 轴的正半轴上, AC 与 OB 相交于点 E, 若ABE 是抛物线 yax2+bx+c 的“特征轴三角形” ,求此抛物线的解析式 24 (12 分)如图,已知抛物线 yax2+bx+5 经过 A(5,0) ,B(4,3)两点,与 x 轴的另一个交点 为 C,顶点为 D,连接 CD (1)求该抛物线的表达式; (2)点 P 为该抛物线上一动点(与点 B、C 不重合) ,设点 P 的横坐标为 t

12、当点 P 在直线 BC 的下方运动时,求PBC 的面积的最大值; 该抛物线上是否存在点 P,使得PBCBCD?若存在,求出所有点 P 的坐标;若不存在,请说明 理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.选择题(本题有选择题(本题有 10 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 30 分)分) 1 (3 分)O 的半径为 8cm,点 A 到圆心 O 的距离为 6cm,则点 A 与O 的位置关系是( ) A点 A 在圆内 B点 A 在圆上 C点 A 在圆外 D不能确定 【解答】解:O 的半径为 8cm,点 A 到圆心 O 的距离为 6cm, 即点 A 到圆心的距离小于圆的半径, 点 A

13、 在圆内 故选:A 2 (3 分)二次函数 y2x2的图象先向右平移 1 个单位,再向上平移 3 个单位后,所得到的抛物线的表达 式为( ) Ay2(x+1)2+3 By2(x+1)23 Cy2(x1)2+3 Dy2(x1)23 【解答】解:依题意可知,原抛物线顶点坐标为(0,0) , 平移后抛物线顶点坐标为(1,3) , 又因为平移不改变二次项系数, 所以所得抛物线解析式为:y2(x1)2+3 故选:C 3 (3 分)下列事件中,必然事件是( ) A2 月份有 31 天 B一个等腰三角形中,有两条边相等 C明天的太阳从西边出来 D投掷一枚质地均匀的骰子,出现 6 点朝上 【解答】解:A、2

14、月份有 31 天,是不可能事件; B、一个等腰三角形中,有两条边相等,是必然事件; C、明天的太阳从西边出来,是不可能事件; D、投掷一枚质地均匀的骰子,出现 6 点朝上,是随机事件; 故选:B 4 (3 分)如图,四边形 ABCD 为圆内接四边形A85,B105,则C 的度数为( ) A115 B75 C95 D无法求 【解答】解:四边形 ABCD 为圆内接四边形A85, C1808595, 故选:C 5 (3 分)下列函数中,y 总随 x 的增大而减小的是( ) Ay4x By4x Cyx4 Dyx2 【解答】解:y4x 中 y 随 x 的增大而增大,故选项 A 不符题意, y4x 中 y

15、 随 x 的增大而减小,故选项 B 符合题意, yx4 中 y 随 x 的增大而增大,故选项 C 不符题意, yx2中,当 x0 时,y 随 x 的增大而增大,当 x0 时,y 随 x 的增大而减小,故选项 D 不符合题意, 故选:B 6 (3 分)如图,在直角坐标系中,点 A(0,3) 、点 B(4,3) 、点 C(0,1) ,则ABC 外接圆的半径 为( ) A2 B3 C4 D 【解答】解:连接 AB、BC,如图, A(0,3) 、B(4,3) , ABy 轴, BAC90, BC 为ABC 外接圆的直径, AC3+14,AB4, BC4, ABC 外接圆的半径为 2 故选:D 7 (3

16、 分)如图,在 22 的正方形网格中有 9 个格点,已经取定点 A 和 B,在余下的 7 个点中任取一点 C, 使ABC 为直角三角形的概率是( ) A B C D 【解答】解:如图,C1,C2,C3,C4均可与点 A 和 B 组成直角三角形 P, 故选:D 8 (3 分)如图,AB 是O 的直径,C,D 是O 上的两点,且 BC 平分ABD,AD 分别与 BC,OC 相交 于点 E,F,则下列结论不一定成立的是( ) AOCBD BADOC CCEFBED DAFFD 【解答】解:AB 是O 的直径,BC 平分ABD, ADB90,OBCDBC, ADBD, OBOC, OCBOBC, DB

17、COCB, OCBD,选项 A 成立; ADOC,选项 B 成立; AFFD,选项 D 成立; CEF 和BED 中,没有相等的边, CEF 与BED 不全等,选项 C 不成立; 故选:C 9 (3 分)10 个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内,A、B、C、D、E、O 均是正 六边形的顶点则点 O 是下列哪个三角形的外心( ) AAED BABD CBCD DACD 【解答】解:从 O 点出发,确定点 O 分别到 A,B,C,D,E 的距离,只有 OAOCOD, 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等, 点 O 是ACD 的外心, 故选:D 10 (3 分)如图,平面直角

18、坐标系中,已知 A(2,0) ,B(4,0) ,P 为 y 轴正半轴上一个动点,将线段 PA 绕点 P 逆时针旋转 90,点 A 的对应点为 Q,则线段 BQ 的最小值是( ) A3 B5 C D2 【解答】解:A(2,0) , OA2, 设 P(0,m) ,则 OPm, 作 QMy 轴于 M, APQ90, OAP+APOAPO+QPM, OAPQPM, AOPPMQ90,PAPQ, AOPPMQ(AAS) , MQOPm,PMOA2, Q(m,m+2) , B(4,0) , BQ, 当 m1 时,BQ 有最小值 3, 故选:A 二二.填空题(本题有填空题(本题有 6 小题,每小题小题,每小

19、题 4 分,共分,共 24 分)分) 11 (4 分)抛物线 y2x2+4x1 的对称轴是 直线 x1 【解答】解:抛物线 y2x2+4x12(x+1)23, 该抛物线的对称轴是直线 x1, 故答案为:直线 x1 12 (4 分)如图,半径为 10 的O 中,弦 AB 的长为 16,则这条弦的弦心距为 6 【解答】解:过点 O 作 ODAB 于点 D,连接 OA, AB16, ADAB168, 在 RtAOD 中, OA2OD2+AD2,即 102OD2+82,解得,OD6 故答案为:6 13 (4 分)如图,在 RtACB 中,ACB90,A27,将ABC 绕点 C 逆时针旋转 到A1B1C

20、 的位置,A1B1恰好经过点 B,则旋转角 的度数是 54 【解答】解:在 RtACB 中,ACB90,A27, ABC63, 将ABC 绕点 C 逆时针旋转 角到A1B1C 的位置, B1ABC63,B1CA1ACB90,CBCB1, CB1BCBB163, BCB154 故答案为:54 14 (4 分)现有 A、B 两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别打有数字 1,2,3,4,5,6) ,用小芳 掷 A 立方体朝上的数字为 x,小明掷 B 立方体朝上的数字为 y 来确定点 P(x,y) ,那么他们各掷一次所 确定的点 P 落在已知抛物线 yx2+4x 上的概率为 【解答】解:列表得:

21、6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 1 2 3 4 5 6 共有 36 种等可能的结果,他们各掷一次所确定的点 P 落在已知抛物线 yx2+4x 上的有: (1,3) , (2,4

22、) , (3,3) , 们各掷一次所确定的点 P 落在已知抛物线 yx2+4x 上的概率为: 故答案为: 15 (4 分)如图,抛物线 yx2+2x+m+1(m 为常数)交 y 轴于点 A,与 x 轴的一个交点在 2 和 3 之间, 顶点为 B 若点 M(2,y1) 、P(2,y3)在该函数图象上,则 y1y2y3; 将抛物线向左平移 2 个单位,再向下平移 2 个单位,所得抛物线解析式为 y(x+1)2+m; 抛物线 yx2+2x+m+1 与直线 ym+3 有且只有一个交点; 点 A 关于直线 x1 的对称点为 C,点 D、E 分别在 x 轴和 y 轴上,当 m1 时,四边形 BCDE 周长

23、的 最小值为 其中正确判断的序号是 【解答】解:抛物线的对称轴为直线 x1, 点 P(2,y3)关于 x1 的对称点 P(0,y3) , a10, 当 x1 时,y 随 x 增大而增大, 又,点 M(2,y1) 、P(0,y3)在该函数图象上, y2y3y1, 故错误; 将该抛物线向左平移 2 个单位,再向下平移 2 个单位,所得抛物线解析式为 y(x+2)2+2(x+2) +m+12,即 y(x+1)2+m, 故正确; 把 ym+3 代入 yx2+2x+m+1 中, 得 x22x+20, b24ac0, 抛物线 yx2+2x+m+1 与直线 ym+3 没有交点, 故错误; 当 m1 时,抛物

24、线的解析式为 yx2+2x+2, A(0,2) ,C(2,2) ,B(1,3) 作点 B 关于 y 轴的对称点 B(1,3) ,作 C 关于 x 轴的对称点 C(2,2) , 连接 BC,与 x 轴、y 轴分别交于 D、E 点,则 BE+ED+CD+BCBE+ED+CD+BC, 根据两点之间线段最短, 知BC最短, 而BC的长度一定, 此时四边形BCDE的周长最小, 最小为, 故正确 故答案为: 16 (4 分) 如图, 矩形纸片 ABCD 中, BC5, AB3, 点 P 是 BC 边上的动点(点 P 不与点 B、C 重合) 现 将PCD 沿 PD 翻折,得到PCD;作BPC的角平分线,交

25、AB 于点 E设 BPx,BEy,则 y 与 x 的函数关系式为 yx2+x 【解答】解:如图,连接 DE, PCD 是PCD 沿 PD 折叠得到, CPDCPD, PE 平分BPC, BPECPE, EPC+DPC18090, DPE 是直角三角形,EPD90, BPx,BEy,AB3,BC5, AEABBE3y,CPBCBP5x, 在 RtBEP 中,PE2BP2+BE2x2+y2, 在 RtADE 中,DE2AE2+AD2(3y)2+52, 在 RtPCD 中,PD2PC2+CD2(5x)2+32, 在 RtPDE 中,DE2PE2+PD2, 则(3y)2+52x2+y2+(5x)2+3

26、2, 整理得,6y2x210 x, yx2+x 故答案为:yx2+x 三三.解答题(本题有解答题(本题有 8 个小题,共有个小题,共有 66 分)分) 17 (6 分)已知等腰三角形 ABC,如图 (1)用直尺和圆规作ABC 的外接圆; (2)设ABC 的外接圆的圆心为 O,若BOC128,求BAC 的度数 【解答】解: (1) (4 分) (2) 在优弧 BC 上任取一点 D,连接 BD,CD, BOC128, BDCBOC64, BAC180BDC116 18 (6 分)如图所示,有一座抛物线形拱桥,桥下面在正常水位 AB 时,宽 20m,水位上升 3m 就达到警戒 线 CD,这时水面宽度

27、为 10m (1)在如图的坐标系中求抛物线的解析式; (2) 若洪水到来时, 水位以每小时 0.2m 的速度上升, 从警戒线开始, 再持续多少小时才能到达拱桥顶? 【解答】解: (1)设所求抛物线的解析式为:yax2(a0) , 由 CD10m,可设 D(5,b) , 由 AB20m,水位上升 3m 就达到警戒线 CD, 则 B(10,b3) , 把 D、B 的坐标分别代入 yax2得: , 解得 y; (2)b1, 拱桥顶 O 到 CD 的距离为 1m, 5(小时) 所以再持续 5 小时到达拱桥顶 19 (6 分)在湖州创建国家卫生文明城市的过程中,张辉和夏明积极参加志愿者活动,当时有下列四

28、个志 愿者工作岗位供他们选择: 清理类岗位:清理花坛卫生死角;清理楼道杂物(分别用 A1,A2表示) 宣传类岗位:垃圾分类知识宣传;交通安全知识宣传(分别用 B1,B2表示) (1)张辉同学从四个岗位中随机选取一个报名,恰好选择清理类岗位概率为是 ; (2) 若张辉和夏明各随机从四个岗位中选一个报名,请你利用树状图或列表法求出他们恰好都选择同一 个岗位的概率 【解答】解: (1)张辉同学选择清理类岗位的概率为:; 故答案为:; (2)根据题意画树状图如下: 共有 16 种等可能的结果数,张辉和夏明恰好选择同一岗位的结果数为 4, 所以他们恰好选择同一岗位的概率: 20 (8 分)如图,二次函数

29、 yx2+4x+e 的图象与 x 轴交于 A、 B 两点(A 在 B 的左侧) , 与 y 轴交于点 D, 点 A 的坐标是(1,0) ,C 是抛物线的顶点 (1)求二次函数的解析式; (2)当 0 x5 时,求 y 的取值范围; (3)连接 BC,线段 OD 上有一点 E,点 E 关于抛物线的对称轴的对称点 F 恰好在线段 BC 上,求点 E 的坐标 【解答】解: (1)将点 A 的坐标代入函数表达式得: 014+e,解得:e5, 故抛物线的表达式为:yx2+4x+5; (2)令 yx2+4x+50,则 x1 或 5, 故点 B(5,0) , 函数顶点 C 的坐标为: (2,9) , 故:当

30、 0 x5 时, y 的取值范围 0y9; (3)将点 B、C 的坐标代入一次函数表达式:ykx+b 得: ,解得:, 故直线 BC 的表达式为:y3x+15, 设点 E(0,m) ,则点 F(4,m) , 将点 F 的坐标代入直线 BC 的表达式得: m34+153, 故点 E(0,3) 21 (8 分)如图,圆内接四边形 ABCD,AB 是O 的直径,ODAC 交 BC 于点 E (1)求证:BCD 为等腰三角形; (2)若 BE4,AC6,求 DE 【解答】解: (1)ODBC 于 E, , BDCD, BDC 是等腰三角形 (2)AB 是O 的直径, ACB90, ODBC 于 E,

31、ODAC, 点 O 是 AB 的中点, OE 是ABC 的中位线, OEAC63, 在 RtOBE 中, BE4,OE3, OB5,即 ODOB5, DEODOE532 22 (10 分)某宾馆有 50 个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天 160 元时,房间会全部住满,当每 个房间每天的定价每增加 10 元时,就会有一个房间空闲,如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支 出 20 元的各种费用设每个房间的定价为 x 元时,相应的住房数为 y 间 (1)求 y 与 x 的函数关系式; (2)定价为多少时宾馆当天利润 w 最大?并求出一天的最大利润; (3)若老板决定每住进去一间房就捐出 a

32、 元(a30)给当地福利院,同时要保证房间定价 x 在 160 元 至 350 元之间波动时(包括两端点) ,利润 w 随 x 的增大而增大,求 a 的取值范围 【解答】解: (1)根据题意得:y500.1x+66; (2)由题意知:w(x20) (0.1x+66)0.1(x660) (x20) , 函数的对称轴为 x(660+20)340, 0.10,故 w 有最大值,此时 w 为 10240, 即定价为 340 元时,宾馆当天利润 w 最大,最大值为 10240 元; (3)由题意得:w(0.1x+66) (x20a)0.1(x660) (x20a) , 函数的对称轴为 x(660+20+

33、a) , 要保证房间定价 x 在 160 元至 350 元之间波动且利润 w 随 x 的增大而增大, x(660+20+a)350,解得 a20, 故 20a30 23 (10 分)定义:如果一条抛物线 yax2+bx+c(a0)与 x 轴有两个交点,那么以该抛物线的顶点和这 两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征轴三角形” 显然, “特征轴三角形”是等腰三角形 (1)抛物线 yx22 对应的“特征轴三角形”是 ;抛物线 yx22x 对应的“特征轴三角 形” 是 (把下列较恰当结论的序号填在横线上: 腰与底边不相等的等腰三角形; 等边三角形; 非等腰的直角三角形;等腰直角三角形 ) (2

34、)若抛物线 yax2+2ax3a 对应的“特征轴三角形”是直角三角形,则 a 的值为 (3) 如图, 面积为 12的矩形 ABCO 的对角线 OB 在 x 轴的正半轴上, AC 与 OB 相交于点 E, 若ABE 是抛物线 yax2+bx+c 的“特征轴三角形” ,求此抛物线的解析式 【解答】解: (1)设抛物线 yx22 与 x 轴的交点坐标为 G,F(点 G 在点 F 左边) ,顶点为 D, G(2,0) ,F(2,0) ,D(0,2) , GDFD2,GD2+FD28+842EF2, GFD 是等腰直角三角形, 抛物线 yx22 对应的“特征轴三角形”是等腰直角三角形, 设抛物线 yx2

35、2x 与 x 轴的交点坐标为 M,N(点 M 在 N 的左边) ,顶点为 D, M(0,0) ,N(2,0) ,D(,3) , MDND2,MN2, MBNDND, MND 是等边三角形, 抛物线 yx22x 对应的“特征轴三角形”是等边三角形, 故答案为:,; (2)设抛物线 yax2+2ax3a 与 x 轴的交点坐标为 A,B,顶点为 D, A(3,0) ,B(1,0) ,D(1,4a) , 抛物线 yax2+2ax3a 对应的“特征轴三角形”是直角三角形, AB2AD2+BD2, 164+16a2+4+16a2, a, 故答案为:; (3)如图, 四边形 ABCD 是矩形, AECEOE

36、BE, SABES 矩形 ABCD123, ABE 是抛物线的“特征轴三角形” , 根据抛物线的对称性得,AEAB, AEABBE, ABE 是等边三角形, 过点 A 作 AHBE, AHABsinABEABBE, BE23, BE2, AH3,EH, A(3,3) ,E(2,0) ,B(4,0) , 设抛物线解析式为 ya(x3)2+3, 将点 E(2,0)代入得,a1, y(x3)2+3x2+6x24 过点 A,B,E 三点的抛物线的解析式 yx2+6x24 24 (12 分)如图,已知抛物线 yax2+bx+5 经过 A(5,0) ,B(4,3)两点,与 x 轴的另一个交点 为 C,顶点

37、为 D,连接 CD (1)求该抛物线的表达式; (2)点 P 为该抛物线上一动点(与点 B、C 不重合) ,设点 P 的横坐标为 t 当点 P 在直线 BC 的下方运动时,求PBC 的面积的最大值; 该抛物线上是否存在点 P,使得PBCBCD?若存在,求出所有点 P 的坐标;若不存在,请说明 理由 【解答】解: (1)将点 A、B 坐标代入二次函数表达式得:,解得:, 故抛物线的表达式为:yx2+6x+5, 令 y0,则 x1 或5, 即点 C(1,0) ; (2)如图 1,过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 G, 将点 B、C 的坐标代入一次函数表达式并解得: 直线 BC 的表达式为

38、:yx+1, 设点 G(t,t+1) ,则点 P(t,t2+6t+5) , SPBCPG(xCxB)(t+1t26t5)t2t6, 0,SPBC有最大值,当 t时,其最大值为; 设直线 BP 与 CD 交于点 H, 当点 P 在直线 BC 下方时, PBCBCD,点 H 在 BC 的中垂线上, 线段 BC 的中点坐标为(,) , 过该点与 BC 垂直的直线的 k 值为1, 设 BC 中垂线的表达式为:yx+m,将点(,)代入上式并解得: 直线 BC 中垂线的表达式为:yx4, 同理直线 CD 的表达式为:y2x+2, 联立并解得:x2,即点 H(2,2) , 同理可得直线 BH 的表达式为:yx1, 联立并解得:x或4(舍去4) , 故点 P(,) ; 当点 P(P)在直线 BC 上方时, PBCBCD,BPCD, 则直线 BP的表达式为:y2x+s,将点 B 坐标代入上式并解得:s5, 即直线 BP的表达式为:y2x+5, 联立并解得:x0 或4(舍去4) , 故点 P(0,5) ; 故点 P 的坐标为 P(,)或(0,5)