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初三数学讲义直升班 第10讲 二次函数和方程不等式综合(教师版)

1、 第第 1010 讲讲 二次函数和方程、不等式综合二次函数和方程、不等式综合 模块模块一:一:二次函数和方程综合二次函数和方程综合 1函数 11 ya xb和二次函数 2 22 ya xb xc的交点 (1)交点求解,联立方程组 11 2 22 ya xb ya xb xc ,并代入求解 (2)交点个数,联立方程组 11 2 22 ya xb ya xb xc ,消元得到一元二次方程,看判别式() (3)交点关系,联立方程组 11 2 22 ya xb ya xb xc ,看判别式() ,再用韦达定理 2一元二次方程 2 1122 a xba xb xc的解也可以看成函数 11 ya xb和二

2、次函数 2 22 ya xb xc的交点 的横坐标 模块二模块二:二次函数和不等式综合二次函数和不等式综合 1数形结合,可以通过二次函数和其它函数的图象解不等式 2根的分布: 一元二次方程根的分布问题,即一元二次方程的实根在什么区间内的问题,实质就是其相应二次函数的零 点(图象与x轴的交点)问题,因此,借助于二次函数及其图象利用数形结合的方法来研究是非常有益的 (1)0 分布或k分布 12 0 xx 12 0 xx 12 0 xx 12 xkx 12 xxk 12 kxx (2)区间分布 12 mxxn 12 mxnpxq 模块一模块一 二次函数和方程综合二次函数和方程综合 已知二次函数 2

3、yxxc (1)若点( 1, )An、(2,21)Bn在二次函数 2 yxxc的图象上,求此二次函数的最小值; (2)若 1 (2,)Dy、 2 (, 2)E x关于坐标原点成中心对称,试判断直线DE与抛物线 2 3 8 yxxc的交点个数,并 说明理由 【解析】【解析】(1)由题意得 2 212 nc nc ,解得 1 1 n c , 2 2 15 1 24 yxxx , 二次函数 2 1yxx的最小值是 5 4 (2)点D、E关于原点成中心对称, (2, 2D )、( 2,2)E ,设直线DE为ykxb, 则有 22 22 kb kb ,解得 1 0 k b 直线DE为y x 则 2 3

4、8 yx yxxc ,得 2 3 0 8 xc 即 2 3 8 xc 当 3 0 8 c 时, 3 8 c 时,方程 2 3 8 xc 有相同的实数根, 即当 3 8 c 时,直线y x 与抛物线 2 3 8 yxxc 有 1 个交点 当 3 0 8 c 时, 3 8 c 时,方程有两个不同实数根, 即当 3 8 c 时,直线与抛物线有两个不同的交点 当时,时,方程没有实数根, 即当时,直线与抛物线没有交点 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查判断图像交点的情况 (1)抛物线 22 5yxxa与一次函数21yaxa有交点,则a的取值范围_ (2)已知函数 2 32ymxx(m是常数)

5、 ,若一次函数1yx的图象与该函数的图象恰好只有一个交点,则 交点坐标为_ 2 3 8 xc yx 2 3 8 yxxc 3 0 8 c 3 8 c 2 3 8 xc 3 8 c yx 2 3 8 yxxc 例题 1 例题 2 【解析】【解析】(1) 7 3 3 a ,且0a , (2)当0m 时,函数 2 32ymxx为一次函数32yx, 令:321xx,解得 1 4 x ,交点为 1 5 4 4 ,; 当0m时,函数 2 32ymxx为二次函数若一次函数1yx的图象与函数 2 32ymxx的 图象只有一个交点, 令 2 321mxxx, 即 2 41 0m xx , 由0, 得4m , 此

6、时交点为 1 3 , 2 2 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解已知交点的情况,求参数的值或交点 已知二次函数 2 1 23yxx及一次函数 2 yxm (1)求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标; (2)将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,图象的其余部分不变,得到一个新图象,请 你在图中画出这个新图象,并求出新图象与直线 2 yxm有三个不同公共点时m的值 【解析】【解析】(1)二次函数图象的顶点坐标为(1,4),与x轴的交点坐标为( 1,0)A ,3 0B (, ); (2)当直线位于 1 l时,此时 1 l过点1 0A (, ),01m ,即1m

7、 当直线位于 2 l时,此时 2 l与函数 2 23( 13)yxxx 的图象有一个公共点 方程有一根, 14(3)0m ,即 当时,满足,由知,或 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题是二次函数翻折后,和直线交点的情况 (1)抛物线 22 yxmxm与x轴两交点间距离的最大值为_ (2)设二次函数 2 yaxbxc经过点2(0, )A、(1, 1)B,且其图象在x轴上所截得的线段长为2 2求这个 二次函数的解析式 【解析】【解析】(1) 1 4 ; x y O l2 l1 6 4 2 5OBAx y 2 23xmxx 13 4 m 13 4 m 1 2 x 13x 1m 13 4 m 例题

8、 3 例题 4 1 2 3 y O 2 x (2)由题意得, 2 1 c abc , ,即 2, (3), c ba 因此 2 (3)2yaxax 设图象与x轴的交点坐标为 1 (, 0)x, 2 (,0)x,则 1 x和 2 x是方程 2 (3)20axax的两根, 由韦达定理, 12 3a xx a , 12 2 x x a , 12 2 2xx 2 1212 ()4xxx x 2 32 4 a aa , 整理得 2 7290aa,则 1a 或 9 7 a 2 42yxx,或 2 912 2 77 yxx 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查二次函数和x轴交点关系,转化为方程的韦

9、达定理,当然也可以给孩子们总 结 12 | | xx a 在平面直角坐标系xOy中,抛物线 2 yaxbxc过点(2, 2),且当0 x 时,y取得最小值 1 (1)求此抛物线的解析式; (2)已知点(1,3)C,试探索是否存在满足下列条件的直线l;直线l过点(1,3)C;直线l交抛物线于E、F 两点且C点恰好是线段EF的中点.若存在,请求出直线l的函数解析式:若不存在,请说明理由 【解析】【解析】(1) 2 1 1 4 yx; (2)设该直线为(1)3yk x, 11 ( ,)E x y, 22 (,)F xy, 所以 1 x, 2 x是方程 2 1 1(1)3 4 xk x 的根, 12

10、4xxk, 12 48x xk, 2 1212 ()26426yyk xxkkk, 4 1 2 k , 2 426 3 2 kk , 1 2 k , 所以直线解析式为 15 22 yx 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查二次函数和直线交点关系,转化为方程的韦达定理 (1)二次函数 2 yaxbxc的图象如图所示,则关于x的方程 2 30axbxc 的 根的情况是( ) A有两个相等的实数根 B无实数根 C有两个同号不相等实数根 D有两个异号实数根 (2)若方程 2 43xxm有两个相异的实数解,则m的取值范围是_ 例题 5 例题 6 【解析】【解析】(1)D; (2)0m 或1m

11、【教师备课提示】【教师备课提示】例 1例 5 主要是函数的交点问题,转化方程的根的情况或根系关系去进行计算,这道题主 要讲解方程的解也可以想象成函数的交点 模块二模块二 二次函数和不等式综合二次函数和不等式综合 已知二次函数 2 yxbxc的图象如图所示, 它与x轴的一个交点的坐标为( 1,0), 与y轴的交点坐标为(0,3) (1)求二次函数的解析式;并求图象与x轴的另一个交点的坐标; (2)根据图象回答:当x取何值时,30y 【解析】【解析】(1) 2 23yxx,(3,0); (2)10 x 或23x 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解通过函数图象解不等式,数形结合 (1)

12、已知关于x的方程 2 (5)20 xmxm有实根, 且方程的两根都大于 0, 则实数m的取值范围是_ (2)已知方程 2 (2)90axaxa的两个实根 1 x和 2 x,且 12 1xx ,求实数a取值范围 【解析】【解析】(1)设 2 (5)2yxmxm, 因为方程 2 (5)20 xmxm的两根都大于 0,所以 2 (5)4(2)0 5 0 2 20 mm m m 解得 311 5 2 mm m m 或 ,23m (2)设 2 (2)9yaxaxa,由题意得,0a 方程 2 (2)90axaxa的两个实根 1 x和 2 x,且 12 1xx , (1)当0a 时,由题意得,(2)90aa

13、a 解得 2 11 a ,此时,无解; (2)当0a 时,由题意得,(2)90aaa, 解得 2 11 a , 2 0 11 a 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解根的分布,主要控制函数的开口,对称轴,判别式和函数端点值 (1)已知关于x的方程 2 (2)50 xa xa 的一个根大于 0 而小于 2,另一个根大于 4 而小于 6,则实数a 的取值范围是_ 例题 7 例题 8 例题 9 (2)若关于x的方程 2 420 xmxn的解都位于01x的范围中,求正整数m,n的值 【解析】【解析】(1)设 2 (2)5yxa xa , 由题,抛物线与x轴的两交点分别落在(0, 2)和 4

14、6, 内, 50, 50, 3130, 5290, a a a a 即 5, 5, 13, 3 29 5 a a a a 解得 29 5 5 a 满足条件的a的取值范围是 29 5 5 a (2)设 2 42yxmxn, 因为方程( )0f x 的两个解都位于01x中,所以m,n满足条件 2 4160 01 4 0 420 mn m n mn 由得04m,符合条件的m值为 1,2,3由得0n 把m各值代入,得2n,0n ,2n 把m各值代入,得 1 4 n ,1n, 9 4 n 符合条件的m,n的值是2m ,1n 模块一 二次函数和方程综合 (1)二次函数 2 1yxkxk的图像与x轴的交点个

15、数_ (2)给出定义:设一条直线与一条抛物线只有一个公共点,且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行,就称直 线与抛物线相切,这条直线是这条抛物线的切线,有下列命题: 直线0y 是抛物线 2 1 4 yx的切线; 直线2x 与抛物线 2 1 4 yx相切于点( 2,1); 直线yxb与抛物线 2 1 4 yx相切,则相切于点(2,1); 演练 1 直线2ykx与抛物线 2 1 4 yx相切,则2k . 其中正确的命题是_ (3)若方程 2 |5 |xxa有四个不相等实根,则a的取值范围是_ 【解析】【解析】(1)1 个或 2 个; (2); (3) 构造和 方程的解也即函数与图象的交点 如图:当时

16、,原方程有 4 个不同实根; 已知:抛物线与x轴交于( 2,0)A 、(4,0)B,与y轴交于(0,4)C (1)求抛物线顶点D的坐标; (2)设直线CD交x轴于点E,过点B作x轴的垂线,交直线CD于点F,将抛物线沿其对称轴上下平移,使抛 物线与线段EF总有公共点试探究:抛物线向上最多可以平移多少个单位长度,向下最多可以平移多少个单位 长度? 【解析】【解析】(1)设抛物线解析式为(2)(4)ya xx, C点坐标为0 4 (, ), , 解析式为,顶点D坐标为, (2)直线CD解析式为 则,直线CD解析式为, 8 0E (, ),(4,6)F , 若抛物线向下移m个单位,其解析式 2 1 4

17、(0) 2 yxxm m , 由,消去y,得, ,向下最多可平移个单位 若抛物线向上移m个单位,其解析式 2 1 4(0) 2 yxxm m 方法一:当时,当时, 要使抛物线与EF有公共点,则或, 方法二:当平移后的抛物线过点 ( 8,0)E 时,解得, 当平移后的抛物线过点 4 6F (, )时, , 由题意知:抛物线向上最多可以平移 36 个单位长度, 25 0 4 a 2 1 |5 |yxx 2 ya 2 |5 |xxa 1 y 2 y 25 0 4 a 1 2 a 2 2 119 41 222 yxxx 9 1 2 , ykxb 4 9 2 b kb 4 1 2 b k 1 4 2 y

18、x 2 1 4 2 1 4 2 yxxm yx 2 11 0 22 xxm 1 20 4 m 1 0 8 m 1 8 8x 36ym 4x ym 360m6m036m 36m 6m 演练 2 A A g f x5 y O O y x B A 综上,要使抛物线与EF有公共点,向上最多可平移 36 个单位,向下最多可平移个单位 已知:y关于x的函数 2 (1)22ykxkxk的图象与x轴有交点 (1)求k的取值范围; (2)若 1 x、 2 x是函数图象与x轴两个交点的横坐标 12 ()xx,且满 2 121 2 (1)224kxkxkx x 求k的值; 当2kxk时,求y的最大值与最小值 【解析

19、】【解析】(1)当时,符合题意;当时,由 0得故的取值范围是 (2), 代入,得. ,解得(舍去). 当时, 当;当 模块二 二次函数和不等式综合 如图,一次函数ykxm和抛物线 2 yxbxc都经过点(1,0)A,(3,2)B (1)求一次函数和抛物线的解析式; (2)求不等式 2 xbxcxm的解集 (直接写出答案) 【解析】【解析】(1)1yx, 2 32yxx; (2)1x 或3x (1)已知方程 2 11(30)0 xxa有两实根,且两根都大于 5,则实数a的取值范围是_ (2)方程 22 7(13)20 xpxpp的两根、满足012 ,求实数p的取值范围 【解析】【解析】(1)设

20、2 11(30)yxxa,对称轴 11 5 2 x ,因为方程 2 11(30)0 xxa的两根都大于 5,所 以有 1214(30)0 2555(30)0 a a 即 140 0 a a ,解得 1 0 4 a 1 8 1k 1k 2k k2k 12 xx 2 11 21(1)22kkkxkkx且, 又 2 121 2 (1)224kxkxkx x 1212 2 ()4k xxx x 1212 22 11 kk xxx x kk , 22 2 4 11 kk k kk 12 12kk , 1k 2 2 13 221211 22 yxxxx 且 13xy 最小 时, 13 22 xy 最大 时, 演练 3 演练 4 演练 5 (2)设 22 7(13)2yxpxpp,由题,方程 22 7(13)20 xpxpp的两根、满足 012 , 2 2 2 20 280 30 pp pp pp 解得, 12, 24, 03, pp p pp 或 或 解得21p 或34p,满足条件的p的取值范围是21p 或34p