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初三数学讲义直升班 第7讲 二次函数的图象判断和几何变换(教师版)

1、第第 7 7 讲讲 二次函数的图象二次函数的图象判断判断和几何变换和几何变换 模块模块一:一:二次函数的图象判断二次函数的图象判断 1二次函数图象与系数的关系 (1)a决定抛物线的开口方向 当0a 时,抛物线开口向上;当0a 时,抛物线开口向下反之亦然 (2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置:“左同右异” 当0b 时,抛物线的对称轴为y轴;当a、b同号时,对称轴在y轴的左侧;当a、b异号时,对称轴在y 轴的右侧 (3)c的大小决定抛物线与y轴交点的位置 当0c 时,抛物线与y轴的交点为原点;当0c 时,交点在y轴的正半轴;当0c 时,交点在y轴的负 半轴 2二次函数的图象信息 (1)根据抛物线

2、的开口方向判断a的正负性 (2)根据抛物线的对称轴判断b的正负性 (3)根据抛物线与y轴的交点,判断c的正负性 (4)根据抛物线与x轴有无交点,判断 2 4bac的正负性 (5)根据抛物线的对称轴可得 2 b a 与1的大小关系,可得2ab的正负性 (6)根据抛物线所经过的已知坐标的点,可得到关于a,b,c的等式 (7)根据抛物线的顶点,判断 2 4 4 acb a 的大小 模块二:二次函数的几何变换模块二:二次函数的几何变换 1二次函数图象的平移 平移规律:在原有函数的基础上“左加右减” , “上加下减” 2二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 (1)关于x轴对称 关于

3、x轴对称后,得到的解析式是 2 ()ya xhk关于x轴对称后,得到的解析式是 2 ()ya xhk (2)关于轴对称 关于y轴对称后,得到的解析式是 2 ()ya xhk关于y轴对称后,得到的解析式是 2 ()ya xhk (3)关于原点对称 关于原点对称后,得到的解析式是 2 ()ya xhk关于原点对称后,得到的解析式是 2 ()ya xhk (4)关于顶点对称 关于顶点对称后,得到的解析式是 2 ()ya xhk关于顶点对称后,得到的解析式是 2 ()ya xhk (5)关于点( , ) m n对称 2 ()ya xhk关于点( , ) m n对称后,得到的解析式是 2 (2 )2ya

4、 xhmnk 3二次函数图象的翻折 2 yaxbxc 2 yaxbxc y 2 yaxbxc 2 yaxbxc 2 yaxbxc 2 yaxbxc 2 yaxbxc 2 2 2 b yaxbxc a 函数的图象可以由函数通过关于x轴的翻折变换得到 具体规则为函数图象在x轴上方的部分不变,在x轴下方的部分翻折到x轴上方 模块一模块一 二次函数的图象判断二次函数的图象判断 (1)二次函数 2 yaxbxc的图象如图 1-1,则一次函数()yab xac的图象不经过( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 (2) 二次函数 2 yaxbxc的图象如图 1-2, 则下列六个代数式:ab、

5、ac、abc、abc、2ab、2ab、 2 4bac中,其值为正的式子的个数是( ) A5 个 B4 个 C3 个 D2 个 (3) 二次函数 2 yaxbxc的图象如图 1-3, 则22abcabcabab _0 (填 “” 、 “” 或“=” ) 图 1-1 图 1-2 图 1-3 【解析】【解析】(1)B;(2)C; (3)由题意得0a ,01 2 b a ,0b ,20ab,20ab, 又当1x 时,0yabc ,当1x 时,0yabc , 故原式()()(2)(2)2()0abcabcabababc 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解基本式子的正负性的判断,主要包括a,b

6、,c,2ab,2ab, 2 4bac, abc,abc等的正负性的判断 (1) 如图 2-1, 二次函数 2 yaxbxc的图象经过点( 1,2), 下列结论: 420abc; 20ab; 2b ; 22 ()acb,其中正确的结论有_ (填序号) (2) 如图 2-2, 已知二次函数 2 yaxbxc的图象经过点(1,2), 下列结论: 20ab; 0abc ; 1ac ; 2 84baac,其中正确结论的有_ (填序号) (3)(成外半期) 二次函数 2 (0)yaxbxc a的图象如图 2-3 所示, 有下列 5 个结论: 0abc ; b a c; 420abc; 2 40bac;()

7、abm amb, (1m 的实数) ,其中正确的结论的有_.(填序 号) |( )|yf x( )yf x ( )yf x 例题 1 例题 2 O y x 1 -1 y O x y O x 图 2-1 图 2-2 图 2-3 【解析】【解析】(1); (2); (3)由图象可知,故准确; 当时,即bac,故错误; 由题意得,二次函数的对称轴为, 则和时的函数值一样的, 当时,故准确; 由图象知,二次函数的图像和x轴有两个不同的交点,故,故准确; 由题意对称轴为,则,得, 所以, ,故准确. 故. 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解第二类常见式子的情况判断,42abc,ac,b以及

8、2 4 4 acb a 及变形的 式子. (1) (嘉祥月考)已知二次函数 2 (0)yaxbxc a的图像如图 3-1 所示,它与x轴两个交点分别为( 1,0), 3 0( , )对于下列命题:20ba;0abc ; 1 0 2 ab c ;80ac其中正确的有_ (填 序号) (2)如图 3-2,抛物线 2 (0)yaxbxc a的对称轴是1x ,且过点 1 , 0 2 ,有下列结论:0abc ; 240abc;251040abc;320bc其中正确的结论有_ (填序号) (3)如图 3-3,已知二次函数 2 (0)yaxbxc a的图象与x轴交于点( 1 0A ,),对称轴为直线1x ,

9、与y 轴的交点B在(0, 2)和(0,3)之间 (包括这两点) ,下列结论:当3x 时,0y ;30ab; 2 1 3 a ; 2 48acba;其中正确的结论是_ (填序号) 0a 0b 0c 0abc 1x 0yabc 1x 0 x 2x 2x 4 +20yabcc 2 40bac 1x 1 2 b x a 2ba aba ()(2)m ambm ma 2 ()(=(1)0m ambabma) 例题 3 图 3-1 图 3-2 图 3-3 【解析】【解析】(1); (2); (3)由题意得,( 1,0)A ,对称轴为直线1x , 另外一个交点为(3,0), 故准确; 由题意得,对称轴为1

10、2 b x a , 2ba ,30aba, 故准确; 由抛物线与x轴的两个交点坐标分别是( 1,0)A ,(3,0), 0 930 abc abc , 解得 3 2 3 c a bc , 又23c, 2 1 3 a ,故准确; 2 4 2 4 acb a , 故 2 48acba,故错误; 故选 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解通常题目中给定某些信息,然后去判断只含有a和b,a和c,b和c的式子 的情况,消元 (1) 已知二次函数yaxbxc 的图象如图 4-1 所示, 顶点为(, ) , 下列结论: abc ; bac ; a ;abc 其中正确结论的个数是_ (填序号) (2

11、)二次函数 2 yaxbxc的图象如图 4-2 所示,给出下列结论:20ab;若11mn ,则 b mn a ;3| | 2| |acb;bac,其中正确的结论有_ (填序号) y A O x x 例题 4 图 4-1 图 4-2 【解析】【解析】(1); (2) 模块二 二次函数的几何变换 (1)二次函数 2 241yxx的图象如何移动就得到 2 2yx的图象( ) A向左移动 1 个单位,向上移动 3 个单位 B向右移动 1 个单位,向上移动 3 个单位 C向左移动 1 个单位,向下移动 3 个单位 D向右移动 1 个单位,向下移动 3 个单位 (2)一抛物线向右平移 3 个单位,再向下平

12、移 2 个单位后得抛物线 2 24yxx,则平移前抛物线的解析式为 _ (3)如果将抛物线 2 28yx向右平移a个单位后,恰好过点(3,6),那么a的值为_ 【解析】【解析】(1)将配方得:, 要将二次函数的图象平移得到到,应选 C (2)先将得到的函数转化为顶点式 2 2(1)2yx,则先向上平移 2 个单位,再向左平移 3 个单位 得到原抛物线解析式 2 2(2)4yx,即 2 284yxx (3)2 或 4 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解二次函数的平移,二次函数的平移转化为顶点式,二次函数的平移即为顶点 的平移,也可以按照平移的规律 (1) 如图 6-1 所示, 已知抛

13、物线 0 C的解析式为 2 2yxx, 则抛物线 0 C的顶点坐标_; 将抛物线 0 C 每次向右平移 2 个单位,平移n次,依次得到抛物线 1 C、 2 C、 3 C、 n C(n为正整数) ,则抛物线 n C的解 析式为_ (2)如图 6-2,把抛物线 2 1 2 yx平移得到抛物线m,抛物线m经过点( 6,0)A 和原点(0,0)O,它的顶点为P, 它的对称轴与抛物线 2 1 2 yx交于点Q,则图中阴影部分的面积为_ y 1 2 O x 11 y xO 2 241yxx 2 2(1)3yx 2 2(1)3yx 2 2yx 例题 5 例题 6 图 6-1 图 6-2 【解析】【解析】(1

14、),. (2)过点P作PMy轴于点M,抛物线平移后经过原点O和点( 6,0)A , 平移后的抛物线对称轴为3x , 得出二次函数解析式为: 2 1 (3) 2 yxh, 将 ( 6,0)A 代入得:,解得:, 点P的坐标是, 根据抛物线的对称性可知, 阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积, 已知二次函数 2 21yxx,求: (1)与此二次函数关于x轴对称的二次函数解析式为_; (2)与此二次函数关于y轴对称的二次函数解析式为_; (3)与此二次函数关于原点对称的二次函数解析式为_ 【解析】【解析】(1); (2); (3) 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解二次函数的对称,二次函

15、数的对称转化为顶点式,二次函数的对称即为顶点 的对称,也可以按照对称的规律 已知二次函数 2 441yaxaxa的图象是 1 C (1)求 1 C关于点(1,0)R中心对称的图象 2 C的解析式; (2)设曲线 1 C、 2 C与y轴的交点分别为A,B,当| 18AB 时,求a的值 【解析】【解析】(1)设 1 C上任意一点为 11 ( ,)xy, 2 C上关于(1,0)R中心对称的点为 22 (,)xy, 则有 12 12 1212 1 2 2 0 2 xx xx yyyy 由点 11 ( ,)xy在 2 441yaxaxa的图象上可知, 2 111 441yaxaxa, 即 2 222 (

16、2)4 (2)41yaxaxa x y O Cn C1C0 (1,1) 22 (42)44yxnxnn 9 0 2 h 9 2 h 9 3 2 , 27 2 S 2 21yxx 2 21yxx 2 21yxx 例题 7 例题 8 即 2 222 (2)4 (2) 1 4ya xa xa 故图象 2 C的解析式为: 22 (2)4 (2) 1 481 16ya xa xaaxaxa (2)令 2 441yaxaxa中0 x , 可得41ya,故(0,41)Aa; 令 2 81 16yaxaxa 中0 x , 可得1 16ya ,故(0,1 16 )Ba 又| 18AB , 故202181aa或

17、4 5 a 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解二次函数的对称,关于某点对称,可以按照顶点的对称,也可以按照点的对称 规律 作出 2 |5 |yxx的函数图象 【解析】【解析】将位于x轴下方的图象翻折到x轴上方即可,如图; (成外周考)已知关于x的一元二次方程 2 2410 xxk 有实数根,k为正整数 (1)求k的值; (2)当此方程有两个非零的整数根时,将关于x的二次函数 2 241yxxk的图象向下平移 8 个单位,求平 移后的图象的解析式; (3) 在(2)的条件下, 将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折, 图象的其余部分保持不变, 得到一个新的图象请你结合这个

18、新的图象回答:当直线 1 () 2 yxb bk与此图象有两个公共点时,b的取值 范围 【解析】【解析】(1)由题意得,168(1)0k 3k k为正整数,1k ,2,3 (2)当1k 时,方程 2 2410 xxk 有一根为零; 当2k 时,方程 2 2410 xxk 无整数根; 当3k 时,方程 2 2410 xxk 有两个非零的整数根 综上所述,1k 和2k 不合题意,舍去;3k 符合题意 当3k 时,二次函数为 2 242yxx,把它的图象向下平移 8 个单位得到的 图象的解析式为 2 246yxx y x O 例题 9 例题 10 (3)设二次函数 2 246yxx的图象与x轴交于A

19、、B两点,则( 3,0)A ,(1 0)B , 依题意翻折后的图象如图所示 当直线 1 2 yxb经过A点时,可得 3 2 b ; 当直线 1 2 yxb经过B点时,可得 1 2 b 由图象可知,符合题意的(3)b b的取值范围为 13 22 b 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解二次函数的翻折 模块一 二次函数的图象判断 (1)二次函数 2 yaxbxc的图象如图 1-1,则一次函数 b yax c 的图象不经过第_象限 (2) 如图 1-2, 二次函数 2 yaxbxc的图象经过点( 1,2)和(1,0), 给出五个结论: 0abc ; 20ab; 1ac;1a ;9640ab

20、c其中结论正确的是_ (3) 二次函数 2 yaxbxc的图象如图 1-3, 小丹观察得出了下面五条信息: 0c ; 0abc ; 0abc; 230ab;40cb,其中结论正确的是_ 图 1-1 图 1-2 图 1-3 (1)由图象可知, 一次函数的图象不经过第四象限. (2); O y x 0a 0b 0c 0 b c b yax c 演练 1 (3) (1) 已知二次函数 2 yaxbxc的图象如图 2-1 所示, 有下列结论: 2 40bac; 0abc ; 20ab; 930abc;80ac其中结论正确的是_ (填序号即可) (2)如图 2-2,抛物线 2 yaxbxc的图象交x轴于

21、 1 ( ,0)A x、(2,0)B,交y轴正半轴于C,且OAOC下 列结论:0 ab c ;1acb; 1 2 a ;22bc,其中结论正确的是_ 图 2-1 图 2-2 【解析】【解析】(1); (2) 模块二 二次函数的几何变换 (1) (树德实验半期)把抛物线 2 yx向左平移 1 个单位,然后向上平移 3 个单位,则平移后的抛物线的解析 式为_ (2)将函数 2 yxx的图象向右平移(0)a a个单位,得到函数 2 32yxx的图象,则a的值为_ (3)如图,在平面直角坐标xOy中,抛物线 1 C的顶点为( 1,4)A ,且过点( 3,0)B : 将抛物线 1 C向右平移 2 个单位

22、得抛物线 2 C,则抛物线 2 C的解析式_; 写出阴影部分的面积S _ 【解析】【解析】(1) 2 (1)3yx; (2)2; (3) 2 23yxx,8 演练 2 演练 3 已知二次函数 2 45yxx (1)指出这个二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标; (2)把这个二次函数的图像上、下平移,使其顶点恰好落在正比例函数yx 的图像上,求此时二次函数的 解析式 【解析】【解析】(1) 22 45(2)1yxxx , 二次函数图象开口向下,对称轴是直线2x ,顶点坐标是( 21), (2)设此时二次函数的解析式为 2 45yxxm ,此时,顶点坐标为( 2,1)m 由题意得:1( 2)m

23、 解得:3m , 2 42yxx (1)在平面直角坐标系中,先将抛物线 2 2yxx关于x轴作轴对称变换,再将所得的抛物线关于y轴作轴 对称变换,则经两次变换后所得的新抛物线的解析式为_ (2)已知二次函数 2 34yxx的图象,将其函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持 不变,得到一个新的图象,结合图象写出当直线(1)yxn n与这个新图象有两个公共点时,n的取值范围为 _ 【解析】【解析】(1); (2)令 2 340 xx,解得: 1 1x , 2 4x , 故A,B两点的坐标分别为( 1,0)A ,(4,0)B 如图,当直线(1)yxn n,经过A点时,可得1n , 当直线yxn经过B点时,可得4n ,n的取值范围为41n 2 2yxx 演练 4 演练 5 y x O y x O A B