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2018-2019学年九年级上专题复习二:相似的综合应用(含答案)

1、专题复习二 相似的综合应用相似三角形的判定与性质与圆、函数、特殊三角形等知识的综合应用要注意知识之间的关联,应用转化化归思想化繁为简1.如图所示,将ABC 沿 DE 翻折,折痕 DEBC,若 = ,BC=9,则 DE 等于(B).BDA21A.2 B.3 C.4 D.4.5(第 1 题) (第 2 题) (第 3 题)2.如图所示,在ABC 中,C=90,AC=4,BC=3,AB 边上有一点 D,且 AD=AC,过点 D 作DEAB 交 BC 于点 E,则BDE 的周长是(B).A.3 B.4 C.5 D.63.如图所示,E 为ABCD 的边 CB 的延长线上一点,若 = ,则 的值为(C).

2、BE21FAA. B. C.2 D.321314.如图所示,已知在梯形 ABCD 中,ADBC,BC=2AD,如果对角线 AC 与 BD 交于点 O,AOB,BOC,COD,DOA 的面积分别记作 S1,S 2,S 3,S 4,那么下列结论中,不正确的是(B).A.S1=S3 B.S2=2S4 C.S2=2S1 D.S1S3=S2S4(第 4 题) (第 5 题) (第 6 题)5.如图所示,在ABC 中,BC=3,G 是ABC 的重心,如果 DGBC,那么 DG= 1 6.如图所示,四边形 ABCD 内接于O,BD 是O 的直径,AC 和 BD 交于点E,AC=BC,DE=2cm,AD=5c

3、m,则O 的半径为 cm310(第 7 题)7.如图所示,在ABC 中,AB=AC,过点 C 作 CFAB 交ABC 的中位线 DE 的延长线于点F,连结 BF,交 AC 于点 G.(1)求证: = .ACEG(2)若 AH 平分BAC,交 BF 于点 H,求证:BH 是 HG 和 HF 的比例中项.【答案】(1)CFAB,DE 是中位线,四边形 BCFD 是平行四边形.DE=EF.(第 7 题答图)(2)如答图所示,连结 CH.AH 平分BAC,BAH=CAH.在ABH 与ACH 中,,ABHACH.BH=CH,HCG=DBH=HFC.又GHC=CHF,GHCCHF. = .CH 2=HGH

4、F.又 BH=CH,BH 2=HGHF.BHHFCG是 HG 和 HF 的比例中项.8.如图所示,E 是正方形 ABCD 的边 AB 上的动点(不与点 A,B 重合) ,EFDE 交 BC 于点F(1)求证:ADEBEF(2)设正方形的边长为 4,AE=x,BF=y.求 y 关于 x 的函数表达式及 x 的取值范围(3)当 x 取什么值时,y 有最大值?求出这个最大值,并指出该函数图象的变化情况(第 8 题)【答案】(1)四边形 ABCD 是正方形,DAE=EBF=90.ADE+AED=90.EFDE,AED+BEF=90.ADE=BEF.ADEBEF.(2)ADEBEF, = . = ,即

5、y=- x2+x.y 关于 x 的函数表达式AEBFDxy41为 y=- x2+x(0x4).41(3)y=- x2+x=- (x2-4x)=- (x-2)2+1.当 x=2 时,y 有最大值,y 的最大值为 1.该函1数图象在对称轴 x=2 的左侧部分是上升的,右侧部分是下降的.9.在 RtABC 中,C=90,P 是 BC 边上不同于点 B,C 的一动点,过点 P 作 PQAB 于点Q,连结 AP(1)试说明不论点 P 在 BC 边上何处,都有PBQ 与ABC 相似(2)若 AC=3,BC=4,当 BP 为何值时,APQ 面积最大?求出最大值(3)在 RtABC 中,两条直角边 BC,AC

6、 满足关系式 BC=AC,是否存在一个 的值,使RtAQP 既与 RtACP 全等,也与 RtBQP 全等?(第 9 题)【答案】(1)PQB=C=90,B=B,PBQABC.(2)设 BP=x(0x4).AB= =5.PBQABC,2BCAS APQ =当 x= 时,825APQ 的面积最大,最大值是 .3275(3)存在.RtAQPRtACP,AQ=AC.RtAQPRtBQP,AQ=BQ.AQ=QB=AC.在RtABC 中,BC 2=AB2-AC2.BC= AC.当 = 时,RtAQP 既与 RtACP 全等,也与3RtBQP 全等.10.如图所示,矩形 AEHC 是由三个全等矩形拼成的,

7、AH 与 BE,BF,DF,DG,CG 分别相交于点 P,Q,K,M,N.设BPQ,DKM,CNH 的面积依次为 S1,S 2,S 3.若 S1+S3=20,则 S2的值为(B).A.6 B.8 C.10 D.12(第 10 题) (第 11 题) (第 12 题)11.如图所示,在 RtABC 中,ABC=90,AB=6,BC=8,BAC,ACB 的平分线相交于点E,过点 E 作 EFBC 交 AC 于点 F,则 EF 的长为(C).12.已知有一块等腰三角形纸板,在它的两腰上各有一点 E 和 F,把这两点分别与底边中点连结,并沿着这两条线段剪下两个三角形,所得的这两个三角形相似,剩余部分(

8、四边形)的四条边的长度如图所示,那么原等腰三角形的底边长为(B).13.如图所示,ACBC 于点 C,AC=BC,D 是 BC 上一点,连结 AD,与ACB 的平分线交于点 E,连结 BE.若 SACE = ,S BDE = ,则 AC= 2 .76143(第 13 题) (第 14 题)14.如图所示,M 为线段 AB 的中点,AE 与 BD 交于点 C,DME=A=B=45,且 DM 交 AC于点 F,ME 交 BC 于点 G,连结 FG,若 AB=4 ,AF=3,则 BG= ,FG= 238515.如图所示,在四边形 ABCD 中,AC 平分BCD,ACAB,E 是 BC 的中点,ADA

9、E.(1)求证:AC 2=CDBC.(2)过点 E 作 EGAB,并延长 EG 至点 K,使 EK=EB.若点 H 是点 D 关于 AC 的对称点,点 F 为 AC 的中点,求证:FHGH.若B=30,求证:四边形 AKEC 是菱形.(第 15 题)【答案】(1)AC 平分BCD,DCA=ACB.又ACAB,ADAE,DAC+CAE=90,CAE+EAB=90.DAC=EAB.又E 是 BC 的中点,AE=BE.EAB=ABC.DAC=ABC.ACDBCA. = .AC 2=CDBC.BCAD(第 15 题答图)(2)如答图所示,连结 AH.由(1)知ACDBCA,ADC=BAC=90.点 H

10、,D 关于 AC对称,AHBC.EGAB,AE=BE,G 是 AB 的中点.HG=AG.GAH=GHA.点 F 为AC 的中点,AF=FH.HAF=FHA.FHG=AHF+AHG=FAH+HAG=CAB=90.FHGH.EKAB,ACAB,EKAC.又B=30,AC= BC=EB=EC.又 EK=EB,EK=AC.21四边形 AKEC 是平行四边形.又 AC=EC,平行四边形 AKEC 是菱形.16.矩形 ABCD 一条边 AD=8,将矩形 ABCD 折叠,使点 B 落在 CD 边上的点 P 处(1)如图 1 所示,已知折痕与边 BC 交于点 O,连结 AP,OP,OA求证:OCPPDA.若O

11、CP 与PDA 的面积比为 14,求边 AB 的长(2)如图 2 所示,在(1)的条件下,擦去 AO 和 OP,连结 BP.动点 M 在线段 AP 上(不与点 P,A 重合) ,动点 N 在线段 AB 的延长线上,且 BN=PM,连结 MN 交 PB 于点 F,作 MEBP于点 E.试问动点 M,N 在移动的过程中,线段 EF 的长度是否发生变化?若不变,求出线段EF 的长度;若变化,请说明理由(第 16 题) (第 16 题答图)【答案】(1)四边形 ABCD 是矩形,C=D=90.DPA+DAP=90.APO=B=90DPA+CPO=90.CPO=DAP.C=D,OCPPDA.OCP 与P

12、DA 的面积比为 14, .CP= AD=4.CO=CB-BO,21CO=8-OP,在 RtPCO 中,OP 2=CO2+CP2,即 OP2=(8-OP)2+16,解得OP=5.AB=AP=2OP=10.边 AB 的长为 10.(2)如答图所示,作 MQAN 交 PB 于点Q.AP=AB,MQAN,APB=ABP=MQP.MP=MQ.BN=PM,BN=QM.MP=MQ,MEPQ,EQ= PQ.MQAN,QMF=BNF.21MFQNFB.QF= QB.EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB.由(1)得 PC=4,BC=8,PB=21=4 .EF= PB=2 .在(1)的条件下,点 M,N 在移

13、动过程中,线段 EF24855的长度不变,它的长度为 2 .(第 17 题)17.【东营】如图所示,在正方形 ABCD 中,BPC 是等边三角形,BP,CP 的延长线分别交 AD 于点 E,F,连结 BD,DP,BD 与 CF 相交于点 H,有下列结论:BE=2AE;DFPBPH ;PFD PDB ;DP 2=PHPC.其中正确的是(C).A. B. C. D.【解析】BPC 是等边三角形, BP=PC=BC ,PBC=PCB=BPC=60.在正方形ABCD 中,AB=BC=CD,A=ADC=BCD=90,ABE=DCF=30 .BE=2AE.故正确.PC=CD,PCD=30,PDC=75.F

14、DP=15.DBA=45,PBD=15.FDP= PBD. DFP=BPC=60,DFPBPH.故 正确 .FDP=PBD=15,ADB=45,PDB=30 .而DFP=60 ,PFDPDB.PFD 与PDB 不会相似.故错误.PDH=PCD=30 ,DPH= DPC,DPH CPD. = .DP 2=PHPC.故正确.故选 C.PCDH图 1 图 2(第 18 题)18.【常德】如图所示,在 RtABC 中,BAC=90,点 D 在 BC 上,连结 AD,作BFAD 分别交 AD 于点 E,交 AC 于点 F.(1)如图 1 所示,若 BD=BA,求证:ABEDBE.(2)如图 2 所示,若

15、 BD=4DC,取 AB 的中点 G,连结 CG 交 AD 于点 M,求证:GM=2MC.AG 2=AFAC.【答案】(1)在 RtABE 和 RtDBE 中,BA=BD,BE=BE,RtABERt DBE.(第 18 题答图)(2)如答图所示,过点 G 作 GHAD 交 BC 于点 H.AG=BG,BH=DH.BD=4DC,设 DC=1,BD=4,BH=DH=2.GHAD, = = .GM=2MC.MCGDH12过点 C 作 CNAC 交 AD 的延长线于点 N,则 CNAG.AGMNCM. NCAG= .由知 GM=2MC, 2NC=AG.BAC=AEB=90,ABF=CAN=90-MGB

16、AE.又BAF=ACN=90,BAFACN. = .AB=2AG,CAFBF= .2CNAG=AF AC.AG 2=AFAC.AC219.在ABC 中,P 为边 AB 上一点.(1)如图 1 所示,若ACP=B,求证:AC 2=APAB.(2)若 M 为 CP 的中点,AC=2.如图 2 所示,若PBM=ACP,AB=3 ,求 BP 的长.如图 3 所示,若ABC=45,A=BMP=60,求 BP 的长.图 1 图 图 3(第 19 题) 图 1 图 2(第 19 题答图)【答案】(1)ACP=B ,A=A,ACP ABC. = .AC 2=APAB.APCB(2)如答图 1 所示,取 AP

17、在中点 G,连结 MG,设 AG=x,则 PG=x,BG=3-x.M 是 PC的中点,MGAC,MG= AC=1.BGM=A.又ACP=PBM,APC21GMB. = ,即 = ,解得 x= 或 x= (不合题意,舍去).BP=AB-MGAPBC1x3253AP= .5如答图 2 所示,过点 C 作 CHAB 于点 H,延长 AB 到点 E,使 BE=BP.设BP=x.ABC=45,A=60,AH=1,BH=CH= .HE= +x.CE 2=( )2+(33+x) 2.PB=BE ,PM=CM,BMCE.PMB=PCE=60=A.又E=E,3ECPEAC. =EPCA.CE 2=EPAE.( )2+( +x)2=2x(x+ +1) ,解得 x= -1 或 x=-1- (不合题意,3377舍去).PB= -1.7