1、专题复习二 相似的综合应用相似三角形的判定与性质与圆、函数、特殊三角形等知识的综合应用要注意知识之间的关联，应用转化化归思想化繁为简1.如图所示，将ABC 沿 DE 翻折，折痕 DEBC，若 = ，BC=9，则 DE 等于(B).BDA21A.2 B.3 C.4 D.4.5（第 1 题） （第 2 题） （第 3 题）2.如图所示，在ABC 中，C=90，AC=4，BC=3，AB 边上有一点 D，且 AD=AC，过点 D 作DEAB 交 BC 于点 E，则BDE 的周长是(B).A.3 B.4 C.5 D.63.如图所示，E 为ABCD 的边 CB 的延长线上一点，若 = ，则 的值为(C).
2、BE21FAA. B. C.2 D.321314.如图所示，已知在梯形 ABCD 中，ADBC，BC=2AD，如果对角线 AC 与 BD 交于点 O，AOB，BOC，COD，DOA 的面积分别记作 S1，S 2，S 3，S 4，那么下列结论中，不正确的是(B).A.S1=S3 B.S2=2S4 C.S2=2S1 D.S1S3=S2S4（第 4 题） （第 5 题） （第 6 题）5.如图所示，在ABC 中，BC=3，G 是ABC 的重心，如果 DGBC，那么 DG= 1 6.如图所示，四边形 ABCD 内接于O，BD 是O 的直径，AC 和 BD 交于点E，AC=BC，DE=2cm，AD=5c
3、m，则O 的半径为 cm310（第 7 题）7.如图所示，在ABC 中，AB=AC，过点 C 作 CFAB 交ABC 的中位线 DE 的延长线于点F，连结 BF，交 AC 于点 G.（1）求证： = .ACEG（2）若 AH 平分BAC，交 BF 于点 H，求证：BH 是 HG 和 HF 的比例中项.【答案】(1)CFAB，DE 是中位线，四边形 BCFD 是平行四边形.DE=EF.（第 7 题答图）(2)如答图所示，连结 CH.AH 平分BAC，BAH=CAH.在ABH 与ACH 中，,ABHACH.BH=CH，HCG=DBH=HFC.又GHC=CHF，GHCCHF. = .CH 2=HGH
4、F.又 BH=CH，BH 2=HGHF.BHHFCG是 HG 和 HF 的比例中项.8.如图所示，E 是正方形 ABCD 的边 AB 上的动点（不与点 A，B 重合） ，EFDE 交 BC 于点F（1）求证：ADEBEF（2）设正方形的边长为 4，AE=x，BF=y.求 y 关于 x 的函数表达式及 x 的取值范围（3）当 x 取什么值时，y 有最大值？求出这个最大值，并指出该函数图象的变化情况（第 8 题）【答案】(1)四边形 ABCD 是正方形，DAE=EBF=90.ADE+AED=90.EFDE，AED+BEF=90.ADE=BEF.ADEBEF.(2)ADEBEF， = . = ，即
5、y=- x2+x.y 关于 x 的函数表达式AEBFDxy41为 y=- x2+x(0x4).41(3)y=- x2+x=- (x2-4x)=- (x-2)2+1.当 x=2 时，y 有最大值，y 的最大值为 1.该函1数图象在对称轴 x=2 的左侧部分是上升的，右侧部分是下降的.9.在 RtABC 中，C=90，P 是 BC 边上不同于点 B，C 的一动点，过点 P 作 PQAB 于点Q，连结 AP（1）试说明不论点 P 在 BC 边上何处，都有PBQ 与ABC 相似（2）若 AC=3，BC=4，当 BP 为何值时，APQ 面积最大？求出最大值（3）在 RtABC 中，两条直角边 BC，AC
6、 满足关系式 BC=AC，是否存在一个 的值，使RtAQP 既与 RtACP 全等，也与 RtBQP 全等？（第 9 题）【答案】(1)PQB=C=90，B=B，PBQABC.(2)设 BP=x（0x4）.AB= =5.PBQABC，2BCAS APQ =当 x= 时，825APQ 的面积最大，最大值是 .3275(3)存在.RtAQPRtACP，AQ=AC.RtAQPRtBQP，AQ=BQ.AQ=QB=AC.在RtABC 中，BC 2=AB2-AC2.BC= AC.当 = 时，RtAQP 既与 RtACP 全等，也与3RtBQP 全等.10.如图所示，矩形 AEHC 是由三个全等矩形拼成的，
7、AH 与 BE，BF，DF，DG，CG 分别相交于点 P，Q，K，M，N.设BPQ，DKM，CNH 的面积依次为 S1，S 2，S 3.若 S1+S3=20，则 S2的值为(B).A.6 B.8 C.10 D.12（第 10 题） （第 11 题） （第 12 题）11.如图所示，在 RtABC 中，ABC=90，AB=6，BC=8，BAC，ACB 的平分线相交于点E，过点 E 作 EFBC 交 AC 于点 F，则 EF 的长为(C).12.已知有一块等腰三角形纸板，在它的两腰上各有一点 E 和 F，把这两点分别与底边中点连结，并沿着这两条线段剪下两个三角形，所得的这两个三角形相似，剩余部分（
8、四边形）的四条边的长度如图所示，那么原等腰三角形的底边长为(B).13.如图所示，ACBC 于点 C，AC=BC，D 是 BC 上一点，连结 AD，与ACB 的平分线交于点 E，连结 BE.若 SACE = ，S BDE = ，则 AC= 2 .76143（第 13 题） （第 14 题）14.如图所示，M 为线段 AB 的中点，AE 与 BD 交于点 C，DME=A=B=45，且 DM 交 AC于点 F，ME 交 BC 于点 G，连结 FG，若 AB=4 ，AF=3，则 BG= ，FG= 238515.如图所示，在四边形 ABCD 中，AC 平分BCD，ACAB，E 是 BC 的中点，ADA
9、E.（1）求证：AC 2=CDBC.（2）过点 E 作 EGAB，并延长 EG 至点 K，使 EK=EB.若点 H 是点 D 关于 AC 的对称点，点 F 为 AC 的中点，求证：FHGH.若B=30，求证：四边形 AKEC 是菱形.（第 15 题）【答案】(1)AC 平分BCD，DCA=ACB.又ACAB，ADAE，DAC+CAE=90，CAE+EAB=90.DAC=EAB.又E 是 BC 的中点，AE=BE.EAB=ABC.DAC=ABC.ACDBCA. = .AC 2=CDBC.BCAD（第 15 题答图）(2)如答图所示，连结 AH.由(1)知ACDBCA,ADC=BAC=90.点 H
10、，D 关于 AC对称，AHBC.EGAB，AE=BE，G 是 AB 的中点.HG=AG.GAH=GHA.点 F 为AC 的中点，AF=FH.HAF=FHA.FHG=AHF+AHG=FAH+HAG=CAB=90.FHGH.EKAB，ACAB，EKAC.又B=30，AC= BC=EB=EC.又 EK=EB，EK=AC.21四边形 AKEC 是平行四边形.又 AC=EC，平行四边形 AKEC 是菱形.16.矩形 ABCD 一条边 AD=8，将矩形 ABCD 折叠，使点 B 落在 CD 边上的点 P 处（1）如图 1 所示，已知折痕与边 BC 交于点 O，连结 AP，OP，OA求证：OCPPDA.若O
11、CP 与PDA 的面积比为 14，求边 AB 的长（2）如图 2 所示，在（1）的条件下，擦去 AO 和 OP，连结 BP.动点 M 在线段 AP 上（不与点 P，A 重合） ，动点 N 在线段 AB 的延长线上，且 BN=PM，连结 MN 交 PB 于点 F，作 MEBP于点 E.试问动点 M，N 在移动的过程中，线段 EF 的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF 的长度；若变化，请说明理由（第 16 题） （第 16 题答图）【答案】(1)四边形 ABCD 是矩形，C=D=90.DPA+DAP=90.APO=B=90DPA+CPO=90.CPO=DAP.C=D，OCPPDA.OCP 与P
12、DA 的面积比为 14， .CP= AD=4.CO=CB-BO,21CO=8-OP，在 RtPCO 中，OP 2=CO2+CP2,即 OP2=(8-OP)2+16,解得OP=5.AB=AP=2OP=10.边 AB 的长为 10.(2)如答图所示，作 MQAN 交 PB 于点Q.AP=AB，MQAN，APB=ABP=MQP.MP=MQ.BN=PM，BN=QM.MP=MQ，MEPQ，EQ= PQ.MQAN，QMF=BNF.21MFQNFB.QF= QB.EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB.由(1)得 PC=4，BC=8，PB=21=4 .EF= PB=2 .在(1)的条件下，点 M，N 在移
13、动过程中，线段 EF24855的长度不变，它的长度为 2 .（第 17 题）17.【东营】如图所示，在正方形 ABCD 中，BPC 是等边三角形，BP，CP 的延长线分别交 AD 于点 E，F，连结 BD，DP，BD 与 CF 相交于点 H，有下列结论：BE=2AE；DFPBPH ；PFD PDB ；DP 2=PHPC.其中正确的是(C).A. B. C. D.【解析】BPC 是等边三角形， BP=PC=BC ，PBC=PCB=BPC=60.在正方形ABCD 中，AB=BC=CD，A=ADC=BCD=90，ABE=DCF=30 .BE=2AE.故正确.PC=CD，PCD=30，PDC=75.F
14、DP=15.DBA=45，PBD=15.FDP= PBD. DFP=BPC=60，DFPBPH.故 正确 .FDP=PBD=15，ADB=45，PDB=30 .而DFP=60 ，PFDPDB.PFD 与PDB 不会相似.故错误.PDH=PCD=30 ，DPH= DPC，DPH CPD. = .DP 2=PHPC.故正确.故选 C.PCDH图 1 图 2（第 18 题）18.【常德】如图所示，在 RtABC 中，BAC=90，点 D 在 BC 上，连结 AD，作BFAD 分别交 AD 于点 E，交 AC 于点 F.（1）如图 1 所示，若 BD=BA，求证：ABEDBE.（2）如图 2 所示，若
15、 BD=4DC，取 AB 的中点 G，连结 CG 交 AD 于点 M，求证：GM=2MC.AG 2=AFAC.【答案】(1)在 RtABE 和 RtDBE 中，BA=BD,BE=BE,RtABERt DBE.（第 18 题答图）(2)如答图所示，过点 G 作 GHAD 交 BC 于点 H.AG=BG，BH=DH.BD=4DC，设 DC=1，BD=4，BH=DH=2.GHAD， = = .GM=2MC.MCGDH12过点 C 作 CNAC 交 AD 的延长线于点 N，则 CNAG.AGMNCM. NCAG= .由知 GM=2MC， 2NC=AG.BAC=AEB=90，ABF=CAN=90-MGB
16、AE.又BAF=ACN=90,BAFACN. = .AB=2AG，CAFBF= .2CNAG=AF AC.AG 2=AFAC.AC219.在ABC 中，P 为边 AB 上一点.（1）如图 1 所示，若ACP=B，求证：AC 2=APAB.（2）若 M 为 CP 的中点，AC=2.如图 2 所示，若PBM=ACP，AB=3 ，求 BP 的长.如图 3 所示，若ABC=45，A=BMP=60，求 BP 的长.图 1 图 图 3（第 19 题） 图 1 图 2（第 19 题答图）【答案】(1)ACP=B ，A=A，ACP ABC. = .AC 2=APAB.APCB(2)如答图 1 所示，取 AP
17、在中点 G，连结 MG，设 AG=x，则 PG=x，BG=3-x.M 是 PC的中点，MGAC，MG= AC=1.BGM=A.又ACP=PBM，APC21GMB. = ，即 = ，解得 x= 或 x= (不合题意，舍去).BP=AB-MGAPBC1x3253AP= .5如答图 2 所示，过点 C 作 CHAB 于点 H，延长 AB 到点 E，使 BE=BP.设BP=x.ABC=45，A=60，AH=1,BH=CH= .HE= +x.CE 2=（ )2+（33+x） 2.PB=BE ，PM=CM，BMCE.PMB=PCE=60=A.又E=E，3ECPEAC. =EPCA.CE 2=EPAE.( )2+( +x)2=2x（x+ +1） ，解得 x= -1 或 x=-1- (不合题意，3377舍去).PB= -1.7