1、 2020/2021 学年度第一学期十月质量检测试卷学年度第一学期十月质量检测试卷 高三数学高三数学 一、单选题：本大题共一、单选题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.请把答案填在答卷纸相应位置上请把答案填在答卷纸相应位置上. 1. 记全集U R，集合 2 16Ax x ，集合22 x Bx ，则 UA B ( ) A. 4 , B. 1,4 C. 1,4 D. 1,4 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出集合 A 和集合 B，再根据补集和交集运算即可求出. 【详解】 2 164Ax xx x 或4x ，221 x Bxx x ， 44 UA xx ， 1
2、41,4 UA Bxx. 故选：C. 【点睛】本题考查集合的补集和交集的混合运算，其中涉及到一元二次不等式和指数不等式的求解，属于 基础题. 2. 已知 5 log 2a ， 7 log 2b ， 2 0.5ac ，则 a，b，c的大小关系为( ) A. bac B. abc C. cba D. cab 【答案】A 【解析】 【分析】 由换底公式和对数函数的性质可得1ba，再由指数函数的性质可得1c，即可得解. 【详解】因为 5 ln2 log 2 ln5 a ， 7 ln2 log 2 ln7 b ，0ln2ln5ln7，所以1ba， 所以 20 0.50.51 a c ，所以1bac .
3、故选：A. 【点睛】本题考查了对数式、指数式的大小比较，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于基础题. 3. 若 35 cos(),sin, ,0, 54132 ，则cos 4 ( ) A. 33 65 B. 33 65 C. 56 65 D. 16 65 【答案】C 【解析】 【分析】 利用配角得() 44 ，再利用两角差的余弦公式，即可得答案； 【详解】() 44 ， coscos()() 44 cos() cossin() sin 44 ， ,0.0 2242 , ， 412 sin()cos 5413 , ， 3 124556 cos 45 135 1365 ， 故选：C. 【点睛】本
4、题考查同角三角函数的基本关系、两角差的余弦公式，考查运算求解能力，求解时注意角的配 凑. 4. 我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配 23 艘驱逐舰，12 艘核潜艇.船厂现有 5 艘 驱逐舰和 3 艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同组建方法种数为( ) A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】 将 5 艘驱逐舰和 3 艘核潜艇分两类求解即可得到答案. 【详解】由题意得 2 艘驱逐舰和 1 艘核潜艇，3 艘驱逐舰和 2 艘核潜艇的组建方法种数为 212 532 60C CA， 2 艘驱逐舰和 2 艘核潜艇，3艘驱逐舰和 1 艘核潜艇的组建方
5、法种数为 222 532 60C CA 共 60+60=120种， 故选 D 【点睛】本题考查排列组合的简单应用，属于基础题. 5. 已知 2sin13 ,2sin77a ，1ab rr ，a与ab的夹角为 3 则a b =( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出2a ，利用向量数量积的定义求出aab的值，也即是 2 aa b 的值，进而可求得a b 的值. 【详解】 2sin13 ,2sin772sin13 ,2cos13a , 所以2a ，又因为1ab rr ，a与ab的夹角为 3 ， 1 cos2 11 32 aabaab ， 所以 2 41
6、aabaa ba b， 可得 3a b ， 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量数量积的定义，涉及求向量的模长，属于中档题. 6. 函数 ln| cos ( ) sin xx f x xx 在),0(0,的图像大致为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 判断函数的奇偶性，然后利用特殊函数值进行判断即可. 【详解】因为 ln| cos()ln| cos ()( ) sin()sin xxxx fxf x xxxx ，),00,(x， 所以 ( )f x为奇函数，因此函数( )f x的图像关于原点对称，故排除 A， 又因() 10f ， ()0 2 f ， ( )0 3
7、f，( )0f ，故排除 B，C. 故选：D 7. 设 12 ,F F分别为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左右焦点，过 1 F的直线l与 222 :O xya相切，l 与C的渐近线在第一象限内的交点是P，若 2 PFx轴，则双曲线的离心率等于( ) A. 3 B. 2 C. 2 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 根据已知条件计算P坐标，由相切得到 22 2ba，根据双曲线离心率公式，即可求得答案. 【详解】由于直线l与双曲线 22 22 :1 xy C ab 的渐近线的交点在第一象限， 故其渐近线方程为 b yx a 由 2 PFx轴， 2( ,0) F
8、 c 设 0 ,P c y， 则 0 bbc yc aa ，即, bc P c a ， 设直线的倾斜角为，0, 2 ， 根据直线l与圆O相切，设切点为M， 由原点O到l的距离为半径a，且 1 |OFc， 在直角 1 OMF中， 22 1 MFcab 则 1 | tan OMa MFb 又在直角 12 PFF中， 2 12 tan 22 bc PFb a FFca 则 22 2ba， 由双曲线性质可得： 222 cab 可得： 22 3ca 故双曲线的离心率为3 c e a 故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方 法，方法一：求出
9、 , a c ，代入公式 c e a ；方法二：只需要根据一个条件得到关于, ,a b c的齐次式，转化 为 , a c的齐次式，然后转化为关于e的方程，即可得e的值(范围) 8. 对于函数 yf x， 若存在区间 , a b， 当,xab时的值域为,0ka kb k ， 则称 yf x为k倍 值函数.若 2 x f xex是k倍值函数，则实数k的取值范围是( ) A. 1,e B. 2,e C. 1 ,e e D. ,e e 【答案】B 【解析】 【分析】 可看出 yfx在定义域R内单调递增，可得出, a b是方程2 x exkx的两个不同根，从而得出 2 x e k x ，通过求导，求出2
10、 x e x 的值域，进而可得到k的范围 【详解】解： yf x在定义域R内单调递增， ( ),( )f aka f bkb， 即2,2 ab eaka ebkb， 即, a b是方程2 x exkx的两个不同根， 2 x e k x ， 设 2 (1) ( )2,( ) xx eex g xg x xx ， 01x时，( )0g x ；1x 时，( )0g x ， 1x 是( )g x的极小值点， ( )g x 的极小值为：(1)2ge， 又x趋向 0时，( )g x趋向；x趋向时，( )g x趋向， 2ke 时，y k 和( )yg x的图象有两个交点，方程2 x e k x 有两个解，
11、实数k的取值范围是2,e 故选 B 【点睛】本题考查了对k倍值函数的理解，根据导数符号判断函数极值点的方法，考查了推理能力和计算 能力，属于难题 二、多选题：本大题共二、多选题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.请把答案填在答卷纸相应位置上请把答案填在答卷纸相应位置上. 9. 已知函数( )sin(3 )f xx 22 的图象关于直线 4 x 对称，则( ) A. 函数 12 fx 为奇函数 B. 函数 f x在 12 3 ， 上单调递增 C. 若 12 2f xf x ，则 12 xx的最小值为 3 D. 函数 f x的图象向右平移 4 个单位长度得到函数
12、cos3yx 的图象 【答案】AC 【解析】 【分析】 利用( )sin(3)f xx的图象关于直线 4 x 对称，即可求出的值，从而得出 f x的解析式，再利用 三角函数的性质逐一判断四个选项即可. 【详解】因为( )sin(3)f xx的图象关于直线 4 x 对称， 所以3 42 kkZ ， 得 4 k ，kZ，因为 22 ，所以0, 4 k ， 所以( )sin 3 4 f xx ， 对于 A：sin 3sin3 12124 fxxx ，所以 12 fx 为奇函数成立，故选项 A正确； 对于 B： 12 3 x ，时， 3 0, 4 3 4 x ，函数 f x在 12 3 ，上不是单调函
13、数；故选项 B 不正确； 对于 C：因为 max1f x， min1f x ，又因为 12 2f xf x ，所以 12 xx的最小值为半个周 期，即 21 323 ，故选项 C 正确； 对于 D：函数 f x的图象向右平移 4 个单位长度得到 sin 3sin 3sin3 44 yxxx ，故选项 D不正确； 故选：AC 【点睛】本题主要考查了利用三角函数的对称轴求函数解析式，考查了三角函数平移变换、三角函数的周 期、单调性、最值，属于中档题 10. 2020年初，突如其来的疫情改变了人们的消费方式，在目前疫情防控常态化背景下，某大型超市为了解 人们以后消费方式的变化情况，更好的提高服务质量
14、，收集并整理了本超市 2020年 1 月份到 8月份的人们 线上收入和线下收入的数据，并绘制如下的折线图根据折线图，下列结论正确的是( ) A. 该超市这 8 个月中，线上收入的平均值高于线下收入的平均值 B. 该超市这 8 个月中，线上收入与线下收入相差最小的月份是 7月 C. 该超市这 8 个月中，每月总收入与时间呈现负相关 D. 从这 8 个月的线上收入与线下收入对比来看，在疫情逐步得到有效控制后，人们比较愿意线下消费 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据折线图逐个判断每个选项的正误. 【 详 解 】 对 于A ， 由 折 线 图 可 知 ， 该 超 市 这8 个 月 中 ， 线 上
15、 收 入 的 平 均 值 为 3.5 10.5 12 11.5 10.599.55.5 9 8 ，线下收入的平均值为 12.5345.56.5710.512 7.625 8 ，可知97.625，因此线上收入的平均值高于线下收入的 平均值，故 A 正确； 对于 B，由折线图可知，该超市这 8 个月中，线上收入与线下收入相差最小的月份是 7 月，相差 1 万元，故 B正确； 对于 C，由折线图可知，该超市这 8 个月中，每月总收入与时间呈现正相关，故 C错误； 对于 D，由折线图可知，从这 8 个月的线上收入与线下收入对比来看，在疫情逐步得到有效控制后，人们 比较愿意线下消费，故 D正确. 故选：
16、ABD. 【点睛】本题考查折线统计图的分析和理解，属于基础题. 11. 如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，P为 BC 的中点，Q为线段 1 CC上的动点，过点 A，P，Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S.则下列命题正确的是( ) A. 当 1 0 2 CQ时，S 为四边形； B. 当 1 2 CQ =时，S 不为等腰梯形； C. 当 3 4 CQ =时，S 与 11 C D的交点R满足 1 1 3 C R =； D. 当 1CQ 时，S 的面积为 6 2 . 【答案】ACD 【解析】 【分析】 由题意作出满足题意的截面，由线面、面面的位置关系对四个选项逐一判断即可得解
17、. 【详解】设截面 S与 1 DD的交点为 M，分别连接 AM、MC、AP、PQ， 由平面与平面平行的性质定理知/AM PQ， 当 1 0 2 CQ时，则点 M在线段 1 DD上(不包括端点)，S 为四边形，选项 A 正确； 当 1 2 CQ =时，点 M 与点 1 D重合，四边形 1 APQD为等腰梯形，选项 B错误； 当 3 4 CQ =时，延长 1 DD至 N，使 1 1 2 D N ， 连接 AN 交 11 AD于点 S，连接 NQ交 11 C D于点 R，连接 SR， 可证 11 NRDQRC，可得 1111 :1:2C R D RCQ D N, 故可得 1 1 3 C R =，选项
18、 C正确； 当1CQ 时，截面 S为菱形，其对角线长分别为 2，3，则 S的面积为 16 23 22 ，选项 D正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查线面、面面的位置关系，考查逻辑思维能力和分析计算能力，考查空间想象能力，属于 常考题. 12. 关于函数( )sin x f xeax，,x ，下列结论正确的有( ) A. 当1a 时， ( )f x在 0, (0)f处的切线方程为2 10 xy B. 当1a 时， ( )f x存在惟一极小值点 0 x C. 对任意0a， ( )f x在 ,上均存在零点 D. 存在0a ， ( )f x在 ,有且只有一个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】
19、 逐一验证，选项 A，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程；选项 B，通过导数求出函数极值并判断 极值范围，选项 C、D，通过构造函数，将零点问题转化判断函数的交点问题. 【详解】对于 A：当1a 时，( )sin x f xex，,x ， 所以(0)1f，故切点为0,1， ( )cos x fxex ，所以切线斜(0)2kf ， 故直线方程为120yx ， 即切线方程为：210 xy ，故选项 A正确； 对于 B：当1a 时，( )sin x f xex，,x ， ( )cos x fxex ，( )sin0, x fxexx 恒成立， 所以 ( )fx 单调递增，又20 2 f ， 3
20、3 44 332 cos0 442 fee ， 所以存在 0 3 , 42 x ，使得 0 0fx， 即 0 0 cos0 x ex，则在 0 ,x上，( )0fx，( )f x单调递减， 在 0, x 上，( )0fx，( )f x单调递增， 所以存在惟一极小值点 0 x，故选项 B 正确； 对于 C、D：( )sin x f xeax,x ， 令( )sin0 x f xeax得： 1sin x x ae ， 则令 sin ( ) x x F x e ，,x ， 2sin() cossin 4 ( ) xx x xx F x ee ，令( )0F x ， 得： 4 xk ，1k ，kZ，
21、由函数2sin() 4 yx 图象性质知： 5 2,2 44 xkk 时，2sin()0 4 x ， sin ( ) x x F x e 单调递减， 5 2,22 44 xkk 时，2sin()0 4 x ， sin ( ) x x F x e 单调递增， 所以当 5 2 4 xk ，1k ，kZ时，( )F x取得极小值， 即当 35 , 44 x 时，( )F x取得极小值， 又 35 44 35 sinsin 44 ee ，即 35 44 FF , 又因为在 3 , 4 ， sin ( ) x x F x e 单调递减， 所以 3 4 32 ( ) 42 F xFe ， 所以 2 4 x
22、k ，0k ，kZ时，( )F x取得极大值， 即当 9 44 x 、， 时，( )F x取得极大值. 又 9 44 9 sinsin 44 ee ，即 4 2 4 2 F xF e ， 当,x 时， 3 4 4 22 ( ) 2 2 eF x e ， 所以当 3 4 12 2 e a ，即3 4 2 a e 时， ( )f x在 ,上无零点，所以选项 C 不正确； 当 3 4 12 2 e a 时，即4 2ae 时， 1 y a 与 sin x x y e 的图象只有一个交点， 即存在0a ， ( )f x在 ,有且只有一个零点， 故选项 D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查函数的极值
23、、切线、零点的问题，属于较难题. 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.请把答案填在答卷纸相应位置上请把答案填在答卷纸相应位置上. 13. 在2 n x的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含 x项的系数等于_. 【答案】32 【解析】 【分析】 根据二项展开式的性质，求得4n，得出展开式的通项为 4 14 ( 2)r rr r TC x ，结合通项，即可求解. 【详解】由题意，在2 n x的展开式中，只有第三项的二项式系数最大， 根据二项展开式的性质，可得13 2 n ，解得4n， 所以该二项式为 4 2x，则展开式的通项为
24、 44 144 ( 2)( 2) rrrrrr r TC xC x ， 令41r，可得3r ，所以含x项的系数为 33 4 ( 2)32C . 故答案为：32. 【点睛】本题主要考查了二项展开式中的二项式系数的性质，以及指定项系数的求解，其中解答中熟记展 开式中二项式系数的性质和二项展开式的通项是解答的关键，意在考查推理与运算能力. 14. 已知函数 1 ln 2 f xxxax 有两个极值点，则实数 a的取值范围是_. 【答案】01a 【解析】 【分析】 对函数进行求导得( )1fxlnxax ，则方程 ln1x a x 在0 x时有两个根，利用导数研究函数 ln1 ( ) x g x x
25、的值域，即可得答案； 【详解】 1 ln 2 f xxxax ，( )1fxlnxax ln1x a x 在0 x时有两个根， 令 ln1 ( ) x g x x ， 令( )1g xlnxax ， 22 1 (ln1) ln ( ) xx x x g x xx 当01x时， ( ) 0g x ，当1x 时， ( ) 0g x ， ( )g x在(0,1)单调递增，在(1,)单调递减，且(1)1g ， 当x 时，( )0g x ，当0 x时， ( )g x ， ya 与( )yg x要有两个交点， 0 1a 故答案为：01a. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的值域，考查函数与方程思想、转化与
26、化归思想，考查逻辑推理能力、 运算求解能力，求解时注意参变分离法的运用. 15. 在三棱锥 P-ABC 中， PA平面 ABC， BAC=90， D， E， F 分别是棱 AB， BC， CP的中点， AB=AC=1， PA=2，则直线 PA与平面 DEF 所成角的正弦值为_ 【答案】 5 5 【解析】 【分析】 根据题意作出示意图，取AC中点G，作GHEF，根据条件证明GFH即为线面角，由此求解出线面 角的正弦值. 【详解】如图所示，取AC中点G，连接,FG GE，作GHEF交EF于H点， 因为,F G为,PC AC中点，所以/FGPA， 所以PA与平面DEF所成角即为FG与平面DEF所成角
27、， 又因为PA 平面ABC，所以FG平面ABC，所以FGDE， 又因为,D E为,BA BC中点，所以/DEAG，同理可知/GEAD， 又因为90BAC，所以90DEG，所以DEGE，且GEFGG， 所以DE 平面EFG，所以DEGH且,GHEF EFDEE， 所以GH 平面EFD，所以FG与平面DEF所成角为GFH， 又因为 111 1, 222 FGPAEGAB，所以 2 15 1 22 EF ， 所以 5 sin 5 EG GFH EF ， 故答案为： 5 5 . 【点睛】本题考查利用几何方法求解线面角的正弦值，解答问题的关键在于能否准确的找到线面角，难度 一般.，本题还可以利用向量方法
28、进行求解，利用直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值求解 线面角的正弦值. 16. 设函数 2 1 2 , 2 ( ) 1 , 2 x x f x xxlnx x ，若函数 ( )( )F xf xa 恰有 2 个零点，则实数a的取值范围是_. 【答案】2， 1 2 4 ln. 【解析】 【分析】 令 2 ( )g xxxlnx， 1 2 x ，求出函数的导数，判断函数的单调性，结合函数的图象，推出结果即可. 【详解】解：令 2 ( )g xxxlnx， 1 2 x ， 则 2 121(21)(1) ( )21 xxxx g xx xxx ， 令 ( )0g x ，得1x 或 1 2
29、x (舍去) 当 1 1 2 x时，( )0g x；当1x 时，( )0g x， 所以( )g x在 1 (,1) 2 上是减函数，在(1,)上是增函数，又 11 ( )2 24 gln ，g(1)0， 而2xy 在 1 (, ) 2 上是增函数，且0 22 x ，作出函数 ( )f x的图象如图，由( )0F x 得( )f xa ， 所以当 1 22 4 lna剟即 1 22 4 aln剟时，函数( )yf x与y a 的图象有两个交点. 故答案为： 1 2,2 4 ln. 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的关系，函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，是中 档题. 四、解答题：本
30、大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分分 17. 已知函数 2 ( )f xalnxbx，a，bR若 ( )f x在 1x 处与直线 1 2 y =- 相切 (1)求a，b的值； (2)求 ( )f x在 1 e， e上的最大值 【答案】(1) 1 1 2 a b ；(2) 1 2 . 【解析】 【分析】 (1)对 ( )f x进行求导，先利用导数求出在 1x 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜 率列出关于a，b的方程求得a，b的值 (2)判定函数的单调性，可得函数的极大值就是最大值，求出函数的极值可确定出最大值 【详解】(1)函数 2 ( )(0)f
31、xalnxbxx，( )2 a fxbx x ， 函数 ( )f x在 1x 处与直线 1 2 y =-相切， (1)20 1 (1) 2 fab fb ，解得 1 1 2 a b ； (2) 2 1 ( ) 2 f xlnxx， 2 1 ( ) x fx x ， 当 1 x e e 剟 时，令( )0fx 得： 1 1x e ， 令( )0fx ，得1x e ， ( )f x 在 1 e，1，上单调递增， 在1， e上单调递减， 所以函数的极大值就是最大值， ( )maxf xf(1) 1 2 【点睛】本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、导数在最大值、最小值 问题
32、中的应用考查运算求解能力、化归与转化思想属于中档题 18. 在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C对边，且 ABC同时满足下列四个条件中的三个： 222 2 3 3 acbac； 2 1 cos22sin 2 A A； 3a ；2b. (1)满足ABC有解的序号组合有哪些？ (2)在(1)的组合中任选一组，求ABC的面积. 【答案】(1)或；(2)答案不唯一，具体见解析. 【解析】 【分析】 (1)利用余弦定理由条件得 3 cos 3 B ， 由条件得 3 A ， 由于 2 33 AB ， 与AB矛 盾，所以ABC不能同时满足，经验证作为条件和作为条件，ABC都有解， (2)若选择组合，由c
33、os B计算出sinB，再利用三角形面积公式即可求出结果，若选择组合， 因为 2 B ，利用勾股定理求出c的值，再利用三角形面积公式即可求出结果 【详解】(1)由条件得 222 2 313 cos 2323 acb Bac acac ， 由条件得 2 12cos11 cosAA ，即 2 2coscos10AA ， 解得 1 cos 2 A 或cos1A(舍)，因为(0,)A，所以 3 A. 因为 312 coscos 323 B ， (0,)B ， 而 cosyx 在(0,)单减，所以 2 3 B. 于是 2 33 AB，与AB矛盾. 所以ABC不能同时满足. 当作为条件时： 有 222 2
34、cosbacacB，即 2 21cc， 解得21c 所以ABC有解. 当作为条件时： 有 sinsin ab AB ，即 32 sin3 2 B 解得sin1B. 因为 (0,)B ， 所以 2 B ，ABC为直角三角形， 所以ABC有解. 综上所述，满足有解三角形的所有组合为：或. (2)若选择组合： 因为 (0,)B ， 所以 2 2 36 sin1 cos1 33 BB . 所以ABC的面积 11622 sin3( 21) 2232 SacB . 若选择组合： 因为 2 B ， 所以 22 2( 3)1c 所以ABC的面积 13 13 22 S . 【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定
35、理在解三角形中的运用，考查了考生的计算能力和解决问题的 能力，属于中档题 19. 如图所示，在多面体ABCDFE中，四边形ABEF为正方形，平面ABEF 平面 ,CDFE CD ,90 ,22EFCDFDFEEFCD . (1)若1DF ，证明：平面ACF 平面BCE； (2)若二面角A BCE的余弦值为 10 10 ，求DF的长. 【答案】(1)证明见解析；(2)2 【解析】 【分析】 (1)根据勾股定理证明CFCE，根据面面垂直证明AFCE，得到CE 平面ACF，得到答案. (2)如图所示： 以,FA FE FD为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系， 分别计算平面ABC和平面BCE的法
36、向量， 根据向量夹角公式计算得到答案. 【详解】(1)在CEF中： 22 112FC ， 22 112CE ，2EF ， 故 222 EFFCCE，故CFCE . 平面ABEF 平面CDFE，AFEF，故AF 平面CDFE， CE平面CDFE，故AFCE，AFCFF， 故CE 平面ACF，CE平面BCE，故平面ACF 平面BCE. (2)如图所示：以,FA FE FD为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系，设DF a， 2,0,0A，2,2,0B，0,1,Ca，0,2,0E， 设平面ABC的法向量为 1 , ,nx y z，则 1 1 20 20 nABy nACxyaz ， 取xa得到 1
37、 ,0,2na； 设平面BCE的法向量为 2111 ,nx y z，则 1 1 20 0 nEBx nECyaz ， 取y a 得到 2 0, ,1na； 故 12 12 22 12 210 cos, 10 41 n n n n nnaa ，解得2a或2a (舍去). 故2DF . 【点睛】本题考查了面面垂直，根据二面角求参数，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 20. 今年 4 月 23 日我市正式宣布实施“3+1+2”的高考新方案，“3”是指必考的语文、数学、外语三门学 科，“1”是指在物理和历史中必选一科，“2”是指在化学、生物、政治、地理四科中任选两科为了解 我校高一学生在物理和历
38、史中的选科意愿情况，进行了一次模拟选科. 已知我校高一参与物理和历史选科 的有 1800 名学生，其中男生 1000 人，女生 800 人. 按分层抽样的方法从中抽取了 36 个样本，统计知其中 有 17 个男生选物理，6 个女生选历史 (I)根据所抽取的样本数据，填写答题卷中的列联表. 并根据 2 K 统计量判断能否有90%的把握认为选择物 理还是历史与性别有关？ (II)在样本里选历史的人中任选 4 人，记选出 4 人中男生有X人，女生有Y人，求随机变量XY 的 分布列和数学期望( 2 K 的计算公式见下) 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，临界值
39、表： 2 0 P Kk 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0 k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 【答案】(I)没有 90%的把握认为选择物理还是历史与性别有关；(II)见解析 【解析】 【分析】 (I)由条件知，按分层抽样法抽取的 36 个样本数据中有20个男生，16 个女生，根据题意列出列联表，求得 2 K 的值，即可得到结论 (II)由(I)知在样本里选历史的有 9 人. 其中男生 3 人，女生 6 人，求得可能的取值有2,0, 2, 4，进而 求得相应的概率，列出随机变量的分布列，利用公式求解期望 【详解】(I)由条件知，按分层抽样法抽取的
40、 36 个样本数据中有10003620 1800 个男生，16 个女生，结合 题目数据可得列联表： 男生 女生 合计 选物理 17 3 20 选历史 10 6 16 合计 27 9 得 2 2 2 36 (17 6 10 3) 2.42.706 27 9 20 16 n abbc K abcdacbd 而 22 2.42.7060.10P KP K ， 所以没有 90%的把握认为选择物理还是历史与性别有关. (II)由(I)知在样本里选历史的有 9 人. 其中男生 3 人，女生 6 人 所以可能的取值有2,0, 2, 4. 且 31 36 4 9 6 (2)(31) 126 C C PP XY
41、 C 且， 22 36 4 9 45 (0)(22) 126 C C PP XY C 且； 13 36 4 9 60 (2)(13) 126 C C PP XY C 且， 04 36 4 9 15 (4)(04) 126 C C PP XY C 且， 所以的分布列为： 2 0 2 4 P 6 126 45 126 60 126 15 126 所以的期望 64560154 20( 2)( 4) 1261261261263 E . 【点睛】本题主要考查了独立性检验的应用，以及离散型随机变量的分布列与期望的计算，其中解答中认 真审题，准确得出随机变量的取值，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算
42、能力，属于基础题 21. 在平面直角坐标系xOy中， 已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率为 2 2 ， 点2 , 1在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线与圆 22 :2O xy相切，与椭圆C相交于 ,P Q两点，求证：POQ 是定值. 【答案】(1) 22 1 63 xy ；(2)见解析 【解析】 【分析】 (1)利用离心率可得 22 1 2 ca，进而得到 22 1 2 ba；将点2,1代入椭圆方程可求得 22 ,a b，从而得到椭圆 方程； (2)当直线PQ斜率不存在时，可求得,P Q坐标，从而得到0OP OQ，得到90POQ；当直线 PQ斜率存在时，
43、设直线方程为ykxm ，由直线与圆相切可得到 22 22mk；将直线方程与椭圆方程 联立可得到韦达定理的形式，从而表示出OP OQ，整理可得0OP OQ，得到90POQ；综合两 种情况可得到结论. 【详解】(1)由题意得： 2 2 c e a ，即 22 1 2 ca 22 1 2 ba 椭圆方程为 22 22 2 1 xy aa 将2,1代入椭圆方程得： 2 6a 2 3b 椭圆C的方程为： 22 1 63 xy (2)当直线PQ斜率不存在时，PQ方程为：2x 或 2x 当2x 时，2, 2P，2,2Q，此时0OP OQ OPOQ 90POQ 当 2x 时，同理可得90POQ 当直线PQ斜率
44、存在时，设PQ方程为：y kxm ，即0kxym 直线与圆相切 2 2 1 m k ，即 22 22mk 联立 22 0 1 63 kxym xy 得： 222 1 24260kxkmxm 设 11 ,P x y， 22 ,Q x y 12 2 4 12 km xx k ， 2 12 2 26 1 2 m x x k 22 121212121212 1OP OQx xy yx xkxmkxmkx xkm xxm 2 22 22 264 1 1 21 2 mkm kkmm kk 代入 22 22mk整理可得：0OP OQ OPOQ 90POQ 综上所述： POQ 为定值90 【点睛】本题考查根据
45、椭圆上的点求解椭圆方程、直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解；求解定值问 题的关键是能够将所求量表示为韦达定理的形式，进而通过整理化简，消去变量得到常数，从而得到结果. 22. 已知函数 2 1 ( )(1)ln (1) 2 f xxaxax a ()求函数 ( )f x的单调区间； ()设x1，x2为函数 ( )f x 两个极值点，求证 12 7 3 2 f xf xa 【答案】()函数的单调递增区间( , )a ，(0,1)，单调递减区间(1, )a；()见解析 【解析】 【分析】 ()先求得函数的导数，然后结合导数与单调性的关系，即可求得函数的单调区间； ()由()可得 2 12 71
46、314 22 f xf xaaaa na ，构造新函数 2 1 ( )ln4 2 g aaaaa ，1a ，转化为求解( )g a的范围问题，结合导数及函数性质可求 【详解】()由题意，函数 2 1 ( )(1)ln 2 f xxaxax的定义域(0,)， 且 2 (1)(1)() ( )(1)(),1 axaxaxxa fxxa x a xx ， 当xa或01x时，( )0fx ，函数 f x单调递增； 当1xa时，( )0fx ，函数 f x单调递减， 故函数单调递增区间( , )a ，(0,1)，单调递减区间(1, )a； ()不妨设 12 xx ，则由(1)可知 1 1x ， 2 xa， 所以 12 77 3(1)( )3 22 f xf xaff aa 2 117 1(1)ln3 222 aaa aaaa 2 1 14 2 aaa na ， 令 2 1 ( )ln4 2 g aaaaa (其中1a )，则( )2lng aaa ， 可得 1 ( )10g a a ，即( )g a 在(1,)上单调递减， 且(3)ln310 g