1、2021 届高三月考届高三月考数学数学试卷试卷( (一一) ) 本试卷共本试卷共 8 页页.时量时量 120 分钟分钟.满分满分 150分分. 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给田的四个选项中，只有一项是分在每小题给田的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的. 1. 已知集合22Axx， lg(1)Bx yx.则AB ( ) A. 2x x B. 12xx C. 12xx D. 2x x 【答案】C 【解析】 【分析】 根据对数函数的定义域化简lg(1)Bx yx，再利用交集的运算求解即可. 【详解】由题意得，
2、 lg(1)1Bx yxx x， 因为22Axx， 所以12ABxx， 故选：C. 【点睛】本题主要考查对数函数的定义域以及集合交集的运算，属于基础题. 2. 已知复数z满足34 25zi，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 化简复数z，进而可得出复数z的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】 25 3425 34 343434 i zi iii ，则 3 4zi ， 复数z在复平面内对应的点是3, 4，在第四象限， 故选：D. 【点睛】本题考查复数对应的点所在象限的确定，考查了复
3、数的除法法则以及共轭复数的应用，属于基础 题. 3. 已知abc且0a b c ，则下列不等式恒成立的是( ) A. 222 abc B. 22 abcb C. acbc D. abac 【答案】C 【解析】 0a b c 且abc， 0,0ac acbc 选 C 4. 在ABC中，2BDDC ，AE ED ，则BE ( ) A. 15 36 ACAB B. 15 36 ACAB C. 11 36 ACAB D. 11 36 ACAB 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用平面向量线性运算法则求解即可, 【详解】 111121115 () 222232336 BEBABDBABCBAACAB
4、ACAB ， 故选：A. 【点睛】本题主要考查平面向量线性运算法则，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题. 5. 设函数 2 ( )logf xxxm，则“函数 f x在 1 ,4 2 上存在零点”是(1,6)m的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 由函数基本初等函数的单调判断函数 ( )f x的单调性，由函数 f x在 1 ,4 2 上存在零点，则 1 0 2 f ， (4)0f ，即可求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可； 【详解】解：函数 2 ( )logf xxxm在区
5、间0,上单调递增， 由函数 f x在 1 ,4 2 上存在零点，则 11 0 22 fm ，(4)60fm， 解得 1 6 2 m，故“函数 f x在 1 ,4 2 上存在零点”是“(1,6)m”的必要不分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的零点及充分条件、必要条件的判断，属于基础题. 6. 已知实数a，b，c满足 1 lg10ba c ，则下列关系式中不可能成立的是( ) A. abc B. acb C. cab D. cba 【答案】D 【解析】 【分析】 设 1 lg10bat c ，分别表示出, ,a b c，构造函数，利用函数图象比较大小. 【详解】设 1 lg10bat c
6、，0t ，则 10ta ， lgbt， 1 c t ， 在同一坐标系中分别画出函数10 xy ，lgyx， 1 y x 的图象，如图， 当3 tx 时，abc；当2 tx 时，acb；当1 tx 时，cab. 故选:D. 【点睛】本题考查利用函数的图象比较大小，构造函数，画出图象是关键. 7. 已知 3sincos 7 2sin3cos ，则函数 2 ( )sin2tan|cos | 6f xxx的最小值为( ) A. -5 B. -3 C. 2 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】 由 3sincos 7 2sin3cos 可求出tan值，再将 ( )f x化为关于cosx的二次函数，
7、即可根据二次函数的性质 求出最小值. 【详解】由 3sincos 7 2sin3cos ，有 3tan1 7 2tan3 ，解得tan2， 故 222 ( )sin2tan|cos | 6cos4|cos | 5(|cos | 2)1f xxxxxx ， 故当|cos| 0 x 时， f x取最小值5. 故选：A. 【点睛】本题考查分式型三角函数的化简，以及关于二次型三角函数的最值问题，属于基础题. 8. 设函数 2 ( )2f xxxlnx，若存在区间 1 , 2 a b ，使 ( )f x在a，b上的值域为 (2)k a ， (2)k b ，则k的取值范围是( ) A. 922 1, 4
8、ln B. 922 1, 4 ln C. 922 1, 10 ln D. 922 1, 10 ln 【答案】C 【解析】 【分析】 判断 ( )f x的单调性得出( )(2)f xk x 在 1 2 ， )上有两解，作出函数图象，利用导数的意义求出k的范 围 【详解】解： ( )21fxxlnx ， 1 ( )2fx x ， 当 1 2 x时，( ) 0fx， ( )fx 在 1 2 ， )上单调递增， 11 ( )( )20 22 fxfln ， ( )f x 在 1 2 ， )上单调递增， a， 1 2b ，)， ( )f x 在a， b上单调递增， ( )f x在a，b上的值域为 (2)
9、k a ， (2)k b ， ( )(2) ( )(2) f ak a f bk b ， 方程( )(2)f xk x 在 1 2 ， )上有两解a，b 作出( )yf x与直线 (2)yk x 的函数图象，则两图象有两交点 若直线 (2)yk x 过点 1 ( 2 ， 91 2) 42 ln ， 则 92 2 10 ln k ， 若直线 (2)yk x 与( )yf x的图象相切，设切点为 0 (x， 0) y ， 则 00 2 0000 00 (2) 2 21 yk x yxx lnx xlnxk ，解得1k 922 1 10 ln k ， 故选：C 【点睛】本题考查了函数的单调性，导数的
10、几何意义，零点个数与函数图象的关系，属于中档题 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0分分.部分选对的得部分选对的得 3 分分. 9. 下列命题中正确的是( ) A. 0,x ，2 3 xx B. 0,1x ， 23 loglogxx C. 0,x ， 1 3 1 log 2 x x D. 1 0, 3 x ， 1 3 1 log 2 x x 【答案】BD 【解析】 【分析】 利用指
11、数函数 2 3 x y 的单调性 可判断 A 选项的正误；利用换底公式可判断 B 选项的正误；取 1 2 x 可 判断 C选项的正误；利用对数函数和指数函数的单调性可判断 D 选项的正误. 【详解】对于 A，当0 x时， 22 1 33 x x x ，23 xx 恒成立，A错误； 对于 B， 2 3 loglglg3lg3 1 loglg2lglg2 xx xx ，当01x时， 2 log0 x ， 3 log0 x ， 23 loglogxx，B正 确； 对于 C，当 1 2 x 时， 12 22 x ， 1 2 log1x ，则 1 2 1 log 2 x x ，C错误； 对于 D，由对数
12、函数与指数函数的单调性可知，当 1 0, 3 x 时， 1 3 1 1log 2 x x 恒成立，D正确. 故选：BD. 【点睛】 本题考查全称命题和特称命题正误的判断，考查了指数和对数函数单调性的应用，考查推理能力， 属于中等题. 10. 已知数列 n a前n项和为 n S.且 1 ap， 1 22 (2) nn SSp n (p为非零常数)测下列结论中正确的 是( ) A. 数列 n a等比数列 B. 1p 时， 4 15 16 S C. 当 1 2 p 时， * , mnm n aaam nN D. 3856 aaaa 【答案】AC 【解析】 【分析】 由 1 22 (2) nn SSp
13、 n 和等比数列的定义，判断出 A正确；利用等比数列的求和公式判断 B错误；利用 等比数列的通项公式计算得出 C正确，D 不正确 【详解】由 1 22 (2) nn SSp n ，得 2 2 p a . 3n时， 12 22 nn SSp ，相减可得 1 20 nn aa ， 又 2 1 1 2 a a ，数列 n a为首项为p，公比为 1 2 的等比数列，故 A正确； 由 A 可得1p 时， 4 4 1 1 15 2 1 8 1 2 S ，故 B 错误； 由 A 可得 mnm n aaa 等价为 21 2 11 22 m nm n pp ，可得 1 2 p ，故 C 正确； 38 27 11
14、33 | 22128 aapp ， 56 45 1112 | 22128 aapp ， 则 3856 aaaa，即 D 不正确； 故选：AC. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查数列的递推关系式，考查学生的计算能力，属于 中档题 11. 已知函数 f x满足：对于定义域中任意x，在定义域中总存在t，使得 f tf x成立.下列函数 中，满足上述条件的函数是( ) A. ( )1f xx=- B. 4 ( )f xx C. 1 ( ) 2 f x x D. ( )ln(21)f xx 【答案】ACD 【解析】 【分析】 由题意转化条件为函数 f x的值域关于原点对称，逐项判断即可
15、得解. 【详解】由题意可得函数 f x的值域关于原点对称， 对于 A，函数( )1f xx=-的值域为R，关于原点对称，符合题意； 对于 B，函数 4 yx的值域为0, )，不关于原点对称，不符合题意； 对于 C，函数 1 ( ) 2 f x x 值域为(,0)(0,)， 关于原点对称，符合题意； 对于 D，函数 ( )ln 21f xx 的值域为R，关于原点对称，符合题意； 故选：ACD. 【点睛】本题考查了常见函数值域的求解，考查了转化化归思想，属于基础题. 12. 下图是函数( ) sin()f xAx (其中0A，0，0 |x)的部分图象，下列结论正确的是 ( ) A. 函数 12 y
16、fx 的图象关于原点对称 B. 函数 f x的图象关于点 ,0 12 对称 C. 函数 f x在区间 , 3 4 上单调递增 D. 方程 ( )1f x 在区间 23 , 1212 上的所有实根之和为 8 3 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据函数图象求出 ( )f x的解析式，根据正弦型函数的性质判断选项正误. 【详解】由已知，2A， 25 43124 T ，因此T， 2 2 ， 所以( )2sin(2)f xx，过点 2 , 2 3 ， 因此 43 2 32 k ，kZ，又0 |， 所以 6 ，( )2sin 2 6 f xx ， 对 A，2sin2 12 yfxx 图象关于原点对称
17、，故 A正确； 对 B，当 12 x 时，0 12 f ，故 B正确； 对 C，由222 262 kxk ，有 36 kxk ，kZ故 C不正确； 对 D， 当 23 1212 x 时，20,4 6 x ， 所以1y 与函数 yf x有 4个交点令横坐标为 1 x， 2 x， 3 x， 4 x， 1231 78 22 663 xxxx ，故 D正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查根据正弦型函数的部分图象求函数的解析式，以及分析正弦型函数的性质，属于基础题. 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 已知向量a、b满足 2a
18、，2b ，若aba，则向量a与b的夹角为_. 【答案】 4 【解析】 【分析】 设向量a与b的夹角为，由已知条件得出0aba，可求得cos的取值范围，结合角的取值范围 可得出的值. 【详解】aba，0aba rrr ，可得 2 2 2a baa，则 2 cos 2 a b a b r r rr ， 又0,，故 4 . 故答案为： 4 . 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求向量的夹角，同时也考查了平面向量垂直的数量积表示，考查 计算能力，属于基础题. 14. 若 42 log (4 )log 2abab，则a b的最小值是_. 【答案】 9 4 【解析】 【分析】 根据对数的运算法则和对数的
19、换底公式进行化简，结合基本不等式利用 1的代换进行转化求解即可 【详解】解： 424 log (4 )log 2log (4)ababab， 44abab， 40 40 ab ab 得 0 0 a b ， 得 4 1 4 ab ab ， 即 11 1 4ba ， 则 111559 ()()121 4444444 aba b abab babab a ， 当且仅当 4 ab ba ，即2ab时取等号， 即a b的最小值为 9 4 ， 故答案为： 9 4 . 【点睛】本题主要考查不等式的应用，结合对数的运算法则得到等式条件，结合 1 的代换是解决本题的关 键 15. 易经中记载着一种几何图形一一八
20、封图，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中 八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.某中学开展劳动实习，去测量当地八卦田的面积如图，现测得正八边 形的边长为8m，代表阴阳太极图的圆的半径为2m，则每块八卦田的面积为_ 2 m . 【答案】16 216 2 【解析】 【分析】 由图可知，正八边形分割成 8个全等的等腰三角形，顶角为45，设等腰三角形的腰长为a，利用正弦定理 可求出a的值，再利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】由图可知，正八边形分割成 8个全等的等腰三角形， 顶角为 360 45 8 ， 设等腰三角形的腰长为a， 由正弦定理可得 8 135 sin45 sin 2 a
21、， 解得 135 8 2sin 2 a ， 所以三角形的面积 2 11351 cos135 8 2sinsin4532 216( 21) 222 S ， 则每块八卦田的面积为 22 1 16( 21)216 216m 82 . 故答案为：16 216 2 . 【点睛】本题主要考查了正弦定理和三角形的面积公式.属于较易题. 16. 已知数列 n a满足 1 ( 1)21 n nn aan ，则 n a前 48 项之和为_. 【答案】1176 【解析】 【分析】 先写出前几项与 1 a的关系，观察找规律发现相邻奇数项的和为 2，偶数项中，每隔一项构成公差为 8 的等差 数列，由等差数列的求和公式计
22、算即可得到所求值，代入求解 n a前 48项之和即可. 【详解】由 1 ( 1)21 n nn aan ，则 21 1aa ， 321 32aaa， 431 57aaa， 541 7aaa， 651 99aaa， 761 112aaa， 871 1315aaa， 可知相邻奇数项的和为 2，偶数项中，每隔一项构成公差为 8的等差数列，由等差数列的求和公式计算即可 得到所求值. 因 13574517 2 1224aaaaaa ， 246816482610464818 aaaaaaaaaaaaa， 而 2610461111 1989540 12aaaaaaaa， 48481111 71595612
23、12aaaaaaa， 所以数列 n a前 48 项之和为 11 24540 12612 121176aa. 故答案为：1176. 【点睛】本题主要考查了数列求和的问题.属于中档题. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题 22 52bc；ABC的面积为3 15； 2 6ABAB BC uu u ruu u r uuu r . 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.在已知2bc，A为钝角， 15 sin 4
24、 A. (1)求边a长； (2)求sin 2 6 C 的值. 【答案】选择条件见解析；(1)8a ；(2) 21 517 64 . 【解析】 【分析】 (1)方案一：选择条件，结合向量数量积的性质可求bc，进而可求b，c，然后结合余弦定理可求； 方案二：选择条件：由已知即可直接求出b，c，然后结合余弦定理可求； 方案三：选择条件，由已知结合三角形的面积公式可求bc，进而可求b，c，然后结合余弦定理可求 (2)由余弦定理可求cosC，然后结合同角平方关系及二倍角公式，和差角公式即可求解 【详解】方案一：选择条件 (1)由 22 52 2 bc bc ，解得 6 4 b c ， A为钝角， 15
25、sin 4 A， 1 cos 4 A ， 则 222 1 2cos36 162 6 464 4 abcbcA ， 故8a ； (2) 222 6436 167 cos 22 8 68 abc C ab ， 4915 sin1 648 C ， 2 17 cos22cos1 32 CC ， 7 15 sin22sincos 32 CCC， sin 2sin2coscos2sin 666 CCC 7 15317121 517 32232264 ； 方案二：选择条件 (1) 15 sin 4 A， 115 sin3 15 28 ABC SbcAbc ，24bc ， 由 24 2 bc bc ，解得 6
26、 4 b c ， 则 222 1 2 cos36 162 6 464 4 abcbA ， 故8a ； (2) 222 6436 167 cos 22 8 68 abc C ab ， 4915 sin1 648 C ， 2 17 cos22cos1 32 CC ， 7 15 sin22sincos 32 CCC， sin 2sin2coscos2sin 666 CCC 7 15317121 517 32232264 ； 方案三：选择条件： (1)A为钝角， 15 sin 4 A， 1 cos 4 A ， 2 ()cos6ABAB BCABABBCAB ACbcA ，24bc ， 由 24 2 b
27、c bc ，解得6b，4c ， 则 222 1 2cos36 162 6 464 4 abcbcA ， 故8a ； (2) 222 6436 167 cos 22 8 68 abc C ab ， 4915 sin1 648 C ， 2 17 cos22cos1 32 CC ， 7 15 sin22sincos 32 CCC， sin 2sin2coscos2sin 666 CCC 7 15317121 517 32232264 . 【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，和差角公式、二倍角公式在求解三角形中的应用， 属于中档试题 18. 已知( ) x x m f xe e 是偶函数
28、. (1)求实数m的值； (2)解不等式(2 )(1)fxf x； (3)记( )ln (3)( )1ln32 x g xaf xeax ，若( )0g x 对任意的0,)x成立，求实数a的 取值范围. 【答案】(1)1m；(2)1x x或 1 3 x ；(3)1,3. 【解析】 【分析】 (1)利用偶函数的定义求解； (2)先分析原函数的单调性，再结合奇偶性解不等式(2 )(1)fxf x； (3)先写出函数 gln (3)1ln32 x xa eax ，然后将 0g x 转化为 ln (3)1ln32 x a eax ，即 2 3(3)10 xx aeae 恒成立，转化为二次不等式恒成立问
29、题求解. 【详解】(1)因为( ) x x m f xe e 是偶函数，则 f xfx对任意实数x恒成立， 即 x xx mm ee xe ， 1 (1)0 x x me e 对任意实数x恒成立，则1m； (2)( ) 1 x x f xe e ， 1 ( ) x x fxe e ， 当0 x时，( )0fx ， ( )f x在0,)上是增函数， 又因为 f x是偶函数， (2 )(1)(|2 |)(|1|)|2 | |1|fxf xfxfxxx， 两边平方可得 2 3210 xx ，解得1x或 1 3 x ； 故不等式的解集为1 x x 或 1 3 x ； (3)( )ln (3)1ln32
30、 x g xa eax ，问题即为ln (3)1ln32 x a eax 恒成立，显然0a， 首先(3)10 x a e 对任意 0,)x成立，即 1 3 0 x a e a ， 因为0,)x，则 1 334 x e ，所以03a， 其次，ln (3)1ln32 x a eax ，即为 ln32 (3)1 xax a ee ， 即 2 3(3)10 xx aeae 成立， 亦即3110 xx eae 成立， 因为310 x e ，所以10 x ae 对于任意 0,)x成立， 即 max 1 x a e 所以1a ， 综上，实数a的取值范围为1,3. 【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性的综合运
31、用，考查不等式的恒成立问题，其中函数与不等式的结 合求参问题是难点，考查学生分析转化问题的能力. 19. 已知正项等差数列 n a中， 1 2a ， 且 1 a， 2 1a ， 3 a成等比数列， 数列 n b的前n项和为 n S. 1 1 2 b ， 1 22 nnn SSb . (1)求数列 n a和 n b的通项公式； (2)设 1 1 nn nn cb a a ，求数列 n c前n项和 n T的取值范围. 【答案】(1) 31 n an， 1 2 n n b ；(2) 3 7 , 5 6 . 【解析】 【分析】 (1)根据题意， 结合等差数列的通项公式， 求得3d ， 即可求得数列 n
32、 a的通项公式， 再由 1 22 nnn SSb 得，化简得到 1 1 2 n n b b ，结合等比数列的定义，即可求解； (2)由(1)可得 1111 23 3132 n n c nn ，结合等比数列的求和公式和“裂项法”求得 711 623(32) n n T n ，得到 7 6 n T ，再结合数列的单调性，即可求解. 【详解】(1)设等差数列 n a的公差为d，由 1 2a ，且 1 a， 2 1a ， 3 a成等比数列， 所以 2 (1)2(22 )dd，即 2 230dd，解得3d 或1d ， 由已知0d ，所以3d ，所以数列 n a的通项公式为31 n an， 由 1 22
33、nnn SSb 得， 11 222 nnnn SSbb ，可得 1 1 2 n n b b ， 数列 n b是首项为 1 2 ，公比为 1 2 的等比数列， 所以数列 n b的通项公式为 1 2 n n b . (2)由(1)可得 1 1111111 231 3223 3132 nn nn nn cb a annnn ， 所以 2 1111111111 222325583132 n n T nn 11 1 22 1 11711 1 3 232623(32) 1 2 n n nn ， 因为 11 0 23(32) n n ，所以 7 6 n T ， 又数列 n T单调递增，则 1 7113 62
34、155 n TT ， 则 n T的取值范围是 3 7 , 5 6 . 【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式的应用、以及“裂项法”求和的应用，此类题目是数列问题 中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“裂项”之后求和时，弄错数 列剩余的项数导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等. 20. 已知函数 2 ( )3sin()2sin1(0,0) 2 x f xx 为奇函数，且相邻同对称轴间 的距离为 2 . (1)当, 2 4 x 时，求 f x的单调递减区间； (2)将函数 f x的图象向右平移 6 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 1
35、2 (纵坐标不变)，得到函数 yg x的图象，当 , 12 6 x 时，求函数 g x的值域. 【答案】(1)单调递减区间为, 24 ；(2) 2, 3. 【解析】 【分析】 (1)利用三角恒等变换化简 f x的解析式，根据条件，可求出周期T和，结合奇函数性质，求出，再 用整体代入法求出, 2 4 x 内的递减区间； (2)利用函数sinyAx的图象变换规律，求出 g x的解析式，再利用正弦函数定义域，即可求出 , 12 6 x 时的值域. 【详解】(1)( )3sin()cos()2sin 6 f xxxx ， 因为相邻两对称轴间的距离为 2 ，所以T，2， 因为函数为奇函数，所以 6 k
36、， 6 k ，kZ， 因为0，所以 6 ，函数为( )2sin2f xx， , 2 4 x 时，2 2 x ，( )f x单调递减，需满足2 2 x ， 24 x ， 所以函数 ( )f x的单调递减区间为, 24 x ； (2)由题意可得：( )2sin 4 3 g xx ， , 12 6 x ， 2 4 333 x ， 3 1sin 4 32 x ， ( ) 2, 3g x ，即函数 ( )g x的值域为 2, 3 . 【点睛】本题主要考查正弦函数在给定区间内的单调性和值域，包括周期性，奇偶性，单调性和最值，还 涉及三角函数图像的平移伸缩和三角恒等变换中的辅助角公式. 21. 节约资源和保
37、护环境是中国的基本国策某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废 气中含有的污染物数量逐渐减少已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为 3 2/mg m，首次改 良后所排放的废气中含有的污染物数量为 3 1.94/mg m 设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为 0 r，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为 1 r，则第n次改良后所排放的废气中的污染物数 量 n r，可由函数模型 0.5 001 () 5(,*) n p n rrrrpR nN 给出，其中n是指改良工艺的次数 (1)试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型； (2)依据国家环保要求，
38、企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过 3 0.08/mg m，试问至少进行多少 次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标(参考数据：取 20.3)lg 【答案】(1) 0.50.5 20.06 5(*) n n rnN ；(2)6 次. 【解析】 【分析】 (1) 由 题 意 得 0 2r ， 1 1.94r ， 所 以 当1n 时 ， 0 . 5 1001 () 5 p rrrr ， 解 得0.5p ， 所 以 0 . 50 . 5 20. 065(*) n n rnN ， (2)由题意可得， 0.50.5 20.06 50.08 n n r ，即 0.50.5 5
39、32 n ，解不等式，即可解6n，所以至少进行 6 次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标 【详解】解：(1)由题意得 0 2r ， 1 1.94r ， 所以当1n 时， 0.5 1001 () 5 p rrrr ， 即 0.5 1.942(2 1.94) 5 p ，解得0.5p ， 所以 0.50.5 20.06 5(*) n n rnN ， 故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为 0.50.5* 20.06 5() n n rnN ； (2)由题意可得， 0.50.5 20.06 50.08 n n r ， 整理得， 0.50.5 1.92 5 0.06
40、n ，即 0.50.5 532 n ， 两边同时取常用对数，得 32 0.50.5 5 lg n lg ， 整理得 52 21 12 lg n lg ， 将 20.3lg 代入，得 5230 2115.3 127 lg lg ， 又因为*nN，所以6n， 综上，至少进行 6 次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标 【点睛】本题主要考查了函数的实际运用，属于中档题 22. 已知点,1 x e P x ，( ,sin )Q x mxx，O为坐标原点，设函数( )()f xOP OQ mR. (1)当2m时，判断函数 f x在,0上的单调性； (2)若0 x时，不等式 1f x
41、 恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)函数 ( )f x在(,0) 上单调递减；(2) 2,). 【解析】 【分析】 (1)由题意结合平面向量的数量积运算可得( )2sin x f xexx，求导后可得 ( )0fx ，即可得解； (2)当0 x时， 易得( )1f x 恒成立； 当0 x时， 求导得( )cos x fxemx， 设()c o s x gxemx ， 求导可得( )2g xm，按照2m、2m分类，结合函数 ( )f x的单调性、(0)1f 即可得解. 【详解】(1)由已知( ),1( ,sin )sin x x e f xOP OQx mxxemxx x ， 当2m时
42、，( )2sin x f xexx，( )2cos x fxex ， 当0 x时，1 x e ， 又cos1x，则( )2cos0 x fxex ， 所以函数 ( )f x在(,0) 上单调递减； (2)当0 x时，( )1 1f x ，对于mR，( )1f x 恒成立； 当0 x时，( )cos x fxemx， 设( )cos x g xemx，则( )sin x g xex， 因为e1 x ，sin1x， 所以( )sin0 x g xex，( )g x在(0, )上单调递增， 又(0)2gm，所以( )2g xm， 所以( ) fx在(0, )上单调递增，且( )2fxm ， ()当2m时，( )0fx ， ( )f x在(0,)上单调递增， 因为(0)1f，所以 ( )1f x 恒成立，符合题意； ()当2m时，(0)20fm ， 因为( ) fx在(0, )上单调递增， 又当ln(2)xm时， ln(2) ( )cos2cos0 m fxemxx ， 则存在 0 (0,)x ，对于 0 0,xx，( )0fx恒成立， 故 ( )f x在 0 0,x上单调递减， 所以，当 0 0,xx时，( )(0)1f xf，不合题意. 综上，所求m的取值范围为 2,). 【点睛】本题考查了导数的应用，考查了运算求解能力及逻辑推理能力，合理转化条件是解题关键，属于 中档题.