1、4.5 相似三角形的性质及其应用（1）相似三角形的对应线段（对应边，对应边上的中线、高线、对应角的平分线）之比等于相似比1.如图所示，ABCD 中，E 是边 BC 上的点，AE 交 BD 于点 F，如果 BEBC=23，那么下列各式错误的是(C).（第 1 题） （第 2 题） （第 3 题） （第 4 题）2.如图所示，在ABC 中，D 论中，正确的是(C).，E 分别为 AB，AC 边上的点，DEBC，点 F 为 BC 边上一点，连结 AF 交 DE 于点 G，则下列结3.如图所示，AB 是O 的直径，过点 O 作 AB 的垂线与弦 AC 交于点 D，连结 BC，若OD=3，O 的半径为
2、4，则 CD 等于(A).A.1.4 B.1.8 C.2.4 D.2.64.如图所示，边长为 12 的正方形 ABCD 中，有一个小正方形 EFGH，其中点 E，F，G 分别在AB，BC，FD 上.若 BF=3，则小正方形的边长为(A).A. B.2 C.4 D.54153（第 5 题） （第 6 题） （第 7 题） （第 8 题）5.如图所示，RtOAB 的顶点与坐标原点重合，AOB=90，AO=3BO，当点 A 在反比例函数y= （x0）的图象上移动时，点 B 坐标满足的函数表达式为(A).9A.y=- （x0） B.y=- （x0）13C.y=- （x0） D.y=- （x0）3916
3、.如图所示，点 D，E 分别在 AB，AC 上，且ABC=AED，若 DE=4，AE=5，BC=8，则 AB 的长为 10 7.如图所示，在ABCD 中，E 是边 BC 上的点，AE 交 BD 于点 F，如果 = ，那么 = DB32CE328.如图所示，已知在ABC 中，AB=3，AC=2，D 是边 AB 上的一点，ACD=B，BAC 的平分线 AQ 分别与 CD，BC 交于点 P，Q，那么 的值为 A329.如图所示，MN 经过ABC 的顶点 A，MNBC，AM=AN，MC 交 AB 于点 D，NB 交 AC 于点 E，连结 DE（第 9 题）（1）求证：DEBC（2）若 DE=1，BC=
4、3，求 MN 的长【答案】(1)MNBC， .AM=AN， = .DEBC.BDAEC(2)DEBC， .MN=2AM=3.10.如图所示，已知矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，过点 A 作 AGBD 分别交 BD，BC于点 G，E.（1）求证：BE 2=EGEA.（2）连结 CG，若 BE=CE，求证：ECG=EAC.（第 10 题）【答案】(1)四边形 ABCD 是矩形，ABC=90.AEBD，BGE=90=ABC.BEG=AEB，ABEBGE. = .BE 2=EGEA.BEAG(2)由(1)证得 BE2=EGEA，BE=CE，CE 2=EGEA. = .CEG=AEC，CEAC
5、EGAEC.ECG=EAC.11.如图所示，等腰直角三角形 ABC 的直角边长为 3，P 为斜边 BC 上一点，且 BP=1，D 为AC 上一点.若APD=45，则 CD 的长为(C).（第 11 题） （第 12 题） （第 13 题） （第 14题）12.如图所示，D 是等边三角形 ABC 边 AB 上的一点，且 ADDB=12，现将ABC 折叠，使点 C 与 D 重合，折痕为 EF，点 E，F 分别在 AC 和 BC 上，则 CECF 等于(B).13.如图所示，在ABC 中，AB=AC=a，BC=b（ab） ，在ABC 内依次作CBD=A，DCE=CBD，则 DE 等于(C).14.如
6、图所示，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，过点 A 作 EACA 交 DB 的延长线于点 E，若 AB=3，BC=4，则 的值为 .AEO24715.如图所示，在ABCD 中，过点 A 作 AEBC，垂足为点 E，连结 DE，F 为线段 DE 上一点，且AFE=B.若 AB=5，AD=8，AE=4，则 AF 的长为 2 5（第 15 题） （第 16 题） （第 16 题答图）16.如图所示，在ABC 中，AB=AC=6，A=2BDC，BD 交 AC 边于点 E，且 AE=4，则BEDE= 20 .【解析】如答图所示，延长 CA 到点 F，使得 AF=AB，连结 BF，则F
7、=ABF= BAC.BAC=2BDC，F=BDC.又FEB=DEC，FEB21DEC. = .AE=4，AB=AC=6，EF=10，CE=2. = .BEDE=20.CEBDF2BED1017.如图所示，在平面直角坐标系中，直线 y=-x+3 与 x 轴交于点 C，与直线 AD 交于点 A(， )，点 D 的坐标为（0，1）.345（1）求直线 AD 的函数表达式.（2）直线 AD 与 x 轴交于点 B，若点 E 是直线 AD 上一动点（不与点 B 重合） ，当BOD 与BCE 相似时，求点 E 的坐标.(第 17 题) 图 1 图 2（第 17 题答图）【答案】(1)设直线 AD 的函数表达
8、式为 y=kx+b.将 A（ ， ） ，D（0，1）代入，得345.直线 AD 的函数表达式为 y= x+1.21(2)直线 AD 与 x 轴的交点为（-2，0） ，OB=2.点 D 的坐标为（0，1） ，OD=1.BD= .y=-x+3 与 x 轴交于点 C（3，0） ，OC=3.BC=5.2ODB5如答图 1 所示，当BODBCE 时，则 = ,BCE=BOD=90, = ，解BOE52CE1得 CE= .点 E 的坐标为（3, ）.225如答图 2 所示，当BODBEC 时，则 ,解得 BE=25，CE=5.过点 E 作 EFx 轴于点 F，易知BEFBCE, ，解得 EF=2.CF=
9、=1.OF=2.点 E 的坐标为(2，2).综上可得点 E 的坐标为(3， )或2C 25(2，2）.18.如图所示，在梯形 ABCD 中，ADBC，BCD=90，对角线 AC，BD 交于点 E，且ACBD（1）求证：CD 2=BCAD（2）F 是 BC 边上一点，连结 AF 与 BD 交于点 G，如果BAF=DBF，求证： =BGBD2ADG（第 18 题）【答案】(1)ADBC，BCD=90，ADC=BCD=90.ACBD，ACD+ACB=CBD+ACB=90.ACD=CBD.ACDDBC. =CDA，即 CD2=BCAD.BCD(2)ADBC，ADB=DBF.BAF=DBF，ADB=BA
10、F.ABG=DBA，ABGDBA. .ABGDBA， = .AB 2=BGBD.ABG.（第 19 题）19.【深圳】如图所示，在 RtABC 中，ABC=90，AB=3，BC=4，RtMPN 的直角顶点 P在 AC 上，PM 交 AB 于点 E，PN 交 BC 于点 F，当 PE=2PF 时，AP= 3 .20.【杭州】如图所示，在锐角三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 AC，AB 上，AGBC 于点G，AFDE 于点 F，EAF=GAC.（1）求证：ADEABC.（2）若 AD=3，AB=5，求 的值.AG（第 20 题）【答案】(1)AGBC，AFDE，AFE=AGC=90.EAF
11、=GAC，AED=ACB.又EAD=BAC，ADEABC.(2)由(1)知ADEABC， = = .AFE=AGC,EAF=CAG,EAFABDCE53CAG. = . = .AGFCE5321.尤秀同学遇到了这样一个问题：如图 1 所示，已知 AF，BE 是ABC 的中线，且AFBE，垂足为点 P，设 BC=a，AC=b，AB=c.求证：a 2+b2=5c2.该同学仔细分析后，得到如下解题思路：先连结 EF，利用 EF 为ABC 的中位线得到EPFBPA，故 ，设PF=m，PE=n，用 m，n 把 PA，PB 分别表示出来，再在 RtAPE，RtBPF 中利用勾股定理计算，消去 m，n 即可
12、得证.（1）请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程.（2）利用题中的结论，解答下列问题：在边长为 3 的菱形 ABCD 中，O 为对角线 AC，BD 的交点，E，F 分别为线段 AO，DO 的中点，连结 BE，CF 并延长交于点 M，BM，CM 分别交 AD 于点 G，H，如图 2 所示，求 MG2+MH2的值.图 1 图 2（第 21 题）【答案】(1)设 PF=m，PE=n，连结 EF.AF，BE 是ABC 的中线，EF 为ABC 的中位线，AE= b，BF= a.EFAB，EF= c.EPFBPA.2121PB=2n，PA=2m.在 RtAEP 中，PE 2+PA2=AE2，n 2+4m2= b2.在 RtBFP 中，41PF 2+PB2=BF2，m 2+4n2= a2.+得 5（n 2+m2）= （a 2+b2） ，在 RtEFP 中，41PE 2+PF2=EF2，n 2+m2= c2.5 c2= （a 2+b2）.a 2+b2=5c2.41(2)四边形 ABCD 为菱形，BDAC.E，F 分别为线段 AO，DO 的中点，由(1)的结论得MB2+MC2=5BC2=532=45.AGBC，AEGCEB. .AG=1.同理可得DH=1， GH=1.GH BC， .MB=3MG，MC=3MH.9MG 2+9MH2=45. MG2+MH2=5.