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2018-2019学年浙教版九年级上数学4.5相似三角形的性质及其应用(1)同步导学练(含答案)

1、4.5 相似三角形的性质及其应用(1)相似三角形的对应线段(对应边,对应边上的中线、高线、对应角的平分线)之比等于相似比1.如图所示,ABCD 中,E 是边 BC 上的点,AE 交 BD 于点 F,如果 BEBC=23,那么下列各式错误的是(C).(第 1 题) (第 2 题) (第 3 题) (第 4 题)2.如图所示,在ABC 中,D 论中,正确的是(C).,E 分别为 AB,AC 边上的点,DEBC,点 F 为 BC 边上一点,连结 AF 交 DE 于点 G,则下列结3.如图所示,AB 是O 的直径,过点 O 作 AB 的垂线与弦 AC 交于点 D,连结 BC,若OD=3,O 的半径为

2、4,则 CD 等于(A).A.1.4 B.1.8 C.2.4 D.2.64.如图所示,边长为 12 的正方形 ABCD 中,有一个小正方形 EFGH,其中点 E,F,G 分别在AB,BC,FD 上.若 BF=3,则小正方形的边长为(A).A. B.2 C.4 D.54153(第 5 题) (第 6 题) (第 7 题) (第 8 题)5.如图所示,RtOAB 的顶点与坐标原点重合,AOB=90,AO=3BO,当点 A 在反比例函数y= (x0)的图象上移动时,点 B 坐标满足的函数表达式为(A).9A.y=- (x0) B.y=- (x0)13C.y=- (x0) D.y=- (x0)3916

3、.如图所示,点 D,E 分别在 AB,AC 上,且ABC=AED,若 DE=4,AE=5,BC=8,则 AB 的长为 10 7.如图所示,在ABCD 中,E 是边 BC 上的点,AE 交 BD 于点 F,如果 = ,那么 = DB32CE328.如图所示,已知在ABC 中,AB=3,AC=2,D 是边 AB 上的一点,ACD=B,BAC 的平分线 AQ 分别与 CD,BC 交于点 P,Q,那么 的值为 A329.如图所示,MN 经过ABC 的顶点 A,MNBC,AM=AN,MC 交 AB 于点 D,NB 交 AC 于点 E,连结 DE(第 9 题)(1)求证:DEBC(2)若 DE=1,BC=

4、3,求 MN 的长【答案】(1)MNBC, .AM=AN, = .DEBC.BDAEC(2)DEBC, .MN=2AM=3.10.如图所示,已知矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O,过点 A 作 AGBD 分别交 BD,BC于点 G,E.(1)求证:BE 2=EGEA.(2)连结 CG,若 BE=CE,求证:ECG=EAC.(第 10 题)【答案】(1)四边形 ABCD 是矩形,ABC=90.AEBD,BGE=90=ABC.BEG=AEB,ABEBGE. = .BE 2=EGEA.BEAG(2)由(1)证得 BE2=EGEA,BE=CE,CE 2=EGEA. = .CEG=AEC,CEAC

5、EGAEC.ECG=EAC.11.如图所示,等腰直角三角形 ABC 的直角边长为 3,P 为斜边 BC 上一点,且 BP=1,D 为AC 上一点.若APD=45,则 CD 的长为(C).(第 11 题) (第 12 题) (第 13 题) (第 14题)12.如图所示,D 是等边三角形 ABC 边 AB 上的一点,且 ADDB=12,现将ABC 折叠,使点 C 与 D 重合,折痕为 EF,点 E,F 分别在 AC 和 BC 上,则 CECF 等于(B).13.如图所示,在ABC 中,AB=AC=a,BC=b(ab) ,在ABC 内依次作CBD=A,DCE=CBD,则 DE 等于(C).14.如

6、图所示,在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,过点 A 作 EACA 交 DB 的延长线于点 E,若 AB=3,BC=4,则 的值为 .AEO24715.如图所示,在ABCD 中,过点 A 作 AEBC,垂足为点 E,连结 DE,F 为线段 DE 上一点,且AFE=B.若 AB=5,AD=8,AE=4,则 AF 的长为 2 5(第 15 题) (第 16 题) (第 16 题答图)16.如图所示,在ABC 中,AB=AC=6,A=2BDC,BD 交 AC 边于点 E,且 AE=4,则BEDE= 20 .【解析】如答图所示,延长 CA 到点 F,使得 AF=AB,连结 BF,则F

7、=ABF= BAC.BAC=2BDC,F=BDC.又FEB=DEC,FEB21DEC. = .AE=4,AB=AC=6,EF=10,CE=2. = .BEDE=20.CEBDF2BED1017.如图所示,在平面直角坐标系中,直线 y=-x+3 与 x 轴交于点 C,与直线 AD 交于点 A(, ),点 D 的坐标为(0,1).345(1)求直线 AD 的函数表达式.(2)直线 AD 与 x 轴交于点 B,若点 E 是直线 AD 上一动点(不与点 B 重合) ,当BOD 与BCE 相似时,求点 E 的坐标.(第 17 题) 图 1 图 2(第 17 题答图)【答案】(1)设直线 AD 的函数表达

8、式为 y=kx+b.将 A( , ) ,D(0,1)代入,得345.直线 AD 的函数表达式为 y= x+1.21(2)直线 AD 与 x 轴的交点为(-2,0) ,OB=2.点 D 的坐标为(0,1) ,OD=1.BD= .y=-x+3 与 x 轴交于点 C(3,0) ,OC=3.BC=5.2ODB5如答图 1 所示,当BODBCE 时,则 = ,BCE=BOD=90, = ,解BOE52CE1得 CE= .点 E 的坐标为(3, ).225如答图 2 所示,当BODBEC 时,则 ,解得 BE=25,CE=5.过点 E 作 EFx 轴于点 F,易知BEFBCE, ,解得 EF=2.CF=

9、=1.OF=2.点 E 的坐标为(2,2).综上可得点 E 的坐标为(3, )或2C 25(2,2).18.如图所示,在梯形 ABCD 中,ADBC,BCD=90,对角线 AC,BD 交于点 E,且ACBD(1)求证:CD 2=BCAD(2)F 是 BC 边上一点,连结 AF 与 BD 交于点 G,如果BAF=DBF,求证: =BGBD2ADG(第 18 题)【答案】(1)ADBC,BCD=90,ADC=BCD=90.ACBD,ACD+ACB=CBD+ACB=90.ACD=CBD.ACDDBC. =CDA,即 CD2=BCAD.BCD(2)ADBC,ADB=DBF.BAF=DBF,ADB=BA

10、F.ABG=DBA,ABGDBA. .ABGDBA, = .AB 2=BGBD.ABG.(第 19 题)19.【深圳】如图所示,在 RtABC 中,ABC=90,AB=3,BC=4,RtMPN 的直角顶点 P在 AC 上,PM 交 AB 于点 E,PN 交 BC 于点 F,当 PE=2PF 时,AP= 3 .20.【杭州】如图所示,在锐角三角形 ABC 中,点 D,E 分别在边 AC,AB 上,AGBC 于点G,AFDE 于点 F,EAF=GAC.(1)求证:ADEABC.(2)若 AD=3,AB=5,求 的值.AG(第 20 题)【答案】(1)AGBC,AFDE,AFE=AGC=90.EAF

11、=GAC,AED=ACB.又EAD=BAC,ADEABC.(2)由(1)知ADEABC, = = .AFE=AGC,EAF=CAG,EAFABDCE53CAG. = . = .AGFCE5321.尤秀同学遇到了这样一个问题:如图 1 所示,已知 AF,BE 是ABC 的中线,且AFBE,垂足为点 P,设 BC=a,AC=b,AB=c.求证:a 2+b2=5c2.该同学仔细分析后,得到如下解题思路:先连结 EF,利用 EF 为ABC 的中位线得到EPFBPA,故 ,设PF=m,PE=n,用 m,n 把 PA,PB 分别表示出来,再在 RtAPE,RtBPF 中利用勾股定理计算,消去 m,n 即可

12、得证.(1)请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程.(2)利用题中的结论,解答下列问题:在边长为 3 的菱形 ABCD 中,O 为对角线 AC,BD 的交点,E,F 分别为线段 AO,DO 的中点,连结 BE,CF 并延长交于点 M,BM,CM 分别交 AD 于点 G,H,如图 2 所示,求 MG2+MH2的值.图 1 图 2(第 21 题)【答案】(1)设 PF=m,PE=n,连结 EF.AF,BE 是ABC 的中线,EF 为ABC 的中位线,AE= b,BF= a.EFAB,EF= c.EPFBPA.2121PB=2n,PA=2m.在 RtAEP 中,PE 2+PA2=AE2,n 2+4m2= b2.在 RtBFP 中,41PF 2+PB2=BF2,m 2+4n2= a2.+得 5(n 2+m2)= (a 2+b2) ,在 RtEFP 中,41PE 2+PF2=EF2,n 2+m2= c2.5 c2= (a 2+b2).a 2+b2=5c2.41(2)四边形 ABCD 为菱形,BDAC.E,F 分别为线段 AO,DO 的中点,由(1)的结论得MB2+MC2=5BC2=532=45.AGBC,AEGCEB. .AG=1.同理可得DH=1, GH=1.GH BC, .MB=3MG,MC=3MH.9MG 2+9MH2=45. MG2+MH2=5.