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2021年4月广东省深圳市罗湖区六校联考中考数学质量监测试卷(含答案解析)

1、2021 年广东省深圳市罗湖区六校联考中考数学质量监测试卷(年广东省深圳市罗湖区六校联考中考数学质量监测试卷(4 月份)月份) 一、选择题(本部分共一、选择题(本部分共 10 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 30 分,每小题给出分,每小题给出 4 个选项,其中只有一个是正确的)个选项,其中只有一个是正确的) 1下列各数中最大的一个数是( ) A0.5 B3 C0 D2 2下列几何体的俯视图是三角形的是( ) A B C D 3据报道,2020 年深圳全市战略性新兴产业增加值超过 10200 亿元,较 2019 年增长 3.1%数据 10200 亿 元用科学记数法表示为( ) A10

2、2102亿元 B1.02104亿元 C0.102105亿元 D10.2103亿元 4下列运算中正确的是( ) Aa22a32a6 B (2a2)38a6 C (ab)2a2b2 D3a2+2a21 5下列图形中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( ) A B C D 6若一组数据 x,3,2,6,5,3,4 的中位数是 3,那么 x 的值不可能是( ) A1 B2 C3 D4 7如图,已知直线 ab,将一块含有 30角的三角板 ABC 的一锐角顶点 B 放在直线 a 上,直角顶点 C 放 在直线 b 上,一直角边 AC 与直线 a 交于点 D若145,那么ABD 的度数是( ) A10 B1

3、5 C30 D45 8下列命题中是真命题的是( ) A不等式3x+20 的最大整数解是1 B方程 x23x+40 有两个不相等的实数根 C八边形的内角和是 1080 D三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等 9如图,已知抛物线 L1:yx2+2x+3 与 x 轴交于 A、B 两点,将该抛物线向右平移 n(n0)个单位长 度后得到抛物线 L2,L2与 x 轴交于 C、D 两点,记抛物线 L2的函数表达式为 yf(x) 则下列结论中错 误的是( ) A若 n2,则抛物线 L2的函数表达式为:yx2+6x5 BCD4 C不等式 f(x)0 的解集是 n1xn+3 D对于函数 yf(x) ,当 xn

4、 时,y 随 x 的增大而减小 10 如图, 已知 RtABC 中, ACBC2, ACB90, 将ABC 绕点 A 沿逆时针方向旋转后得到ADE, 直线 BD、CE 相交于点 F,连接 AF则下列结论中: ABDACE;BFC45;F 为 BD 的中点;AFC 面积的最大值为 其中正确的有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题(本题共有二、填空题(本题共有 5 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 15 分)分) 11分解因式:ab24a 12已知 a 是方程 x2+3x40 的根,则代数式 2a2+6a+4 的值是 13有 6 张同样的卡片,卡片上分别写上数字“1

5、921” 、 “1994” 、 “1935” 、 “1949” 、 “1978” 、 “1980” ,将这 些卡片背面朝上,洗匀后随机从中抽出一张,抽到标有的数字是偶数的概率是 14如图,某高为 60 米的大楼 AB 旁边的山坡上有一个“5G”基站 DE,从大楼顶端 A 测得基站顶端 E 的 俯角为 45,山坡坡长 CD10 米,坡度 i1:,大楼底端 B 到山坡底端 C 的距离 BC30 米,则 该基站的高度 DE 米 15如图,已知矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别落在双曲线 y上,顶点 C、D 分别落在 y 轴、x 轴上,双 曲线 y经过 AD 的中点 E,若 OC3,则 k 的值为

6、三、解答题(本题共三、解答题(本题共 7 小题,其中第小题,其中第 16 题题 5 分,第分,第 17 题题 6 分,第分,第 18 题题 8 分,第分,第 19 题题 8 分,第分,第 20 题题 8 分,分, 第第 21 题题 10 分,第分,第 22 题题 10 分,共分,共 55 分)分) 16 (5 分)计算: () 2+| |()02cos30 17 (6 分)先化简,再求值:(1) ,其中 xtan45 18 (8 分)为积极落实市教育局“课后服务”的文件精神,某校积极开展学生课后服务活动为更好了解 学生对课后服务活动的需求,学校随机抽取了部分学生,进行“我最喜欢的课后服务活动”

7、的调查(每 位学生只能选其中一种活动) ,并将调查结果整理后,形成如下两个不完整的统计图: 请根据所给信息解答以下问题: (1)这次参与调查的学生人数为 人; (2)请将条形统计图补充完整; (3)扇形统计图中“社区活动”所在扇形的圆心角度数为 ; (4)若该校共有学生 1800 人,那么最喜欢的课后服务活动是“社团活动”的约有 人 19 (8 分)如图,已知菱形 ABCD 中,分别以 C、D 为圆心,大于CD 的长为半径作弧,两弧分别相交于 M、N 两点,直线 MN 交 CD 于点 F,交对角线 AC 于点 E,连接 BE、DE (1)求证:BECE; (2)若ABC72,求ABE 的度数

8、20 (8 分)五一节前,某商店拟用 1000 元的总价购进 A、B 两种品牌的电风扇进行销售,为更好的销售, 每种品牌电风扇都至少购进 1 台已知购进 3 台 A 种品牌电风扇所需费用与购进 2 台 B 种品牌电风扇所 需费用相同,购进 1 台 A 种品牌电风扇与 2 台 B 种品牌电风扇共需费用 400 元 (1)求 A、B 两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元? (2)销售时,该商店将 A 种品牌电风扇定价为 180 元/台,B 种品牌电风扇定价为 250 元/台,为能在销 售完这两种电风扇后获得最大的利润,该商店应采用哪种进货方案? 21 (10 分)已知O 的直径 AB6,点 C 是

9、O 上一个动点,D 是弦 AC 的中点,连接 BD (1)如图 1,过点 C 作O 的切线交直径 AB 的延长线于点 E,且 tanE; BE ;求证:CDB45; (2)如图 2,F 是弧 AB 的中点,且 C、F 分别位于直径 AB 的两侧,连接 DF、BF在点 C 运动过程中, 当BDF 是等腰三角形时,求 AC 的长 22 (10 分)如图 1,已知抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A(1,0) 、B(3,0)两点,与 y 轴交于点 C, 顶点为点 D (1)求该抛物线的函数表达式; (2)点 E 是点 D 关于 x 轴的对称点,经过点 A 的直线 ymx+1 与该抛物线交于点

10、 F,点 P 是直线 AF 上的一个动点,连接 AE、PE、PB,记PAE 的面积为 S1,PAB 的面积为 S2,那么的值是否是定 值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由 (3)如图 2,设直线 AC 与直线 BD 交于点 M,点 N 是直线 AC 上一点,若ONCBMC,求点 N 的 坐标 2021 年广东省深圳市罗湖区六校联考中考数学质量监测试卷(年广东省深圳市罗湖区六校联考中考数学质量监测试卷(4 月份)月份) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(本部分共一、选择题(本部分共 10 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 30 分,每小题给出分,每小题给出

11、4 个选项,其中只有一个是正确的)个选项,其中只有一个是正确的) 1下列各数中最大的一个数是( ) A0.5 B3 C0 D2 【分析】 有理数大小比较的法则: 正数都大于 0; 负数都小于 0; 正数大于一切负数; 两个负数, 绝对值大的其值反而小,据此判断即可 【解答】解:0.5023, 所给的各数中最大的一个数是 0.5 故选:A 2下列几何体的俯视图是三角形的是( ) A B C D 【分析】俯视图是从物体上面看,所得到的图形 【解答】解:A、该立方体的俯视图是正方形,故本选项不合题意; B、该圆柱的俯视图是圆,故本选项不合题意; C、该圆锥的俯视图是带圆心的圆,故本选项不合题意; D

12、、该三棱柱是俯视图是三角形,故本选项符号题意; 故选:D 3据报道,2020 年深圳全市战略性新兴产业增加值超过 10200 亿元,较 2019 年增长 3.1%数据 10200 亿 元用科学记数法表示为( ) A102102亿元 B1.02104亿元 C0.102105亿元 D10.2103亿元 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式,其中 1|a|10,n 为整数确定 n 的值时,要看把 原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时,n 是正整数;当原数的绝对值1 时,n 是负整数 【解答】解:10200 亿元1.02104亿元 故选

13、:B 4下列运算中正确的是( ) Aa22a32a6 B (2a2)38a6 C (ab)2a2b2 D3a2+2a21 【分析】各式计算得到结果,即可作出判断 【解答】解:A、原式2a5,不符合题意; B、原式8a6,符合题意; C、原式a22ab+b2,不符合题意; D、原式a2,不符合题意 故选:B 5下列图形中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( ) A B C D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解:A既是轴对称图形,又是中心对称图形,故本选项符合题意; B不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项不符合题意; C是轴对称图形,不是中心对称

14、图形,故本选项不符合题意; D不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项不符合题意 故选:A 6若一组数据 x,3,2,6,5,3,4 的中位数是 3,那么 x 的值不可能是( ) A1 B2 C3 D4 【分析】根据一组数据 x,3,2,6,5,3,4 的中位数是 3,可以得到 x 的取值范围,从而可以解答本 题 【解答】解:一组数据 x,3,2,6,5,3,4 的中位数是 3, x 可能为 3 或者是小于 3 的数, x 不可能为 4, 故选:D 7如图,已知直线 ab,将一块含有 30角的三角板 ABC 的一锐角顶点 B 放在直线 a 上,直角顶点 C 放 在直线 b 上,一直角边 A

15、C 与直线 a 交于点 D若145,那么ABD 的度数是( ) A10 B15 C30 D45 【分析】利用平行线的性质得到BDC145,利用三角形外角定理可得 【解答】解:ab, BDC145, BDC 是ABD 的外角, ABDBDCA15, 故选:B 8下列命题中是真命题的是( ) A不等式3x+20 的最大整数解是1 B方程 x23x+40 有两个不相等的实数根 C八边形的内角和是 1080 D三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等 【分析】分别利用不等式的解法、一元二次方程根的判别式、多边形的内角和的求法及三角形的内心的 性质分别判断后即可确定正确的选项 【解答】解:A、不等式3x

16、+20 的最大整数解是 0,故原命题错误,是假命题,不符合题意; B、方程 x23x+40 没有实数根,故原命题错误,是假命题,不符合题意; C、八边形的内角和为 1080,正确,是真命题,符合题意; D、三角形的内心到三角形的三边的距离相等,故原命题错误,是假命题,不符合题意, 故选:C 9如图,已知抛物线 L1:yx2+2x+3 与 x 轴交于 A、B 两点,将该抛物线向右平移 n(n0)个单位长 度后得到抛物线 L2,L2与 x 轴交于 C、D 两点,记抛物线 L2的函数表达式为 yf(x) 则下列结论中错 误的是( ) A若 n2,则抛物线 L2的函数表达式为:yx2+6x5 BCD4

17、 C不等式 f(x)0 的解集是 n1xn+3 D对于函数 yf(x) ,当 xn 时,y 随 x 的增大而减小 【分析】根据函数图象的性质和特点,以及平移的性质逐次求解即可 【解答】解:A当 n2 时,则 y(x2)2+2(x2)+3x2+6x5,故 A 正确,不符合题意; B令 yx2+2x+30,解得 x3 或1,故 AB3(1)4CD,故 B 正确,不符合题意; C由平移的性质知,平移后抛物线和 x 轴交点的坐标为 xn+3 或 n1,从图象看,不等式 f(x)0 的解集是 n1xn+3 正确,不符合题意; D平移后抛物线和 x 轴交点的坐标为 xn+3 或 n1,则抛物线的对称轴为直

18、线 x(n+3+n1) n+1, 故当 xn+1 时,y 随 x 的增大而减小,故 D 错误,符合题意, 故选:D 10 如图, 已知 RtABC 中, ACBC2, ACB90, 将ABC 绕点 A 沿逆时针方向旋转后得到ADE, 直线 BD、CE 相交于点 F,连接 AF则下列结论中: ABDACE;BFC45;F 为 BD 的中点;AFC 面积的最大值为 其中正确的有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】由旋转性质证明ABDACE 即可判断;由ABDACE,可得DBAECA,FGB CGA,进而BFCBAC45即可判断;证明ABD 为等腰三角形即可判断;通过 A、C、

19、B、F 四点共圆,当 F、G、C 三点一线通过圆心 O 的时候,可得AFC 的高最大,从而AFC 的面积最 大,进而判断 【解答】解:由旋转性质可知,ACBCAEDE2,ABAD, DAECAB45, DAE+EABCAB+EAB,即DABEAC 故ABDACE,故正确; 设 AB、CE 交于点 G,如图 由ABDACE,可得DBAECA, 又FGBCGA, BFCBAC45, 故正确; 由BFCBAC45,可知 A、C、B、F 四点共圆, 由圆内接四边形性质知BFA+BCA180, 则BFA90, 又 ABAD,ABD 为等腰三角形, 由三线合一性质知 AF 为 BD 上中线,即 F 为 B

20、D 中点 故正确; 以 AC 作AFC 底边,则 F 到 AC 距离为高,设高为 h, 当 h 最大时,AFC 面积才最大 A、C、B、F 四点共圆,且BCA90, 故 AB 为此圆直径,当 F、G、C 三点一线通过圆心 O 的时候, OF 才最大,即等于圆半径, 此时 h2,故AFC 的面积最大值为 2, 故错误 故正确的一共有 3 个, 故选:C 二、填空题(本题共有二、填空题(本题共有 5 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 15 分)分) 11分解因式:ab24a a(b2) (b+2) 【分析】先提取公因式 a,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 【解答】解:ab24a

21、a(b24) a(b2) (b+2) 故答案为:a(b2) (b+2) 12已知 a 是方程 x2+3x40 的根,则代数式 2a2+6a+4 的值是 12 【分析】把 xa 代入已知方程,得到 a2+3a4,然后代入所求的代数式进行求值即可 【解答】解:a 是方程 x2+3x40 的根, a2+3a40, a2+3a4, 2a2+6a+42(a2+3a)+424+412 故答案为:12 13有 6 张同样的卡片,卡片上分别写上数字“1921” 、 “1994” 、 “1935” 、 “1949” 、 “1978” 、 “1980” ,将这 些卡片背面朝上,洗匀后随机从中抽出一张,抽到标有的数

22、字是偶数的概率是 【分析】直接利用概率公式计算可得 【解答】解:6 张卡片中偶数有 3 个, 洗匀后随机从中抽出一张,抽到标有的数字是偶数的概率是, 故答案为: 14如图,某高为 60 米的大楼 AB 旁边的山坡上有一个“5G”基站 DE,从大楼顶端 A 测得基站顶端 E 的 俯角为 45,山坡坡长 CD10 米,坡度 i1:,大楼底端 B 到山坡底端 C 的距离 BC30 米,则 该基站的高度 DE (255) 米 【分析】 过 C 作 CHDE 交 ED 的延长线于 H, 在 RtCDH 中, 根据三角函数的定义得到DCH30, 求得 DHCD5(m) ,CHCD5(m) ,得到 BHBC

23、+DH(30+5) (m) ,过 E 作 EF AB 于 F,根据直角三角形性质和矩形的性质即可得到结论 【解答】解:过 C 作 CHDE 交 ED 的延长线于 H, 在 RtCDH 中, tanDCH1:, DCH30, CD10 米, DHCD5(m) ,CHCD5(m) , BHBC+DH(30+5) (m) , 过 E 作 EFAB 于 F, 则 EFBH(30+5)m,BFEH, 在 RtAEF 中,AEF45, AFEF(30+5)m, AB60m, BFEH(305)m, DEEHDH(255) (m) 故答案为: (255)m 15如图,已知矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别

24、落在双曲线 y上,顶点 C、D 分别落在 y 轴、x 轴上,双 曲线 y经过 AD 的中点 E,若 OC3,则 k 的值为 2 【分析】设 A 点坐标为(a,b) ,则 kab,用 a、b 的代数式表示 B、C、D、E 坐标,根据双曲线 y 经过 AD 的中点 E,列方程求出 b2,再由矩形 ABCD 对角线相等列方程求出 a,即可得 A 坐标,从而 求出 k 【解答】解:设 A 点坐标为(a,b) ,则 kab,y,如图, 过点 A 作 AMx 轴于点 M,过点 B 作 BNy 轴于点 N,过点 E 作 EFx 轴于点 F, 四边形 ABCD 是矩形, ADBC,ADM+CDO90,BCN+

25、DCO90, CDO+DCO90, ADM+BCN90, ADM+DAM90, BCNDAM, 在ADM 和CBN 中, , ADMCBN(AAS) , CNAMb,BNMD, OC3, ON3b,即 yBb3,且 B 在 y图象上, B(,b3) , BNDM|xB|, 点 E 是 AD 的中点, MF,OFa+,ODa+, E(a+,b) , 双曲线 y经过 AD 的中点 E, (a+) bab,解得 b2, A(a,2) ,B(2a,1,D(3a,0) , 而 C(0,3) ,且矩形 ABCD 有 ACBD, (a0)2+(2+3)2(2a3a)2+(10)2, 解得 a1 或 a1(舍

26、去) , A(1,2) ,代入 y得:k2 故答案为:2 三、解答题(本题共三、解答题(本题共 7 小题,其中第小题,其中第 16 题题 5 分,第分,第 17 题题 6 分,第分,第 18 题题 8 分,第分,第 19 题题 8 分,第分,第 20 题题 8 分,分, 第第 21 题题 10 分,第分,第 22 题题 10 分,共分,共 55 分)分) 16 (5 分)计算: () 2+| |()02cos30 【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值,然后计算乘法,最后从左 向右依次计算,求出算式的值是多少即可 【解答】解: () 2+| |()02cos30 4

27、+12 3+ 3 17 (6 分)先化简,再求值:(1) ,其中 xtan45 【分析】 根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子, 然后将 x 的值代入化简后的式子即可解答本题 【解答】解:(1) , 当 xtan451 时,原式1 18 (8 分)为积极落实市教育局“课后服务”的文件精神,某校积极开展学生课后服务活动为更好了解 学生对课后服务活动的需求,学校随机抽取了部分学生,进行“我最喜欢的课后服务活动”的调查(每 位学生只能选其中一种活动) ,并将调查结果整理后,形成如下两个不完整的统计图: 请根据所给信息解答以下问题: (1)这次参与调查的学生人数为 50 人; (2)请将条形统计图

28、补充完整; (3)扇形统计图中“社区活动”所在扇形的圆心角度数为 54 ; (4)若该校共有学生 1800 人,那么最喜欢的课后服务活动是“社团活动”的约有 540 人 【分析】 (1)根据参加社团活动的人数和所占的百分比,可以计算出这次参与调查的学生人数; (2)根据(1)中的结果和条形统计图中的数据,可以计算出参加体育活动的人数,然后即可将条形统 计图补充完整; (3)根据统计图中的数据,可以计算出扇形统计图中“社区活动”所在扇形的圆心角度数; (4) 根据参加社团活动所占的百分比, 可以计算出最喜欢的课后服务活动是 “社团活动” 的约有多少人 【解答】解: (1)由图可得, 这次参与调查

29、的学生人数为:1830%60, 故答案为:60; (2)参加体育活动的有:6018915612(人) , 补充完整的条形统计图如右图所示; (3)扇形统计图中“社区活动”所在扇形的圆心角度数为:36054, 故答案为:54; (4)180030%540(人) , 即最喜欢的课后服务活动是“社团活动”的约有 540 人, 故答案为:540 19 (8 分)如图,已知菱形 ABCD 中,分别以 C、D 为圆心,大于CD 的长为半径作弧,两弧分别相交于 M、N 两点,直线 MN 交 CD 于点 F,交对角线 AC 于点 E,连接 BE、DE (1)求证:BECE; (2)若ABC72,求ABE 的度

30、数 【分析】 (1)利用全等三角形的性质证明 EBED,再利用线段的垂直平分线的性质证明 ECED,可 得结论 (2)利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理解决问题即可 【解答】 (1)证明:四边形 ABCD 是菱形, CBCD,ACBACD, 在ECB 和ECD 中, , ECBECD(SAS) , BEDE, 由作图可知,MN 垂直平分线段 CD, ECED, BECE (2)解:BABC,ABC72, BACBCA(18072)54, EBEC, EBCECB54, ABEABCEBC18 20 (8 分)五一节前,某商店拟用 1000 元的总价购进 A、B 两种品牌的电风扇进行销售,

31、为更好的销售, 每种品牌电风扇都至少购进 1 台已知购进 3 台 A 种品牌电风扇所需费用与购进 2 台 B 种品牌电风扇所 需费用相同,购进 1 台 A 种品牌电风扇与 2 台 B 种品牌电风扇共需费用 400 元 (1)求 A、B 两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元? (2)销售时,该商店将 A 种品牌电风扇定价为 180 元/台,B 种品牌电风扇定价为 250 元/台,为能在销 售完这两种电风扇后获得最大的利润,该商店应采用哪种进货方案? 【分析】 (1)根据题意和题目中的数据,可以列出相应的二元一次方程组,从而可以计算出 A、B 两种 品牌电风扇每台的进价分别是多少元; (2)根据题

32、意和(1)中的结果,可以写出利润与购进 A 和 B 两种品牌的电风扇数量的函数关系式,再 根据某商店拟用 1000 元的总价购进 A、B 两种品牌的电风扇进行销售,为更好的销售,每种品牌电风扇 都至少购进 1 台,可以写出相应的方案,再分别计算出各种方案下的利润,即可得到获得最大利润的方 案 【解答】解: (1)设 A、B 两种品牌电风扇每台的进价分别是 x 元、y 元, , 解得, 答:A、B 两种品牌电风扇每台的进价分别是 100 元、150 元; (2)设购进 A 种品牌的电风扇 a 台,购进 B 种品牌的电风扇 b 台,利润为 w 元, w(180100)a+(250150)b80a+

33、100b, 某商店拟用 1000 元的总价购进 A、B 两种品牌的电风扇进行销售,为更好的销售,每种品牌电风扇都 至少购进 1 台, 100a+150b1000 且 a1,b1, 2a+3b20(a1,b1) , 或或, 当 a1,b6 时,w801+1006680, 当 a4,b4 时,w804+1004720, 当 a7,b2 时,w807+1002760, 由上可得,当 a7,b2 时,w 取得最大值, 答:为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润,该商店应采用购进 A 种品牌的电风扇 7 台,购进 B 种品牌的电风 2 台 21 (10 分)已知O 的直径 AB6,点 C 是O 上一个

34、动点,D 是弦 AC 的中点,连接 BD (1)如图 1,过点 C 作O 的切线交直径 AB 的延长线于点 E,且 tanE; BE 2 ;求证:CDB45; (2)如图 2,F 是弧 AB 的中点,且 C、F 分别位于直径 AB 的两侧,连接 DF、BF在点 C 运动过程中, 当BDF 是等腰三角形时,求 AC 的长 【分析】 (1)连接 OC,由锐角三角函数的定义求出 CE 的长,由勾股定理求出 OE 的长,则可得出答 案; 连接 OC,BC,取 AE 的中点,连接 DM,由三角形中位线定理得出 DMCE2BE,DMCE, 证明AMDCEB(SAS) ,由全等三角形的性质得出 ADBC,根

35、据直角三角形的性质可得出答案; (3)由直角三角形的性质求出 AFBF3,分三种情况:若 BDBF3,连接 BC,若 BF DF3,连接 FA,FC,过点 F 作 FGAC 于点 G,若 DFBD,过点 D 作 DNBF 于点 N,连 接 ON,AF,BC,分别由勾股定理及直角三角形的性质可得出答案 【解答】解: (1)连接 OC,如图 1, CE 是O 的切线, OCCE, OCE90, tanE,AB6, ,OC3, CE4, OE5, BEOEBO532, 故答案为:2 如图 2,连接 OC,BC,取 AE 的中点,连接 DM, D 为 AC 的中点,M 为 AE 的中点, DM 为AC

36、E 的中位线, DMCE2BE,DMCE, AMDCEB, AMAE4CE, AMDCEB(SAS) , ADBC, ADCD, CDBC, AB 是O 的直径, ACB90, CDB45; (2)解:连接 AF, F 为弧 AB 的中点,AB 是O 的直径, AFBF,AFB90, ABF45,AFBFAB3 若 BDBF3,连接 BC, AB 是O 的直径, ACB90, BC2AB2AC2BD2CD2,且 CDAC, 62AC2, AC2; 若 BFDF3,连接 FA,FC,过点 F 作 FGAC 于点 G, AFDF, DGAD, ACFABF45, CFFG, 设 DGx,则 CDA

37、D2x,FGCGDG+CD3x, FG2+DG2DF2, x2+(3x)2, 解得 x, AC4x; 若 DFBD,过点 D 作 DNBF 于点 N,连接 ON,AF,BC, N 为 BF 的中点, ONBF, 点 O 在 DN 上, D 为 AC 的中点, ODAC,即 DNAC, AB 是O 的直径, AFB90, 四边形 ADNF 是矩形, ADNF, ACBF3, 综合上述可得,AC 的长为 2或或 3 22 (10 分)如图 1,已知抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A(1,0) 、B(3,0)两点,与 y 轴交于点 C, 顶点为点 D (1)求该抛物线的函数表达式; (2)

38、点 E 是点 D 关于 x 轴的对称点,经过点 A 的直线 ymx+1 与该抛物线交于点 F,点 P 是直线 AF 上的一个动点,连接 AE、PE、PB,记PAE 的面积为 S1,PAB 的面积为 S2,那么的值是否是定 值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由 (3)如图 2,设直线 AC 与直线 BD 交于点 M,点 N 是直线 AC 上一点,若ONCBMC,求点 N 的 坐标 【分析】 (1)把点 A 和点 B 的坐标代入抛物线的解析式即可; (2)分别过点 B,E 作 BGy 轴,EHy 轴,与 AF 交于点 G,H,利用铅垂法分别表示PAE 的面积 和PAB 的面积,再求比值

39、即可; (3)过点 B 作 BPAC 于点 P,作BTCBMC,过点 O 作 ONBT 交 AC 于点 N,利用等腰三角形 的性质,先求出BTCBMC 时,直线 BT 的解析式,利用 ONBT 求出点 N 的坐标 【解答】解: (1)由题意可得, 解得, 抛物线的解析式为:yx22x3; (2)由(1)知,D(1,4) ,C(0,3) , E(1,4) , 直线 ymx+1 过点 A(1,0) , 直线 AF:yx+1, 如图 1,分别过点 B,E 作 BGy 轴,EHy 轴,与 AF 交于点 G,H, S1(xPxA) EH,S2(xPxA) BG , B(3,0) , G(3,4) ,BG

40、4, E(1,4) , H(1,2) ,EH2, , 的值是一个定值,这个定值为; (3)如图 2,过点 B 作 BPAC 于点 P,作BTCBMC,过点 O 作 ONBT 交 AC 于点 N, ONCBTCBMC, BTBM,点 P 是点 T,点 M 的中点, A(1,0) ,C(0,3) , 直线 AC:y3x3, BPAC,B(3,0) , 直线 BP:yx1, 联立,解得, P(,) , B(3,0) ,D(1,4) , 直线 BD:y2x6, 联立,解得, M(,) , 由中点坐标公式可得,T(,) , 设直线 BT 的解析式为 ykx+b, ,解得, yx+, 直线 ON 的表达式为:yx, 联立,解得, N(,)