1、4.3 相似三角形对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似，反之，相似三角形的对应角相等，对应边成比例.相似三角形对应边的比叫做相似比1.如图所示，若ABCDEF，则E 的度数为(C).A.28 B.32 C.42 D.52(第 1 题) （第 3 题） （第 4 题）2.如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是 3，4 及 x，那么 x 的值为(C).A. B.5 C 或 5 D.无数个773.如图所示，在ABC 中，点 D 在线段 BC 上，且ABCDBA，则下列结论中，一定正确的是(A).A.AB2=BCBD B.AB 2=ACBDC.ABAD
2、=BDBC D.ABAD=ADCD4.如图所示，在ABCD 中，AB=10，AD=6，E 是 AD 的中点，在 AB 上取一点 F，使CBFCDE，则 BF 的长是(D).A.5 B.8.2 C.6.4 D.1.85.已知ABC 的三边长是 ， ，2，DEF 的两边长分别是 1 和 3，如果ABC 与6DEF 相似，那么DEF 的第三边长应该是 .6.如图所示，在ABC 中，AB=8，AC=6，D 是线段 AC 的中点，点 E 在线段 AB 上，且ADEABC，则 AE= 49（第 6 题） （第 7 题）7.如图所示，ACB=ADC=90，AB=5，AC=4，若ABCACD，则 AD= 51
3、68.如图所示，AD=2，AC=4，BC=6，B=36，D=107，ABCDAC.求：（第 8 题）（1）AB 的长（2）CD 的长（3）BAD 的大小【答案】(1)ABCDAC, ,解得 AB=3.(2)ABCDAC, ，解得 CD= .38(3)ABCDAC,B=DAC,BAC=D.又B=36,D=107,BAD=BAC+DAC=107+36=143.9.如图所示，在ABC 中，AD 平分BAC 交 BC 于点 D.点 E，F 分别在 AB，AC 上，BE=AF，FGAB 交线段 AD 于点 G，连结 BG，EF（1）求证：四边形 BGFE 是平行四边形（2）若ABGAGF，AB=10，A
4、G=6，求线段 BE 的长（第 9 题）【答案】(1)FGAB，BAD=AGF.BAD=GAF，AGF=GAF，AF=GF.BE=AF，FG=BE.FGBE，四边形 BGFE 为平行四边形.(2)BE=3.6.10.已知ABC 和DEF 相似，且ABC 的三边长为 3，4，5，如果DEF 的周长为 6，那么DEF 中某条边的边长不可能是(D).A.1.5 B.2 C.2.5 D.311.如图所示，点 A，B，C，D 的坐标分别是（1，7） ， （1，1） ， （4，1） ， （6，1） ，以C，D，E 为顶点的三角形与ABC 相似，则点 E 的坐标不可能是(B).A.(6，0） B.（6，3）
5、 C.（6，5） D.（4，2）（第 11 题） （第 12 题） （第 13 题） （第 14 题）12.如图所示，在钝角三角形 ABC 中，AB=6cm，AC=12cm，动点 D 从点 A 出发到点 B 止，动点 E 从点 C 出发到点 A 止.点 D 运动的速度为 1cm/s，点 E 运动的速度为 2cm/s.如果两点同时运动，那么当以点 A，D，E 为顶点的三角形与ABC 相似时，运动的时间是(A).A.3s 或 4.8s B.3s C.4.5s D.4.5s 或 4.8s13.如图所示，在ABC 中，C=90，AC=3，BC=6，D 为 BC 中点，E 是线段 AB 上一动点，若BD
6、EBAC，则 BE= 5614.如图所示，在长方形 ABCD 中，AB=4，AD=3，E 是 AB 边上一点（不与点 A，B 重合） ，F是 BC 边上一点（不与点 B，C 重合）.若DEF 和BEF 是相似三角形，则 CF= 或 35215.如图所示，已知ABGFBD，F 是 AB 的中点，求证： = CDE（第 15 题）【答案】ABGFBD，G=BDF.DFAG.F 是 AB 的中点，DF 是ABG 的中位线.BD=DG.又DFAG， = . = .CDGEABC16.如图所示，点 C，D 在线段 AB 上，PCD 是等边三角形，且ACPPDB（第 16 题）（1）求APB 的大小（2）
7、说明线段 AC，CD，BD 之间的数量关系【答案】(1)PCD 是等边三角形，PCD=60.ACP=120.ACPPDB，APC=B.APC+CPB=B+CPB.APB=ACP=120.(2)ACPPDB，ACPD=PCBDPDPC=ACBD.PCD 是等边三角形，PC=PD=CD.CD 2=ACBD.17.如图所示，已知，在平面直角坐标系中有四点：A（-2，4） ，B（-2，0） ，C（2，-3） ，D（2，0） ，设 P 是 x 轴上的点，且 PA，PB，AB 所围成的三角形与 PC，PD，CD 所围成的三角形相似，请求出所有符合上述条件的点 P 的坐标（第 17 题） 图 1 图 2 图
8、 3（第 17 题答图）【答案】设 OP=x（x0）.(1)如答图 1 所示，若点 P 在 AB 的左边，有两种可能：若ABPPDC，则 PBCD=ABPD，（x-2）3=4（x+2） ，解得 x=4.点 P的坐标为（-4，0）.若ABPCDP，则 ABCD=PBPD，43=（x-2）（x+2）,解得 x=-14.不存在.(2)如答图 2所示，若点 P在 AB与 CD之间，有两种可能：若ABPCDP，则 ABCD=BPPD，43=（x+2）（2-x）, 解得 x= .点 P的72坐标为（ ，0）.7若ABPPDC，则 ABPD=BPCD，4（2-x）=（x+2）3，方程无解.(3)如答图 3所
9、示，若点 P在 CD的右边，有两种可能：若ABPCDP，则 ABCD=BPPD，43=（2+x）（x-2）.x=14.点 P的坐标为（14，0）.若ABPPDC，则 ABPD=BPCD，4（x-2）=（x+2）3，x=4 或 x=-4(舍去).点 P的坐标为（4，0）.综上所述，点 P的坐标为（ ，0） ， （14，0） ， （4，0） ， （-4，0）.7218.【曲靖】如图所示，若ADEACB，且 =23，DE=10，则 BC= 15 .ACD（第 18题） （第 19题）19.【齐齐哈尔】经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个三角形是等腰三角形，另
10、外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”.如图所示，线段 CD是ABC 的“和谐分割线” ，ACD 为等腰三角形，CBD 和ABC 相似，A=46，则ACB 的度数为 113或 92 .20.如图所示，已知ABCA 1B1C1，相似比为 k（k1） ，且ABC 的三边长分别为a，b，c（abc） ，A 1B1C1的三边长分别为 a1，b 1，c 1（1）若 c=a1，求证：a=kc（2）若 c=a1，试给出两组正整数 a，b，c 和 a1，b 1，c 1使得ABC 和A1B1C1相似，并加以说明（3）若 b=a1，c=b 1，是否存在ABC 和A 1B1C1使得 k=2？请说明理由（第 20题）【答案】(1)ABCA 1B1C1，且相似比为 k（k1） ， =k，即1aa=ka1.c=a 1，a=kc.(2)取 a=8，b=6，c=4，同时取 a1=4，b 1=3，c 1=2.此时 = = =2，ABCA 1B1C11b1c且 c=a1.(3)不存在这样的ABC 和A 1B1C1.理由如下：若 k=2，则a=2a1，b=2b 1，c=2c 1.b=a 1，c=b 1，a=2a 1=2b=4b1=4c.b=2c.b+c=2c+c4c.4c=a，b+ca，与 b+ca 矛盾.故不存在这样的ABC 和A 1B1C1.