1、2021 年天津市河北区中考数学一模试卷年天津市河北区中考数学一模试卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1 计算23的结果是（ ） A8 B6 C8 D6 【考点】有理数的乘方 【专题】常规题型 【答案】C 【分析】23表示 2 的 3 次方的相反数 【解答】解：238 故选：C 2 计算 2sin60的值为（ ） A B C1 D 【考点】特殊角的三角函数值 【专题】实数；运算能力 【答案】A 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案 【解答】解：2sin602 故选：A 3 截止北京时间 2021
2、 年 3 月 5 日，中国电影你好，李焕英票房收入已经突破 48 亿元将 4800000000 用科学记数法表示应为（ ） A0.481010 B4.8109 C4.8108 D48108 【考点】科学记数法表示较大的数 【专题】实数；数感 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：48000000004.8109 故选：B 4 下列数学符号中，不是中心对称图形的是（
3、 ） A B C D 【考点】中心对称图形 【专题】平移、旋转与对称；几何直观 【答案】D 【分析】利用中心对称图形的定义可得答案 【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是中心对称图形，故此选项不合题意； D、不是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D 5 如图，几何体的左视图是（ ） A B C D 【考点】简单组合体的三视图 【专题】投影与视图；空间观念 【答案】C 【分析】根据左视图是从物体左面看所得到的图形即可解答 【解答】解：从物体的左面看得，底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形 故选：C 6 估计 2的值在（ ）
4、A1 和 2 之间 B2 和 3 之间 C3 和 4 之间 D4 和 5 之间 【考点】估算无理数的大小 【答案】C 【分析】把 2平方，然后确定平方在哪两个整数的平方之间即可 【解答】解：（2）212，91216， 324 故选：C 7 方程组的解是（ ） A B C D 【考点】解二元一次方程组 【专题】计算题；一次方程（组）及应用 【答案】A 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可 【解答】解：， +得：3x6， 解得：x2， 把 x2 代入得：y1， 则方程组的解为， 故选：A 8 如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的顶点 A 在 y 轴上，已知 B（3，0） 、C（2，0）
5、，则点 D 的坐 标为（ ） A （4，5） B （5，4） C （5，3） D （4，3） 【考点】坐标与图形性质；菱形的性质 【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力 【答案】B 【分析】首先根据菱形的性质和点的坐标求出 ADABBC5，再利用勾股定理求出 OA 的长度，进而 得到点 D 的坐标 【解答】解：菱形 ABCD 的顶点 A 在 y 轴上，B（3，0） ，C（2，0） ， ABADBC，OB3，OC2， ABADBCOB+OC5， ADABCD5， OA4， 点 D 的坐标为（5，4） 故选：B 9 化简的结果是（ ） Aa2b2 B1 Cab Da+b 【考
6、点】分式的加减法 【专题】计算题；分式 【答案】D 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案 【解答】解：原式， 故选：D 10 若两个点（x1，2） ， （x2，4）均在反比例函数 y的图象上，且 x1x2，则 k 的值可以是（ ） A2 B4 C5 D6 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【专题】反比例函数及其应用；推理能力 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质得出 k40，解得即可 【解答】解：两个点（x1，2） ， （x2，4）中的24，x1x2， 反比例函数 y的图象经过第二、四象限， k40， 解得 k4 观察各选项，只有选项 A 符合题意 故选：A 11 如图，在 RtAB
7、C 中，ACB90，AC5，BC8，点 D 是边 BC 的中点，点 E 是边 AB 上的任意一 点 （点 E 不与点 B重合） ， 沿 DE翻折DBE 使点 B落在点 F处， 连接 AF， 则线段 AF 长的最小值是 （ ） A2 B4 C3 D34 【考点】勾股定理；翻折变换（折叠问题） 【专题】作图题；几何变换；应用意识 【答案】B 【分析】由题知点 F 在以 D 为圆心，BD 为半径的圆上，连接 AD 交圆于点 F，此时 AF值最小，求出 AF 值即可 【解答】解：由题知 CDDFDB， 点 F 在以 D 为圆心，以 BD 为半径的圆上，作D，连接 AD 交圆于 F，此时 AF 值最小，
8、 AC5，BC8，ACB90， CDBC84， AD， AFADDFADCD4， 即 AF 最小值为4， 故选：B 12 已知抛物线 yax2+bx+c（a，b，c 为常数，且 a0）的图象如图所示，有下列结论： ba； 若1mn1，则 m+n； 3|a|+|c|2|b| 其中，正确结论的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 【考点】二次函数图象与系数的关系 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力 【答案】D 【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴即可判断；根据根与系数的关系即可判断；根据对称轴和 当 x1 时，函数值的符号即可判断 【解答】解：抛物线开口向下， a0， 0， b0，
9、ba，故正确； 设二次函数与 x 轴的两个交点的横坐标是 x1和 x2，x1x2，则 x1+x2m+n， x1+x2， m+n，故正确； 1，a0， b2a， 2a+b0， x1 时，ya+b+c0， 3a+2b+c0， 3ac2b， a0，c0，b0， 3a|3a|，c|c|，2b|2b|， 3|a|+|c|2|b|，故正确， 故选：D 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分. 13 计算 x6x2的结果是 【考点】同底数幂的乘法 【专题】整式；运算能力 【答案】x8 【分析】根据同底数幂的乘法法则，求出 x6x2的结果是多少即可 【解答】解：x6x2x8 故答案为：x
10、8 14 计算： （2+3） （23） 【考点】二次根式的混合运算 【专题】计算题 【答案】见试题解答内容 【分析】利用平方差公式计算 【解答】解：原式（2）232 129 3 故答案为 3 15 从一副没有“大小王”的扑克牌中随机地抽取一张，点数为“5”的概率是 【考点】概率公式 【答案】见试题解答内容 【分析】随机地抽取一张，总共有 52 种情况，其中点数是 5 有四种情况根据概率公式进行求解 【解答】解：点数为“5”的概率是 16 将直线 y2x 先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到的直线解析式是 【考点】一次函数图象与几何变换 【专题】一次函数及其应用；应用意识 【答案】
11、y2x+4 【分析】根据平移的性质“左加右减，上加下减” ，即可找出平移后的直线解析式，此题得解 【解答】解：将直线 y2x 先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到 y2（x1）+2，即 y 2x+4， 故答案为 y2x+4 17 已知：如图，在正方形 ABCD 外取一点 E，连接 AE，BE，DE过点 A 作 AE 的垂线 AP 交 DE 于点 P若 AEAP1，PB，则 PD 的长为 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质 【专题】矩形 菱形 正方形；应用意识 【答案】2 【分析】先证APDAEB，再证BEP 为直角三角形，根据勾股定理求出 BE 即求出 PD 【解答】解
12、：四边形 ABCD 是正方形， ADAB，BAD90， BAP+DAP90， APAE， PAE90， BAP+BAE90， BAEDAP， 在APD 和AEB 中， ， APDAEB（SAS） ， PDBE，ADPABE， ADP+PDC90， 在四边形 BCDE 中， C+CDE+BED+ABE+ABC360， C+CDE+ABE+ABCC+ADC+ABC270， DEB90， EBDE， BEP90， 又PB， PE， BE2， PD2， 故答案为 2 18 如图 1，将ABC 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A、B、C 均落在格点上 （）线段 AB 的长为 ； （）点 P
13、是线段 AC 上的动点，当 AP+PB 最短时，请你在图 2 所示的网格中，用无刻度的直尺画 出点 P 的位置（保留画图痕迹） ，并简要说明画图的方法（不要求证明） 【考点】勾股定理；作图复杂作图 【专题】作图题；几何直观 【答案】 （） （）作图见解析部分 【分析】 （）利用勾股定理求解即可 （）取格点 M，连接 CM，取 CM 的中点 J，连接 AJ，取格线的中点 K，连接 BK（BKAJ） ，交 AC 于 P，交 AJ 于 I，点 P 即为所求作 【解答】解： （）线段 AB 的长 故答案为： （）如图，点 P 即为所求作 步骤：取格点 M，连接 CM，取 CM 的中点 J，连接 AJ，
14、取格线的中点 K，连接 BK（BKAJ） ，交 AC 于 P，交 AJ 于 I，点 P 即为所求作 此时 AP+BP（+PB）（PI+PB）BI 故答案为：取格点 M，连接 CM，取 CM 的中点 J，连接 AJ，取格线的中点 K，连接 BK（BKAJ） ，交 AC 于 P，交 AJ 于 I，点 P 即为所求作 三.解答题：本大题共 7 小题，共 66 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 19 解不等式组 请结合解题过程，完成本题的解答 （）解不等式，得 ； （）解不等式，得 ； （）把不等式和的解集在数轴上表示出来； （）原不等式组的解集为 【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元
15、一次不等式组 【专题】一元一次不等式(组)及应用；运算能力 【答案】 （）x1； （）x2； （）见解答； （）1x2 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小 找不到确定不等式组的解集 【解答】解： （）解不等式，得 x1； （）解不等式，得 x2； （）把不等式和的解集在数轴上表示出来，如下： （）原不等式组的解集为1x2， 故答案为：x1，x2，1x2 20 某校组织学生参加“希望工程”捐书活动为了解学生所捐书本数情况，随机调查了该校的部分学生， 根据调查结果，绘制了统计图和图请根据相关信息，解答下列问题： （）本次接受调查的学生人数为
16、，图中 m 的值为 ； （）求统计的这组学生所捐书本数据的平均数、众数和中位数； （）根据统计的这组学生所捐书本数的样本数据，若该校共有 1200 名学生，估计该校所捐书本数不低 于 3 本的学生人数 【考点】用样本估计总体；条形统计图；加权平均数；中位数；众数 【专题】统计的应用；应用意识 【答案】 （1）50，16； （2）平均数是 3.34 本，众数是 4 本，中位数是 3.5 本； （3）888 人 【分析】 （1）计算各组频数的和即可求出本次接受调查的学生人数，根据各组频率之和等于单位“1”即 可确定 m 的值； （2）根据平均数、众数、中位数的意义和计算方法，分别求出结果即可； （
17、3）用该校学生总数乘以样本中所捐书本数不低于 3 本的学生所占的百分比，即可求出答案 【解答】解： （1）5+8+12+15+1050（人） ， 1（10%+24%+30%+20%）16%，即 m16， 故答案为：50，16； （2）110%+216%+324%+430%+520%3.34（本） ， 捐 4 本的出现次数最多，因此众数是 4 本， 将这 50 个数据从小到大排列后，处在中间位置的两个数分别是 3，4，因此中位数是 3.5 本， 答：这组数据的平均数是 3.34 本，众数是 4 本，中位数是 3.5 本； （3）1200（110%16%）888（人） ， 答：该校所捐书本数不低于
18、 3 本的学生大约有 888 人 21 已知点 A，B，C 是O 上的三个点，AOB120 （）如图，若 ACBC，求C 和CAO 的大小； （）如图，过点 C 作O 的切线，交 BA 的延长线于点 D，若 ACAD，求CAO 的大小 【考点】圆周角定理；切线的性质 【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力 【答案】 （）30； （）50 【分析】 （）连接 OC，由圆周角定理及等腰三角形的性质可得出答案； （）连接 OC 并延长交O 于点 E，连接 AE，由切线的性质及圆周角定理得出ACDE，由等腰 三角形的性质得出ACDD，得出DABCAEC，由三角形内角和定理求
19、出OBC10， 求出DABCACD40，则可得出答案 【解答】解： （）连接 OC， AOB120， ACBAOB60， ACBC， AOCBOC， AOC120， OAOC， CAOACO， CAO（180AOC）30； （）连接 OC 并延长交O 于点 E，连接 AE， OAOB，AOB120， OBA30， CD 是O 的切线， CECD， ACE+ACD90， CE 为O 的直径， DCE90， ACE+E90， ACDE， ACAD， ACDD， DABCAEC， 设OBCx，则ABC30+x， OBOC， OBCOCBx， 在BCD 中，D+ABC+DCB180， 30+x+30+
20、x+90+x180， x10， OBC10， DABCACD40， ACOCAO90ACD904050 22 小明测量一古塔的高度首先，小明在古塔前方 C 处测得塔顶端 A 点的仰角为 22，然后，小明往古塔 方向前进 30 米至 E 处，测得塔顶端 A 点的仰角为 31，已知，小明的眼睛距离地面的高度 CDEF 1.7m已知点 B、E、C 在一条直线上，ABBC，EFBC，CDBC，测量示意图如图所示，请帮小明 求出该古塔的高度 AB（结果取整数） （参考数据：sin220.37，cos220.93，tan220.40，sin310.52，cos310.86，tan31 0.60） 【考点】
21、解直角三角形的应用仰角俯角问题 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力 【答案】约为 38m 【分析】过 D 作 DMAB 于 M，在 RtAMD 中，由锐角三角函数定义可得 MF，再在 RtAMF 中，由 锐角三角函数定义可得 AM，进而可得古塔的高度 AB 【解答】解：如图，过 D 作 DMAB 于 M， CDEF1.7m， 点 F 在 DM 上，MB1.7m，MFBE，FDCE30m， 在 RtAMD 中，tanADMtan220.40， 即0.40， MFAM30， 在 RtAMF 中，tanAFMtan310.60， MFAM， AM30AM， AM36（m） ， ABAM
22、+MB36+1.738（m） ， 答：古塔的高度 AB 约为 38m 23 已知小明的家、 体育场、 文化宫在同一直线上， 下面的图象反映的过程是： 小明早上从家跑步去体育场， 在那里锻炼了一阵后又走到文化宫去看书画展览，然后散步回家图中 x 表示时间（单位是分钟） ，y 表 示到小明家的距离（单位是千米） 请根据相关信息，解答下列问题： （）填表： 小明离开家的时间/min 5 10 15 30 45 小明离家的距离/km 1 （）填空： （i）小明在文化宫停留了 min； （ii）小明从家到体育场的速度为 km/min； （iii）小明从文化宫回家的平均速度为 km/min； （iv）当小
23、明距家的距离为 0.6km 时，他离开家的时间为 min （）当 0 x45 时，请直接写出 y 关于 x 的函数解析式 【考点】一次函数的应用 【专题】一次函数及其应用；应用意识 【答案】 （）；1；0.5； （）25；9 或 42； （）y 【分析】 （）由函数图象中的数据进行计算，即可求解； （）由函数图象中的数据及图中体现的数量关系，进行分析计算即可求解； （） 【解答】解： （）由函数图象得： 当 0 x15 时，yx， 当 x10 时，y；当 x15 时，y1； 当 15x30 时，y1， 当 30 x45 时，ykx+b，将（30，1） 、 （45，0.5）代入得：k，b2， 当
24、 30 x45 时，yx+2， 当 45x70 时，y0.5， 当 x45 时，y0.5； 当 30 x45 时，ykx+b，将（70，0.5） 、 （100，0）代入得：k，b， 当 70 x100 时，yx+， 故答案为：；1；0.5； （）由函数图象结合题意得： 当 0 x15 时，小明早上从家跑步去体育场， 15x30 时，在体育场锻炼， 30 x45 时，从体育场走到文化宫， 45x70 时，文化宫看书画展览， 70 x100 时，散步回家 （i）小明在文化宫停留了 704525min； （ii）小明从家到体育场的速度为km/min； （iii）小明从文化宫回家的平均速度为 0.5（
25、10070）km/min； （iv）当 y0.6 时，0.6x 或 0.6x+2， 解得 x9 或 x42， 当小明距家的距离为 0.6km 时，他离开家的时间为 9 或 42 min 故答案为：25；9 或 42； （）由（）得：当 0 x45 时，y 关于 x 的函数解析式为 y 24 将两个等腰直角三角形纸片 ABO 和 CDO 放置在平面直角坐标系中，点 O（0，0） ，点 A（6，0） ，点 B （0，6） ，点 C（2，0） ，点 D（0，2） 将COD 绕点 O 顺时针旋转，得COD，点 C 旋转后的对应 点为 C，点 D 旋转后的对应点为 D，记旋转角为 （）如图，若 45时，
26、求点 D的坐标； （）如图，若 60时，连接 BD，求 BD的长； （）连接 BD，AC，设 BD，AC所在的直线相交于点 P，求ABP 面积的最小值（直接写出答案） 【考点】几何变换综合题 【专题】平移、旋转与对称；几何直观；推理能力 【答案】 （） （，） ； （）2； （）14 【分析】 （）根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质和判定得出OED是等腰直角三角形，进而利 用勾股定理解答即可； （）过 D作 DEOA 于 E，作 DFOB 于 F，根据旋转的性质和矩形的判定和性质得出四边形 DEDF 是矩形，进而利用勾股定理解答即可； （）如图 3，当直线 BP 与 O 为圆心 2 为半径的
27、圆相切时，APB 的面积最小 【解答】解： （）如图 1， 由题意得，旋转角 45，即DODCOC45， DOC90DOD45， CDO 是等腰直角三角形，CDO 由旋转得到， ODOD2， D45， DEO180DDOC90， 即 DCOC， OED是等腰直角三角形， ODOC， DCCD， 由勾股定理得，OD2OE2+ED2， OEED， OD22OE2， OEED， D坐标为（，） ； （）如图 2，过 D作 DEOA 于 E，作 DFOB 于 F， 旋转角 60，即BOD60， DOE30， DEOA， 在 RtDOE 中，DE，CE， D坐标为（，1） ， DFOBDEOA，OBOA
28、， 四边形 DEDF 是矩形， OFDE1，FDOE， BFOBOF615， BD； （）如图 3，当直线 BP 与 O 为圆心 2 为半径的圆相切时，APB 的面积最小 此时 BDAC4， PB4+2，AP42， ABP 的面积的最小值为PBAP（4+2） （42）（324）14 25 已知，抛物线 C：yax2+bx+c（a，b，c 为常数，a0）的顶点为 M，与 y 轴交于点 C （）当 a1 时 抛物线 C 经过点 C（0，3）和（4，5） ，求抛物线 C 的顶点坐标； 抛物线 C1与抛物线 C 关于直线 x3 对称，若点（1，0） ，点（2，5）在抛物线 C1上，求抛物线 C 的 解
29、析式； （）开口向下的抛物线 C 经过点 A（2，0） ，C（0，2） ，对称轴在 y 轴右侧，交 x 轴于点 Q，点 P 为 y 轴上一动点，当 PQ+CP 的最小值为时，求 a，b 的值 【考点】二次函数综合题 【专题】代数几何综合题；数据分析观念 【答案】 （）yx2+2x+3；y（x2）2+9； （）a，b 【分析】 （）用待定系数法即可求解； （）过点 P 作 QHAC 于点 H，交 y 轴于点 P，则点 P 为所求点，求出 AQ3，再用待定系数法即可 求解 【解答】解： （）当 a1 时，抛物线的表达式为 yx2+bx+c， 则，解得， 故抛物线的表达式为 yx2+2x+3； 由题
30、意得，抛物线 C1，表达式中的 a1， 设 C1的表达式为 yx2+mx+n，则，解得， 故抛物线的表达式为 yx2+8x7（x4）2+9 则该抛物线顶点坐标为（4，9） ， 抛物线 C1与抛物线 C 关于直线 x3 对称，则抛物线 C 的顶点坐标为（2，9） ， 故抛物线 C 的表达式为 y（x2）2+9； （）函数的大致图象如下： 过点 P 作 QHAC 于点 H，交 y 轴于点 P，则点 P 为所求点，理由： 由点 A、C 的坐标知，tanACO，则ACO30，CAO60， 则 PHPCsinACOPC， 则 PQ+CPQH 为最小为， 在 RtAHQ 中，AQ3， 故点 Q 的坐标为（1，0） ，即抛物线的对称轴为 x1， 则，解得， a，b