1、2021 年年 5 月月浙江省杭州市中考数学冲刺试卷（浙江省杭州市中考数学冲刺试卷（1） 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合要求的 1.下列计算正确的是（ ） A3+（+5）+2 B C33434 D 【考点】算术平方根 【专题】实数；运算能力 【答案】A 【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题 【解答】解：3+（+5）3+52，故选项 A 正确； 3（4），故选项 B 错误； 33435，故选项 C 错误； 2，故选项 D 错误； 故选：A 2 小红同学在某数学兴趣小组活动期间， 用铁丝设计并制
2、作了如图所示的三种不同的图形， 请您观察甲、 乙、 丙三个图形，判断制作它们所用铁丝的长度关系是（ ） A制作甲种图形所用铁丝最长 B制作乙种图形所用铁丝最长 C制作丙种图形所用铁丝最长 D三种图形的制作所用铁丝一样长 【考点】生活中的平移现象 【专题】平移、旋转与对称；几何直观；应用意识 【答案】D 【分析】分别利用平移的性质得出各图形中所用铁丝的长度，进而得出答案 【解答】解：由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：2a+2b， 乙所用铁丝的长度为：2a+2b， 丙所用铁丝的长度为：2a+2b， 故三种方案所用铁丝一样长 故选：D 3 随着科技不断发展， 芯片的集成度越来越高， 我国企业中芯国际
3、已经实现 14 纳米量产， 14 纳米0.000014 毫米，0.000014 用科学记数法表示为（ ） A1410 6 B1.410 5 C1.410 7 D0.1410 4 【考点】科学记数法表示较小的数 【专题】实数；数感 【答案】B 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：将 0.000014 用科学记数法表示为 1.410 5 故选：B 4 如图，是由 5 个大小一样的立方体摆放而成的，移动立方体 A，由图 1 变化至图
4、2，那么由图 1 的三视图 变化至图 2 的三视图中，则（ ） A左视图不变，俯视图不变 B主视图不变，左视图不变 C主视图不变，俯视图不变 D三个视图都不变 【考点】简单组合体的三视图；由三视图判断几何体 【专题】投影与视图；几何直观 【答案】C 【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看得 到的图形，可得答案 【解答】解：主视图都是第一层三个正方形，第二层右边一个正方形，故主视图不变； 左视图都是第一层两个正方形，正方形位置发生了变化，故左视图改变； 俯视图底层的正方形没有变化，故俯视图不变 主视图不变，俯视图不变 故选：C 5 若实数 x 满
5、足，则的值为（ ） A3 B0 C3 或 0 D3 【考点】换元法解分式方程 【专题】运算能力 【答案】A 【分析】本题需先对方程进行变形，再用换元法即可求出的值 【解答】解：由题意可得 ， 故（其中 0 不符合题意，舍去） 故选：A 6 从红，黄，蓝三顶不同颜色的帽子和黑，白两条不同颜色的围巾中，任取一顶帽子和一条围巾搭配，恰好 取到红帽子和黑围巾的概率是（ ） A B C D 【考点】列表法与树状图法 【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力 【答案】A 【分析】画树状图，共有 6 个等可能的结果，恰好取到红帽子和黑围巾的结果有 1 个，再由概率公式求 解即可 【解答】解：画树状图如图
6、： 共有 6 个等可能的结果，恰好取到红帽子和黑围巾的结果有 1 个， 恰好取到红帽子和黑围巾的概率为， 故选：A 7 已知关于 x 的方程存在整数解 （x2020） ， 则正整数 m 所有取值的和为 （ ） A24 B18 C12 D16 【考点】无理方程 【专题】转化思想；运算能力 【答案】A 【分析】将原式变形为 m，令 t，变形可得 m2t，再结合 m 为正整数， 可求出所有 m 值，相加即可 【解答】解：2x+m+40200， m， 令 t， x2020t2， m2t， m 为正整数，且 t0， 当 t1 时，m18， 当 t2 时，m6， 所有 m 的取值的和为 24， 故选：A
7、8 如图，在长为 62 米、宽为 42 米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪要使草坪的面积为 2400 平方米，设道路的宽为 x 米，则可列方程为（ ） A （62x） （42x）2400 B （62x） （42x）+x22400 C624262x42x2400 D62x+42x2400 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】几何图形问题；应用意识 【答案】A 【分析】设道路的宽为 x 米，利用“道路的面积”作为相等关系可列方程（62x） （42x）2400 【解答】解：设道路的宽为 x 米，根据题意得（62x） （42x）2400 故选：A 9. a 是不为 2 的有理数，我
8、们把称为 a 的“哈利数” 如：3 的“哈利数”是2，2 的“哈利 数”是，已知 a13，a2是 a1的“哈利数” ，a3是 a2的“哈利数” ，a4是 a3的“哈利数” ， 依此类推，则 a2019（ ） A3 B2 C D 【考点】规律型：数字的变化类 【专题】新定义；规律型 【答案】C 【分析】分别求出数列的前 5 个数得出该数列每 4 个数为一周期循环，据此可得答案 【解答】解：a13， a22， a3， a4， a53， 该数列每 4 个数为一周期循环， 201945043， a2019a3， 故选：C 10 如图，已知在O 中，CD 为直径，A 为圆上一点，连接 OA，作 OB 平
9、分AOC 交圆于点 B，连接 BD， 分别与 AC，AO 交于点 N，M若 AMAN，则的值为（ ） A B C D 【考点】圆周角定理 【专题】圆的有关概念及性质；推理能力 【答案】D 【分析】由垂径定理可得 OBAC，则ADMBDC，易证OMDAND，则AOD 90，且 DM：DNOD：AD1： 【解答】解：如图， OB 平分AOC， AOBCOB， ， ADBBDC， AMAN， ANMAMN， 又AMNOMD， ANMOMD， OMDAND， ，MODNAD， CD 是直径， NAD90， MOD90， OAOD， OAD45， ADOD， 故选：D 二、填空题：本题共 6 小题，每小
10、题 4 分，共 24 分 11.“a 是负数”用不等式可表示为 【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式 【答案】见试题解答内容 【分析】理解：负数小于 0 【解答】解：根据题意，得 a0 12 设直线 yx+2k+7 与直线 yx+4k3 的交点为 M，若点 M 在第一象限或第二象限，则 k 的取值范围 是 【考点】两条直线相交或平行问题 【答案】见试题解答内容 【分析】把 k 看作常数，联立两函数解析式求出交点坐标，再根据交点在第一象限或第二象限，横坐标 不等于 0，纵坐标大于 0 列出不等式组求解即可 【解答】解：联立， 解得， 交点 M 在第一象限或第二象限， 3k+20 且 5k0，
11、解得 k且 k5 故答案为：k且 k5 13 如图，PA 与O 切于点 A，PO 的延长线交O 于点 B，若O 的半径为 3，APB54，则弧 AB 的 长度为 【考点】垂径定理；圆周角定理；切线的性质；弧长的计算 【专题】计算题；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；运算能力；推理能力 【答案】 【分析】连接 OA，由切线的性质得出OAP90，由三角形的外角可求出AOB144，根据弧长 公式可得出答案 【解答】解：连接 OA， PA 与O 切于点 A， OAPA， OAP90， APB54， AOBAPB+PAO54+90144， O 的半径为 3， 弧 AB 的长度为 故答案为： 14 如图
12、，C，D 两点在以 AB 为直径的O 上，若 AD3，O 的半径为 2，则 tanACD 的值为 【考点】勾股定理；圆周角定理；解直角三角形 【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；解直角三角形及其应用；运算能力 【答案】 【分析】首先由勾股定理求得 BD 的长度，然后由圆周角定理得到 tanACDtanABD，所以由锐角三 角函数定义作答即可 【解答】解：AB 是O 的直径， ADB90 O 的半径为 2， AB4， 在直角ABD 中，AD3，AB4，由勾股定理知：BD ， ACDABD， tanACDtanABD 故答案是： 15 已知二次函数 yax2+bx+1 （a0） 的
13、对称轴为直线 x1， 它的图象顶点坐标为 （m， n） ， 则 m+n （用 含 a 的代数式表示） 【考点】二次函数的性质 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力 【答案】2a 【分析】根据二次函数 yax2+bx+1（a0）的对称轴为直线 x1，可以得到 a 和 b 的关系，再根据图 象顶点坐标为（m，n） ，可知 m1，即可得到 n 的值，然后计算 m+n 即可 【解答】解：二次函数 yax2+bx+1（a0）的对称轴为直线 x1， 1， b2a， 该图象顶点坐标为（m，n） ， m1，na+b+1a2a+1a+1， m+n1+（a+1）1a+12a， 故答案为：2a 16 如
14、图，正方形 ABCD 的边长为 4，将ADE 和CDF 分别沿直线 DE 和 DF 折叠后，点 A 和点 C 同时落 在点 H 处，且 E 是 AB 中点，射线 DH 交 AC 于 G，交 CB 于 M，则 GH 的长是 【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题） 【专题】推理填空题；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得 ADHD，DAEDHE90，AEHE，DCFDHF90， HDCD，CFHF，根据勾股定理得到 CFFH，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， CDADBC4，DAEBCD90，ADBC，
15、 将ADE 和CDF 分别沿直线 DE 和 DF 折叠后，点 A 和点 C 同时落在点 H 处， ADHD，DAEDHE90，AEHE，DCFDHF90，HDCD，CFHF， E 为 AB 的中点， AEBEAB2， 设 CFFHx，则 BF4x，EF2+x， 在 RtBEF 中，由勾股定理得：EF2BF2+BE2， 即（2+x）2（4x）2+22， 解得：x， CFFH，EF，BF， FHMEBF90，HFMEFB， MFHEFB， ， 即， 解得：FM，MH1， DM4+15，CM+3， ADBC， AGDCGM， ， 即， 解得：DG， GHDHDG4， 故答案为： 三、解答题：本题共
16、7 小题，共 66 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 先化简再求值：，其中 【考点】实数的运算；分式的化简求值；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 【专题】分式；运算能力 【答案】 【分析】先算括号内的减法，同时把除法变成乘法，再算乘法，根据负整数指数幂，绝对值的性质，特 殊角的三角函数值分别求出每一部分的值，再代入求出即可 【解答】解：原式（） x22+44 2， 原式 18 为了了解中考英语人机对话日常训练情况，某市从某校九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次英 语人机对话测试（把测试结果分为四个等级：A 级：优秀；B 级：良好；C 级：及格；D 级：不及格） ， 并将测试结
17、果绘成了两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是 人； （2）图 1 中 的度数是 ，并把图 2 条形统计图补充完整； （3）今年该市九年级大约有学生 20000 名，如果全部参加这次中考英语人机对话测试，请估计不及格的 人数为多少人？ 【考点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图 【专题】统计与概率；数据的收集与整理；数据分析观念；应用意识 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）从两个统计图中可以得到“B 级良好”的人数为 16 人，占调查人数的 40%，可求出调查人 数； （2）求出“C 组”的人数，进而可求出“C 组”所占的百分比，再求所
18、占圆心角的度数； （3）样本中“D 组不及格”的占，估计总体 20000 人中有的不及格 【解答】解： （1）1640%40 人， 故答案为：40； （2）401216210，36090，补全条形统计图如图所示： （3）200001000 人， 答：该市九年级 20000 名学生中，英语人机对话测试不及格的大约有 100 人 19 如图，一圆弧过方格的格点 A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点 A 的坐标为（3，2） ， （1）画出平面直角坐标系 （2）仅用一把无刻度的直尺，利用网格，找出该圆弧的圆心，并直接写出圆心的坐标 【考点】垂径定理；作图应用与设计作图 【专题】作图题；尺规作图
19、；几何直观 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）根据点 A 的坐标为（3，2）即可确定平面直角坐标系； （2）利用网格即可画出线段的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而即可写出圆心坐标 【解答】解： （1）直角坐标系如图； （2）画法如图： 结论：点 P 就是所求圆心 圆心坐标为（2，1） 20 如图所示，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位 AB 时，宽为 20m，若水位上升 3m，水 面就会达到警戒线 CD，这时水面宽为 10m （1）建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式； （2）若洪水到来时，水位以每小时 0.2m 的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时
20、就能到达拱桥的 拱顶？ 【考点】二次函数的应用 【专题】其他问题；数形结合；待定系数法；二次函数的应用；几何直观；运算能力；应用意识 【答案】 （1）坐标系见解析，抛物线的解析式为 yx2； （2）从警戒线开始，再持续 5 小时就能到达拱桥的拱顶 【分析】 （1）以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系，然后根据题意可得 点 B、D 的横坐标，设抛物线解析式为 yax2，然后可进行求解； （2）由（1）可得 CD 距拱顶的距离，然后根据题意可直接进行列式求解 【解答】解： （1）以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系，如图所示： 设抛物线解析式
21、为 yax2，点 D 的坐标为 D（5，m） ，则 B（10，m3） ， 由抛物线经过点 D 和点 B，可得：， 解得：， 抛物线的解析式为 yx2； （2）由（1）可得 CD 距拱顶的距离为 1m，水位以每小时 0.2m 的速度上升，从警戒线开始，到达拱顶 的时间为5（小时） 从警戒线开始，再持续 5 小时就能到达拱桥的拱顶 21 锐角ABC 外接圆的圆心为 O， 线段 OA， BC 的中点分别为 M、 N， ABC4OMN， ACB6OMN 设 OMN （1）请直接用 表示BAC，MON； （2）判断OMN 的形状，并给出证明； （3）求OMN 的大小 【考点】圆周角定理；三角形的外接圆与
22、外心 【专题】圆的有关概念及性质；推理能力 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）根据已知条件得到结论； （2）根据等腰三角形的判定定理即可得到结论； （3）根据等腰三角形的三线合一和等边对等角的性质和三角形的内角和定理，分别表示出NOC 和 AOC，进一步计算出ONM，根据直角三角形的性质可以求得OBN30再求得OMN 的大小 【解答】解： （1）连接 OC， OMN， ABC4，ACB6； BAC18010， BOC2BAC2（18010） ， N 是 BC 的中点， ON 垂直于 BC， NOCBONBOCBAC18010， ABC4， AOC8， NOC18010，AOC8， AON
23、NOC+AOC18010+81802， MON1802； （2）OMN， 由（1）知，MON1802， ONM180MONOMNOMN， OMON， MON 为等腰三角形， （3）OAOB，由 （2）知， OMN 是等腰三角形， ONOMOAOB； N 是 BC 的中点， ONBC， OBN30， 1801060， 12， OMN12 22 已知二次函数 yax24ax+3+b（a0） （1）求出二次函数图象的对称轴； （2）若该二次函数的图象经过点（1，3） ，且整数 a，b 满足 4a+|b|9，求二次函数的表达式； （3）在（2）的条件下且 a0，当 txt+1 时有最小值，求 t 的值
24、 【考点】二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；待定系 数法求二次函数解析式 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力 【答案】 （1）直线 x2； （2）y2x28x+9 或 y3x2+12x6 或 y4x2+16x9； （3）或 【分析】 （1）由对称轴公式即可求解； （2）观察函数图象，在给定的范围内，找出对应关系，即可求得二次函数的表达式； （3）分 t1，t2，1t2 三种情况分别根据函数的增减性和最小值得到关于 t 的方程，解之即可 【解答】解： （1）二次函数图象的对称轴是 x2； （2）该二次函数的图象经过点（1，3） ， a4a+
25、3+b3， b3a， 把 b3a 代入 4a+|b|9， 得 4a+3|a|9 当 a0 时，44a9，则 1a， 而 a 为整数， a2，则 b6， 二次函数的表达式为 y2x28x+9； 当 a0 时，42a9，则a2 而 a 为整数， a3 或4， 则对应的 b9 或12， 二次函数的表达式为 y3x2+12x6 或 y4x2+16x9； （3）a0， 则函数表达式为 y2x28x+92（x2）2+1， 则函数顶点坐标为（2，1） ，开口向上， 当 t+12，即 t1 时，y 在 txt+1 上随 x 的增大而减小， 则当 xt+1 时，y 有最小值， 即 2（t+12）2+1， 解得：
26、t或 t（舍） ； 当 t2 时，y 在 txt+1 上随 x 的增大而增大， 则当 xt 时，y 有最小值， 即 2（t2）2+1， 解得：t（舍）或 t； 当 1t2 时，y 在 txt+1 上的最小值为 1，故不符合； 综上：t 的值为或 23 已知在菱形 ABCD 中，BAD120，点 E 为射线 BC 上的一个动点，AE 与边 CD 交于点 G （1）如图 1，连接对角线 BD 交 AE 于点 F，连接 CF，若 AF2CGCD，试求CFE 的度数； （2）如图 2，点 F 为 AE 上一点，且ADFAED，若菱形的边长为 2，则当 DEBC 时，求CFE 的面积； （3）如图 3，
27、当点 E 在射线 BC 上运动时，试求的最小值 【考点】相似形综合题 【专题】几何综合题；推理能力；应用意识 【答案】 （1）30 （2）； （3） 【分析】 （1）如图 1，证明ABFCBF（SAS） ，得 AFCF，再证明FCGDCF，根据相似三角 形的性质可得CFEFDC30； （2）如图 2，过点 F 作 MNBC 于 N，交 AD 于 M，根据直角三角形 30角的性质得：CE1，根据勾 股定理计算 DE 和 AE 的长， 证明AFDADE， 列比例式可得 AF 和 EF 的长， 证明AFMEFN， 得 FN 的长，根据三角形的面积公式可得结论； （3）如图 3，过点 E 作 EHCD
28、 于 H，过点 A 作 ANBC 于 N，设菱形 ABCD 的边长为 a，CEx，分 别计算 AE2和 DE2，变形后可得当 ax 时，有最小值 【解答】解： （1）如图 1，AF2CGCD， ， 四边形 ABCD 是菱形， ABBC，ABDCBD， BFBF， ABFCBF（SAS） ， AFCF， ， FCGFCG， FCGDCF， CFEFDC， ABCD， BAD+ADC180， BAD120， ADC60， 四边形 ABCD 是菱形， FDCADC30， CFE30； （2）如图 2，过点 F 作 MNBC 于 N，交 AD 于 M， ADBC， MNAD， RtDCE 中，DCE1
29、8012060， CDE30， CD2， CE1，DE， RtADE 中，AE， ADFAED，FADFAD， AFDADE， ，即， AF， EF， ADBC， AFMEFN， ， MNDE， FN， SCEF； （3）如图 3，过点 E 作 EHCD 于 H，过点 A 作 ANBC 于 N， 设菱形 ABCD 的边长为 a，CEx， 在 RtCEH 中，ECH60， CEH30， CHx，EHx， DHax， 在 RtDEH 中，DE2DH2+EH2 （ax）2+（x）2 a2ax+x2， 在 RtABN 中，B60，ABa， BAN30， BNa，ANa， CNBCBNa， ENEC+CNa+x， RtANE 中，AE2AN2+EN2 （a）2+（a+x）2 a2+ax+x2， 111（a 0，x0） ， 当时，即 xa 时，有最小值， 则此时1，