1、2021 年吉林省长春市南关区中考数学二模试卷年吉林省长春市南关区中考数学二模试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，本大题共只小题，共分，本大题共只小题，共 24 分）分） 1 （3 分）实数 a 在数轴上的对应点的位置如图所示若实数 b 满足aba，则 b 的值可以是（ ） A3 B2 C1 D2 2 （3 分）2020 年 6 月 23 日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6 月 30 日成 功定点于距离地球 36000 公里的地球同步轨道将 36000 用科学记数法表示应为（ ） A0.36105 B3.6105 C3.6104 D36103 3 （
2、3 分）将一个小正方体按图中所示方式展开则在展开图中表示棱 a 的线段是（ ） AAB BCD CDE DCF 4 （3 分）不等式组的解集为（ ） Ax3 Bx5 Cx5 D3x5 5 （3 分）分式可变形为（ ） A B C D 6 （3 分）解一元二次方程 x2+4x10，配方正确的是（ ） A （x+2）23 B （x2）23 C （x+2）25 D （x2）25 7 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90根据尺规作图痕迹，下列结论一定正确的是（ ） ABCEC BBEEC CBCBE DAEEC 8 （3 分）如图，点 A 在函数 y （x0）的图象上，点 B 在 y 轴正半
3、轴，OB1设点 A 的纵坐标为 m， OAB 的面积为 S，当 1S3 时，m 的取值范围是（ ） A1m3 Bm C2m6 Dm3 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，本大题共分，本大题共 6 小题，共小题，共 18 分）分） 9 （3 分）分解因式：a24 10 （3 分）若二次根式有意义，则实数 a 的取值范围是 11 （3 分）若一个正多边形的内角和为 1080，则这个多边形一个外角的大小为 12 （3 分）扇子在我国已经有三、四千年的历史，中国扇文化有丰富的文化底蕴如图，扇形纸扇完全打 开后，外侧两竹条 AB、AC 夹角为 150AB 的长为 30cm，扇面 BD 的长为
4、20cm，则扇面的面积为 cm2 13 （3 分）如图，工程师为了测量小岛 A 到公路 BD 的距离，先在点 B 处测ABD37，再沿 BD 方向 前进100米到达点C， 测得ACD45， 则小岛A到公路BD的距离约为 米（参考数据： sin37 0.6cos370.8，tan370.75） 14 （3 分）已知二次函数 yax2+bx+c（a、b、c 为常数，a0）的图象如图所示，下面四个结论，abc 0；a+cb；2a+b1；a+bm（am+b） ，其中全部正确的是（ ） 三、解答题本大题共三、解答题本大题共 10 小题，共小题，共 78 分）分） 15 （6 分）先化简，再求值：a（a9
5、）（a+3） （a3） ，其中 a1 16 （6 分）甲、乙、丙三位同学在“环保知识竞赛”问答环节中，采用抽签的方式决定出场顺序请你用 画树状图的方法，求甲比乙先出场的概率 17 （6 分）甲、乙两辆汽车同时分别从 A、B 两城沿同一条高速公路驶向 C 城已知 A、C 两城的距离为 450 千米， B、 C 两城的距离为 400 千米， 甲车比乙车的速度快 10 千米/时， 结果两辆车同时到达 C 城 求 两车的速度 18 （7 分）如图，在ABC 中，ABACADBC，垂足为点 D，AG 是ABC 的外角FAC 的平分线， DEAB，交 AG 于点 E （1）求证：四边形 ADCE 是矩形
6、（2）若 DE10，BC12，则 sinBAC 19 （7 分）图、图均为 44 的正方形网格，线段 AB、BC 的端点均在格点上，按要求在图、图中 作图并计算其面积 （1）在图中画一个四边形 ABCD，使四边形 ABCD 有一组对角相等，S四边形ABCD ； （2）在图中画一个四边形 ABCE，使四边形 ABCE 有一组对角互补，S四边形ABCE 20 （7 分）伊利集团是中国规模最大、产品线最全的乳制品企业综合实践小组的同学从网上搜集到如下 一些伊利集团近几年的营业状况的资料， 其中图 1 是 20132018 年伊利集团营业收入及净利润情况统计 图，图 2 是 2018 年伊利集团各品类
7、业务营业收入比例情况统计图（数据来源：公司财报、中商产业研究 院） 综合实践小组的同学结合统计图提出了如下问题，请你解答： （1）2018 年，伊利集团营收及净利再次刷新行业记录，稳居亚洲乳业第一，这一年，伊利集团实现营 业收入 亿元，净利润 亿元 （2）求 2018 年伊利集团“奶粉及奶制品”业务的营业收入（结果精确到 0.1 亿元） （3）在 20132018 这 6 年中，伊利集团的净利比上一年增长额最多的是 年；估计 2019 年伊 利集团的净利润将比上一年增长 亿元，并说明理由 21 （8 分）根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放在换水时需要经“排水一 清洗一灌
8、水”的过程某游泳馆从早上 7：00 开始对游泳池进行换水，已知该游泳池的排水速度是灌水 速度的 1.6 倍，其中游泳池内剩余的水量 y（m3）与换水时间上 x（h）之间的函数图象如图所示，根据 图象解答下列问题： （1）该游泳池清洗需要 小时 （2）求排水过程中的 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围 （3）若该游泳馆在换水结束 30 分钟后才能对外开放，判断游泳爱好者小致能否在中午 12：30 进入该游 泳馆游泳，并说明理由 22 （9 分） 【教材呈现】华师版九年级上册数学教材第 103 页的部分内容 例：如图，在 RtABC 中，ACB90，A30求证：BCAB 证
9、明：作邻边 AB 上的中线 CD，则 请你结合图，将证明过程补充完整 【结论应用】如图，在 RtACB 中，ACB90，A30，D 是 AB 的中点过点 D 作 DEBC 交 AC 于点 E则线段 AB 与 DE 的数量关系为 【拓展提升】一副三角板按图所示摆放，得到ABD 和BCD其中ADBBCD90，A 60CBD45点 E 为 AB 的中点，过点 E 作 EFCD 于点 F若 AB8cm则 EF 的长为 cm 23 （10 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AC3cmBC4cm点 P 从点 A 出发，沿 AB 以每秒 3cm 的速度向终点 B 运动过点 P 作 PQAB 交射线
10、BC 于点 Q，以 PQ 为一边向上作正方形 PQMN， 点 P 不与 A、B 重合设点 P 的运动时间为 t（秒） （1）求线段 PQ 的长（用含 t 的代数式表示） （2）当正方形 PQMN 与ABC 重叠部分是四边形时，求 t 的取值范围 （3）在不添加辅助线的条件下当图中有全等三角形时，直接写出 t 的值 24 （12 分）在平面直角坐标系中，抛物线 yx22axa（a 为常数） （1）当（，m）在抛物线上，求 m 的值 （2）当抛物线的最低点到 x 轴的距离恰好是时，求 a 的值 （3）已知 A（1，1） 、B（1，2a） ，连接 AB当抛物线与线段 AB 有交点时，记交点为 P（点
11、 P 不与 A、 B 重合） ， 将线段 PB 绕点 P 顺时针旋转 90得到线段 PM， 以 PM、 PA 为邻边构造矩形 PMQA 若抛物线在矩形 PMQA 内部的图象的函数值 y 随自变量 x 的增大而减小时，求 a 的取值范围 当抛物线在矩形 PMQA 内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差为时，直接写出 a 的值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，本大题共只小题，共分，本大题共只小题，共 24 分）分） 1 （3 分）实数 a 在数轴上的对应点的位置如图所示若实数 b 满足aba，则 b 的值可以是（ ） A3 B2 C
12、1 D2 【分析】根据点 b 在数轴上的位置可求 【解答】解：将a，b 在数轴上表示出来如下： aba b 在a 和 a 之间 选项中只有1 符合条件 故选：C 【点评】本题考查实数与数轴上的点的对应关系找到a 的位置是求解本题的关键 2 （3 分）2020 年 6 月 23 日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6 月 30 日成 功定点于距离地球 36000 公里的地球同步轨道将 36000 用科学记数法表示应为（ ） A0.36105 B3.6105 C3.6104 D36103 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n
13、 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同 【解答】解：360003.6104， 故选：C 【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3 （3 分）将一个小正方体按图中所示方式展开则在展开图中表示棱 a 的线段是（ ） AAB BCD CDE DCF 【分析】将原图复原找出对应边 【解答】解：三角形对应的面为 DCFE， a 对应的边为 DE 故选：C 【点评】本题考查几何体的展开图，解题关键是具备一定的空间想象力 4 （3 分）不等式组的解集为（ ） Ax3 Bx5 Cx5 D3x5 【分析】分别求出每
14、一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小 找不到确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式 2x60，得：x3， 解不等式 4x1，得：x5， 则不等式组的解集为 x5， 故选：B 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同 小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 5 （3 分）分式可变形为（ ） A B C D 【分析】利用分式的基本性质变形即可 【解答】解： 故选：B 【点评】此题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键 6 （3 分）解一元二次方程 x2+4x10，配方
15、正确的是（ ） A （x+2）23 B （x2）23 C （x+2）25 D （x2）25 【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案 【解答】解：x2+4x10， x2+4x+45， （x+2）25， 故选：C 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型 7 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90根据尺规作图痕迹，下列结论一定正确的是（ ） ABCEC BBEEC CBCBE DAEEC 【分析】证明BECBCE，可得结论 【解答】解：由作图可知，CDAB，CE 平分ACD， ACEDCE， ACBCDB90， A+B90，B+DCB90
16、， ADCB， BECA+ACE，BCEECD+DCB， BECBCE， BCBE， 故选：C 【点评】本题考查作图基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题 8 （3 分）如图，点 A 在函数 y （x0）的图象上，点 B 在 y 轴正半轴，OB1设点 A 的纵坐标为 m， OAB 的面积为 S，当 1S3 时，m 的取值范围是（ ） A1m3 Bm C2m6 Dm3 【分析】先求出点 A 的横坐标，再根据三角形面积公式求解 【解答】解：把 ym 代入 y中得 x， 点 A 坐标为（，m） ， OAB 的面积为BOxA， 13， 解得m 故选：B 【点评】本题考查反比例函数系数
17、 k 的几何意义，解题关键是熟练掌握反比例函数系数 k 的几何意义 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，本大题共分，本大题共 6 小题，共小题，共 18 分）分） 9 （3 分）分解因式：a24 （a+2） （a2） 【分析】有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开 【解答】解：a24（a+2） （a2） 【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键 10 （3 分）若二次根式有意义，则实数 a 的取值范围是 a2 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可 【解答】解：由题意得，2a0， 解得，a2， 故答案为：a2 【点
18、评】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负 数是解题的关键 11 （3 分）若一个正多边形的内角和为 1080，则这个多边形一个外角的大小为 45 【分析】根据多边形的内角和公式（n2） 180列式进行计算求得边数，然后根据多边形的外角和即可 得到结论 【解答】解：设正多边形是 n 边形，则 （n2） 1801080， 解得 n8 360845， 故答案为：45 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形内角和公式及外角和定理是解题的关键 12 （3 分）扇子在我国已经有三、四千年的历史，中国扇文化有丰富的文化底蕴如图，扇形纸扇完全打 开后，
19、外侧两竹条 AB、 AC 夹角为 150 AB 的长为 30cm， 扇面 BD 的长为 20cm， 则扇面的面积为 cm2 【分析】根据扇形的面积公式，利用扇面的面积S扇形BACS扇形DAE进行计算 【解答】解：AB30cm，BD20cm， AD10cm， BAC150， 扇面的面积S扇形BACS扇形DAE （cm2） 故答案为 【点评】 本题考查了扇形面积的计算： 设圆心角是 n， 圆的半径为 R 的扇形面积为 S， 则 S扇形 R2或 S扇形lR（其中 l 为扇形的弧长） 求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形 的面积 13 （3 分）如图，工程师为了测量小岛 A 到公路 B
20、D 的距离，先在点 B 处测ABD37，再沿 BD 方向 前进 100 米到达点 C， 测得ACD45， 则小岛 A 到公路 BD 的距离约为 300 米（参考数据： sin37 0.6cos370.8，tan370.75） 【分析】过 A 作 AECD 垂足为 E，设 AEx 米，再利用锐角三角函数关系得出 BEx，CEx，根 据 BCBECE，得到关于 x 的方程，即可得出答案 【解答】解：如图，过 A 作 AECD 垂足为 E，设 AEx 米， 在 RtABE 中，tanB， BEx， 在 RtABE 中，tanACD， CEx， BCBECE， xx100， 解得：x300 答：小岛
21、A 到公路 BD 的距离为 300 米 故答案为：300 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化 为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线 14 （3 分）已知二次函数 yax2+bx+c（a、b、c 为常数，a0）的图象如图所示，下面四个结论，abc 0；a+cb；2a+b1；a+bm（am+b） ，其中全部正确的是（ ） 【分析】先根据图象开口朝向确定 a 的符号，由图象与 y 轴交点确定 c 的符号，由对称轴为直线 x1 确 定 b 的符号与 b 与 a 的比值，x1 时函数值 y 最大 【解答】解：抛物线开口向下， a0， 对称轴在
22、 y 轴右侧， a，b 异号，b0， 抛物线与 y 轴交点在 y 轴正半轴， c0， abc0，正确 把 x1 代入解析式得 ya+b+c0， a+cb，错误 图象对称轴为直线 x1， b2a，即 2a+b0， 错误 由 a+bm（am+b）得 a+b+cam2+bm+c， x1 时函数值 ya+b+c 为最大值， 正确 故答案为： 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是熟练掌握二次函数的性质 三、解答题本大题共三、解答题本大题共 10 小题，共小题，共 78 分）分） 15 （6 分）先化简，再求值：a（a9）（a+3） （a3） ，其中 a1 【分析】先算乘法，再合并同类项，
23、最后求出答案即可 【解答】解：a（a9）（a+3） （a3） a29aa2+9 9a+9， 当 a1，时，原式9（1）+99 【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键 16 （6 分）甲、乙、丙三位同学在“环保知识竞赛”问答环节中，采用抽签的方式决定出场顺序请你用 画树状图的方法，求甲比乙先出场的概率 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲比乙先出场的情况，再利 用概率公式求解即可求得答案 【解答】画出树状图得： 共有 6 种等可能的结果，甲比乙先出场的有 3 种情况， 甲比乙先出场的概率为 【点评】此题考查了列表法或
24、树状图法求概率用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 17 （6 分）甲、乙两辆汽车同时分别从 A、B 两城沿同一条高速公路驶向 C 城已知 A、C 两城的距离为 450 千米， B、 C 两城的距离为 400 千米， 甲车比乙车的速度快 10 千米/时， 结果两辆车同时到达 C 城 求 两车的速度 【分析】设甲的速度是 x 千米/时，那么乙的速度是（x10）千米/时，路程知道，且同时到达，可以时 间做为等量关系列方程求解 【解答】解：设甲的速度是 x 千米/时，乙的速度是（x10）千米/时， 依题意得： 解得 x90 经检验：x90 是原方程的解 x1080 答：甲的速度是 90 千米
25、/时，乙的速度是 80 千米/时 【点评】本题考查理解题意能力，关键是以时间做为等量关系，根据时间，列方程求解 18 （7 分）如图，在ABC 中，ABACADBC，垂足为点 D，AG 是ABC 的外角FAC 的平分线， DEAB，交 AG 于点 E （1）求证：四边形 ADCE 是矩形 （2）若 DE10，BC12，则 sinBAC 【分析】 （1）首先利用外角性质得出BACBFAEEAC，进而得到 AECD，即可求出四边 形 AEDB 是平行四边形，再利用平行四边形的性质求出四边形 ADCE 是平行四边形，即可求出四边形 ADCE 是矩形 （2）过 C 作 CFAB 于 F，由勾股定理求出
26、 AD，再由三角形的面积公式求出 CF，根据三角函数的定 义即可求出 sinBAC 【解答】 （1）证明：ABAC， BACB， AE 是BAC 的外角平分线， MAEEAC， B+ACBMAE+EAC， BACBMAEEAC， AECD， 又DEAB， 四边形 AEDB 是平行四边形， AEBD，AEBD， ADBC，ABAC， BDDC， AEDC，AEDC， 故四边形 ADCE 是平行四边形， 又ADC90， 平行四边形 ADCE 是矩形 即四边形 ADCE 是矩形； （2）证明：四边形 ADCE 是矩形， ACDE， ADBC，ABAC， BDDC， DE10BC12， BD6，ABA
27、C10， AD8， 过 C 作 CFAB 于 F， SABCBCADABCF， CF， sinBAC， 故答案为： 【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定，灵活利用平行四边形的判定得出四 边形 AEDB 是平行四边形是解题关键 19 （7 分）图、图均为 44 的正方形网格，线段 AB、BC 的端点均在格点上，按要求在图、图中 作图并计算其面积 （1）在图中画一个四边形 ABCD，使四边形 ABCD 有一组对角相等，S四边形ABCD 6 ； （2）在图中画一个四边形 ABCE，使四边形 ABCE 有一组对角互补，S四边形ABCE 【分析】 （1）根据要求作出图形，利用分割法
28、求出面积 （2）根据要求画出图形，利用分割法求出面积 【解答】解： （1）如图，四边形 ABCD 即为所求作，S四边形ABCD23+236 故答案为：6 (2)如图，四边形 ABCE 即为所求作，S四边形ABCE23+13 故答案为： 【点评】本题考查作图应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所 学知识解决问题 20 （7 分）伊利集团是中国规模最大、产品线最全的乳制品企业综合实践小组的同学从网上搜集到如下 一些伊利集团近几年的营业状况的资料， 其中图 1 是 20132018 年伊利集团营业收入及净利润情况统计 图，图 2 是 2018 年伊利集团各品类业务营业收
29、入比例情况统计图（数据来源：公司财报、中商产业研究 院） 综合实践小组的同学结合统计图提出了如下问题，请你解答： （1）2018 年，伊利集团营收及净利再次刷新行业记录，稳居亚洲乳业第一，这一年，伊利集团实现营 业收入 795.5 亿元，净利润 64.4 亿元 （2）求 2018 年伊利集团“奶粉及奶制品”业务的营业收入（结果精确到 0.1 亿元） （3）在 20132018 这 6 年中，伊利集团的净利比上一年增长额最多的是 2017 年；估计 2019 年伊利 集团的净利润将比上一年增长 15 亿元，并说明理由 【分析】 （1）由统计图中信息即可得到结论； （2）用 2018 年伊利集团营
30、业收入乘以“奶粉及奶制品“业务的营业收入所占的百分比即可得到结论； （3）根据统计图中的信息即可得到结论 【解答】解： （1）由统计图可得，2018 年伊利集团实现营业收入 795.5 亿元，净利润 64.4 亿元； 故答案为：795.5，64.4； （2）795.5（183.2%6.3%0.3%）81.1（亿） ， 答：2018 年伊利集团“奶粉及奶制品“业务的营业收入约为 81.1 亿； （3）在 20132018 这 6 年中；伊利集团净利润比上一年增长额最多的是 2017 年； 2019 年伊利集团的净利润将比上一年增长 15 亿元，理由是因为 2013 年到 2015 数据发生突变，
31、故参照 2015 年到 2018 年的数据进行估算可知，伊利集团近三年的净利润的增长额分别为 13.5 亿，16 亿，13.9 亿，据此估计 2019 年伊利集团净利润的增长额为 15 亿元； 故答案为：2017，15，因为 2013 年到 2015 数据发生突变，故参照 2015 年到 2018 年的数据进行估算可 知，伊利集团近三年的净利润的增长额分别为 13.5 亿，16 亿，13.9 亿，据此估计 2019 年伊利集团净利 润的增长额为 15 亿元 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要 的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出
32、每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总 体的百分比大小 21 （8 分）根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放在换水时需要经“排水一 清洗一灌水”的过程某游泳馆从早上 7：00 开始对游泳池进行换水，已知该游泳池的排水速度是灌水 速度的 1.6 倍，其中游泳池内剩余的水量 y（m3）与换水时间上 x（h）之间的函数图象如图所示，根据 图象解答下列问题： （1）该游泳池清洗需要 1.2 小时 （2）求排水过程中的 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围 （3）若该游泳馆在换水结束 30 分钟后才能对外开放，判断游泳爱好者小致能否在中午 12：30 进入
33、该游 泳馆游泳，并说明理由 【分析】 （1）根据函数图象中的数据可以解答本题； （2）根据题意核函数图象中的数据可以求得排水过程中的 y（m3）与 x（h）之间的函数关系式，并写出 自变量 x 的取值范围； （3）根据题意可以求得下午几点开放，然后与 12：30 比较大小即可解答本题 【解答】解： （1）由题意可得，该游泳池清洗需要：2.71.51.2（小时） ， 故答案为：1.2； （2）设排水过程中的 y（m3）与 x（h）之间的函数关系式为：ykx+b， 由题，得，解得， 排水过程中的 y 与 x 之间的函数关系式为：y800 x+1200（0 x1.5） ； （3）由题意可得，排水的速
34、度为：12001.5800（m3/h） ， 灌水的速度为：8001.6500（m3/h） ， 灌水用的时间为：12005002.4（h） ， 对外开放的时间为：7+2.7+2.4+12：3612：30， 游泳爱好者小致不能在中午 12：30 进入该游泳馆游泳 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形 结合的思想解答 22 （9 分） 【教材呈现】华师版九年级上册数学教材第 103 页的部分内容 例：如图，在 RtABC 中，ACB90，A30求证：BCAB 证明：作邻边 AB 上的中线 CD，则 请你结合图，将证明过程补充完整 【结论应用】如图
35、，在 RtACB 中，ACB90，A30，D 是 AB 的中点过点 D 作 DEBC 交 AC 于点 E则线段 AB 与 DE 的数量关系为 AB4DE 【拓展提升】一副三角板按图所示摆放，得到ABD 和BCD其中ADBBCD90，A 60CBD45点 E 为 AB 的中点，过点 E 作 EFCD 于点 F若 AB8cm则 EF 的长为 + cm 【分析】 （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，可得 CDBDAD，再证明BCD 是等边三 角形，即可证明结论； （2）取 BC 的中点，连接 DF，应用（1）的结论可得 BCAB，再证明四边形 CEDF 是平行四边形， 应用平行四边形性质即
36、可得到答案； （3）过点 A 作 AGCD 交 CD 的延长线于点 G，应用（1）的结论可得出 AD，再运用解直角三角形或 勾股定理求出 BD，BC，AG，最后应用梯形中位线定理即可求出 EF 【解答】解： （1）如图，作斜边 AB 上的中线 CD，则 CDBDAD， ACB90，A30， B90A903060， BCD 是等边三角形， BCCDAB （2）如图，取 BC 的中点，连接 DF， ACB90，A30， BCAB， D，F 分别是 AB，BC 的中点， DFAC， DEBC， 四边形 CEDF 是平行四边形， DECFBC， DEBC， 即 BC4DE 故答案为：BC4DE. （3
37、）如图，过点 A 作 AGCD 交 CD 的延长线于点 G， ADBBCD90，A60CBD45， ABD30， ADAB84（cm） ， BDABsinA8sin604（cm） ， BCBDcosCBD4cos452（cm） ， ADC90CBD45， ADG180ADBBDC45， G90， AGADsinADG4sin452（cm） ， EFCD，BCCD，AGCD， AGEFBC， 点 E 为 AB 的中点， EF（AG+BC）（2+2）（+）cm； 故答案为：+ 【点评】本题考查了直角三角形性质，特殊角三角函数值，三角形中位线定理，梯形中位线，平行四边 形的判定与性质等，熟练掌握直角
38、三角形性质和平行四边形的判定与性质是解题关键 23 （10 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AC3cmBC4cm点 P 从点 A 出发，沿 AB 以每秒 3cm 的速度向终点 B 运动过点 P 作 PQAB 交射线 BC 于点 Q，以 PQ 为一边向上作正方形 PQMN， 点 P 不与 A、B 重合设点 P 的运动时间为 t（秒） （1）求线段 PQ 的长（用含 t 的代数式表示） （2）当正方形 PQMN 与ABC 重叠部分是四边形时，求 t 的取值范围 （3）在不添加辅助线的条件下当图中有全等三角形时，直接写出 t 的值 【分析】 （1）先通过勾股定理求出 AB，再用含 t 代数
39、式 PB，由 tanB求解 （2）点 P 未出发与点 Q 落在 BC 边上时满足题意 （3）图中直角三角形均相似，数形结合，分类讨论各个三角形全等的情况 【解答】解： （1）在 RtABC 中，由勾股定理得： AB5cm， AP3t， BP53t， tanB， PQPB（53t） （2）如图，t0 时，MN 交 BC 于点 L， 正方形 PQMN 与ABC 重叠部分是四边形 NLCA 满足题意， 如图，当点 Q 与点 C 重合时， cosA， APAC，即 3t3， 解得 t， t满足题意 综上所述，t0 或t （3）APKQCK 时，K 为 AC 中点， 即 AKAP3t3， 解得 t， 当
40、APKLNB 时，PKNB， AP+PN+NBAB，即 AP+PQ+APAB， 3t+（53t）+3t5， 解得 t， 当QCKLNB 时，BNCK， BNABPNAP，CKACAK， ABPNAPACAK， 即 5（53t）3t35t， 解得 t， 当APQLMQ 时，Q 与 C 重合，t 综上所述，t或 t或 t或 t 【点评】本题考查图形动点问题，解题关键是熟练掌握正方形的性质与解直角三角形的方法 24 （12 分）在平面直角坐标系中，抛物线 yx22axa（a 为常数） （1）当（，m）在抛物线上，求 m 的值 （2）当抛物线的最低点到 x 轴的距离恰好是时，求 a 的值 （3）已知
41、A（1，1） 、B（1，2a） ，连接 AB当抛物线与线段 AB 有交点时，记交点为 P（点 P 不与 A、 B 重合） ， 将线段 PB 绕点 P 顺时针旋转 90得到线段 PM， 以 PM、 PA 为邻边构造矩形 PMQA 若抛物线在矩形 PMQA 内部的图象的函数值 y 随自变量 x 的增大而减小时，求 a 的取值范围 当抛物线在矩形 PMQA 内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差为时，直接写出 a 的值 【分析】 （1）将（，m）代入 yx22axa 求解 （2）求出顶点坐标，通过顶点纵坐标为求解 （3）通过数形结合，讨论抛物线对称轴与矩形边的位置关系与抛物线经过临界点
42、时的值求解 分类讨论点 B 在 A 上方与点 B 在 A 下方两种情况，分别求出最高点与最低点坐标作差求解 【解答】解： （1）将（，m）代入 yx22axa 可得： m+aa， m （2）yx22axa（xa）2a2a， 抛物线顶点坐标为（a，a2a） ， 当a2a时， 解得 a， 当a2a时， 解得 a或 a a或 a或 a （3）AB 所在直线解析式为 x1， 将 x1 代入 yx22axa 得 y1+a， 点 P 坐标为（1，1+a） ， 当点 B 在点 A 上方时，2a1+a1， 解得 a， PBPM2a（1+a）a， 点 M 横坐标为1+aa， aa， 抛物线对称轴在点 M 右侧，
43、满足题意， a 当点 B 在点 A 下方时，11+a2a， 解得 a0， PBPM1+a（2a）a， 点 M 横坐标为1（a）a， 当抛物线经过点 M 时，a， 解得 a， a0 满足题意 综上所述，a0 或 a 由得 Q 的横坐标为 a， Q 的坐标为（a，1） ， 当 a，抛物线经过点 Q 时，将（a，1）代入抛物线解析式得： 1（a）22a（a）a， 解得 a或 a（舍） ， 抛物线与直线 xa交点为（a，a2a+） ， 当a时，抛物线与矩形交点最高点为点 P（1，1+a） ，最低点坐标为（a，a2a+ ） ， a2a+（1+a）时，解得 a1+或 a1（舍） 当 a0 时，抛物线经过点 Q 时，a， a0 时，抛物线与矩形交点最高点纵坐标为 1，最低点纵坐标为点 P 纵坐标为 1+a， 当 1（1+a）时，a 当 a时，抛物线与直线 MQ 交点（a，a2a+）为最高点，点 P 为最低点， 当a2a+（1+a）时，解得 a1+（舍）或 a1 综上所述，a1+或 a1或 a 【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是通过数形结合分类讨论求解