1、2021 年福建省三明市中考数学二检试卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.2020 年 6 月 23 日，我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是 21500000 米将数字 21500000 用科学记数法表示为（ ） A0.215108 B2.15107 C2.15106 D21.5106 2.下列几何体中，俯视图为三角形的是（ ） A B C D 3.如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，点 E 是 BC 的中点，若 OE3，则 BC 的长为（
2、） A3 B6 C9 D12 4.实数a在数轴上对应点的位置如图所示， 若实数b满足aba， 则b的值不可能是下列四个数中的 （ ） A1 B0 C1 D2 5.下列运算正确的是（ ） Aa2a3a6 Ba6a3a2 C2 3 D （）00 6.为庆祝中国共产党建党 100 周年，某校开展了以“学党史知识迎建党百年”为主题的党史知识竞赛，并将 所有参赛学生的成绩进行统计整理，绘制成如图统计图（每个小组含前一个边界值，不含后一个边界 值） 根据图中的信息判断：关于这次知识竞赛成绩的中位数的结论正确的是（ ） A中位数在 60 分70 分之间 B中位数在 70 分80 分之间 C中位数在 80 分
3、90 分之间 D中位数在 90 分100 分之间 7.如图，在O 中，AB 是直径，CD 是弦，ABCD，下列结论错误的是（ ） AACOD BBCBD CAODCBD DABCODB 8.我国古代数学名著孙子算经中记载： “今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不 足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余 4.5 尺；将绳子对折再量木条， 木条剩余 1 尺，问木条长多少尺？如果设木条长 x 尺，绳子长 y 尺，那么可列方程组为（ ） A B C D 9.如图，在等边ABC 中，点 D 和点 B 关于直线 AC 对称，连接 CD，过 D 作 DEBC，交 B
4、C 的延长线于 点 E，若 CE5，则 BE 的长为（ ） A10 B15 C D 10.已知抛物线 yx2+（62m）xm2+3 的对称轴在 y 轴的右侧，当 x2 时，y 的值随着 x 值的增大而 减小，点 P 是抛物线上的点，设 P 的纵坐标为 t，若 t3，则 m 的取值范围是（ ） Am Bm3 Cm3 D1m3 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分. 11.分解因式：x24 12.如图，在平面直角坐标系中，点 A 在 x 轴的正半轴上，点 B 坐标为（4，3） ，则 tanAOB 的值为 13.今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了 5 棵，每棵产
5、量的平均数 （单位：千克）及 方差 s2（单位：千克 2）如表所示： 甲 乙 丙 45 45 42 s2 1.8 2.3 1.8 明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是 14.如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，扇形的圆心角AOB120， 半径为 9m，则扇形的弧长是 m 15.如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则BAC 的度数为 16.如图，在 RtABC 中，ACB90，AB8，直线 AB 经过原点 O，点 C 在 y 轴上，AC 交 x 轴于点 D， CD：AD4：3，若反比例函数经过 A，B 两点，则
6、k 的值为 三、解答题：本题共 9 小题，共 86 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解不等式组： 18.如图，AC 为正方形 ABCD 的对角线，E 为 AC 上一点，且 AEAB，过 E 作 EFAC，交 BC 于点 F 求证：BFEF 19.先化简，再求值：，其中 a 20.如图，在ABC 中，点 D 在 AB 边上，且 AD：AB2：3 （1）在 AC 边求作点 E，使 AE：AC2：3； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若ABC 的周长为 12，求ADE 的周长 21.如图，点 M，N 在以 AB 为直径的O 上，弦 MN 交 A
7、B 于点 C，BM 平分ABD，直线 EF 过 点 M，且 EFBD，垂足为 F （1）求证：EF 是O 的切线 （2）若 CM5，CN6，求 BN 的长 22.某校为改善办学条件，计划购进 A，B 两种规格的书架，经市场调查发现有线下和线上两种购买方式， 具体情况如下表： 规格 线下 线上 单价（元/个） 运费（元/个） 单价（元/个） 运费（元/个） A 300 0 260 20 B 360 0 300 30 （1）如果在线下购买 A，B 两种书架共 20 个，花费 6720 元，求 A，B 两种书架各购买了多少个； （2）如果在线上购买 A，B 两种书架共 20 个，且购买 B 种书架的
8、数量不少于 A 种书架的 2 倍，请设计 出花费最少的购买方案，并计算按照这种方案购买线上比线下节约多少钱 23.某款热销净水器使用寿命为十年，过滤功能由核心部件滤芯来实现在使用过程中，滤芯需要不定期更 换，滤芯每个 200 元，若在购买净水器的同时购买滤芯，则滤芯可享受 5 折优惠（使用过程中如需再购 买无优惠） 如图是根据 100 位客户所购买的该款净水器在十年使用期内更换滤芯的个数绘制成的频数分 布直方图（每位客户购买一台） （1） 以这 100 位客户所购买的净水器在十年使用期内更换滤芯的个数为样本，估计一台净水器在十年使 用期内更换滤芯的个数大于 10 的概率； （2）假设每位客户在
9、购买净水器的同时购买滤芯 10 个，计算这 100 位客户所购买的净水器在十年使用 期内购买滤芯所需总费用的平均数 24.在ABC 和ADE 中，ACBC，ADAE，ACBDAE90，点 E 在 AB 上，点 F 在 EB 上， BCFBDE （1）如图，若 E 是 AB 中点，CE 延长线交 BD 于点 G，求证：CEFBEG； （2）如图，若 E 不是 AB 中点， 求证：CFBD； 求证：EFBF 25.已知抛物线的对称轴为直线 x2，且经过点 A（0，3）和点 B（3，0） （1）求抛物线的解析式； （2）点 C 坐标为（2，） ，过点 D（0，）作 x 轴的平行线 l，设抛物线上的任
10、意一点 P 到直线 l 的距离为 d，求证：PCd； （3）点 E 在 y 轴上（点 E 位于点 A 下方） ，点 M，N 在抛物线上（点 M，N 均不同于点 A，点 M 在点 N 左侧） ， 直线 EM， EN 与抛物线均有唯一公共点， 直线 MN 交 y 轴于点 F， 求证： 点 A 为线段 EF 的中点 2021 年福建省三明市中考数学二检试卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.2020 年 6 月 23 日，我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是 2150000
11、0 米将数字 21500000 用科学记数法表示为（ ） A0.215108 B2.15107 C2.15106 D21.5106 【考点】科学记数法表示较大的数 【专题】实数；数感 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将 21500000 用科学记数法表示为 2.15107， 故选：B 2.下列几何体中，俯视图为三角形的是（ ） A B C D 【考点】简单几何体
12、的三视图 【专题】投影与视图；空间观念 【答案】C 【分析】注意几何体的特征，主视图与左视图的高相同，主视图与俯视图的长相等，左视图与俯视图的 宽相同 【解答】解：根据俯视图的特征，应选 C 故选：C 3.如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，点 E 是 BC 的中点，若 OE3，则 BC 的长为（ ） A3 B6 C9 D12 【考点】三角形中位线定理；菱形的性质 【答案】B 【分析】利用三角形的中位线定理求出 CD，再根据菱形的性质 BCCD 即可解决问题 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， BCCD，OBOD， BECE， CD2OE6， BC6， 故选：B 4.
13、实数a在数轴上对应点的位置如图所示， 若实数b满足aba， 则b的值不可能是下列四个数中的 （ ） A1 B0 C1 D2 【考点】实数与数轴 【专题】常规题型；能力层次 【答案】D 【分析】数轴上找到a 对应的点即可判断 【解答】解：将a，b 表示在数轴上得： aba b 不可能是2 故选：D 5.下列运算正确的是（ ） Aa2a3a6 Ba6a3a2 C2 3 D （）00 【考点】算术平方根；同底数幂的乘法；同底数幂的除法；零指数幂；负整数指数幂 【专题】整式；运算能力 【答案】C 【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答 案 【解答】解
14、：A、a2a3a5，故此选项错误； B、a6a3a3，故此选项错误； C、2 3 ，故此选项正确； D、 （）01，故此选项错误； 故选：C 6.为庆祝中国共产党建党 100 周年，某校开展了以“学党史知识迎建党百年”为主题的党史知识竞赛，并将 所有参赛学生的成绩进行统计整理，绘制成如图统计图（每个小组含前一个边界值，不含后一个边界 值） 根据图中的信息判断：关于这次知识竞赛成绩的中位数的结论正确的是（ ） A中位数在 60 分70 分之间 B中位数在 70 分80 分之间 C中位数在 80 分90 分之间 D中位数在 90 分100 分之间 【考点】中位数 【专题】统计的应用；数据分析观念
15、【答案】C 【分析】求出调查总人数，再根据中位数的意义求解即可 【解答】解：调查总人数为：30+90+90+60270（人） ， 将这 270 人的得分从小到大排列后，处在第 135、136 位的两个数都落在 8090 分之间， 因此中位数在 80 分90 分之间 故选：C 7.如图，在O 中，AB 是直径，CD 是弦，ABCD，下列结论错误的是（ ） AACOD BBCBD CAODCBD DABCODB 【考点】圆周角定理 【专题】圆的有关概念及性质；推理能力 【答案】A 【分析】根据圆周角定理得到ACB90，由于只有ABC30时，ACAB，ACOD，则可判 断 A 选项的结论错误；根据垂
16、径定理得到，所以 BCBD，则可对 B 选项进行判断； 根据圆周角定理得到AOD2ABD，利用ABDABC，则可对 C 选项进行判断；利用ODB OBD 可圆周角定理可对 D 选项进行判断 【解答】解：AB 为直径， ACB90， ABC30时，ACAB， 此时有 ACOD，所以 A 选项的结论错误； ABCD， ， BCBD，所以 B 选项的结论正确； AOD 和CBD 都对， AOD2ABD， ， ABDABC， AODCBD，所以 C 选项的结论正确； OBOD， ODBOBD， OBDABC， ABCODB，所以 D 选项的结论正确 故选：A 8.我国古代数学名著孙子算经中记载： “今
17、有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不 足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余 4.5 尺；将绳子对折再量木条， 木条剩余 1 尺，问木条长多少尺？如果设木条长 x 尺，绳子长 y 尺，那么可列方程组为（ ） A B C D 【考点】数学常识；由实际问题抽象出二元一次方程组 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识 【答案】A 【分析】直接利用“绳长木条+4.5；绳子木条1”分别得出等式求出答案 【解答】解：设木条长 x 尺，绳子长 y 尺，那么可列方程组为： 故选：A 9.如图，在等边ABC 中，点 D 和点 B 关于直线 AC 对称，连接 CD，过 D
18、作 DEBC，交 BC 的延长线于 点 E，若 CE5，则 BE 的长为（ ） A10 B15 C D 【考点】等边三角形的性质；含 30 度角的直角三角形；轴对称的性质 【专题】平移、旋转与对称；推理能力 【答案】B 【分析】连接 CD，构造含 30角的直角三角形 DCE，根据 BCDC 进行计算即可 【解答】解：如图， ABC 是等边三角形，点 D 和点 B 关于直线 AC 轴对称， BCDC，ACBACD60， DCE60， DECE，CE5， CDE30， CD2CE10， BC10 BEBC+CE10+515 故选：B 10.已知抛物线 yx2+（62m）xm2+3 的对称轴在 y
19、轴的右侧，当 x2 时，y 的值随着 x 值的增大而 减小，点 P 是抛物线上的点，设 P 的纵坐标为 t，若 t3，则 m 的取值范围是（ ） Am Bm3 Cm3 D1m3 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征 【专题】函数的综合应用；应用意识 【答案】B 【分析】根据对称轴在 y 轴的右侧、x2 时，y 的值随着 x 值的增大而减小、点 P 是抛物线上的点，设 P 的纵坐标为 t，t3，分别列不等式即可解得答案 【解答】解：抛物线 yx2+（62m）xm2+3 的对称轴为 xm+3， 抛物线 yx2+（62m）xm2+3 的对称轴在 y 轴的右侧， m+30，解得
20、 m3， 当 x2 时，y 的值随着 x 值的增大而减小，且二次项系数为1，抛物线开口向下， m+32，解得 m1， 点 P 是抛物线上的点，设 P 的纵坐标为 t，t3， 二次函数 yx2+（62m）xm2+3 最大值小于等于 3，即3， 解得 m， 由可得m3， 故选：B 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分. 11.分解因式：x24 【考点】因式分解运用公式法 【专题】因式分解 【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可 【解答】解：x24（x+2） （x2） 故答案为： （x+2） （x2） 12.如图，在平面直角坐标系中，点 A 在 x
21、轴的正半轴上，点 B 坐标为（4，3） ，则 tanAOB 的值为 【考点】坐标与图形性质；解直角三角形 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力 【答案】 【分析】过 B 作 x 轴的垂线，交 x 轴于 C，在 RtBOC 中求值即可 【解答】解：过 B 作 x 轴的垂线，交 x 轴于 C， 点 B 坐标为（4，3） ， tanAOB， 故答案为： 13.今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了 5 棵，每棵产量的平均数 （单位：千克）及 方差 s2（单位：千克 2）如表所示： 甲 乙 丙 45 45 42 s2 1.8 2.3 1.8 明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定
22、的枇杷树进行种植，则应选的品种是 【考点】算术平均数；方差 【专题】统计的应用；应用意识 【答案】见试题解答内容 【分析】先比较平均数得到甲和乙产量较高，然后比较方差得到甲比较稳定 【解答】解：因为甲、乙的平均数比丙大，所以甲、乙的产量较高， 又甲的方差比乙小，所以甲的产量比较稳定， 即从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲； 故答案为：甲 14.如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，扇形的圆心角AOB120， 半径为 9m，则扇形的弧长是 m 【考点】弧长的计算 【专题】与圆有关的计算；推理能力 【答案】见试题解答内容 【分析】直接利
23、用弧长公式求解即可 【解答】解：l6， 故答案为：6 15.如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则BAC 的度数为 【考点】等腰三角形的性质；多边形内角与外角 【专题】多边形与平行四边形；推理能力 【答案】36 【分析】利用全等三角形的性质和正五边形的定义可判断五边形花环为正五边形，根据多边形的内角和 定理可计算出ABD108，然后根据三角形内角和求解即可 【解答】解：如图， 五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的， 五边形花环为正五边形， ABD108， ABC+CBDABC+BAC108， BCA18010872， BAC1802BCA36 故答案为：36 16.如图，在
24、 RtABC 中，ACB90，AB8，直线 AB 经过原点 O，点 C 在 y 轴上，AC 交 x 轴于点 D， CD：AD4：3，若反比例函数经过 A，B 两点，则 k 的值为 【考点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征 【专题】反比例函数及其应用；模型思想 【答案】3 【分析】过点 A 作 AEx 轴于点 E，可得CODAED，根据对应边成比例可知 CO4，进而可得 A 的坐标，代入即可得 k 【解答】解：过点 A 作 AEx 轴于点 E， ODCEDA，CODAED90， CODAED， ， A、B 关于原点对称， OAOB， ABC 为直角三角形， COAB84， AE3，
25、 DE， A（，3） ， 把 A 的坐标代入可得 k3 故答案为：3 三、解答题：本题共 9 小题，共 86 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解不等式组： 【考点】解一元一次不等式组 【专题】一元一次不等式(组)及应用；运算能力 【答案】3x4 【分析】先求出不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出即可 【解答】解：解不等式，得 x3， 解不等式，得 x4， 原不等式组的解集为 3x4 18.如图，AC 为正方形 ABCD 的对角线，E 为 AC 上一点，且 AEAB，过 E 作 EFAC，交 BC 于点 F 求证：BFEF 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
26、 【专题】矩形 菱形 正方形；应用意识 【答案】答案见解析 【分析】连接 AF，由正方形的性质和已知条件证明 RtABFRtAEF 全等即可 【解答】证明：连接 AF， 四边形 ABCD 为正方形，EFAC， BAEF90， 在 RtABF 和 RtAEF 中， RtABFRtAEF（HL） ， BFEF 19.先化简，再求值：，其中 a 【考点】分式的化简求值 【专题】分式；运算能力 【答案】， 【分析】 根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子， 然后将 a 的值代入化简后的式子即可解答本题 【解答】解： ， 当 a时，原式 20.如图，在ABC 中，点 D 在 AB 边上，且 AD：AB
27、2：3 （1）在 AC 边求作点 E，使 AE：AC2：3； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若ABC 的周长为 12，求ADE 的周长 【考点】作图复杂作图 【专题】作图题；几何直观 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）作 DEBC 交 AC 于点 E 即可 （2）利用相似三角形的性质求解即可 【解答】解： （1）如图，点 E 就是所求作的点 （2）AE：AC2：3，AD：AB2：3， AE：ACAD：AB， AA， ADEABC， ADE 的周长：ABC 的周长AD：AB2：3， ABC 的周长为 12， ADE 的周长为 8 21.如图，点 M，N
28、 在以 AB 为直径的O 上，弦 MN 交 AB 于点 C，BM 平分ABD，直线 EF 过 点 M，且 EFBD，垂足为 F （1）求证：EF 是O 的切线 （2）若 CM5，CN6，求 BN 的长 【考点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质 【专题】图形的相似；推理能力 【答案】 （1）证明见解析； （2） 【分析】 （1）连接 OM，根据垂直定义及角平分线定义得OMBMBF然后再根据平行线的性质可 得OMEBFM90，最后由切线的判定方法可得结论； （2）根据圆的性质得ABNBMN然后由相似三角形的判定与性质可得答案 【解答】证明： （1）连接 OM
29、， MFBD， BFM90 OMOB， OMBOBM BM 平分ABD， OBMMBF OMBMBF OMBF OMEBFM90 MF 是O 的切线 （2）解：， ABNBMN 又NN， BCNMBN BN 22.某校为改善办学条件，计划购进 A，B 两种规格的书架，经市场调查发现有线下和线上两种购买方式， 具体情况如下表： 规格 线下 线上 单价（元/个） 运费（元/个） 单价（元/个） 运费（元/个） A 300 0 260 20 B 360 0 300 30 （1）如果在线下购买 A，B 两种书架共 20 个，花费 6720 元，求 A，B 两种书架各购买了多少个； （2）如果在线上购买
30、 A，B 两种书架共 20 个，且购买 B 种书架的数量不少于 A 种书架的 2 倍，请设计 出花费最少的购买方案，并计算按照这种方案购买线上比线下节约多少钱 【考点】一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用 【专题】销售问题；应用意识 【答案】 （1）8 个，12 个； （2）花费最少的购买方案是 A 种规格书架 6 个，B 种规格书架 14 个，节约 540 元 【分析】 （1）设购买 A 种书架 x 个，则购买 B 种书架（20 x）个，根据在线下购买 A，B 两种书架共 20 个，花费 6720 元，即可得出关于 x 的一元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买 A 种书架 m
31、个，所需总费用为 y 元，根据总价单价数量可得出 y 关于 m 的函系式，由 购买 B 种书架的数量不少于 A 种书架的 2 倍可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可得出 m 的取值 范围，再利用一次函数的性质结合 m 为整数即可解决最值问题 【解答】解： （1）设购买 A 种书架 x 个，则购买 B 种书架（20 x）个，根据题意，得 300 x+360（20 x）6720， 解得：x8， 20 x20812 答：购买 A 种书架 8 个，B 种书架 12 个 （2）设购买 A 种书架 m 个，所需总费用为 y 元，根据题意得 y280m+330（20m）50m+6600， 又由 20m
32、2m，得 m， 500， y 的值随着 m 值的增大而减小， 又m 为整数， m6， 20m14， 花费最少的购买方案是 A 种规格书架 6 个，B 种规格书架 14 个 此时线上购买所需费用506+66006300 线下购买所需费用3006+360146840（元） ， 68406300540（元） ， 按照这种方案购买线上比线下节约 540 元 23.某款热销净水器使用寿命为十年，过滤功能由核心部件滤芯来实现在使用过程中，滤芯需要不定期更 换，滤芯每个 200 元，若在购买净水器的同时购买滤芯，则滤芯可享受 5 折优惠（使用过程中如需再购 买无优惠） 如图是根据 100 位客户所购买的该款
33、净水器在十年使用期内更换滤芯的个数绘制成的频数分 布直方图（每位客户购买一台） （1） 以这 100 位客户所购买的净水器在十年使用期内更换滤芯的个数为样本，估计一台净水器在十年使 用期内更换滤芯的个数大于 10 的概率； （2）假设每位客户在购买净水器的同时购买滤芯 10 个，计算这 100 位客户所购买的净水器在十年使用 期内购买滤芯所需总费用的平均数 【考点】总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；频数（率）分布直方图；加权平均数；利用 频率估计概率 【专题】统计的应用；概率及其应用；数据分析观念 【答案】 （1）0.7； （2）1200 【分析】 （1）根据表中信息求得更换滤芯数大
34、于 10 的频数，然后利用概率公式求得答案即可； （2）利用平均数公式求解即可 【解答】解： （1）因为在 100 台净水器中，一台净水器在使用期内更换滤芯件数大于 10 的频数30+40 70（台） ， 故估计一台净水器在使用期内更换滤芯件数大于 10 的概率为； （2）按原价五折购买滤芯所需费用为 10100100100000 元， 按原价购买滤芯所需费用为 401200+30220020000 元， 所以平均费用为1200（元） ， 答：这 100 台净水器在使用期内购买滤芯所需总费用的平均数为 1200 元 24.在ABC 和ADE 中，ACBC，ADAE，ACBDAE90，点 E 在
35、 AB 上，点 F 在 EB 上， BCFBDE （1）如图，若 E 是 AB 中点，CE 延长线交 BD 于点 G，求证：CEFBEG； （2）如图，若 E 不是 AB 中点， 求证：CFBD； 求证：EFBF 【考点】三角形综合题 【专题】几何综合题；三角形；推理能力 【答案】证明见解答过程 【分析】 （1）根据等腰直角三角形的性质得到CEBBEG90，CEBE，根据三角形的外角性质 得到CFEBGE，利用 AAS 定理证明CEFBEG； （2）取 AB 的中点 M，连接 CM 并延长交 BD 于点 G，根据全等三角形的性质得到 CFBG，根据平 行线分线段成比例定理证明结论； 连接 FG
36、，根据全等三角形的性质得到 MFMG，根据平行线分线段成比例定理证明结论 【解答】证明： （1）在ABC 中，ACBC，ACB90，E 是 AB 中点， CEBBEG90，CEBE， ACBC，ADAE，ACBDAE90， ABCAED45， GED45 FCBBDE， FCB+ABCBDE+GED，即CFEBGE， 在CEF 和BEG 中， ， CEFBEG（AAS） ； （2）如图，取 AB 的中点 M，连接 CM 并延长交 BD 于点 G， 由（1）可知，CMFBMG， CFBG， ACBC，ACB90，M 是 AB 中点， BMG90，BMAM， DAE90， MGAD， BGGDBD
37、， CFBD； 如图，连接 FG， 由（2）可知，CMFBMG，BMG90， MFMG， MFG45， ADAE，DAE90， AED45， AEDMFG GFDE， ， CFBD， EFBF 25.已知抛物线的对称轴为直线 x2，且经过点 A（0，3）和点 B（3，0） （1）求抛物线的解析式； （2）点 C 坐标为（2，） ，过点 D（0，）作 x 轴的平行线 l，设抛物线上的任意一点 P 到直线 l 的距离为 d，求证：PCd； （3）点 E 在 y 轴上（点 E 位于点 A 下方） ，点 M，N 在抛物线上（点 M，N 均不同于点 A，点 M 在点 N 左侧） ， 直线 EM， EN
38、与抛物线均有唯一公共点， 直线 MN 交 y 轴于点 F， 求证： 点 A 为线段 EF 的中点 【考点】二次函数综合题 【专题】函数的综合应用；运算能力；应用意识 【答案】 （1）yx24x+3； （2）证明见解答过程； （3）证明见解答过程 【分析】 （1）根据对称轴，设立解析式，将坐标代入即可，此问有三种解法 （2）根据抛物线，设出点 P 的坐标，分别计算出 PC、d 的值即求证 （3）设点 E 坐标为 E（0，t） （t3） ，过点 E 的直线为 ymx+t，利用与抛物线只有一个公共点，联立 方程得到0，从而求出交点坐标根据交点坐标特点，即可求出直线 MN 的解析式从而得到点 F 的坐
39、标，即可求证结论了 【解答】解： （1）方法一： 抛物线的对称轴为直线 x2，可设其解析式为 ya（x2）2+h， 把 A（0，3）和点 B（3，0）代入上式得： 解得 抛物线表达式为 y（x2）21，整理得 yx24x+3 方法二： 设解析式为 yax2+bx+c（a0） ，由已知得： 解得 所求的抛物线表达式为 yx24x+3 方法三： 设解析式为 yax2+bx+c（a0） ， 抛物线的对称轴为直线 x2，且经过点 A（3，0） 抛物线过点（1，0） 把（3，0） ， （3，0） ， （0，3）代入为 yax2+bx+c，得 解得 所求抛物线表达式为 yx24x+3 （2）证明：设点 P
40、 坐标为 P（x， （x2）21） ， 则 d（x2）21（） PC2（x2）2+（x2）2+（x2）4+ PC PCd （3）证明：设点 E 坐标为 E（0，t） （t3） ，过点 E 的直线为 ymx+t， 则：x24x+3mx+t整理得，x2（4+m）x+3t0 当过点 E 的直线与抛物线只有一个公共点时 （m+4）24（3t）0， 则 ，即， ， 点 M 在点 N 左侧， ， 当时，4+36t+4， 所以点 M 坐标为 M（，6t+4） 同样可知 N 的坐标为 N（，6t4） 设直线 MN 的解析式为 ykx+b，则 解得， 直线 MN 的解析式为 y4x+6t 易知点 F 坐标为（0，6t） ， FA6t33t，AE3t， FAEA即 A 为 EF 的中点