1、2021 年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（四）年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（四） 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题本大题 共共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）下列各数中，比2 小的数是（ ） A3 B1 C0 D1 2 （3 分）据不完全统计， 截至 2020 年 4 月 2 号， 华为官方应用市场 “学习强国 APP”下载量已达 88300000 次将数据 88300000 用科学记数法表
2、示为（ ） A0.883109 B8.83108 C8.83107 D88.3106 3 （3 分）下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 4 （3 分）如图，在直角坐标系中，点 P（2，2）是一个光源木杆 AB 两端的坐标分别为（0，1） ， （3，1） 则 木杆 AB 在 x 轴上的投影长为（ ） A3 B5 C6 D7 5 （3 分）如图，AB 与O 相切于点 C，OAOB，O 的直径为 8，AB10，则 OA 的长为（ ） A3 B6 C D 6 （3 分）下列计算正确的是（ ） A B326 C （2）216 D1 7 （3 分）中国古代人民很早就在生产生活
3、中发现了许多有趣的数学问题，其中孙子算经中有个问题， 原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每 3 人共乘一车，最终剩余 2 辆车，若每 2 人共乘一车，最终剩余 9 个人无车可乘，求共有多少人？设有 x 人，根据题意可列方程为（ ） A2 B+2 C+2 D2 8 （3 分）按如图所示的运算程序，能使输出的结果是 3 的是（ ） Ax1，y1 Bx1，y2 Cx2，y1 Dx2，y2 9 （3 分）某班 17 名女同学的跳远成绩如下表所示： 成绩（m） 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 人数 2 3
4、 2 3 4 1 1 1 这些女同学跳远成绩的众数和中位数分别是（ ） A1.70，1.75 B1.75，1.70 C1.70，1.70 D1.75，1.725 10 （3 分）如图，ABCD，EF 与 AB，CD 分别交于点 G，H，CHG 的平分线 HM 交 AB 于点 M，若 EGB50，则GMH 的度数为（ ） A50 B55 C60 D65 11 （3 分）如图，在ABC 中，AB3，AC4，BC5，P 为边 BC 上一动点，PEAB 于 E，PFAC 于 F，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为（ ） A B C D 12 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC
5、是矩形，四边形 ADEF 是正方形，点 A、D 在 x 轴 的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，点 F 在 AB 上，点 B、E 在函数 y （x0，k0）的图象上若 正方形 ADEF 的面积为 4，且 BF2AF，则 k 的值为（ ） A24 B12 C6 D3 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 12 分）分） 13 （3 分）若二次根式有意义，则 x 的取值范围是 14 （3 分） 在不透明的袋中装有除颜色外其他都相同的 3 个红球和 2 个白球， 搅匀后从中随机摸出 2 个球， 则摸出的两个球恰好是一红一白的概率是 15
6、（3 分）如图，矩形 ABCD 的对角线交于点 O，以点 A 为圆心，AB 的长为半径画弧，刚好过点 O，以点 D 为 圆 心 ， DO 的 长 为 半 径 画 弧 ， 交 AD 于 点 E ， 若 AC 2 ， 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 （结果保留 ） 16 （3 分）某快递公司快递员甲匀速骑车去距公司 6000 米的某小区取物件，出发几分钟后，该公司快递员 乙发现甲的手机落在公司，于是立马匀速骑车去追赶甲，乙出发几分钟后，甲也发现自己的手机落在了 公司，立即调头以原速的 2 倍原路返回，1 分钟后遇到了乙，乙把手机给甲后，乙以原速的一半原路返 回公司，甲以返回时的速度继续
7、去小区取物件，刚好在事先预计的时间到达该小区甲、乙两人相距的 路程 y（米）与甲出发的时间 x（分钟）之间的关系如图所示（给手机及中途其它耽误时间忽略不计） ， 则甲到小区时，乙距公司的路程是 米 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 个小题，第个小题，第 17、18、19 题每小题题每小题 6 分，第分，第 20、21 题每小题题每小题 6 分，第分，第 22、23 题每题每 小题小题 6 分，第分，第 24、25 题每小题题每小题 6 分，共分，共 72 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （6 分）计算： 18
8、 （6 分）先化简，再求值：，其中 x2 19 （6 分）如图，小东在教学楼距地面 9 米高的窗口 C 处，测得正前方旗杆顶部 A 点的仰角为 37，旗杆 底部 B 点的俯角为 45，升旗时，国旗上端悬挂在距地面 2.25 米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在 国歌播放 45秒结束时到达旗杆顶端， 则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？ （参考数据： sin370.60， cos370.80，tan370.75） 20 （8 分）如图，在ABC 中，ABAC，D 是边 BC 延长线上一点，连接 ADAEBD，BACDAE， 连接 CE 交 AD 于点 F （1）若D36，求B 的度数； （2）若
9、CA 平分BCE，求证：ABDACE 21 （8 分） 某学校准备成立男女校足球队， 为了解全校学生对足球的喜爱程度， 该校设计了一个调查问卷， 将喜爱程度分为 A（非常喜欢） 、B（喜欢） 、C（不太喜欢） ，D（很不喜欢）四种类型，并派学生会会员 进行市场调查，其中一名学生会会员小丽在校门口对上学学生进行了随机调查，并根据调查结果制成了 如下两幅不完整的统计图，请结合统计图所给信息解答下列问题： （1）在扇形统计图（图 1）中 C 所占的百分比是 ；小丽本次抽样调查的人数共有 人； 请将折线统计图（图 2）补充完整； （2）为了解少数学生很不喜欢足球的原因，小丽决定在上述调查结果中从“很不
10、喜欢”足球的学生里随 机选 出两位进行回访，请你用列表法或画树状图的方法，求所选出的两位学生恰好是一男一女的概率 22 （9 分）小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价比小本作业本贵 0.3 元，已知用 8 元购买大本作业本的数量与用 5 元购买小本作业本的数量相同 （1）求大本作业本与小本作业本每本各多少元？ （2）因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数量是大本作业本数量的 2 倍，总费用 不超过 15 元则大本作业本最多能购买多少本？ 23 （9 分）如图，AB 是O 的直径，点 E 为线段 OB 上一点（不与 O，B 重合） ，作 ECOB，交O
11、 于点 C，作直径 CD，过点 C 的切线交 DB 的延长线于点 P，作 AFPC 于点 F，连接 CB （I）求证：AC 平分FAB； （2）求证：BC2CECP； （3）当 AB4且时，求弦 BC 与其所对的劣弧所组成的弓形面积 24 （10 分）已知抛物线 yax22ax（a0）与 x 轴交于点 A （1）求点 A 的坐标； （2）设抛物线的顶点为 P，点 B 是第一象限抛物线上的一动点，若 SOBP2SOAP，求证：点 B 总在一 条直线上运动； （3）若 a1，直线 yx+4 与抛物线交于点 M，N，点 C 是 x 轴下方抛物线上的一点，连接 CM 交 y 轴 于点 E， 直线 DM
12、 交 y 轴于点 F，交抛物线于点 D（D 在 N 左侧） ， NMDNMC， 求的值 25 （10 分）定义：若函数 yx2+bx+c（c0）与 x 轴的交点 A，B 的横坐标为 xA，xB，与 y 轴的交点 C 的 纵坐标为 yC，若 xA，xB中至少存在一个值，满足 xAyC（或 xByC） ，则称该函数为“M 函数” 如图， 函数 yx2+2x3 与 x 轴的一个交点 A 的横坐标为3，与 y 轴交点 C 的纵坐标为3，满足 xAyC，则 称 yx2+2x3 为“M 函数” （1）判断 yx24x+3 是否为“M 函数” ，并说明理由； （2）请探究“M 函数”yx2+bx+c（c0）
13、表达式中的 b 与 c 之间的关系； （3）若 yx2+bx+c 是“M 函数” ，且ACB 为锐角，求 c 的取值范围 2021 年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（四）年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（四） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题本大题 共共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）下列各数中，比2 小的数是（ ） A3 B1 C0 D1 【解答】解：比2
14、小的数是应该是负数，且绝对值大于 2 的数； 分析选项可得，只有 A 符合 故选：A 2 （3 分）据不完全统计， 截至 2020 年 4 月 2 号， 华为官方应用市场 “学习强国 APP”下载量已达 88300000 次将数据 88300000 用科学记数法表示为（ ） A0.883109 B8.83108 C8.83107 D88.3106 【解答】解：883000008.83107， 故选：C 3 （3 分）下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形故正确； B、是轴对称图形，不是中心对称图形故错误； C、不是轴对
15、称图形，是中心对称图形故错误； D、不是轴对称图形，不是中心对称图形故错误 故选：A 4 （3 分）如图，在直角坐标系中，点 P（2，2）是一个光源木杆 AB 两端的坐标分别为（0，1） ， （3，1） 则 木杆 AB 在 x 轴上的投影长为（ ） A3 B5 C6 D7 【解答】解：延长 PA、PB 分别交 x 轴于 A、B，作 PEx 轴于 E，交 AB 于 D，如图， P（2，2） ，A（0，1） ，B（3，1） PD1，PE2，AB3， ABAB， PABPAB， ，即， AB6， 故选：C 5 （3 分）如图，AB 与O 相切于点 C，OAOB，O 的直径为 8，AB10，则 OA
16、的长为（ ） A3 B6 C D 【解答】解：连接 OC， AB 与O 相切于点 C， OCAB， OAOB， ACBCAB5， 在 RtAOC 中， OA 故选：D 6 （3 分）下列计算正确的是（ ） A B326 C （2）216 D1 【解答】解：A、不能化简，所以此选项错误； B、36，所以此选项正确； C、 （2）2428，所以此选项错误； D、，所以此选项错误； 本题选择正确的，故选 B 7 （3 分）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中孙子算经中有个问题， 原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每 3 人共
17、乘一车，最终剩余 2 辆车，若每 2 人共乘一车，最终剩余 9 个人无车可乘，求共有多少人？设有 x 人，根据题意可列方程为（ ） A2 B+2 C+2 D2 【解答】解：设有 x 人， 依题意，得：+2 故选：C 8 （3 分）按如图所示的运算程序，能使输出的结果是 3 的是（ ） Ax1，y1 Bx1，y2 Cx2，y1 Dx2，y2 【解答】解：A、把 x1，y1 代入运算程序得：0+11，不符合题意； B、把 x1，y2 代入运算程序得：422，不符合题意； C、把 x2，y1 代入运算程序得：1+12，不符合题意； D、把 x2，y2 代入运算程序得：1+23，符合题意 故选：D 9
18、 （3 分）某班 17 名女同学的跳远成绩如下表所示： 成绩（m） 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 人数 2 3 2 3 4 1 1 1 这些女同学跳远成绩的众数和中位数分别是（ ） A1.70，1.75 B1.75，1.70 C1.70，1.70 D1.75，1.725 【解答】解：由表可知，1.75 出现次数最多，所以众数为 1.75； 由于一共调查了 2+3+2+3+1+1+117 人， 所以中位数为排序后的第 9 人，即：1.70 故选：B 10 （3 分）如图，ABCD，EF 与 AB，CD 分别交于点 G，H，CHG 的平分线 HM
19、交 AB 于点 M，若 EGB50，则GMH 的度数为（ ） A50 B55 C60 D65 【解答】解：ABCD， EHDEGB50， CHG180EHD18050130 HM 平分CHG， CHMGHMCHG65 ABCD， GMHCHM65 故选：D 11 （3 分）如图，在ABC 中，AB3，AC4，BC5，P 为边 BC 上一动点，PEAB 于 E，PFAC 于 F，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为（ ） A B C D 【解答】解：在ABC 中，AB3，AC4，BC5， AB2+AC2BC2， 即BAC90 又PEAB 于 E，PFAC 于 F， 四边形 AEPF 是矩形，
20、 EFAP M 是 EF 的中点， AMEFAP 因为 AP 的最小值即为直角三角形 ABC 斜边上的高，即等于， AM 的最小值是 故选：D 12 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是矩形，四边形 ADEF 是正方形，点 A、D 在 x 轴 的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，点 F 在 AB 上，点 B、E 在函数 y （x0，k0）的图象上若 正方形 ADEF 的面积为 4，且 BF2AF，则 k 的值为（ ） A24 B12 C6 D3 【解答】解：正方形 ADEF 的面积为 4， 正方形 ADEF 的边长为 2， BF2AF4，ABAF+BF2+46 设 B
21、 点坐标为（t，6） ，则 E 点坐标（t+2，2） ， 点 B、E 在反比例函数 y的图象上， k6t2（t+2） ， 解得 t1，k6 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 12 分）分） 13 （3 分）若二次根式有意义，则 x 的取值范围是 x 【解答】解：二次根式有意义， 2x10， 解得：x 故答案为：x 14 （3 分） 在不透明的袋中装有除颜色外其他都相同的 3 个红球和 2 个白球， 搅匀后从中随机摸出 2 个球， 则摸出的两个球恰好是一红一白的概率是 【解答】解：列表如下： 红 红 红 白 白 红 （红，红）
22、 （红，红） （红，白） （红，白） 红 （红，红） （红，红） （红，白） （红，白） 红 （红，红） （红，红） （红，白） （红，白） 白 （白，红） （白，红） （白，红） （白，白） 白 （白，红） （白，红） （白，红） （白，白） 由树状图知，共有 20 种等可能结果，其中摸出的两个球恰好一红一白的有 12 种结果， 摸出的两个球恰好一红一白的概率为， 故答案为： 15 （3 分）如图，矩形 ABCD 的对角线交于点 O，以点 A 为圆心，AB 的长为半径画弧，刚好过点 O，以点 D 为圆心，DO 的长为半径画弧，交 AD 于点 E，若 AC2，则图中阴影部分的面积为 （结果保
23、留 ） 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， OAOCOBOD， ABAO， ABO 是等边三角形， BAO60， EDO30， AC2， OAOD1， 图中阴影部分的面积为：， 故答案为： 16 （3 分）某快递公司快递员甲匀速骑车去距公司 6000 米的某小区取物件，出发几分钟后，该公司快递员 乙发现甲的手机落在公司，于是立马匀速骑车去追赶甲，乙出发几分钟后，甲也发现自己的手机落在了 公司，立即调头以原速的 2 倍原路返回，1 分钟后遇到了乙，乙把手机给甲后，乙以原速的一半原路返 回公司，甲以返回时的速度继续去小区取物件，刚好在事先预计的时间到达该小区甲、乙两人相距的 路程 y（米）与甲
24、出发的时间 x（分钟）之间的关系如图所示（给手机及中途其它耽误时间忽略不计） ， 则甲到小区时，乙距公司的路程是 1500 米 【解答】解：设甲开始的速度为 a（m/min） ，则甲后来的速度为 2a（m/min） ， 由题意可得，9+， 解得，a500， 设乙的速度为 b（m/min） ，由甲乙相遇知， （9）b+2a1（91）a， b1000， 甲乙相遇时乙距公司的路程为： （9）10003000， 甲到达小区的时间为：12（min） ， 甲到小区时，乙距公司的路程为：30001000（129）1500（m） ， 故答案为：1500 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 个小题，第
25、个小题，第 17、18、19 题每小题题每小题 6 分，第分，第 20、21 题每小题题每小题 6 分，第分，第 22、23 题每题每 小题小题 6 分，第分，第 24、25 题每小题题每小题 6 分，共分，共 72 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （6 分）计算： 【解答】解：原式1+21 1+11 18 （6 分）先化简，再求值：，其中 x2 【解答】解： ， 当 x2 时， 原式 19 （6 分）如图，小东在教学楼距地面 9 米高的窗口 C 处，测得正前方旗杆顶部 A 点的仰角为 37，旗杆 底部 B 点的俯角为
26、45，升旗时，国旗上端悬挂在距地面 2.25 米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在 国歌播放 45秒结束时到达旗杆顶端， 则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？ （参考数据： sin370.60， cos370.80，tan370.75） 【解答】解：在 RtBCD 中，BD9 米，BCD45，则 BDCD9 米 在 RtACD 中，CD9 米，ACD37，则 ADCDtan3790.756.75（米） 所以，ABAD+BD15.75 米， 整个过程中旗子上升高度是：15.752.2513.5（米） ， 因为耗时 45s， 所以上升速度 v0.3（米/秒） 答：国旗应以 0.3 米/秒的速度匀速上
27、升 20 （8 分）如图，在ABC 中，ABAC，D 是边 BC 延长线上一点，连接 ADAEBD，BACDAE， 连接 CE 交 AD 于点 F （1）若D36，求B 的度数； （2）若 CA 平分BCE，求证：ABDACE 【解答】解： （1）AEBD， DAED， DAEBAC， DBAC36， ABAC， BACB， B72 （2）证明：CA 平分BCE， BCAACE， BACB， BACE， BACDAE， BADCAE， 在ABD 和ACE 中， ， ABDACE（ASA） 21 （8 分） 某学校准备成立男女校足球队， 为了解全校学生对足球的喜爱程度， 该校设计了一个调查问卷，
28、 将喜爱程度分为 A（非常喜欢） 、B（喜欢） 、C（不太喜欢） ，D（很不喜欢）四种类型，并派学生会会员 进行市场调查，其中一名学生会会员小丽在校门口对上学学生进行了随机调查，并根据调查结果制成了 如下两幅不完整的统计图，请结合统计图所给信息解答下列问题： （1）在扇形统计图（图 1）中 C 所占的百分比是 22% ；小丽本次抽样调查的人数共有 50 人； 请将折线统计图（图 2）补充完整； （2）为了解少数学生很不喜欢足球的原因，小丽决定在上述调查结果中从“很不喜欢”足球的学生里随 机选 出两位进行回访，请你用列表法或画树状图的方法，求所选出的两位学生恰好是一男一女的概率 【解答】解： （
29、1）在扇形统计图中 C 所占的百分比是：120%52%6%22%； 小丽本次抽样调查的共有人数是：50（人） ； 不太喜欢足球的男生有：5022%56（人） ， 很不喜欢足球的男生有：506%12（人） ， 补图如下： 故答案为：22%，50； （2）根据题意画图如下： 共有 6 种情况，是一男一女的有 4 种情况， 故所选出的两位学生恰好是一男一女的概率是 22 （9 分）小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价比小本作业本贵 0.3 元，已知用 8 元购买大本作业本的数量与用 5 元购买小本作业本的数量相同 （1）求大本作业本与小本作业本每本各多少元？ （2）因作业
30、需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数量是大本作业本数量的 2 倍，总费用 不超过 15 元则大本作业本最多能购买多少本？ 【解答】解： （1）设小本作业本每本 x 元，则大本作业本每本（x+0.3）元， 依题意，得：， 解得：x0.5， 经检验，x0.5 是原方程的解，且符合题意， x+0.30.8 答：大本作业本每本 0.8 元，小本作业本每本 0.5 元 （2）设大本作业本购买 m 本，则小本作业本购买 2m 本， 依题意，得：0.8m+0.52m15， 解得：m m 为正整数， m 的最大值为 8 答：大本作业本最多能购买 8 本 23 （9 分）如图，AB 是O 的直径，点
31、 E 为线段 OB 上一点（不与 O，B 重合） ，作 ECOB，交O 于点 C，作直径 CD，过点 C 的切线交 DB 的延长线于点 P，作 AFPC 于点 F，连接 CB （I）求证：AC 平分FAB； （2）求证：BC2CECP； （3）当 AB4且时，求弦 BC 与其所对的劣弧所组成的弓形面积 【解答】证明： （1）PF 是切线， OCPF， AFPF， AFOC FACACO， OAOC， OACACO， FACCAB，即 AC 平分FAB； （2）OCOB， OCBOBC， PF 是O 的切线，CEAB， OCPCEB90， PCB+OCB90，BCE+OBC90， BCEBCP，
32、 CD 是直径， CBDCBP90， CBECPB， ， BC2CECP； （3）作 BMPF 于 M则 CECMCF，设 CECMCF3a，PC4a，PMa， MCB+P90，P+PBM90， MCBPBM， CD 是直径，BMPC， CMBBMP90， BMCPMB， ， BM2CMPM3a2， BMa， tanBCM， BCM30， OCBOBCBOC60， AB4， BCOCOB2， 弦 BC 与其所对的劣弧所组成的弓形面积1223 24 （10 分）已知抛物线 yax22ax（a0）与 x 轴交于点 A （1）求点 A 的坐标； （2）设抛物线的顶点为 P，点 B 是第一象限抛物线上
33、的一动点，若 SOBP2SOAP，求证：点 B 总在一 条直线上运动； （3）若 a1，直线 yx+4 与抛物线交于点 M，N，点 C 是 x 轴下方抛物线上的一点，连接 CM 交 y 轴 于点 E， 直线 DM 交 y 轴于点 F，交抛物线于点 D（D 在 N 左侧） ， NMDNMC， 求的值 【解答】解： （1）令 y0， 即得 ax22ax0， ax（x2）0， x2， A 坐标为（2，0） ； （2）易知 P 点横坐标为1， ypa2aa， 设 B 为（m，am22am） ， 而 P 为（1，a） ， 当直线 BP 设为 ykx+b 时， ， 令得 k（m1）am22am+aa（m2
34、2m+1）a（m1）2， 若 B 在第一象限，则 m2， m10， ka（m1） ， bam， 直线 BP 为 ya（ma）xam， 设 PB 与 x 轴交于 T， 则 T 坐标即为 a（m1）xam0 的解，xT为， SOPBOT（yByP）（am22am+a）am（m1） ， SOAPOA|yP|2aa， 若 SOBP2SOAP， 则有 2aam（m1） ， 得 m2m4， B 坐标可写成（m，4aam） ， 而 4aama（4m） ， B 在直线 ya（4x）上； （3）联立 yx22x 与 yx+4， 得 x14，x21， N 为（1，3） ，M 为（4，8） ， 过 M 作 MGy
35、轴，过 E、M 各作 y 轴与 x 轴垂线，相交于点 H， 可知H90， 直线 NM 为 yx+4， GMNHMN45， 若DMNNME， 则GMFEMH，且MGFH90， MGFMHE， ， 而 MGEHxm4， GFMHMGHE16， GFOGOF8OF， MHOE+8， （8OF） （OE+8）16， OEOF6， （OEOF） 25 （10 分）定义：若函数 yx2+bx+c（c0）与 x 轴的交点 A，B 的横坐标为 xA，xB，与 y 轴的交点 C 的 纵坐标为 yC，若 xA，xB中至少存在一个值，满足 xAyC（或 xByC） ，则称该函数为“M 函数” 如图， 函数 yx2+
36、2x3 与 x 轴的一个交点 A 的横坐标为3，与 y 轴交点 C 的纵坐标为3，满足 xAyC，则 称 yx2+2x3 为“M 函数” （1）判断 yx24x+3 是否为“M 函数” ，并说明理由； （2）请探究“M 函数”yx2+bx+c（c0）表达式中的 b 与 c 之间的关系； （3）若 yx2+bx+c 是“M 函数” ，且ACB 为锐角，求 c 的取值范围 【解答】解： （1）yx24x+3 是“M 函数” ，理由如下： 当 x0 时，y3；当 y0 时，x1 或 3， yx24x+3 与 x 轴一个交点的横坐标和与 y 轴交点的纵坐标都是 3， yx24x+3 是“M 函数” ；
37、 （2）当 x0 时，yc，即与 y 轴交点的纵坐标为 c， yx2+bx+c 是“M 函数” ， xc 时，y0，即（c，0）在 yx2+bx+c 上， 代入得：0c2+bc+c， 0c（c+b+1） ， 而 c0， b+c1； （3）如图 1，当 C 在 y 轴负半轴上时， 由（2）可得：cb1，即 yx2+bxb1， 显然当 x1 时，y0， 即与 x 轴的一个交点为（1，0） ， 则ACO45， 只需满足BCO45，即 BOCO， c1； 如图 2，当 C 在 y 轴正半轴上，且 A 与 B 不重合时， 显然都满足ACB 为锐角， c0，且 c1； 当 C 与原点重合时，不符合题意， 综上所述，c1 或 c0，且 c1