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2021届湖南省六校高三上学期联考(一)数学试题(教师版含解析)

1、湖南六校联考试卷湖南六校联考试卷( (一一) )试卷试卷 一一 选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. . 1. 已知全集= 0,1,2,3,4U,集合 1,2,3 ,2,4AB,则 UA B 为( ) A. 1,2,4 B. 4 C. 0,2,4 D. 0,2,3,4 【答案】C 【解析】 【分析】 首先根据题意求出 UA ,再根据并集运算即可求出结果. 【详解】由题意可知 U 0,4A 所以 0,42,40,2,4 UA B UU. 故选:C. 【点睛】本题主要考查了集合补集和并集的运算,属于基础题. 2. 下

2、列选项中正确的是( ) A. 若acbc,则ab B. 若ab,cd,则acbd C. 若ab,则 11 ab D. 若 22 acbc,则a b 【答案】D 【解析】 【分析】 利用不等式的性质,结合特例法逐一判断即可. 【详解】A:只有当0c 时,才能由acbc推出ab,故本选项不正确; B:只有当 0,0bd时,才能由ab,c d推出acbd,故本选项不正确; C:当 0,1ab 时,显然ab成立,但是 11 ab 显然不成立,因此本选项不正确; D:因为 22 acbc,所以0c ,因此本选项正确. 故选:D 【点睛】本题考查了不等式性质的应用,属于基础题. 3. 已知等比数列 n a

3、中, 3 117 4a aa,数列 n b是等差数列,且 77 ba,则 59 bb( ) A. 2 B. 4 C. 16 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】 利用等比数列性质求出 a7,然后利用等差数列的性质求解即可 【详解】等比数列an中,a3a114a7, 可得 a724a7,解得 a74,且 b7a7, b74, 数列bn是等差数列,则 b5+b92b78 故选 D 【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用,考查计算能力 4. 对于任意两个正整数m,n, 定义某种运算“”如下: 当m,n都为正偶数或正奇数时,mnm n ; 当m,n中一个为正偶数,另一个为

4、正奇数时,mnmn ,则在此定义下,集合 ( , )|12,*,*Ma babab NN中的元素个数是( ) A. 10 个 B. 15 个 C. 16 个 D. 18 个 【答案】B 【解析】 【分析】 根据定义知12ab 分两类进行考虑,, a b一奇一偶, 则12ab,, a b同奇偶, 则12a b , 由, ab N 列出满足条件的所有可能情况即可. 【详解】根据定义知12ab 分两类进行考虑,, a b一奇一偶,则12ab,, a bN,所以 可能的取值为(1,12),(12,1),(3,4),(4,3), 共 4个,, a b同奇偶,则12a b ,由, a bN ,所以可能的取

5、 值为(2,10),(10,2),(1,11),(11,1), 3,9(),(9,3),(4,8),(8,4),(5,7),(7,5),(6,6),共 11个,所以符合要求的共 15 个,故选 B. 【点睛】本题主要考查了分类讨论思想,集合及集合与元素关系,属于中档题. 5. ABC的三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 coscos ab BA ,则ABC的形状是( ) A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】 利用正弦定理 sin sinsinsin abaA ABbB ,再结合已知 coscos

6、ab BA 可求得 sincos sincos AB BA ,从而可得 sin2sin2AB,可判断ABC的形状. 【详解】解:ABC中,由正弦定理得: sinsin ab AB , sin sin aA bB ,又 coscos ab BA , sincos sincos AB BA , sin2sin2AB, AB或22AB, 即AB或 2 AB , ABC为等腰三角形或直角三角形. 故选:D. 【点睛】本题考查判断三角形的形状,利用正弦定理化边为角后,由正弦函数性质可得角的关系,得三角 形形状 6. 设常数aR.若 5 2 a x x 的二项展开式中 7 x项的系数为15,则a( ) A

7、. 2 B. 2 C. 3 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 利用通项公式求出 7 x项的系数且等于-15,建立关于a的方程,求解即可 . 【详解】 5 2 a x x 的二项展开式的通项公式为 5 2 15 r r r r a TCx x 10 3 5 rrr aCx ,0,1,2,3,4,5r . 令10 37r,得1r , 所以展开式中 7 x项 系数为 1 5 15a C ,解得3a. 故选:D. 【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式,属于基础题. 7. 唐代诗人李顾的诗古从军行开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣 的数学问题一“将军饮马”问题,

8、即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样 走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为 22 1xy,若将军从点3,0A处出发, 河岸线所在直线方程为4xy,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总 路程为( ) A. 171 B. 172 C. 17 D. 3 2 【答案】A 【解析】 【分析】 求出A关于4xy的对称点 A ,根据题意,则1AC为最短距离,即可得答案; 【详解】设点A关于直线4xy的对称点,A a b ,设军营所在区域为的圆心为C, 根据题意,1AC为最短距离,先求出 A 的坐标, AA 的中点为 3 , 22

9、ab ,直线 AA 的斜率为 1, 故直线 AA 为3yx, 由 3 4 22 3 ab ba ,解得4a,1b, 所以 22 4117AC , 故1171AC , 故选:A. 【点睛】本题考查点关于直线对称及圆外一点到圆上点距离的最小值,考查函数与方程思想、转化与化归 思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力. 8. 已知 12 FF, 是椭圆与双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且 12 PFPF,线段 1 PF的垂直平分 线过 2 F,若椭圆的离心率为 1 e,双曲线的离心率为 2 e,则 2 1 e2 e2 的最小值为( ) A. 6 B. 3 C. 6 D. 3 【答案】C 【解析

10、】 【分析】 利用椭圆和双曲线的性质,用椭圆双曲线的焦距长轴长表示 2 1 e2 e2 ,再利用均值不等式得到答案 【详解】设椭圆长轴 1 2a,双曲线实轴 2 2a,由题意可知: 122 2FFF Pc, 又 121122 2 ,2FPF PaFPF Pa, 1112 22 ,22FPcaFPca, 两式相减,可得: 12 2aac, 2 2112 122 242 222 eaa acc ecaca , 2 22 22 2222 1222 4 2842 42 2222 caacecaacac ecacaca , 22 22 2 222 22 aacc caca ,当且仅当 2 2 2 2 a

11、c ca 时取等号, 2 1 e2 e2 的最小值为 6, 故选:C 【点睛】本题考查了椭圆双曲线的性质,用椭圆双曲线的焦距长轴长表示 2 1 e2 e2 是解题的关键,意在考查 学生的计算能力 二二 多选题:本题共多选题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. .在每小题给出的选项中,有多项符合题目在每小题给出的选项中,有多项符合题目 要求要求. .全部选对的得全部选对的得 5 分,有选错的得分,有选错的得 0 分,部分选对的得分,部分选对的得 3 分分. . 9. 已知i为虚数单位,则下面命题正确的是( ) A. 若复数3 iz ,则 13 1010 i z

12、B. 复数z满足21zi,z在复平面内对应的点为, x y,则 2 2 21xy C. 若复数 1 z, 2 z满足 2 1 zz,则 12 0z z D. 复数1 3zi 的虚部是 3 【答案】ABC 【解析】 【分析】 直接运算可判断 A;由复数的几何意义和复数模的概念可判断 B;由共轭复数的概念,运算后可判断 C;由 复数虚部的概念可判断 D;即可得解. 【详解】由 1133 3 i3 i3 i1010 ii z ,故 A 正确; 由z在复平面内对应的点为, x y,则221zixyi,即 2 2 21xy , 则 2 2 21xy,故 B 正确; 设复数 1 zabi,则 2 zabi

13、,所以 2 1 2 2 0abiabzbiza,故 C正确; 复数1 3zi 的虚部是-3,故 D 不正确. 故选:A、B、C 【点睛】本题综合考查了复数的相关问题,属于基础题. 10. 下图是某市 6月 1日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于 100表示空气质量优良,空气 质量指数大于 200表示空气重度污染,某人随机选择 6月 1 日至 6月 13日中的某一天到达该市,并停留 2 天.下列说法正确的有( ) A. 该市 14 天空气质量指数的平均值大于 100 B. 此人到达当日空气质量优良的概率为 8 13 C. 此人在该市停留期间只有 1天空气重度污染的概率为 2 13

14、 D. 每连续 3天计算一次空气质量指数的方差,其中第 5天到第 7 天的方差最大 【答案】AD 【解析】 【分析】 结合所给统计图,逐个分析判断即可 【详解】 A. 1 (862557 143220 16040217 160 121 158867937)156 14 , 故正确; B.在 6月 1日至 6月 13 日这 13 天中,1日,2日,3日,7日,12 日,13 日共 6 天的空气质量优良,所以此 人到达当日空气质量优良的概率为 6 13 ,故不正确; C.6月 1 日至 6 月 14日连续两天包含的基本事件有 13 个,此人在该市停留期间只有 1天空气重度污染的基 本事件是4,5,

15、5,6,7,8,8,9共 4 个,所以此人在该市停留期间只有 1天空气重度污染的概率是 4 13 ,故不正确; D.空气质量指数趋势图可以看出,从 3月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大,故正确. 故选:AD. 【点睛】此题考查概率的求法,考查平均数的求法和方差的意义,考查运算求解能力,考查化归与转化思 想,属于中档题 11. 已知四棱台 1111 ABCDABC D的上下底面均为正方形,其中 2 2AB , 11 2AB , 111 2AABBCC,则下述正确的是( ) A. 该四棱台的高为3 B. 11 AACC C. 该四棱台的表面积为 26 D. 该四棱台外接球的表面积为16

16、【答案】AD 【解析】 【分析】 根据棱台的性质,补全为四棱锥,根据题中所给的性质,进行判断 【详解】解: 由棱台性质,画出切割前的四棱锥, 由于 2 2AB , 11 2AB ,可知 11 SA B 与 SAB相似比为1:2; 则 1 24SAAA ,2AO,则2 3SO ,则 1 3OO ,该四棱台的高为3,A对; 因为4SASCAC,则 1 AA与 1 CC夹角为60,不垂直,B错; 该四棱台的表面积为 22 2 14 824106 7 22 SSSS 上底下底侧 ,C错; 由于上下底面都是正方形,则外接球的球心在 1 OO上, 在平面 11 B BOO上中,由于 1 3OO , 11

17、1BO ,则 1 2OBOB,即点O到点B与点 1 B的距离相等,则 2rOB,该四棱台外接球的表面积为16,D对, 故选:AD 【点睛】本题考查立体几何中垂直,表面积,外接球的问题,属于难题 12. 已知函数 2 3 ,0 3 ,0 xx x f x f xx ,以下结论正确的是( ) A. f x在区间4,6上是增函数 B. 220204ff C. 若函数 yf xb在,6上有 6 个零点1,2,3,4,5,6 i x i ,则 6 1 9 i i x D. 若方程 1fxkx恰有 3个实根,则 1 1,1 3 k 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据 ( )f x在 2 ,0上的单调

18、性判断A,根据(2020)( 2)ff判断B,根据图象的对称性判断C,根据 直线1ykx与( )yf x的图象有 3个交点判断D 详解】解:由题意可知当3x 时, ( )f x是以 3 为周期的函数, 故 ( )f x在4,6上的单调性与( )f x在 2 ,0上的单调性相同, 而当0 x时, 2 39 ( )() 24 f xx , ( )f x在 2,0上不单调,故A错误; 又 (2020)( 2)2ff ,故 ( 2)(2020)4ff ,故B正确; 作出( )yf x的函数图象如图所示: 由于( )yf xb在(,6)上有 6个零点,故直线yb与( )yf x在(,6)上有 6 个交点

19、, 不妨设 1ii xx,1i ,2,3,4,5, 由图象可知 1 x, 2 x关于直线 3 2 x 对称, 3 x, 4 x关于直线 3 2 x 对称, 5 x, 6 x关于直线 9 2 x 对称, 6 1 339 2229 222 i i x ,故C正确; 若直线1ykx经过点(3,0),则 1 3 k , 若直线1ykx与 2 3 (0)yxx x相切,则消元可得: 2 (3)10 xk x , 令0 可得 2 (3)40k,解得1k 或5k , 当1k 时,1x,当5k 时,1x (舍),故1k 若直线1ykx与( )yf x在(0,3)上的图象相切,由对称性可得1k 因为方程( )1

20、f xkx恰有 3 个实根,故直线1ykx与( )yf x的图象有 3 个交点, 1 1 3 k 或1k ,故D正确 故选:BCD 【点睛】本题考查了函数零点与函数图象的关系,考查函数周期性、对称性的应用,属于中档题 三三 填空题:本大题共填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. .试题中包含两个空的,答对试题中包含两个空的,答对 1 个的给个的给 3 分,全部答对的给分,全部答对的给 5 分分. . 13. 已知1a , 6b , 4aba ,则向量a与b的夹角是_ 【答案】 2 3 【解析】 【分析】 由题得 2 4,a ba 再利用数量积的公式化简即

21、得解. 【详解】因为4aba , 所以 2 4, 1 6 cos,14a baa b , 所以 1 cos, 2 a b , 因为0, a b, 所以 2 , 3 a b. 向量a与b的夹角是 2 3 . 故答案为: 2 3 【点睛】本题主要考查数量积的计算和运算律,考查向量夹角的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌 握水平. 14. 已知随机变量 2 1,XN,若20.2P X ,则P X _. 【答案】0.8 【解析】 分析】 先根据正态分布对称性求P X ,再求.P X 【详解】因为随机变量 2 1,XN , 20.2P X , 所以20.2P XP X 因此11 0.20.8P XP

22、X 故答案为:0.8 【点睛】本题考查利用正态分布对称性求概率,考查基本分析求解能力,属基础题. 15. 如图,直四棱柱 1111 ABCDABC D,底面是边长为a的菱形, 60BAD, 1 2AAa ,则直线 11 AC 与 1 BC成角的余弦值为_ 【答案】 15 10 【解析】 【分析】 首先连接AC, 1 AB,得到 1 ACB或其补角为直线 11 AC与 1 BC成角,再求其余弦值即可. 【详解】连接AC, 1 AB,如图所示: 因为 11 /AC AC,所以 1 ACB或其补角为直线 11 AC与 1 BC成角. 因为底面是边长为a的菱形,60BAD, 1 2AAa, 所以 2

23、2 11 25ABCBaaa, 22 1 23 2 ACaaa aa. 222 1 355 15 cos 10235 aaa ACB aa . 所以直线 11 AC与 1 BC成角的余弦值为 15 10 . 故答案为: 15 10 【点睛】本题主要考查异面直线成角问题,平移找角为解题关键,属于中档题. 16. 已知函数 2sin 0f xx,则 f x的最大值为_,若 f x在区间, 4 3 上是增函 数,则的取值范围是_. 【答案】 (1). 2 (2). 3 0, 2 【解析】 【分析】 根据函数 2sin0f xx,易得 2sin2,2 f xx.根据 f x在区间, 4 3 上是增函

24、数,则有, 432 2 求解. 【详解】因为函数 2sin0f xx, 所以 2sin2,2 f xx, 所以 f x的最大值为 2, 因为 f x在区间, 4 3 上是增函数, 所以, 432 2 , 所以 42 32 , 解得 3 0, 2 . 故答案为:(1). 2 (2). 3 0, 2 【点睛】本题主要考查三角函数的值域和三角函数的单调性,还考查了理解辨析运算求解的能力,属于中 档题. 四四 解答题:本题共解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70分分. .解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. . 17. 已知函数 sinf xAx ,(0A,

25、0, 2 )的最小正周期为4. (1)从0 3 f ; 2 1 3 f ;xR ,都有 2 3 f xf 这三个条件中,选择合适的 两个条件,求函数 f x的解析式; (2)求(1)中所求得的函数 f x在区间 2 , 33 上的最大值和最小值. 【答案】(1) 1 2sin 26 xf x ;(2)最小值为-1,最大值为3. 【解析】 【分析】 (1)先根据周期得,或都能确定,所以选或,再根据确定A;(2)先根据自变量范围得 1 26 x 范围,再根据正弦函数性质求最值. 【详解】(1)因为 f x的最小正周期为4, 所以 2 4 ,解得 1 2 . 选: 因为0 3 f ,所以sin0 6

26、 , 解得 6 k ,kZ. 因为 2 ,所以 6 . 又因为 2 1 3 f , 所以sin1 36 A ,即sin1 6 A , 所以2A. 所以 1 2sin 26 xf x . 选: 因为x R,都有 2 3 f xf , 所以 2 3 x 时, f x取得最大值,即sin1 3 , 所以2 32 k ,kZ, 所以 2 ,所以 6 . 又因为 2 1 3 f , 所以sin1 36 A ,即sin1 6 A , 所以2A. 所以 1 2sin 26 xf x . (2)因为 2 , 33 x , 所以 1 , 266 3 x , 所以 13 sin, 2622 x , 当 2 3 x

27、 时, f x取得最小值为-1; 当 3 x 时, f x取得最大值为 3; 所以 f x取得最小值为-1,最大值为3. 【点睛】本题考查根据三角函数性质求函数解析式、根据正弦函数性质求最值,考查综合分析求解能力, 属中档题. 18. 已知 n S是数列 n a的前 n项和,且 1 4 nn SanN (1)求数列 n a的通项公式; (2)设 (2) (1) n n na b n n ,数列 n b的前n项和为 n T,求证: 1 4 n T 【答案】(1) 2 1 2 n n a ;(2)答案见详解 【解析】 【分析】 (1)结合已知条件再写一个 11 1 4 nn Sa ,两式相减,可得

28、 11nnn aaa ,得出 n a是首项为 1 1 8 a , 公比为 1 2 的等比数列. 即可得 n a通项. (2)将 n b通项表示出来,裂项相消求和即可得 n b的前n项和为 n T,再根据指数形式恒大于 0,即可证得 1 4 n T . 【详解】(1) 1 4 nn Sa, 11 1 4 nn Sa , 11 11 () 44 nnnn SSaa 11nnn aaa 即 1 1 2 nn aa , 令1n 得: 11 1 4 aa ,即 1 1 8 a , n a是首项为 1 1 8 a ,公比为 1 2 的等比数列, 12 2 1111 8222 nn n n a (2) (2

29、) (1) n n na b n n 21 2111 (1) 222(1) 2 n nnn n b n nnn 123 1223341 111111111111 2 1 22 22 2 23 22 3 24 222(1) 2 nn nn Tbbbb nn 112 111111 2 1 2(1)24(1) 24 nn nn , 1 4 n T . 【点睛】本题主要考查了已知 n S和 n a的关系,求 n a的通项,以及裂项相消求和,不等式的放缩,属于 中档题. 19. 如图,在四棱锥PABCD中,PA 平面ABCD,四边形ABCD为梯形, / /BCAD,ABAD,E 为侧棱PA上一点,且2A

30、EPE,3AP,2ABBC,4AD. (1)证明:/ /PC平面BDE. (2)求平面PCD与平面BDE所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)答案见解析;(2) 34 6 . 【解析】 【分析】 (1)连接AC交BD于点F,连接EF,证明EF/PC即可证明出PC/平面BDE; (2)建立空间坐标系,利用空间向量的方法,先计算出平面BDE和平面PCD的法向量,再利用向量的数量 积计算法向量的夹角的余弦值. 【详解】解:(1)证明:如图所示,连接AC交BD于点F,连接EF. 四边形ABCD为梯形,且2ADBC, :2:1AF CFAD BC,即2AFCF, 在PAC中,2AEPE,2AFCF, E

31、F/PC 又PC 平面BDE,EF 平面BDE, PC/平面BDE. (2)如图所示,以点A为坐标原点,以分别以AB、AD、AP为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系, 则2,0,0B,2,2,0C,0,4,0D,0,0,2E,0,0,3P. 所以,2,0,2BE ,2,4,0BD ,2,2, 3PC ,0,4, 3PD , 设 111 ,mx y z和 222 ,nx y z分别是平面BDE和平面PCD的法向量,则 0 0 m BD m BE ,得 11 11 240 220 xy xz ,令 1 2x 得 1 1y , 1 2z ,即2,1,2m , 0 0 n PC n PD ,得 222

32、 22 2230 430 xyz yz ,令 2 3y 得 2 3x , 2 4z ,即3,3,4n 所以, 1734 cos, 6334 m n m n mn , 故平面BDE和平面PCD所成角锐二面角的余弦值为平面 34 6 . 【点睛】本题考查空间线面平行的证明及二面夹角的计算问题,难度一般. 证明线面平行时要紧扣线面平行 的判定定理,二面角的计算一般通过法向量的夹角处理,准确计算出平面的法向量是关键. 20. 已知函数( ) lnf xmxnxx图象在点 , e f e处的切线方程为4yxe. (1)求函数 ( )f x的解析式; (2)若对任意(1,)x,不等式( )(1)1f xt

33、 x恒成立,求正整数 t的最大值. 【答案】(1)( )2lnf xxxx;(2)4. 【解析】 【分析】 (1)首先求出函数 ( )f x的定义域与导函数,然后根据题意及导数的几何意义建立关于 m 和 n 的方程求解即 可; (2)首先将不等式化为 2ln1 1 xxx t x ,然后构造函数,通过研究新函数的单调性求得其最小值,从而根 据恒成立求得正整数 t的最大值. 【详解】(1)函数 ( )f x的定义域为 0,, ( )lnfxnxmn , 所以有 ( )24 ( )4 f emn f emeneee ,解之得 2 1 m n , 故函数的解析式为:( )2lnf xxxx; (2)

34、( )(1)1f xt x可化为2ln(1) 1xxxt x, 因为(1,)x,所以 2ln1 1 xxx t x , 令 2ln1 ( ) 1 xxx g x x (1x ),则由题意知对任意的(1,)x,( )mintg x, 而 2 2ln ( ) (1) xx g x x ,(1,)x, 再令( )2lnh xxx(1x ),则 11 ( )10 x h x xx , 所以( )h x在(1,)上为增函数, 又(3)1ln30h ,(4)2ln40h, 所以存在唯一的 0 (3,4)x ,使得 0 ()0h x,即 00 2lnxx, 当 0 (1,)xx时,( )0h x ,( )0

35、g x,所以( )g x在 0 (1,)x上单调递减, 当 0 (,)xx时,( )0h x ,( )0g x,所以( )g x在 0 (,)x 上单调递增, 所以 000000 00 00 2ln12(2) 1 ( )()1 11 min xxxxx x g xg xx xx , 所以 0 1tx, 又 0 (3,4)x ,所以 0 1(4,5)x , 因为 t为正整数,所以 t的最大值为 4. 【点睛】本题考查导数的几何意义、不等式恒成立问题、导数的应用,意在考查逻辑思维能力、划归与转 化能力、运算求解能力以及方程思想,属于常考题. 21. 已知椭圆C: 22 22 10 xy ab ab

36、 ,四点 1 3 1, 2 P , 2 3 1, 2 P , 3 0,3P, 4 1,1P中恰有三 点在椭圆C上. 1求椭圆C的方程; 2直线l:0ykxm m与椭圆C有且仅有一个公共点,且与x轴和y轴分别交于点M,N,当 MON面积取最小值时,求此时直线l的方程. 【答案】 1 22 1 43 xy ; 2 3 6 2 yx或 3 6 2 yx . 【解析】 【分析】 1根据椭圆的对称性,必过 1 P, 2 P,必不过 4 P,进而代入坐标求出椭圆C的方程; 2将直线与椭圆方程联立,写出一元二次方程的形式,结合根的判别式和基本不等式,求出 3 2 k , 6m ,进而求出直线l的方程. 【详

37、解】解: 1根据椭圆的对称性,必过 1 3 1, 2 P , 2 3 1, 2 P ,必不过 4 1,1P, 代入点 3 0,3P得, 2 3b ,代入点 1 P得, 2 4a . 椭圆C的方程为: 22 1 43 xy . 2由 22 1 43 xy ykxm ,可得 222 4384120kxkmxm. 直线l与椭圆C有且仅有一个公共点,可知 2222 644 434120k mkm , 整理得 22 43mk. 由条件可得0k ,,0 m M k ,0,Nm, 2 11 222 MON mm SOMONm kk , 22 43mk, 2 4313 4 22 MON k Sk kk . 0

38、k , 13 42 3 2 k k , 当且仅当 3 4 k k ,即 3 2 k , 3 2 k 时等号成立, MON S最小值为2 3, 22 43mk, 2 6m ,又由0m,解得6m . 故此时直线l的方程为 3 6 2 yx或 3 6 2 yx . 【点睛】本题考查椭圆的标准方程及其性质,直线与椭圆相交的问题,考查分析问题能力,考查运算求解 能力,属于中档题. 22. 疫情期间,为支持学校隔离用餐的安排,保证同学们的用餐安全,食堂为同学们提供了 A 餐、B餐两种 餐盒.经过前期调研,食堂每天备餐时 A、B 两种餐盒的配餐比例为 3:1.为保证配餐的分量足,后勤会对每 天的餐盒的重量进

39、行抽查.若每天抽查 5个餐盒,假定每个餐盒的包装没有区分,被抽查的可能性相同, (1)求抽取的 5 个餐盒中有三个 B餐的概率; (2)某天配餐后, 食堂管理人员怀疑 B餐配菜有误, 需要从所有的餐盒中挑出一个 B餐盒查看.如果抽出一个 是 A 餐盒,则放回备餐区,继续抽取下一个;如果抽到的是 B餐盒,则抽样结束.规定抽取次数不超过 * Nn n 次.假定食堂备餐总数很大,抽样不影响备餐总量中 A、B 餐盒的比例.若抽样结束时抽到的 A 餐 盒数以随机变量 X 表示,求 X 的分布列与数学期望. 【答案】(1) 45 512 ;(2)分布列见解析,期望是 3 33 4 n . 【解析】 【分析

40、】 (1)用表示“抽取的 5 个餐盒中 B餐盒的个数”,则服从二项分布,即 1 5, 4 B ,由此可计算出概率; (2)X的可能取值为:0,1,2,n.依次计算出概率得分布列,由期望公式写出期望计算式,由数列求 和的错位相减法求得结论 【详解】解:(1)依题意,随机地抽取一个餐盒得到 B 餐盒的概率为 1 4 ,用表示“抽取的 5个餐盒中 B餐 盒的个数”,则服从二项分布,即 1 5, 4 B ,其中有三个 B餐盒的概率 23 3 5 3145 44512 PC . (2)X的可能取值为:0,1,2,n. 1 0 4 P X , 313 1 4416 P X , 1 31 1 44 n P

41、Xn , 3 4 n P Xn . 所以X的分布列为 X 0 1 2 1n n P 1 4 3 1 4 4 2 31 44 1 31 44 n 3 4 n X的数学期望为: 23 3 13131 ()123 4 44444 E X 1 313 1 444 nn nn 231 3313131 ()122 4444444 n E Xn 1 313 1 444 nn nn -得 231 13 131313131 () 44 444444444 nn E X 231 33 1 44 333333 ()3 1 3 444444 1 4 n nnn E X . 即X的数学期望为 3 33 4 n . 【点睛】本题考查二项分布,随机变量的概率分布列与数学期望,错位相减法求和考查了学生的数据处 理能力,运算求解能力属于中档题