1、2020-2021 学年学年南京市玄武区三校联考南京市玄武区三校联考八年级（下）期中数学试卷八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题 目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1 （3 分）下列调查中，最适合采用全面调查方式的是（ ） A调查太原市市民平均每日废弃口罩的数量 B调查某一批次 LED 灯泡的使用寿命 C调查“嫦娥五号”月球探测器零部件的合
2、格情况 D调查太原市市民进行垃圾分类的情况 2 （3 分）已知 M 表示一个整式，若是最简分式，则 M 可以是（ ） A7 B8x Cx2x Dy2 3 （3 分）下列等式成立的是（ ） A B C D 4 （3 分）有五张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字 1、2、3、4、5， （背面朝上）从中同时抽取两 张，则下列事件为必然事件的是（ ） A两张卡片的数字之和等于 2 B两张卡片的数字之和大于 2 C两张卡片的数字之和等于 8 D两张卡片的数字之和大于 8 5 （3 分）下列关于四边形的说法，正确的是（ ） A四个角相等的四边形是菱形 B对角线互相垂直的四边形是矩形 C有两边相等的平行四
3、边形是菱形 D两条对角线相等的菱形是矩形 6 （3 分）由于疫情的原因，拥有“中国医疗耗材之都”之称的河南长垣，这个冬天特别的忙!其中某医护 用品集团计划生产口罩 1500 万只，实际每天比原计划每天多生产 2000 只，结果提前五天完成任务，则 原计划每天生产多少万只口罩？设原计划每天生产 x 万只口罩，根据题意可列方程为（ ） A B C D 7 （3 分）如图所示，在菱形 ABCD 中，AC、BD 相交于 O，ABC70，E 是线段 AO 上一点，则BEC 的度数可能是（ ） A100 B70 C50 D20 8 （3 分）如图，在 RtABC 和 RtADE 中，BACDAE90，AB
4、AC5，ADAE2，点 P， Q， R 分别是 BC， DC， DE 的中点 把ADE 绕点 A 在平面自由旋转， 则PQR 的面积不可能是 （ ） A8 B6 C4 D2 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡 相应的位置上）相应的位置上） 9 （2 分）抛掷一枚均匀的硬币 10000 次，刚好有 5000 次正面朝上，是一个 事件 10 （2 分）分式的最简公分母是 11 （2 分）有一个类似我国古代数学名著九章算术中“米谷粒分”问题：粮仓开仓
5、收粮，有人送来米 1494 石，检验发现米内夹谷，抽样取米一把，数得 270 粒内夹谷 30 粒从调查的角度来看，这次抽样 调查的样本容量为 12 （2 分） “已知ABC，ABAC，求证：B90”时，如果用反证法证明，应先假设 13 （2 分）综合实践小组的同学们在相同条件下做了测定某种黄豆种子发芽率的实验，结果如表所示： 黄豆种子数（单位：粒） 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 发芽种子数（单位：粒） 762 948 1142 1331 1518 1710 1902 种子发芽的频率 （结果保留至小 数点后三位） 0.953 0.948 0.952 0.95
6、1 0.949 0.950 0.951 那么这种黄豆种子发芽的概率约为 （精确到 0.01） 14 （2 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是边 AD、BC 上一点，DEBF，连接 AC、EF、AF、 CE，若 AEAF，AC5，EF8，则四边形 AECF 的面积为 15 （2 分）式子称为二阶行列式，规定它的运算法则为adbc，则二阶行列式 16 （2 分）某工程队承接了 60 万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效 率比原计划提高了 25%， 结果提前 30 天完成了这一任务 设实际工作时， 每天绿化的面积为 x 万平方米， 则可列方程 17 （
7、2 分）若关于 x 的分式方程的解大于 1，则 m 的取值范围是 18 （2 分）如图，以 RtABC 的斜边 BC 为边，向外作正方形 BCDE，设正方形的对角线 BD 与 CE 的交点 为 O，连接 AO，若 AC3，AO6，则 AB 的值是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 56 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤）或演算步骤） 19 （6 分）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样，更便捷为此，老师设计了“你最喜 欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一
8、种） 某校八年级（1）班同学利用课余时间对全校师生进 行了抽样调查，并将统计结果绘制成如图所示两幅不完整的统计图： 请结合图中所给的信息解答下列问题： （1） 这次参与调查的共有 人， 在扇形统计图中， 表示 “微信” 的扇形圆心角的度数为 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）如果该校有 3600 人在使用手机： 请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的人数； 在该校师生中随机抽取一人，用频率估计概率，抽取的恰好使用“QQ”的概率是 20 （8 分）计算： （1） （） （x2xy） （2）先化简，再求值： （a+1），其中 a 从3，2，1 中取一个你认为合适的数 代入求值 21 （6 分）
9、解下列方程 （1）+1； （2）1 22 （5 分）如果记 f（x），并且 f（1）表示当 x1 时 y 的值，即 f（1），f（）表 示当 x时 y 的值，即 f（） （1）f（6） ；f（） ； （2）f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+f（n+1）+f（） （结果 用含 n 的代数式表示，n 为正整数） 23 （6 分）佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用 1200 元购进若干千克，且很快售完由于 水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了 10%，用 1452 元所购买的数量比第一次购进的 数量多 20 千克已知第一次购进的水果以每千克 8 元很快售完，第二
10、次购进的水果，以每千克 9 元售出 100 千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价 50%售完剩余的水果该果品店在 这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？ 24 （7 分）描述三角形的中位线定理并证明 三角形的中位线定理： 25 （7 分）如图，在ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E，F 在 BD 上，且 BEDF，连接 AE 并延长，交 BC 于点 G，连接 CF 并延长，交 AD 于点 H （1）求证：AECF； （2）若 AC 平分HAG，判断四边形 AGCH 的形状，并证明你的结论 26 （11 分） 【背景】已知：lmnk，平
11、行线 l 与 m、m 与 n、n 与 k 之间的距离分别为 d1，d2，d3，且 d1d31，d22我们把四个顶点分别在 l，m，n，k 这四条平行线上的四边形称为“格线四边形” 【探究 1】 （1）如图 1，正方形 ABCD 为“格线四边形” ，BEl 于点 E，BE 的反向延长线交直线 k 于点 F求正方形 ABCD 的边长 【探究 2】 （2）如图 2，菱形 ABCD 为“格线四边形”且 ADC60，AEF 是等边三角形，直线 DF 分别交直线 l，k 于点 G、点 M求证：ECDF 【拓展】 （3）如图 3，lk，等边ABC 的顶点 A，B 分别落在直线 l，k 上，ABk，垂足为点
12、B，过点 C 作 AC 的垂线分别交直线 l、k 于点 G、点 M，点 D 是线段 GM 上的动点（不与点 C 重合） ，点 E 是线 段 BM 上的动点（不与点 B 重合） ，且始终保持 ADAE，DHl，垂足为点 H请以 BC 与 DE 的不同 位置关系直接写出 HG 相应的范围 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题 目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）目要求的，请将正确选项的字母代
13、号填涂在答题卡相应位置上） 1 （3 分）下列调查中，最适合采用全面调查方式的是（ ） A调查太原市市民平均每日废弃口罩的数量 B调查某一批次 LED 灯泡的使用寿命 C调查“嫦娥五号”月球探测器零部件的合格情况 D调查太原市市民进行垃圾分类的情况 【解答】解：A、调查太原市市民平均每日废弃口罩的数量，适合采用抽样调查，故本选项不合题意； B、调查某一批次 LED 灯泡的使用寿命，适合采用抽样调查，故本选项不合题意； C、调查“嫦娥五号”月球探测器零部件的合格情况，适合采用全面调查方式，故本选项符合题意； D、调查太原市市民进行垃圾分类的情况，适合采用抽样调查，故本选项不合题意 故选：C 2
14、（3 分）已知 M 表示一个整式，若是最简分式，则 M 可以是（ ） A7 B8x Cx2x Dy2 【解答】解：M 表示一个整式，若是最简分式， 当 M7 时，是整式，不合题意，故 A 错误； 当 M8x 时，分子与分母可以约分，不合题意，故 B 错误； 当 Mx2x 时，分子与分母可以约分，不合题意，故 C 错误； 当 My2时，分子与分母不可以约分，符合题意，故 D 正确； 故选：D 3 （3 分）下列等式成立的是（ ） A B C D 【解答】解： （A）原式，故 A 错误； （C）是最简分式，故 C 错误； （D）原式，故 D 错误； 故选：B 4 （3 分）有五张背面完全相同的卡片
15、，正面分别标有数字 1、2、3、4、5， （背面朝上）从中同时抽取两 张，则下列事件为必然事件的是（ ） A两张卡片的数字之和等于 2 B两张卡片的数字之和大于 2 C两张卡片的数字之和等于 8 D两张卡片的数字之和大于 8 【解答】解：A、两张卡片的数字之和等于 2，是不可能事件； B、两张卡片的数字之和大于 2，是必然事件； C、两张卡片的数字之和等于 8，是随机事件； D、两张卡片的数字之和大于 8，是随机事件； 故选：B 5 （3 分）下列关于四边形的说法，正确的是（ ） A四个角相等的四边形是菱形 B对角线互相垂直的四边形是矩形 C有两边相等的平行四边形是菱形 D两条对角线相等的菱形
16、是矩形 【解答】解：A、四个角相等的四边形是矩形，说法错误，不符合题意； B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，说法错误，不符合题意； C、有两边相等的平行四边形不一定是菱形，说法错误，不符合题意； D、两条对角线相等的菱形是正方形，也是矩形，说法正确，符合题意； 故选：D 6 （3 分）由于疫情的原因，拥有“中国医疗耗材之都”之称的河南长垣，这个冬天特别的忙!其中某医护 用品集团计划生产口罩 1500 万只，实际每天比原计划每天多生产 2000 只，结果提前五天完成任务，则 原计划每天生产多少万只口罩？设原计划每天生产 x 万只口罩，根据题意可列方程为（ ） A B C D 【解答】解：设
17、原计划每天生产 x 万只口罩，则实际每天生产（x+1500）万只口罩， 根据题意知， 故选：D 7 （3 分）如图所示，在菱形 ABCD 中，AC、BD 相交于 O，ABC70，E 是线段 AO 上一点，则BEC 的度数可能是（ ） A100 B70 C50 D20 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，ABC70， ABO35，ACBD， BAC55， BECBAC+ABE， 55BEC90， 故选：B 8 （3 分）如图，在 RtABC 和 RtADE 中，BACDAE90，ABAC5，ADAE2，点 P， Q， R 分别是 BC， DC， DE 的中点 把ADE 绕点 A 在平面自由旋转
18、， 则PQR 的面积不可能是 （ ） A8 B6 C4 D2 【解答】解：连接 BD、CE，BD 的延长线交 CE 的延长线于 O，AC 交 BO 于 H ABAC，ADAE，BACDAE90， BADCAE， BADCAE， BDCE，ABHOCH， AHBCHO， OBAH90， 点 P，Q，R 分别是 BC，DC，DE 的中点， PQBD，PQBO，QREC，QRCO， BOOC， PQRQ，PQQR， PQR 是等腰直角三角形， SPQRPQ2， AB5，AD2， 3BD7， PQ， PQ2， PQR 的面积不可能是 8， 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题
19、，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡 相应的位置上）相应的位置上） 9 （2 分）抛掷一枚均匀的硬币 10000 次，刚好有 5000 次正面朝上，是一个 随机 事件 【解答】解：抛掷一枚均匀的硬币 10000 次，刚好有 5000 次正面朝上，是一个随机事件， 故答案为：随机 10 （2 分）分式的最简公分母是 x（x+2） （x2） 【解答】解：， 则最简公分母为 x（x+2） （x2） ， 故答案为：x（x+2） （x2） 11 （2 分）有一个类似我国古代数学名著九章算术中“米谷粒分”问题
20、：粮仓开仓收粮，有人送来米 1494 石，检验发现米内夹谷，抽样取米一把，数得 270 粒内夹谷 30 粒从调查的角度来看，这次抽样 调查的样本容量为 270 【解答】解：从调查的角度来看，这次抽样调查的样本容量为 270， 故答案为：270 12 （2 分） “已知ABC，ABAC，求证：B90”时，如果用反证法证明，应先假设 B90 【解答】解：用反证法证明“已知ABC，ABAC，求证：B90”时， 应先假设：B90， 故答案为：B90 13 （2 分）综合实践小组的同学们在相同条件下做了测定某种黄豆种子发芽率的实验，结果如表所示： 黄豆种子数（单位：粒） 800 1000 1200 14
21、00 1600 1800 2000 发芽种子数（单位：粒） 762 948 1142 1331 1518 1710 1902 种子发芽的频率 （结果保留至小 数点后三位） 0.953 0.948 0.952 0.951 0.949 0.950 0.951 那么这种黄豆种子发芽的概率约为 0.95 （精确到 0.01） 【解答】解：由表知随着试验次数的增加种子发芽的频率逐渐稳定再 0.95 附近， 所以这种黄豆种子发芽的概率约为 0.95， 故答案为：0.95 14 （2 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是边 AD、BC 上一点，DEBF，连接 AC、EF、AF、 CE，若 A
22、EAF，AC5，EF8，则四边形 AECF 的面积为 20 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ADBC，BD， BFDE， ABFCDE（SAS） ，AECF， AFCE， AEAF， 四边形 AFCE 是菱形， AC5，EF8， S菱形AFCEACEF5820， 故答案为：20 15 （2 分）式子称为二阶行列式，规定它的运算法则为adbc，则二阶行列式 【解答】解： （a2a） a1 a（a1） a a ， 故答案为： 16 （2 分）某工程队承接了 60 万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效 率比原计划提高了 25%， 结果提前 30
23、天完成了这一任务 设实际工作时， 每天绿化的面积为 x 万平方米， 则可列方程 30 【解答】解：设设实际工作时每天绿化的面积为 x 万平方米，则原计划工作每天绿化的面积为万 平方米， 依题意得：30 故答案为：30 17 （2 分）若关于 x 的分式方程的解大于 1，则 m 的取值范围是 m且 m4 【解答】解：去分母得：3（m2x）x2， 去括号得：3m6xx2， 解得：x， 根据题意得：1 且2， 解得：m且 m4 故答案为：m且 m4 18 （2 分）如图，以 RtABC 的斜边 BC 为边，向外作正方形 BCDE，设正方形的对角线 BD 与 CE 的交点 为 O，连接 AO，若 AC
24、3，AO6，则 AB 的值是 63 【解答】解：过 O 作 OFAB 于 F，OHAC，交 AC 延长线于 H， BAC90，OFAB，OHAC， 四边形 AFOH 为矩形 FOH90 COH+COF90 四边形 BCDE 为正方形， OBOC，BOC90 FOB+COF90 FOBCOH OFAB，OHAC， BFOCHO90 在BFO 和CHO 中， BFOCHO（AAS） BFCH，OFOH 矩形 AFOH 为正方形 AFAH，AOAH AO6， AH3 CHAHAC33 BFCH33 ABAF+BFAH+BF3+3363 故答案为 63 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小
25、题，共小题，共 56 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤）或演算步骤） 19 （6 分）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样，更便捷为此，老师设计了“你最喜 欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种） 某校八年级（1）班同学利用课余时间对全校师生进 行了抽样调查，并将统计结果绘制成如图所示两幅不完整的统计图： 请结合图中所给的信息解答下列问题： （1） 这次参与调查的共有 2000 人， 在扇形统计图中， 表示 “微信” 的扇形圆心角的度数为 144 ； （2）将条形统计图补充完整； （
26、3）如果该校有 3600 人在使用手机： 请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的人数； 在该校师生中随机抽取一人，用频率估计概率，抽取的恰好使用“QQ”的概率是 【解答】解： （1）喜欢用电话沟通的人数为 400，所占百分比为 20%， 此次共抽查了 40020%2000（人） ， 表示“微信”的扇形圆心角的度数为：360144， 故答案为：2000；144； （2）短信人数为 20005%100（人） ，微信人数为 2000（400+440+260+100）800（人） ， 如图： （3）由（2）知：参与调查的人中喜欢用“微信”进行沟通的人数有 800 人， 所以在全国使用手机的 13 亿人中
27、， 估计最喜欢用 “微信” 进行沟通的人数有 36001440 （人） ， 在该校 12000 人中，估计最喜欢用“微信”进行沟通的有 1440 人； 由（1）可知：参与这次调查的共有 2000 人，其中喜欢用“QQ”进行沟通的人数为 440 人， 所以，在参与这次调查的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“QQ”的频率是 所以，用频率估计概率，在该校使用手机的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“QQ”的概率是， 故答案为： 20 （8 分）计算： （1） （） （x2xy） （2）先化简，再求值： （a+1），其中 a 从3，2，1 中取一个你认为合适的数 代入求值 【解答】解： （1）原式x（x
28、y） x（xy） x； （2） （a+1） （a+1） a1， a+10，a240， a 不能为1，2，2， 取 a3， 当 a3 时，原式（3）12 21 （6 分）解下列方程 （1）+1； （2）1 【解答】解： （1）方程两边同乘以 x3，得 2x1x3， 解这个方程，得 x2， 检验，当 x2 时，原方程中的各个分母均不为零， 所以，x2 是原分式方程的根 所以，原方程的根为 x2； （2）方程两边同乘以（ x+2） （ x2） ，得（x2）2（x+2） （x2）16， 解这个方程，得 x2， 检验，当 x2 时， （x2） （x+2）0， 所以，x2 是原方程的增根 所以，原方程无解
29、 22 （5 分）如果记 f（x），并且 f（1）表示当 x1 时 y 的值，即 f（1），f（）表 示当 x时 y 的值，即 f（） （1）f（6） ；f（） ； （2）f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+f（n+1）+f（） +n （结果用含 n 的代数 式表示，n 为正整数） 【解答】解： （1）f（6）； f（）； （2）f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+f（n+1）+f（）f（1）+f（2）+f（）+f（3） +f（）+f（n+1）+f（） +1n +n 故答案为；+n 23 （6 分）佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用 1200 元购进若干千克，且
30、很快售完由于 水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了 10%，用 1452 元所购买的数量比第一次购进的 数量多 20 千克已知第一次购进的水果以每千克 8 元很快售完，第二次购进的水果，以每千克 9 元售出 100 千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价 50%售完剩余的水果该果品店在 这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？ 【解答】解：设第一次购进的单价为 x 元，则第二次购进的单价为（1+10%）x， 依题意得：20， 解得：x6， 经检验，x6 是原方程的解且符合题意 第一次购进的数量为 12006200（千克） ， 第二次购进的数量为
31、200+20220（千克） 8200+9100+9（150%）（220100）12001452388（元） 答：总体上是盈利，盈利 388 元 24 （7 分）描述三角形的中位线定理并证明 三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 【解答】解：定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 已知：ABC 中，点 E、F 分别是 AB、AC 的中点， 求证：EFAB，EFAB， 证明：如图，延长 EF 到 D，使 FDEF，连接 CD， 点 F 是 AC 的中点， AFCF， 在AEF 和CDF 中， ， AEFCDF（SAS） ， AECD，DAEF， ABC
32、D， 点 E 是 AB 的中点， AEBE， BECD， 四边形 BCDE 是平行四边形， DEBC，DEBC， DEBC，DEBC， 故答案为：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 25 （7 分）如图，在ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E，F 在 BD 上，且 BEDF，连接 AE 并延长，交 BC 于点 G，连接 CF 并延长，交 AD 于点 H （1）求证：AECF； （2）若 AC 平分HAG，判断四边形 AGCH 的形状，并证明你的结论 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， OAOC，OBOD， BEDF， OBBEODDF， 即
33、 OEOF， 又AOECOF， AOECOF（SAS） ， AECF （2）四边形 AGCH 是菱形理由如下： AOECOF， EAOFCO， AGCH， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， 四边形 AGCH 是平行四边形， ADBC， HACACB， AC 平分HAG， HACGAC， GACACB， GAGC， 平行四边形 AGCH 是菱形 26 （11 分） 【背景】已知：lmnk，平行线 l 与 m、m 与 n、n 与 k 之间的距离分别为 d1，d2，d3，且 d1d31，d22我们把四个顶点分别在 l，m，n，k 这四条平行线上的四边形称为“格线四边形” 【探究 1】 （
34、1）如图 1，正方形 ABCD 为“格线四边形” ，BEl 于点 E，BE 的反向延长线交直线 k 于点 F求正方形 ABCD 的边长 【探究 2】 （2）如图 2，菱形 ABCD 为“格线四边形”且 ADC60，AEF 是等边三角形，直线 DF 分别交直线 l，k 于点 G、点 M求证：ECDF 【拓展】 （3）如图 3，lk，等边ABC 的顶点 A，B 分别落在直线 l，k 上，ABk，垂足为点 B，过点 C 作 AC 的垂线分别交直线 l、k 于点 G、点 M，点 D 是线段 GM 上的动点（不与点 C 重合） ，点 E 是线 段 BM 上的动点（不与点 B 重合） ，且始终保持 ADA
35、E，DHl，垂足为点 H请以 BC 与 DE 的不同 位置关系直接写出 HG 相应的范围 【解答】 （1）解：如图 1， BEl，lk， AEBBFC90， 又四边形 ABCD 是正方形， 1+290，ABBC，2+390， 13， 在ABE 和BCF 中， ， ABEBCF（AAS） ， AEBF1， BEd1+d23， AB， 正方形的边长是 （2）证明：如图 2，连接 AC， 四边形 ABCD 是菱形， ADDC， 又ADC60， ADC 是等边三角形， ADAC AEk，AFD90， AECAFD90， AEF 是等边三角形， AFAE， 在 RtAFD 和 RtACE 中， ， Rt
36、AFDRtAEC（HL） ， ECDF （3）如图 3 中，过点 C 作 CTAG 于 T，过点 M 作 MKAG 于 K 在 RtACG 中，ACG90，ACAB4，AGC60， CG， 在 RtTCG 中，TGCG， 在 RtKMG 中，KMAB4，KG 当点 D 在线段 CM 上时，ABC 是等边三角形， ABCACB60， ABBM，ACCD， ABEACD90， MBCMCB30，BMC120， MBMC， BACA，AEAD， RtABERtACD（HL） ， BECD， MEMD， MEDMDE30， MEDMBC， DEBC， 观察图象可知，当GH时，DEBC 如图 4 中，当点 D 在线段 CG 上时，DE 与 BC 相交，此时 0GH 综上所述，当GH时，DEBC当 0GH时，DE 与 BC 相交