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2021届高考数学考前20天终极冲刺模拟试卷(17)含答案

1、考前考前 20 天终极冲刺高考模拟考试卷(天终极冲刺高考模拟考试卷(17) 一、一、选择题:本题共选择题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。求的。 1设集合 2 |20Mxxx, |Nx xa ,若MN,则实数a的取值范围是( ) A2a B2a C2a D2a 2若复数z满足 2(3)(12 )ziii ,则z的模为( ) A5 B3 C5 D3 3有 5 条同样的生产线,生产的零件尺寸(单位: )mm都服从正态分布 2 (20,)N,且 2 (1921)

2、3 PX , 在每条生产线上各取一个零件,恰好有 3 个尺寸在区间(20,21的概率为( ) A 64 243 B 80 243 C 16 81 D 40 243 4已知角满足 1cos21 1sin22 ,则tan ( ) A1 或3 B1 C1 或 3 D3 5某公园设置了一些石凳供大家休息,每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的,如图所 示如果一张石凳的体积是 3 0.18m,那么原正方体石料的体积是( ) A 3 0.196m B 3 0.216m C 3 0.225m D 3 0.234m 6在平面直角坐标系中,双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、

3、右焦点分别为 1 F, 2 F,抛物线 2 :2(0)Zypx p的焦点恰为 2 F, 点P是双曲线C和抛物线Z的一个交点, 且 212 | |PFFF , 则双曲线C的 离心率为( ) A21 B2 C3 D2 7若从 0,2,4 中任取 2 个数字,从 1,3 中任取 1 个数字,则可以组成没有重复数字的三位数的个数为( ) A18 B24 C28 D32 8 在关于x的不等式 2222 (4)40 xx e xaee xaee(其中2.71828e 为自然对数的底数) 的解集中, 有且仅有一个大于 2 的整数,则实数a的取值范围为( ) A 4 16 (5e, 1 2e B 2 4 3e

4、, 1 ) 2e C 4 16 (5e, 2 4 3e D 3 9 4e , 2 4 ) 3e 二、二、选择题:本题共选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分,部分选对的对分,部分选对的对 2 分,有选错的得分,有选错的得 0 分。分。 9已知由样本数据点集合( i x,)|1 i yi ,2,n,求得的回归直线方程为1.50.5yx ,且3x , 现发现两个数据点(1.2,2.2)和(4.8,7.8)误差较大,去除后重新求得的回归

5、直线l的斜率为 1.2,则( ) A变量x与y具有正相关关系 B去除后的回归方程为 1.21.4yx C去除后y的估计值增加速度变快 D去除后相应于样本点(2,3.75)的残差为 0.05 10已知,是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,且m,n ,m,n ,给出下列四 个论断: / /;/ /mn;/ /m;/ /n以其中三个论断为条件,剩余论断为结论组成四个命 题,其中正确的命题是( ) A B C D 11已知0a , 0b ,abab,则( ) A232 2ab B228 ab C 1 5ab ab D 11 2 ab 12设F是抛物线 2 :4C yx的焦点,直线l过点F且与抛物

6、线C交于A,B两点,O为坐标原点,则下列 结论正确的是( ) A| |4AB B| | 8OAOB C若点 (4,1)P ,则| |PAAF 的最小值是 5 D若AB倾斜角为 3 ,且| | |AFBF ,则| | 3|AFBF 三、填空题:本题共填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。分。 13若 5 () a x x 的展开式中 3 x的系数为 21 2 ,则实数a的值为 14在ABC中,内角A,B,C成等差数列,则 22 sinsinsinsinACAC 15著名的斐波那契数列 :1 n a ,1,2,3,5,8,满足 12 1aa, 21nnn aaa

7、 ,*nN,那么 3579201720192021 1aaaaaaa 是斐波那契数列的第 项 16 已知ABC中,4AB , 2AC ,60BAC,点M、N满足AM AB,(0,0)ANAC, 且 1 4 ,则BN CM 的最大值为 四、四、解答题:本题共解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c ,已知22 cosabcB (1)求角C; (2)若CD是角C的平分线,2 7AD ,7DB ,求CD的长 18记 n S为等差数列 n a 的前n项和,已知

8、2 8S , 654 235SSS (1)求通项公式 n a; (2)若 11 1 n nnnn b aaaa ,试求满足 12 3 10 n bbb的n的最小值 19 如图 1, 在等边ABC中, 点D、E分别为边AB、AC上的动点且满足 / /DEBC, 记 DE BC 将A D E 沿DE翻折到MDE的位置并使得平面MDE 平面DECB, 连接MB,MC得到图 2, 点N为MC的中点 (1)当/ /EN平面MBD时,求的值; (2)试探究:随着值的变化,二面角BMDE的大小是否改变?如果是,请说明理由;如果不是,请 求出二面角BMDE的正弦值大小 20甲乙两人用两颗质地均匀的骰子(各面依

9、次标有数字 1、2、3、4、5、6 的正方体)做游戏,规则如下: 若掷出的点数之和为 3 的倍数,则由原投掷人继续投掷,否则由对方接着投掷第一次由甲投掷 ()求第二次仍由甲投掷的概率; ()设游戏的前 4 次中乙投掷的次数为X,求随机变量X的分布列与期望 21已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别是 1 F, 2 F,点(0,1)P 在椭圆上,且 12 2PF PF (1)求椭圆的标准方程; (2)过点 (2, 1)Q 且不过点P的直线l交椭圆于A,B两点,求证:直线PA与PB的斜率之和为定值 22已知函数 2 1 ( )1() 2 x f xxmxemR (1)若

10、 ( )f x在R上是减函数,求m的取值范围; (2)当1m 时,证明 ( )f x有一个极大值点和一个极小值点 考前考前 20 天终极冲刺高考模拟考试卷(天终极冲刺高考模拟考试卷(17)答案)答案 1解:由已知可得 0M ,2, (, )Na , 因为MN,则只需2a , 故选:B 2解: 2 2(3)(1 2 )36255ziiiiiii , 34zi,则 22 | |34 |345zi 故选:A 3解: 2 (20,)XN,正态分布曲线的对称轴为 20 x , 又 2 (1921) 3 PX , 11 (2021)(1921) 23 PXPX剟 , 故在每条生产线上各取一个零件,恰好有

11、3 个尺寸在区间(20,21的概率为: 323 5 114140 (1)( )10 33927243 PC 故选:D 4解:角满足 2 222 1cos212cos2 1sin22sincos2sincostan12tan , 即 2 tan2tan30,求得tan 1 或tan3 , 故选:A 5解:设原正方体石料的棱长为am, 则原正方体石料的体积为 33 a m, 截去的八个四面体的体积为 3 3 11 8 322226 aaaa m, 则 3 33 5 0.18 66 a aa,得 33 0.216am, 即原正方体石料的体积为 3 0.216m, 故选:B 6解:设点 0 (P x,

12、 0) y , 2( ,0) F c ,过P作抛物线准线的垂线,垂足为A,连接 2 PF, 由抛物线的定义可得 0 |2PAxcc , 0 xc , 212 | | 2PFFFc ,所以 ( ,2 )P cc, 由双曲线定义可得 21 | 2PFPFa , 22 ()422cccca, 1 21 21 c e a 故选:A 7解:根据题意,分 2 种情况讨论: 从 0,2,4 中任取 2 个数字中不含 0,其取法有 1 种,从 1,3 中任取 1 个数字,其取法有 2 种, 将选出的 3 个数字全排列,组成三位数,有 3 3 6A 种情况, 此时有2612个没有重复数字的三位数, 从 0,2,

13、4 中任取 2 个数字中含有 0,其取法有 2 种,从 1,3 中任取 1 个数字,其取法有 2 种, 用选出的 3 个数字组成三位数,有 3 3 24A 种情况, 此时有22416个没有重复数字的三位数, 故有121628个符合题意的三位数; 故选:C 8解:由 2222 (4)40 xx e xaee xaee,化简得 22 (2)(1) x e xa xe, 设 22 ( )(2)f xe x,( )(1) x g xa xe,则原不等式即为 ( )( )f xg x , 若0a,则当2x 时, ( )0f x , ( )0g x , 原不等式的解集中有无数个大于 2 的整数, 0a,

14、f(2)0 ,g(2) 2 0ae, f (2) g (2), 当f(3) g (3),即 1 2 a e 时, 设 ( )( )( )(4)h xf xg x x ,则 22 ( )2(2)2(2) 2 x x xe h xexaxeex e , 设 2 ( )2(2)(4) 2 x xe xexx e ,则 2 (1) ( )2(3)0 2 x xe xe e , ( ) x 在4, )上为减函数, ( ) x (4)0, 当4x时,( )0h x , ( )h x 在4, )上为减函数,即 3 2422 33 ( )(4)434(4)0 22 ee h xheaeee剟, 当4x时,不等

15、式( )( )f xg x 恒成立, 原不等式的解集中没有大于 2 的整数, 要使不等式的解集中有且仅有两个大于 2 的整数,则 (3)(3) (4)(4) (5)(5) fg fg fg ,即 23 24 25 2 43 94 eae eae eae , 32 94 43 a ee 故选:D 9解:3x ,代入 1.50.5yx , 5y ,因为重新求得的回归直线l的斜率为 1.2,故正相关, 设新的数据所以横坐标的平均值 x ,则( 2)(1.24.8)363(2)nxnxnn ,故3x , 纵坐标的平均数为 y ,则( 2)(2.27.8)105105(2)nynynynn , 5y ,

16、 设新的线性回归方程为 1.2yxb ,把(3,2)代入51.23b,1.4b , 故新的线性回归方程为 1.21.4yx , 故A,B正确, 因为斜率为 1.2 不变,所以y的增长速度变慢,C错误, 把2x 代入, 3.8y ,3.753.80.05 ,故D错误, 故选:AB 10解:m,n ,m,n 对于A,由 / /,/ /m,得/ /m,又/ /mn,/ /n ,故A正确; 对于B,由 / /,/ /m,/ /n,可得/ /mn或m与n相交或m与n异面,故B错误; 对于C,由 / /,/ /n,得/ /n,又/ /mn,则/ /m,故C正确; 对于D,由/ /mn,/ /m, / /n

17、,可得/ /或与相交,故D错误 故选:AC 11解:0a ,0b ,a bab, 所以 11 1 ab , 所以 112 (2 )()332 2 ba ab abab ,当且仅当 2ba ab 且abab时取等号,A正确; 因为 11 ()()2224 bab a abab ababa b , 所以2 22 228 abab 厖 ,当且仅当ab时取等号,B正确; 令tab,( 4)t ,则 11 abt abt 在4, )上单调递增,故 117 4 t t ,C错误; 2 1111 ()2()2 abab ,故 11 2 ab ,D正确 故选:ABD 12解: 2 4yx的焦点 (1,0)F

18、,准线方程为1x ,设 1 (A x, 1) y, 2 (B x, 2) y , 直线AB的方程为 1xmy ,与抛物线的方程联立,可得 2 440ymy, 所以 12 4yym , 12 4y y , 2 1212 ()242xxm yym, 则 2 12 |244 4ABxxm ,0m 时取得等号,故A正确; 当直线AB的方程为1x 时,不妨取 (1,2)A , (1, 2)B ,此时|552 58OAOB,故B错误; 根据抛物线的定义,可得| |PAPF 的最小值是P到抛物线的准线的距离,即| |PAPF 的最小值为 415 ,故C正确; 当AB的倾斜角为 3 时, 3 3 m ,不妨取

19、A在第一象限,B在第四象限,由 12 4 3 3 yy, 12 4y y ,解 得 1 2 3y , 2 2 3 3 y , 所以 1 2 | 3 | yAF BFy ,即| | 3|AFBF ,故D正确 故选:ACD 13解: 5 () a x x 的展开式的通项公式为 5 2 15 rrr r TCax ,令523r,求得1r , 可得展开式中 3 x的系数为 1 5 21 2 Ca ,则实数 21 10 a , 故答案为: 21 10 14 解:ABC中,内角A,B,C成等差数列, 所以2ACB,由ABC,得 3 B , 所以 222 1 cos 22 acb B ac , 化简得 22

20、2 acacb, 由正弦定理得 2222 33 sinsinsinsinsin() 24 ACACB 故答案为: 3 4 15解:因为 12 1aa, 所以 35792021 1aaaaa 235792021 aaaaaa 45792021 aaaaa 6792021 aaaa 20202021 aa 2022 a , 故答案为:2022 16解:在ABC中,由4AB , 2AC ,60BAC, 得 222 1 2cos6016424212 2 BCABACAB AC , 则2 3BC , 222 ACBCAB,得AC BC, 如图, 以C为坐标原点,建立如图所示平面直角坐标系, 则 ( 2,

21、0)A ,(0,2 3)B, (2,2 3)AB ,(2,0)AC , (2 ,2 3 )AMAB,(2 ,0)ANAC, (22,2 3 )CMAMAC, (22, 2 3)BNANAB, (22BN CM,2 3) (22,2 3 )(22)(22)12 4444 12 1 4 ,54(4 )BN CM, 由基本不等式可得,42 42,当且仅当 4 时等号成立, 54(4 )3BN CM 故答案为:3 17解:(1)由余弦定理知, 222 cos 2 acb B ac , 22 cosabcB, 222 22 2 acb abc ac ,即 222 abcab , 由余弦定理知, 222

22、1 cos 222 abcab C abab , (0, )C , 2 3 C (2)由角分线定理知, 2 7 2 7 ACAD BCBD , 设BCx,则2ACx, 在ABC中,由余弦定理知, 222 2cosABACBCAC BCACB, 222 1 (3 7)42 2() 2 xxx x , 解得3x , 3aBC,6bAC, 22 362 7 cos 272 3 7 ab B c , 在BCD中,由余弦定理知, 222 2 7 2cos792734 7 CDBDBCBD BCB , 2CD 18解:(1) n S为等差数列 n a 的前n项和,已知 2 8S , 654 235SSS

23、所以 111 11 655443 652(4)35 222 8 adadad aad , 解得 1 3 2 a d , 所以 21 n an (2)由于 11 12321111 () 22 21232123 n nnnn nn b aaaannnn , 所以 12 11111113 .()().() 21035572123 nn Tbbb nn , 即 1113 () 210323n , 整理得 63 8 n ,满足条件的最小正整数为 8 19解:(1)取MB的中点为P,连接DP,PN,因为MN CN,MPBP,所以/ /NPBC, 又/ /DEBC,所以/ /NPDE,即N,E,D,P四点共

24、面,又/ /EN面BMD,EN 面NEDP, 平面NEDP平面MBDDP,所以/ /ENPD,即NEDP为平行四边形, 所以/ /NPDE,且NPDE,即 1 2 DEBC,即 1 2 (2)解:取DE的中点O,由平面MDE 平面DECB,且MODE,所以MO 平面DECB, 如图建立空间直角坐标系,不妨设2BC ,则(0,0,3 )M, (D,0,0), (1, 3(1),0)B,所以 ( ,0,3 )MD,(1, 3(1),0)DB 设平面BMD的法向量为 ( , , )mx y z ,则 30 (1)3(1)0 MD mxz BD mxy , 令3x ,即( 3, 1,1)m ,又平面E

25、MD的法向量 (0,1,0)n , 所以 15 cos, |55 m n m n m n ,即随着值的变化,二面角BMDE的大小不变 且 2 2 5 sin,1cos, 5 m nm n , 所以二面角BMDE的正弦值为 2 5 5 20解: ()求第二次仍由甲投,说明第一次掷出的点数之和为 3 的倍数,所有的情况共有6636种, 其中,掷出的点数之和为 3 的倍数的情况有(1,2)、(1,5)、(2,4)、(3,3)、(3,6)、(4,5),(6,6)、 (5,4)、(6,3)、(4,2)、(5,1)、(2,1),共计 12 种情况, 故第二次仍由甲投掷的概率为 121 363 ()设游戏的

26、前 4 次中乙投掷的次数为X,则X的取值分别为 0,1,2,3, 由()可得 3 11 (0)( ) 327 P X , 22 122110 (1)( )( )2 333327 P X , 3 212121214 (2)( ) 333333327 P X , 2112 (3) 33327 P X , 故随机变量X的分布列为: X 0 1 2 3 P 1 27 10 27 14 27 2 27 故X的数学期望为 11014244 0123 2727272727 EX 21(1)解:根据点 (0,1)P 在椭圆 22 22 1 xy ab 上,得 2 1b 由 2 12 (,1) ( ,1)12P

27、F PFccc ,得 2 3c (2 分) 因为 222 abc,所以 2 4a , 所以椭圆的标准方程为 2 2 1 4 x y(4 分) (2)证明:若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为2x ,与椭圆只有一个交点,不合题意 若直线l的斜率存在,设点 1 (A x, 1) y, 2 (B x, 2) y ,直线: (1,0)l ymxn mm , 根据点 (2, 1)Q 在直线l上,得21mn 把y mxn 代入 2 2 1 4 x y,得 222 (41)8440mxmnxn, 则 12 2 8 41 mn xx m , 2 12 2 44 41 n xx m (7 分) 由1m ,0m

28、 知,1n ,则 1 x, 2 x均不为 0, 则直线PA的斜率 1 1 1 1y k x ,直线PB的斜率 2 2 2 1y k x ,(9 分) 1212211221 12 121212 11(1)(1)(1)(1)yyyxyxmxnxmxnx kk xxx xx x 121212 2 1212 2(1)()(1)()8(1)2 22 441 mx xnxxnxxmn nm mm x xx xnn , 因为21mn ,所以 12 1kk , 即直线PA与PB的斜率之和为定值(12 分) 22解:(1)由, 得, 设, 则, 当时,单调递减, 当时,单调递增, 所以, 由题意, 所以, 所以

29、的取值范围是, (2)证明:当时, 由于, 所以在上有一个零点, 又在上单调递增, 所以在上有一个零点,设为, 所以, 设, 则, 即在上单调递减, 所以(1), 即, 所以在上有一个零点, 又在上单调递增, 2 1 ( )1 2 x f xxmxe ( ) x f xxme ( )( ) x g xf xxme ( )1 x g xe 0 x ( )0g x( )g x 0 x ( )0g x( )g x ( )(0)1 max g xgm ( )1 0g xm 1m m(1 1m (0)10gm ()0 m gme ( )g x(,0)m ( )g x(,0) ( )g x(,0) 11

30、(0)xmx ( )2(1) m g mmem ( )2(1) x h xxe x ( )220 x h xee ( )h x(1,) ( )h xh0 ( )0g m ( )g x(0,)m ( )g x(0,) 所以在上有一个零点,设为, 所以当时, 当,时, 当,时, 所以在,上单调递减,在,上单调递增, 所以的极小值为,的极大值是, 所以有一个极大值点和一个极小值点 ( )g x(0,) 22 (0)xmx 1 (,)xx ( )( )0fxg x 1 (xx 2) x( )( )0fxg x 2 (xx)( )( )0fxg x ( )f x 1 (,)x 2 (x) 1 (x 2) x ( )f x 1 ()f x( )f x 2 ()f x ( )f x