1、2021 年陕西省咸阳市高考数学模拟检测试卷（文科）（三）年陕西省咸阳市高考数学模拟检测试卷（文科）（三） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 Ax|2x0，Bx|ylg（x1），则 AB（ ） Ax|x1 Bx|x2 CR Dx|1x2 2已知命题 p：三角形是等腰三角形，命题 q：三角形是等边三角形，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3设（1+2i）yx16i（i 为虚数单位，x、yR），则 x+yi（ ） A4+3i B43i C3+4i D34i 4斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”
2、，它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，8， 为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为 90的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线 就是斐波那契螺旋线自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等如图为该螺旋 线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的母线长为（ ） A13 B8 C21 D5 5执行如图所示程序框图，若输入，则输出结果为（ ） A2 B3 C4 D5 6 某高中在创建文明校园活动中， 利用班会对全校学生开展了为期一周的环保知识培训， 为了解培训效果， 随机抽查 200 名同学参加环保知识测试，测试共 5 道题，每答对一题
3、得 20 分，答错得 0 分已知每名同 学至少能答对 2 道题，得分不少于 60 分记为及格，不少于 80 分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图 所示，则下列说法错误的是（ ） A该次环保知识测试及格率为 92% B该次环保知识测试得满分的同学有 24 名 C该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数 D若该校共有 3000 名学生，则环保知识测试成绩能得优秀的同学大约有 1440 名 7已知向量 ， 满足| |1，| |， 1，则 与 夹角为（ ） A B C D 8已知等差数列an的前 n 项和为 Sn；等比数列bn的前 n 项和为 Tn，且 a1b11，b42a48，则 S5+T5 （ ）
4、 A22 B34 C46 D50 9已知 m，n 是空间两条直线， 是空间两个平面，则下列判断正确的是（ ） Amn，m，则 n B若 m，则 m C若 mn，n，则 m D若 m，mn，则 n 10算盘是中国传统的计算工具，是中国人民在长期使用算筹的基础上发明的，是中国一项伟大的、重要 的发明，在阿拉伯数字出现前是世界广为使用的计算工具算盘以算珠靠梁表示计数，如图是算盘的初 始状态，表示零，在规定好某一档为个位后，自右向左，分别是个位、十位、百位、；上面一粒珠（简 称上珠）代表 5，下面一粒珠（简称下珠）表示 1，即五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小现在从个 位和十位这两档中随机下拨一粒上珠
5、，分二次上拨两粒下珠，则算盘上表示的数能被 5 整除的概率是 （ ） A B C D 11已知定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（x）f（8+x），当 x0，4时，f（x）， 则 f（f（2020）（ ） A8 B6 C0 D6 12已知双曲线1（a0，b0）的右焦点为 F，M 是 y 轴正半轴上的点，以 F 为圆心，FM 为 半径的圆过其左焦点，FM 交双曲线于点 P，且 P 为 FM 的中点，则双曲线的离心率为（ ） A 1 B+1 C D2 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题）小题）. 13直线 l：ykx+1 与圆 O：x2+y24 有 个交点 14已知数列 1，则该数列的前
6、10 项和为 15已知实数 x，y 满足，则 z3xy 的最大值为 16下列命题中正确命题的序号是 若 3sincos，则 tan2； 设 a0，b0，且 a+b1，则的最大值为 9； 数列an首项为 1，A、B、C 三点共线，且 a n+1 an，则数列an为等差数列； 对任意 xR，都有 x22x+30 的否定为：存在 x0R，使得 x022x0+30 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第都必须作答。第 22、23 题为选
7、考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分分 17已知函数 f（x）sinxcosxcos2x （）求 f（x）的最小正周期； （）在ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边当 f（B）1，C，BC 边上的高 AH 时，求ABC 的周长 18如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PD底面 ABCD，M 为线段 PC 的中点，PD AD1，N 为线段 BC 上的动点、 （）证明：MDPN； （）当 N 为线段 BC 的中点时，求三棱锥 AMND 的体积 19已知椭圆 C：1（ab0），四个顶点构成的四边形面积为
8、 4 ，离心率为 （）求椭圆 C 的标准方程； （）过椭圆右焦点倾斜角为 45的直线 l 交椭圆 C 于 M、N 两点，求|MN|的值 202021 年 3 月 5 日，十三届全国人大四次会议在北京召开全国政协十三届四次会议于 2021 年 3 月 4 日 在北京召开“两会”结束后，某校就“两会”精神的领会程度随机抽取 100 名学生进行问卷调查，调 查问卷共有 20 个问题，每个问题 5 分，调查结束后，发现这 100 名学生的成绩都在75，100内，按成 绩分成 5 组：第 1 组75，80），第 2 组80，85），第 3 组85，90），第 4 组90，95），第 5 组95， 100
9、，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知甲、乙、丙分别在第 3，4，5 组，现在用分层抽样的方 法在第 3，4，5 组共选取 6 人对“两会”精神作深入学习 （1）求这 100 人的平均得分（同一组数据用该区间的中点值作代表）及第 3，4，5 组分别选取的作深入 学习的人数； （2）若甲、乙、丙都被选取对“两会”精神作深入学习，之后要从这 6 人随机选取 2 人再全面考查他们 对“两会”精神的领会程度，求甲、乙、丙这 3 人至多有一人被选取的概率 21已知函数 f（x）2x3+（b2）x+2a4 为奇函数，曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切线与直线 6x+y+10 平行 （）求 f（x）的
10、解析式及单调区间； （）讨论 g（x）f（x）m（mR）的零点个数 选考题：共选考题：共 10 分。考生从分。考生从 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用 2B 铅铅 笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑。笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 4sin （）求曲线 C 的直角坐标方程； （）设 l 与
11、曲线 C 交于 A，B 两点，求线段 AB 中点 M 轨迹的极坐标方程 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x4|+|1x|，xR （）解不等式：f（x）7； （）记 f（x）的最小值为 M，若正实数 a，b 满足 a+bM，试求：的最小值 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 Ax|2x0，Bx|ylg（x1），则 AB（ ） Ax|x1 Bx|x2 CR Dx|1x2 解：集合 Ax|2x0 x|x2， Bx|ylg（x1）x|x1， ABx|1x2 故选：D 2已知命题 p：三角形是等腰三角形，命题 q：三角形是等
12、边三角形，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解：等边三角形一定是等腰三角形，反之不成立， p 是 q 的必要不充分条件 故选：B 3设（1+2i）yx16i（i 为虚数单位，x、yR），则 x+yi（ ） A4+3i B43i C3+4i D34i 解：（1+2i）yx16i（i 为虚数单位，x、yR）， y+2yix16i， ， 解得 x4，y3， x+yi43i 故选：B 4斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，8， 为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角
13、为 90的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线 就是斐波那契螺旋线自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等如图为该螺旋 线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的母线长为（ ） A13 B8 C21 D5 解：由题意知，接下来的一段圆弧所对应的扇形半径为 R5+813， 所以圆锥的母线长为 lR13 故选：A 5执行如图所示程序框图，若输入，则输出结果为（ ） A2 B3 C4 D5 解：当 n1 时，S1P，S1， 当 n2 时，SP，S， 当 n3 时，SP， 所以输出的 n3， 故选：B 6 某高中在创建文明校园活动中， 利用班会对全校学生开展了为期
14、一周的环保知识培训， 为了解培训效果， 随机抽查 200 名同学参加环保知识测试，测试共 5 道题，每答对一题得 20 分，答错得 0 分已知每名同 学至少能答对 2 道题，得分不少于 60 分记为及格，不少于 80 分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图 所示，则下列说法错误的是（ ） A该次环保知识测试及格率为 92% B该次环保知识测试得满分的同学有 24 名 C该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数 D若该校共有 3000 名学生，则环保知识测试成绩能得优秀的同学大约有 1440 名 解：由测试成绩百分比分布图得： 对于 A，该次环保知识测试及格率为：100%8%92%，故 A 正确；
15、 对于 B，该次环保知识测试得满分的同学有：200（100%8%32%48%）24 名，故 B 正确； 对于 C，该次测试成绩的中位数为 80 分， 该次测试成绩的平均分为：408%+6032%+8048%+100（100%8%32%48%）72.8 分， 该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数，故 C 正确； 对于 D，若该校共有 3000 名学生，则环保知识测试成绩能得优秀的同学大约有：3000（100%32% 8%）1800 名，故 D 错误 故选：D 7已知向量 ， 满足| |1，| |， 1，则 与 夹角为（ ） A B C D 解：设 与 夹角为 ，（ ） 121， | | 1，
16、 cos， 0， ， 故选：B 8已知等差数列an的前 n 项和为 Sn；等比数列bn的前 n 项和为 Tn，且 a1b11，b42a48，则 S5+T5 （ ） A22 B34 C46 D50 解：设等差数列an的公差为 d，设等比数列bn的公比为 q， 由 a1b11，b42a48，可得 q32（1+3d）8， 解得 d1，q2， 则 S5+T55+ 541+15+3146 故选：C 9已知 m，n 是空间两条直线， 是空间两个平面，则下列判断正确的是（ ） Amn，m，则 n B若 m，则 m C若 mn，n，则 m D若 m，mn，则 n 解：由 m，n 是空间两条直线， 是空间两个平
17、面，知： 对于 A，若 mn，m，则 n 或 n，故 A 错误； 对于 B，若 m，则 m 或 m，故 B 错误； 对于 C，若 mn，n，则由线面垂直的判定定理得 m，故 C 正确； 对于 D，若 m，mn，则 n 或 n，故 D 错误 故选：C 10算盘是中国传统的计算工具，是中国人民在长期使用算筹的基础上发明的，是中国一项伟大的、重要 的发明，在阿拉伯数字出现前是世界广为使用的计算工具算盘以算珠靠梁表示计数，如图是算盘的初 始状态，表示零，在规定好某一档为个位后，自右向左，分别是个位、十位、百位、；上面一粒珠（简 称上珠）代表 5，下面一粒珠（简称下珠）表示 1，即五粒下珠的大小等同于一
18、粒上珠的大小现在从个 位和十位这两档中随机下拨一粒上珠，分二次上拨两粒下珠，则算盘上表示的数能被 5 整除的概率是 （ ） A B C D 解：在从个位和十位这两档中随机下拨一粒上珠，分二次上拨两粒下珠， 基本事件有 7，16，25，52，61，70，共 6 个， 算盘上表示的数能被 5 整除包含的基本事件有 25，70，共 2 个， 算盘上表示的数能被 5 整除的概率 P 故选：B 11已知定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（x）f（8+x），当 x0，4时，f（x）， 则 f（f（2020）（ ） A8 B6 C0 D6 解：定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（x）f（8+x），
19、T8， f（2020）f（8252+4）f（4）， 当 x0，4时 f（x）， f（4）0， f（f（2020）f（0）3010， 故选：C 12已知双曲线1（a0，b0）的右焦点为 F，M 是 y 轴正半轴上的点，以 F 为圆心，FM 为 半径的圆过其左焦点，FM 交双曲线于点 P，且 P 为 FM 的中点，则双曲线的离心率为（ ） A 1 B+1 C D2 解：设双曲线的左焦点为 E，则 E（c，0），F（c，0）， EF2c，FM2c， 在三角形MOF 中，OFc，OMOF，MF2c， OMc， 又 P 为 MF 的中点，故 P（）， 且 a2+b2c2， e48e2+40， e， 故选
20、：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13直线 l：ykx+1 与圆 O：x2+y24 有 2 个交点 解：方法一、由圆心 O（0，0）到直线 ykx+1 的距离为 d12， 可得直线 l 和圆 O 相交，即直线 l 与圆有两个交点 方法二、直线 l：ykx+1 恒过定点（0，1）， 而点（0，1）在圆 O：x2+y24 的内部， 所以直线 l 与圆 O 有两个交点 故答案为：2 14已知数列 1，则该数列的前 10 项和为 解：2（）， 所以该数列的前 10 项和为 2（1+.+）2（1） 故答案为： 15已知实数 x
21、，y 满足，则 z3xy 的最大值为 3 解：由约束条件作出可行域如图， 由图可知，A（）， 由 z3xy，得 y3xz， 由图可知，当直线 y3xz 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小， z 有最大值为 3 故答案为：3 16下列命题中正确命题的序号是 若 3sincos，则 tan2； 设 a0，b0，且 a+b1，则的最大值为 9； 数列an首项为 1，A、B、C 三点共线，且 a n+1 an，则数列an为等差数列； 对任意 xR，都有 x22x+30 的否定为：存在 x0R，使得 x022x0+30 解：对于，若 3sincos，tan，则 tan2，故正确； 设 a0，b0，且
22、 a+b1，则（a+b）（）4+5+49，故最小值为 9，故 错误； 数列an首项为 1，A、B、C 三点共线，且 a n+1 an，所以 a n+1 an1，则数列an 为等差 数列，故正确； 对任意 xR，都有 x22x+30 的否定为：存在 x0R，使得 x022x0+30，故错误 故答案为： 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共题为选考题，考生根
23、据要求作答。（一）必考题：共 60 分分 17已知函数 f（x）sinxcosxcos2x （）求 f（x）的最小正周期； （）在ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边当 f（B）1，C，BC 边上的高 AH 时，求ABC 的周长 解：（1）f（x）sinxcosxcos2xf（x）sin2xcos2xsin（2x） 故求 f（x）的最小正周期 ； （2）f（B）1，sin（2B）1， 又B 为三角形内角， B 在 RtAHB 中：c2，BH1 在 RtAHC 中：b，CHAH a+1 故ABC 的周长为：+3 18如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PD底
24、面 ABCD，M 为线段 PC 的中点，PD AD1，N 为线段 BC 上的动点、 （）证明：MDPN； （）当 N 为线段 BC 的中点时，求三棱锥 AMND 的体积 【解答】（）证明：PD平面 ABCD，BC平面 ABCD，BCPD， 又 BCDC，PDDCD，PD、DC平面 PDC， BC平面 PDC， 又 MD平面 PDC，MDBC， 在 RtPDC 中，PDDC，PDDC，M 为 PC 的中点，MDPC， PCBCC，PC、BC平面 PBC， MD平面 PBC，而 PN平面 PBC， MDPN； （）解：M 为线段 PC 的中点，N 为线段 BC 的中点， VAMNDVMADN 19
25、已知椭圆 C：1（ab0），四个顶点构成的四边形面积为 4 ，离心率为 （）求椭圆 C 的标准方程； （）过椭圆右焦点倾斜角为 45的直线 l 交椭圆 C 于 M、N 两点，求|MN|的值 解：（）由题意， ，解得， 椭圆 C 的方程为； （）椭圆的右焦点 F（1，0），则直线 l 的方程为 yx1 设 l 与椭圆 C 交于 M（x1，y1），N（x2，y2）， 由，消去 y 得：7x28x80， 则， |MN| 202021 年 3 月 5 日，十三届全国人大四次会议在北京召开全国政协十三届四次会议于 2021 年 3 月 4 日 在北京召开“两会”结束后，某校就“两会”精神的领会程度随机抽
26、取 100 名学生进行问卷调查，调 查问卷共有 20 个问题，每个问题 5 分，调查结束后，发现这 100 名学生的成绩都在75，100内，按成 绩分成 5 组：第 1 组75，80），第 2 组80，85），第 3 组85，90），第 4 组90，95），第 5 组95， 100，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知甲、乙、丙分别在第 3，4，5 组，现在用分层抽样的方 法在第 3，4，5 组共选取 6 人对“两会”精神作深入学习 （1）求这 100 人的平均得分（同一组数据用该区间的中点值作代表）及第 3，4，5 组分别选取的作深入 学习的人数； （2）若甲、乙、丙都被选取对“两会”精神作
27、深入学习，之后要从这 6 人随机选取 2 人再全面考查他们 对“两会”精神的领会程度，求甲、乙、丙这 3 人至多有一人被选取的概率 解：（1） 这100人的平均得分 （77.50.01+82.50.07+87.50.06+92.50.04+97.50.02） 587.25 第 3、4、5 组共抽取的人数为：（0.06+0.04+0.02）510060， 第 3 组抽取的人数为：3 人， 第 4 组抽取的人数为：0.042 人， 第 5 组抽取的人数为：1 人 （2）设第 3、4、5 组抽取的 6 人分别为：甲、乙、丙、A、B、C， 从中任取两人，共有 15 种抽法，分别为： 甲乙，甲丙，甲 A
28、，甲 B，甲 C，乙丙，乙 A，乙 B，乙 C，丙 A，丙 B，丙 C，AB，AC，BC， 其中甲、乙、丙这 3 人至多有一人被选取包含的基本事件有 12 个， 分别为：甲 A，甲 B，甲 C，乙 A，乙 B，乙 C，丙 A，丙 B，丙 C，AB，AC，BC， 甲、乙、丙这 3 人至多有一人被选取的概率为 P 21已知函数 f（x）2x3+（b2）x+2a4 为奇函数，曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切线与直线 6x+y+10 平行 （）求 f（x）的解析式及单调区间； （）讨论 g（x）f（x）m（mR）的零点个数 解：（）函数 f（x）2x3+（b2）x+2a4 为 R 上的奇函数，
29、所以 f（0）0，即 2a40，解得 a 2； 又 f（x）6x2+b2，且曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切线与直线 6x+y+10 平行， 所以 f（1）6+b26，解得 b10，所以 f（x）2x312x 所以 f（x）6x2126（x）（x+）， 令 f（x）0，解得 x， 所以 x（，）（，+）时，f（x）0，f（x）单调递增； x（，）时，f（x）0，f（x）单调递减； 所以 f（x）的单调增区间为（，）和（，+），减区间为（，）； （）由（）知，f（x）的极大值为 f（x）极大值f（2）212（）8， 极小值为 f（x）极小值f（）f（）8， 函数 g（x）f（x）m 的零
30、点，即为 yf（x）与 ym 图象的交点； 如图所示： 由图象知，当 m8或 m8时，g（x）有 1 个零点； 当 m8或 m8时，g（x）有 2 个零点； 当8m8 时，g（x）有 3 个零点 选考题：共选考题：共 10 分。考生从分。考生从 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用 2B 铅铅 笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑。笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点
31、为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 4sin （）求曲线 C 的直角坐标方程； （）设 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求线段 AB 中点 M 轨迹的极坐标方程 解： （）曲线 C 的极坐标方程为 4sin，根据，转换为直角坐标方程为 x2+（y2） 24 （）将直线 l 的参数方程为（t 为参数），代入直角坐标方程为 x2+（y2）24 得到：t24sint0， 故 t1+t24sin，t1t20， 设点 M 的极坐标为（，）， 所以， 故极坐标方程为 2sin 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x4|+|1x|，xR （）解不等式：f（x）7； （）记 f（x）的最小值为 M，若正实数 a，b 满足 a+bM，试求：的最小值 解：（）f（x）|x4|+|1x|， f（x）7，或或， 1x6， 不等式的解集为x|1x6 （）由（）知，f（x）在（，1）上单调递减，在（4，+）上单调递增，f（x）min3，M 3， a+bM3， （a+2）+（b+3）8， （）（a+2）+（b+3）（2+）（2+2）， （当且仅当 a+2b+3 且 a+b3 时，即 a2，b1 时“”成立）， 故的最小值是