1、第 1 页（共 4 页） 扬州市 2021 届高三考前调研测试试题 数学数学 2021.05 注意事项：注意事项： 1本试卷考试时间为本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分分钟，试卷满分 150 分，考试形式闭卷分，考试形式闭卷 2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分 3答题前，务必将自己的姓名、准考证号等信息用黑色墨水签字笔填写在答题卡的相应位置答题前，务必将自己的姓名、准考证号等信息用黑色墨水签字笔填写在答题卡的相应位置 一、单项选择题一、单项选择题(本大题共本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，
2、共 40 分分. 在每小题给出的选项中，只有一项符合要求在每小题给出的选项中，只有一项符合要求) 1设全集 2 |lg(2)Ux yxx，集合|2 ,0 x Ay yx，则 UA= （ ） A1,) B(0,1 C 1,2) D(,1 2 若(3 )(2)ixiy ，其中, x yR,i为虚数单位，则复数x yi 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 在ABC 中, 6,8,10,2,ABACBCBCDB 则AD BC （ ） A. 86 B. 86 C. 7 D. 7 4 现有诗经 、 尚书 、 礼记 、 周易 、 春秋各一本，分给甲、乙、丙、丁、
3、戊5名同学，每人一本， 若甲乙都没有拿到诗经 ，且乙也没拿到春秋 ，则所有可能的分配方案有（ ） A18 种 B24 种 C36 种 D54 种 5 密位制是度量角的一种方法将周角等分为 6000 份，每一份叫做1密位的角以密位作为角的度量单位， 这种度量角的单位制，叫做角的密位制在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字 可以省去不写密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如：478密位写成“478”，1周角 等于 6000 密位，记作1周角6000如果一个扇形的半径为2，面积为 7 3 ，则其圆心角可以用密位制表 示为（ ） A2500 B3500 C42 00 D
4、7000 6“五一”期间，甲、乙、丙三个大学生外出旅游，已知一人去北京，一人去西安，一人去云南. 回来后，三人 对去向作了如下陈述： 甲：“我去了北京，乙去了西安.” 乙：“甲去了西安，丙去了北京.” 丙：“甲去了云南，乙去了北京.” 事实是甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半（关于去向的地点仅对一个）. 根据以上信息，可判断下面说法 中正确的是（ ） A甲去了西安 B乙去了北京 C丙去了西安 D甲去了云南 7 已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为F, 以F为圆心，OF为半径的圆交双曲线C的右支于 第 2 页（共 4 页） ,P Q 两点（O为坐标原点）,若OPQ
5、是等边三角形，则双曲线C的离心率为（ ） A. 71 3 B. 3 C. 51 2 D. 2 8 已知定义在,00,上的奇函数 f x在0，上单调递减，且满足 22f，则关于x的不 等式 sinf xxx的解集为（ ） A , 22, B2,02, C, 20,2 D2,00,2 二、多项选择题二、多项选择题(本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选全部选 对的得对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分) 9 已知0ab
6、且 11 ab ，则下列不等式一定成立的有（ ） Aab B ab ba C2 ab ba D2 2 ab ab 10已知函数( )sin() ( 0) 6 f xx 在区间0, 上恰能取到2次最大值，且最多有4个零点，则下列说 法中正确的有（ ） A. ( )f x在(0, )上恰能取到2次最小值 B. 的取值范围为 8 25 ,) 36 C. ( )f x在(0,) 6 上一定有极值 D. ( )f x在(0,) 3 上不单调 11正方体 1111 ABCDABC D中， 1=2 AA，点P在线段 1 BC上运动，点Q在线段 1 AA上运动，则下列说法中正 确的有（ ） A三棱锥 1 AD
7、 PC的体积为定值 B线段PQ长度的最小值为2 C当P为 1 BC中点时，三棱锥 1 PABB的外接球表面积为2 D平面BPQ截该正方体所得截面可能为三角形、四边形、五边形 12在三角函数部分，我们研究过二倍角公式 2 cos22cos1xx，实际上类似的还有三倍角公式，则下列说 法中正确的有（ ） A 3 cos34cos3cosxxx B存在1x 时，使得 3 431xx C给定正整数n，若1,(1,2, , ) i xin，且 3 1 0 n i i x ，则 1 3 n i i n x D设方程 3 8610 xx 的三个实数根为 123 ,x x x，并且 123 xxx，则 22
8、3231 2()xxxx 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分） 13 6 1 2x x 展开式中常数项为_（用数字作答）. 第 3 页（共 4 页） 14已知点P在抛物线 2 4yx上，点Q在圆 22 (5)1xy上，则PQ长度的最小值为_ 15根据天文学有关知识，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于58时，能在扬州的夜空中看到它下表列出 了 10 颗恒星的“赤纬”数值： 星名 天狼星 老人星 南门二 大角星 织女一 五车二 参宿七 南河三 水委一 参宿四 赤纬 16.7 52.7 60.8 19.2 38.8 46 8.2 5.
9、2 57.2 7.4 现有四名学生从这 10 颗恒星中各随机选择 1 颗进行观测，其中有X人能在扬州的夜空中看到观测目标， 则X的数学期望为 16对于有限数列 n a，定义集合 12 21 |110 k i k ii aaa S ks sii k i ，其中 110kZk且，若 n an，则 3S的所有元素之和为 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，计小题，计 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 已知等差数列 n a和等比数列 n b满足： 11 2ab，且 236 1,1aa
10、a是等比数列 n b的连续三项. （1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）设 212 1log ()log n nnnn ca ab ，求数列 n c的前 10 项和 10 T 18. （本小题满分 12 分） 在ABC中，角, ,A B C所对边分别为, ,a b c，现有下列四个条件： 3a ； 2b； 2 coscoscoscAaB bA； 222 3()2 3acbac . （1）两个条件可以同时成立吗？请说明理由； （2）请从上述四个条件中选三个，使得ABC有解，并求ABC的面积. （注：如果选择多个组合作为条件分别解答，按第一个解答计分） 19 （本小题满分 12 分）
11、如图，四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，AD/BC， 2,3,ABADAC ACBDE, 2DMMP ，PB/平面MAC （1）证明：AC 平面PAD； （2）若PB与平面ABCD所成角为45，求二面角CPDA的余弦值 20. （本小题满分 12 分） 第 4 页（共 4 页） 已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，M为椭圆C上一点，线段 1 MF与 圆 22 1xy相切于该线段的中点N，且 12 MFF的面积为2. （1）求椭圆C的方程； （2）椭圆C上是否存在三个点, ,A B P，使得直线AB过椭圆C的左焦点 1 F，且四边形OAP
12、B是平行四边 形？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由. 21. （本小题满分 12 分） 甲、 乙两所学校之间进行排球比赛， 采用五局三胜制(先赢3局的学校获胜， 比赛结束)， 约定比赛规则如下： 先进行男生排球比赛，共比赛两局，后进行女生排球比赛. 按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲 校获胜的概率为 2 3 ，乙校获胜的概率为 1 3 ，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为 1 3 ，乙校获胜的概 率为 2 3 ，每局比赛结果相互独立. （1）求甲校以3:1获胜的概率； （2）记比赛结束时女生比赛的局数为，求的概率分布. 22 （本小题满分 12 分） 已知函数 (
13、)lnf xxax . （1）若 ( )f x存在极值，求实数a的取值范围； （2）当1a 时，判断函数 ( )( )2sing xf xx 的零点个数，并证明你的结论. 第 5 页（共 4 页） 扬州市扬州市 20212021 届高三考前调研测试试题届高三考前调研测试试题 数学参考答案数学参考答案 2021.05 1.C 2.B 3.A 4.D 5.B 6.D 7.A 8.B 9 ACD 10. BD 11AB 12. ACD 13.60 14.3 15. 3.6 16.121 17解析： （1）设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为q 因为 236 1,1aa a是等比数列
14、 n b的连续三项 所以 2 326 (1)(1)aaa，即 2 (22 )(21)(251)ddd，解得3d或1 d 因为 n b是等比数列，其各项不能为零 ，所以1 d舍去，所以 3d， 所以23131 n ann 3 分 又 3 2 2 1 a q a ，所以 1 2 22 nn n b . 6 分 （2） 212222 1 log ()log( 1) log (31)(32)1 log (31)log (32) nn n nn nn cb bannnnnn ， n c的前 10 项和 10222222 (1210)log 2log 5log 5log 8log 8log 11T 222
15、2 log 26log 29log 29log 32 22 10(1 10) log 2log 3259 2 . 10 分 18. 解析： （1）不能同时满足，理由如下： 由条件得2sincossincossincosCAABBA，即2sincossinCAC，即 1 cos 2 A， 因为0,A，所以 3 A ； 2 分 由条件得 222 2 313 cos 2323 acb Bac acac ， 4 分 因为 312 coscos 323 B ， 0,B，而 cosyx 在0,单调递减，所以 2 3 B . 于是 2 33 AB ，与AB矛盾.所以ABC不能同时满足. 6 分 （2）满足三
16、角形有解的所有组合为或. 若选择组合：由 sinsin ab AB 得 32 sin3 2 B ，即sin1B， 因为0,B，所以 2 B ， 9 分 ABC为直角三角形，所以 22 2( 3)1c ，所以 13 13 22 ABC S . 12 分 若选择组合：由 222 2cosbacacB 得 2 21cc，解得21c ， 9 分 第 6 页（共 4 页） 因为0,B，所以 2 2 36 sin1cos1 33 BB ， 所以 11622 sin3( 21) 2232 ABC SacB . 12 分 19 (1) 证明 连接 ME， PB/平面 MAC，PB平面 PBD，平面 PBD平面
17、 MAC=ME， PB/ME，2 DEDMAD BEPMBC ，BC=1， 2 分 而 AB=2，3AC ， 222 ACBCAB ，CABC，即 CAAD， 又 PA平面 ABCD，CA平面 ABCD，PACA， 又 PAAD=A，PA平面 PAD，AD平面 PAD， CA平面 PAD 5 分 (2) 因为 PB 与平面 ABCD 所成的角为45，所以45PBA，即2PA 方法 1：向量法 如图，以 A 为原点，射线 AC，AD，AP 分别为 x，y，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系， 则(0,0,0),( 3,0,0),(0,2,0), (0,0,2),ACDP所以( 3,0, 2),(0
18、,2, 2),PCPD 设平面PCD的法向量为 1 ( , , )nx y z u r ， 则 1 1 0320 0202 n PCxz znyPD ，即， 所以平面PCD的一个法向量为 1 (2, 3, 3)n ，8 分 又平面PAD的一个法向量为 2 (1,0,0)n ， 10 分 所以 12 12 12 210 cos 5| |10 n n n n nn . 所以二面角CPDA的余弦值为 10 5 12 分 方法 2：综合法 提示，在PAD内作AHPD于H，则CHA即为所求角 20、解析： （）因为1ON ，又ON是三角形 12 MF F的中位线，所以 2 2MF ， 12 MFMF，
19、由椭圆的定义可知 1 22MFa，因为三角形 12 MF F的面积为 1 (22) 2222 2 Saa，所以2a， 又因为 22 1212 2 2FFMFMF ，所以 2c ，则 2b ， 所以椭圆的方程为 22 1 42 xy 4 分 （2）存在 当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为 2x ，此时椭圆上不存在符合题意的点P；5 分 第 7 页（共 4 页） 当直线AB的斜率存在且0k 时，此时, ,O A B三点共线，所以椭圆上不存在符合题意的点P； 当直线AB的斜率存在且不为 0 时，设点 11 ,A x y， 22 ,B x y， 00 ,P x y， 设直线AB的方程为2yk
20、x. 联立 22 (2) 1 42 yk x xy ，消去y可得 2222 214 2440kxk xk ， 2 16160k ， 所以 2 12 2 1 4 2 2 k xx k ， 2 12 2 1 44 2 k x x k 7 分 所以 211 2 2 2 2 2 2 21 y k k xx k y 因为四边形OAPB是平行四边形，所以OP OA OB 1212 ,xxyy 2 22 4 22 2 , 2211 kk kk . 所以点 2 22 4 22 2 2121, kk P kk . 9 分 又点P在椭圆上，则有 22 2 22 4 22 2 24 2121 kk kk ，即 4
21、41k ，解得 2 2 k . 所以椭圆上存在三个点, ,A B P，满足要求，此时直线AB的方程为 2 1 2 yx . 12 分 21. 解（1）设甲校以 3:1 获胜为事件B，4 局比赛中甲校胜出分别为1,2,34 i A i ， 1 分 则 131234241234 P BP A A A AA AAAAA A A 2 1 2 21121 = 33333338127 21124 C 答：甲校以 3:1 获胜的概率为 4 27 4 分 （2）的可能取值为 1、2、3 22 2112 1= 33339 26 27 P ； 6 分 2 22 11 2 221211110 2= 33333333
22、27 211122230 33333381 PCC 9 分 22 11 2 22 2 212121 3 333 1 3 2121 3333333 PCC 3 11 2 32 2 2 21211111 += 3333333327 22299 3243 CC 所以，随机变量的概率分布列为： 第 8 页（共 4 页） 1 2 3 P 2 9 10 27 11 27 12 分 22解析： （1）函数 f x的定义域为0,， 11ax fxa xx ， 当0a 时， 0fx ，故 f x在0,上递增，所以 f x无极值； 当0a 时， f x在 1 0, a 上单调递增；在当 1 , a 上单调递减.
23、所以 f x在 1 x a 处取得极大值，无极小值. 综上所述，若 f x存在极值，则a的取值范围为0,. 4 分 (2) ( )( )2sinln2sing xf xxxxx，下面分区间逐段研究 当,2x时，sin0 x， 由（1）知1a 时 lnf xxx，此时 ln1f xxxf，即ln1xx ， 所以 0g x ，所以 g x在,2上没有零点 6 分 当2 ,x时， ln2g xxx 设 ln2xxx ， 1 10 x x ，所以 x在2 ,上单调递减，所以 20 x 所以当2 ,x时， 20g xx恒成立，所以 g x在2 ,上没有零点8 分 当0,x时， 1 12cosgxx x ， 2 1 2sin0gxx x ，所以 g x 在0,上单调递减， 又因为 3 1 10 3 g ， 2 10 2 g ，所以 g x 在 , 3 2 上有唯一的零点 g x在0,上单调递增; g x在, 上单调递减; 所以 g x在0,上存在唯一的极大值点 32 ，且 ln220 2222 gg 又因为 2222 1111 22sin220g eeee ，所以 g x在0,上恰有一个零点 又因为 ln20g，所以 g x在, 上也恰有一个零点 综上得， g x有且仅有两个零点 12 分