1、2021 年浙江省宁波市慈溪市中考数学模拟试卷（年浙江省宁波市慈溪市中考数学模拟试卷（4 月份）月份） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1 （4 分）的相反数是（ ） A B6 C6 D 2 （4 分）下列运算正确的是（ ） Aa+2a3a2 Ba3a2a5 C （3a）26a2 Da6a2a3 3 （4 分） 2020 年， 在全球经济受到新冠疫情的影响下， 我国 GDP 仍逆势增长 2.3%， 经济总量达到 1016000 亿元数 1016000 用科学记
2、数法表示为（ ） A1.016107 B1.016106 C1.016105 D10.16105 4 （4 分）如图是一个“凹”字形几何体，下列关于该几何体的俯视图画法正确的是（ ） A B C D 5 （4 分）甲、乙、丙、丁四位同学的五次数学测验成绩统计如表所示，如果要从这四位同学中，选出一位 成绩好又稳定的同学参加数学竞赛，则应选的同学是（ ） 甲 乙 丙 丁 平均分 90 85 90 85 方差 42 50 50 42 A甲 B乙 C丙 D丁 6 （4 分）已知直线 mn，将一块含 30角的直角三角板 ABC，按如图所示方式放置，其中 A、B 两点分 别落在直线 m、n 上，若125，
3、则2 的度数是（ ） A25 B30 C35 D55 7 （4 分）如图，是一张矩形纸片 ABCD，AB12，AD12，按如图方式剪出一张扇形纸片 OEF，O 为 BC 中点，弧 EF 与 AD 相切，把这张扇形纸片围成一个无底圆锥，则这个圆锥的底面半径为（ ） A2 B2 C4 D4 8 （4 分） 九章算术中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到 900 里外的城市，需要的时 间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少 3 天，已知快马的速度是慢马的 2 倍， 求规定时间设规定时间为 x 天，则可列方程为（ ） A B C D 9 （4 分）小明同学利用计算机软件绘制
4、了某一函数的图象，如图所示由学习函数的经验，可以推断这个 函数可能是（ ） Ay By Cy Dy 10（4 分） 已知， 矩形 ABCD 中， E 为 AB 上一定点， F 为 BC 上一动点， 以 EF 为一边作平行四边形 EFGH， 点G， H分别在CD和AD上， 若平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变， 则应满足 （ ） AAD4AE BAD2AB CAB2AE DAB3AE 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）二次根式中字母 x 的取值范围是 12 （5 分）分解因式：3a212 13 （5 分）学校组织春游，安排九年
5、级三辆车，小王和小菲都可以从三辆车中任选一辆搭乘，则小王和小 菲乘同一辆车的概率是 14 （5 分）已知命题： “关于 x 的一元二次方程 x2+bx+10，当 b0 时必有实数解” ，能说明这个命题是假 命题的一个反例可以是 15 （5 分）如图，在 RtABC 中，C90，B30，AC2，以 C 为圆心，r 为半径作圆若该圆 与线段 AB 只有一个交点，则 r 的取值范围为 16 （5 分）如图，点 A、C 分别是 x 轴、y 轴正半轴上的点，矩形 ABCO 的边 AB，BC 分别交函数 y（x 0，k0，k 为常数）的图象于点 P，Q，连接 PQ （1）若 P 为 AB 中点，则 （2）
6、 若把BPQ 沿 PQ 翻折， 点 B 恰好落在 x 轴上的点 E， 且 OE6， EA2， 则 k 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 8 小题，共小题，共 80 分）分） 17 （8 分） （1）计算： （a1）2+2（a2） ； （2）解不等式：7x2（x+2）3 18 （8 分）图 1，图 2 都是由边长为 1 的小正方形构成的网格，ABC 的三个顶点都在格点上，请在该 4 4 的网格中，分别按下列要求画一个与ABC 有公共边的三角形： （1）使得所画出的三角形和ABC 组成一个轴对称图形 （2）使得所画出的三角形和ABC 组成一个中心对称图形 （请将两个小题依次作答在图 1，图
7、 2 中，均只需画出符合条件的一种情形） 19 （8 分）今年的 7 月 1 日是中国共产党成立 100 周年纪念日，我市某中学开展了爱党宣传教育活动为 了了解这次宣传活动的效果， 学校从全校 1200 名学生中随机抽取了部分学生进行知识测试，并将测试成 绩 分 为A ， B ， C ， D ， E五 个 等 级 ， 绘 制 成 了 统 计 图 （ 部 分 信 息 未 给 出） （1）求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图 （2）求扇形统计图中“A”所对应的扇形圆心角的度数 （3）如果测试成绩为 A、B 等级的均为优秀，请估计该校学生中成绩为优秀的人数 20 （10 分）图 1 是某景区的纪
8、念币，一面有一个正十边形，示意图如图 2 所示，其外接圆的圆心为 O，直 径为 20mm （1）求这个正十边形的边长 AB （2）求这个正十边形的面积 （参考数据：sin180.31，cos180.95，tan180.32） 21 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yax22x3 图象的顶点是 A，与 x 轴交于 B、C 两 点，与 y 轴交于 D，点 B 的坐标是（1，0） （1）求二次函数图象的顶点坐标并直接写出直线 CD 的函数关系式 （2）作一条平行于 x 轴的直线交二次函数的图象于点 M，N，与直线 CD 于点 R若点 M，N，R 的横坐 标分别为 m，n，r，且 rm
9、n，求 m+n+r 的取值范围 22 （10 分）小聪和小慧去某风景区游览，约好在飞瀑见面上午 9：00，小聪从塔林出发，沿景区公路（如 图 1）步行 15 分钟至草甸，休息若干分钟后搭乘景区班车赶往飞瀑，车速为 36km/h小慧也于上午 9： 00 从古刹出发， 骑自行车前往飞瀑 两人离古刹的路程 y （米） 与时间 x （分） 的函数关系如图 2 所示 已 知古刹与塔林的路程为 1500m （1）求小聪步行时离古刹的路程 y（米）与时间 x（分）的函数表达式 （2）求小聪乘坐景区班车的时间 （3）若小慧比小聪早到 2 分钟，求两人几时几分相遇 23 （12 分） 【基础巩固】 （1）如图
10、1，在ABC 中，ACB90，直线 l 过点 C，分别过 A、B 两点作 AEl，BDl，垂足分 别为 E、D求证：BDCCEA 【尝试应用】 （2）如图 2，在ABC 中，ACB90，D 是 BC 上一点，过 D 作 AD 的垂线交 AB 于点 E若 BE DE，tanBAD，AC20，求 BD 的长 【拓展提高】 （3）如图 3，在ABCD 中，在 BC 上取点 E，使得AED90，若 AEAB，CD， 求ABCD 的面积 24 （14 分）定义：从三角形一个角的顶点引一条射线与对边相交，把这个角分成两个角，如果其中一个角 与这条射线另一侧的原三角形的内角互余，那么这条射线上三角形顶点到对
11、边交点的线段称为这个三角 形的“交互线” （1）判断下列命题是真命题还是假命题？ 直角三角形的斜边上的高是它的交互线； 若三角形的角平分线是它的交互线，则这个三角形是等腰三角形 （2）如图 1，巳知 BE 为锐角ABC 的交互线 求证：BE 过ABC 外接圆的圆心 O 若 ABAC，交互线 BE25，O 的半径为 16，求 AB 的长 （3）如图 2，已知，在ABC 中，C45，它的两条交互线 AD，BE 相交于点 F，且 ADm，BE n，求ABC 外接圆的面积（用含 m，n 的代数式表示） 2021 年浙江省宁波市慈溪市中考数学模拟试卷（年浙江省宁波市慈溪市中考数学模拟试卷（4 月份）月份
12、） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1 （4 分）的相反数是（ ） A B6 C6 D 【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，在数轴上表示，分别位于原点的两侧，且到原点距离相 等的两点所表示的数是互为相反数 【解答】解：的相反数是， 故选：D 2 （4 分）下列运算正确的是（ ） Aa+2a3a2 Ba3a2a5 C （3a）26a2 Da6a2a3 【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则
13、以及同底数幂的除法法则 逐一判断即可 【解答】解：A、a+2a3a，故本选项不合题意； B、a3a2a5，故本选项符合题意； C、 （3a）29a2，故本选项不合题意； D、a6a2a4，故本选项不合题意； 故选：B 3 （4 分） 2020 年， 在全球经济受到新冠疫情的影响下， 我国 GDP 仍逆势增长 2.3%， 经济总量达到 1016000 亿元数 1016000 用科学记数法表示为（ ） A1.016107 B1.016106 C1.016105 D10.16105 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a
14、时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：10160001.016106 故选：B 4 （4 分）如图是一个“凹”字形几何体，下列关于该几何体的俯视图画法正确的是（ ） A B C D 【分析】直接利用三视图画法结合俯视图的观察角度得出答案 【解答】解：如图所示，其俯视图是： 故选：D 5 （4 分）甲、乙、丙、丁四位同学的五次数学测验成绩统计如表所示，如果要从这四位同学中，选出一位 成绩好又稳定的同学参加数学竞赛，则应选的同学是（ ） 甲 乙 丙 丁 平均分 90 85 90 85 方差 42
15、 50 50 42 A甲 B乙 C丙 D丁 【分析】先找到四人中平均数大的，即成绩好的；再从平均成绩好的人中选择方差小，即成绩稳定的， 从而得出答案 【解答】解：， 四位同学中甲、丙的平均成绩较好， 又S甲 2S 丙 2， 甲的成绩好又稳定， 故选：A 6 （4 分）已知直线 mn，将一块含 30角的直角三角板 ABC，按如图所示方式放置，其中 A、B 两点分 别落在直线 m、n 上，若125，则2 的度数是（ ） A25 B30 C35 D55 【分析】根据平行线的性质即可得到3 的度数，再根据三角形内角和定理，即可得到结论 【解答】解：直线 mn， 3125， 又三角板中，ABC60， 2
16、602535， 故选：C 7 （4 分）如图，是一张矩形纸片 ABCD，AB12，AD12，按如图方式剪出一张扇形纸片 OEF，O 为 BC 中点，弧 EF 与 AD 相切，把这张扇形纸片围成一个无底圆锥，则这个圆锥的底面半径为（ ） A2 B2 C4 D4 【分析】过 O 点作 OHAD 于 H，如图，根据切线的性质得 OHOEOFAB12，再利用三角函数 求出BOECOF30，则EOF1803030120，设这个圆锥的底面半径为 r，利用 弧长公式得到 2r，然后解方程即可 【解答】解：过 O 点作 OHAD 于 H，如图， 弧 EF 与 AD 相切， OHOEOFAB12， O 为 BC
17、 中点， OBOCAD6， 在 RtOBE 中，cosBOE， BOE30， 同理可得COF30， EOF1803030120， 设这个圆锥的底面半径为 r， 根据题意得 2r，解得 r4， 即这个圆锥的底面半径为 4 故选：D 8 （4 分） 九章算术中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到 900 里外的城市，需要的时 间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少 3 天，已知快马的速度是慢马的 2 倍， 求规定时间设规定时间为 x 天，则可列方程为（ ） A B C D 【分析】首先设规定时间为 x 天，则快马所需的时间为（x3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题
18、 意得等量关系：慢马速度2快马速度，根据等量关系，可得方程 【解答】解：设规定时间为 x 天，则快马所需的时间为（x3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题 意得： 2， 故选：A 9 （4 分）小明同学利用计算机软件绘制了某一函数的图象，如图所示由学习函数的经验，可以推断这个 函数可能是（ ） Ay By Cy Dy 【分析】由图象可知，当 x0 时，y0，当 x0 时，y0，x2 时，函数值不存在； 【解答】解：由图象可知，当 x0 时，y0，当 x0 时，y0，x2 时，函数值不存在， 故选：A 10（4 分） 已知， 矩形 ABCD 中， E 为 AB 上一定点， F 为 BC 上一
19、动点， 以 EF 为一边作平行四边形 EFGH， 点G， H分别在CD和AD上， 若平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变， 则应满足 （ ） AAD4AE BAD2AB CAB2AE DAB3AE 【分析】设 ABa，BCb，BEc，BFx，根据 S平行四边形EFGHS矩形ABCD2（SBEF+SAEH）（a 2c）x+bc，F 为 BC 上一动点，x 是变量， （a2c）是 x 的系数，根据平行四边形 EFGH 的面积不会随 点 F 的位置改变而改变， 为固定值， x 的系数为 0， bc 为固定值， a2c0， 进而可得点 E 是 AB 的中点， 即可进行判断 【解答】解：设
20、 ABa，BCb，BEc，BFx， S平行四边形EFGHS矩形ABCD2（SBEF+SAEH） ab2cx+（ac） （bx） ab（cx+abaxbc+cx） abcxab+ax+bccx （a2c）x+bc， F 为 BC 上一动点， x 是变量， （a2c）是 x 的系数， 平行四边形 EFGH 的面积不会随点 F 的位置改变而改变，为固定值， x 的系数为 0，bc 为固定值， a2c0， a2c， E 是 AB 的中点， AB2AE， 故选：C 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）二次根式中字母 x 的取值范围是 x1 【分析】二次
21、根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可求解 【解答】解：根据题意得：x10， 解得 x1 故答案为：x1 12 （5 分）分解因式：3a212 3（a+2） （a2） 【分析】先提取公因式 3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 【解答】解：3a2123（a+2） （a2） 13 （5 分）学校组织春游，安排九年级三辆车，小王和小菲都可以从三辆车中任选一辆搭乘，则小王和小 菲乘同一辆车的概率是 【分析】列举出所有情况，看在同一辆车的情况数占总情况数的多少即可 【解答】解：设 3 辆车分别为 A，B，C， 共有 9 种情况，在同一辆车的情况数有 3 种， 所以坐同一辆车的概率为： 故答案
22、为： 14 （5 分）已知命题： “关于 x 的一元二次方程 x2+bx+10，当 b0 时必有实数解” ，能说明这个命题是假 命题的一个反例可以是 1（答案不唯一） 【分析】先根据判别式得到b24，在满足 b0 的前提下，取 b1 得到0，根据判别式的意 义得到方程没有实数解，于是 b1 可作为说明这个命题是假命题的一个反例 【解答】解：b24，由于当 b1 时，满足 b0， 而0，方程没有实数解，所以当 b1 时， 可说明这个命题是假命题 故答案为：1（答案不唯一） 15 （5 分）如图，在 RtABC 中，C90，B30，AC2，以 C 为圆心，r 为半径作圆若该圆 与线段 AB 只有一
23、个交点，则 r 的取值范围为 r或 2r2 【分析】先根据题意画出符合的两种情况，根据勾股定理求出 BC，即可得出答案 【解答】解：过 C 作 CDAB 于 D， 在 RtBCA 中， ACB90，AC2，B30， AB4， BC2， 根据三角形的面积公式得：ABCDACBC， CD， 当圆与时 AB 相切时，r， 当点 A 在圆内，点 B 在圆外或圆上时，r 的范围是 2r2， 综上所述：r 的取值范围是 r或 2r2， 故答案为：r或 2r2 16 （5 分）如图，点 A、C 分别是 x 轴、y 轴正半轴上的点，矩形 ABCO 的边 AB，BC 分别交函数 y（x 0，k0，k 为常数）的
24、图象于点 P，Q，连接 PQ （1）若 P 为 AB 中点，则 （2）若把BPQ 沿 PQ 翻折，点 B 恰好落在 x 轴上的点 E，且 OE6，EA2，则 k 12 【分析】 （1）设 B（m，n） ，则 A（m，0） ，C（0，n） ，Q 点的纵坐标为 n，根据反比例函数定义可得 xQ， 从而可得答案； （2）连接 BE，过 Q 作 QHx 轴于 H，设 Q（m，n） ，在QHE 中，用勾股定理得 n2284m，由 QHEEAP 对应边成比例可得 mn29616m，从而可以解除 m、n，得到答案 【解答】解： （1）设 B（m，n） ，则 A（m，0） ，C（0，n） ，Q 点的纵坐标为
25、n， P 为 AB 中点， P（m，n） ， 函数 y（x0，k0，k 为常数）的图象过点 P，Q， xQnkmn， xQm， CQm，Q 是 BC 的中点， ； 故答案为：； （2）连接 BE，过 Q 作 QHx 轴于 H，如图： 把BPQ 沿 PQ 翻折，点 B 恰好落在 x 轴上的点 E， PBQPEQ90，BPEP，QEQB， 设 Q（m，n） ，则 CQOHm，HQn， OE6，EA2， OABC8，HEOEOH6m， QEQBBCCQ8m， 在QHE 中，HQ2+HE2QE2，即 n2+（6m）2（8m）2， 化简得 n2284m， Q 在函数 y（x0，k0，k 为常数）的图象上
26、， kmn， OA8 xP8，代入 y得 y， P（8，） ， AP， PEQ90， PEA90QEHEQH， 而QHEPAE90， QHEEAP， ， ，化简得 mn29616m， 将 n2284m代入得 m（284m）9616m， 解得 m3 或 m8（舍去） ， n4 或 n4（舍去） ， Q（3，4） ， k12 故答案为 12 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 8 小题，共小题，共 80 分）分） 17 （8 分） （1）计算： （a1）2+2（a2） ； （2）解不等式：7x2（x+2）3 【分析】 （1）直接利用完全平方公式以及合并同类项法则计算得出答案； （2）直接利用
27、一元一次不等式的解法分析得出答案 【解答】解： （1）原式a22a+1+2a4 a23； （2）7x2（x+2）3 则 7x2x+43， 故3x6， 解得：x2 18 （8 分）图 1，图 2 都是由边长为 1 的小正方形构成的网格，ABC 的三个顶点都在格点上，请在该 4 4 的网格中，分别按下列要求画一个与ABC 有公共边的三角形： （1）使得所画出的三角形和ABC 组成一个轴对称图形 （2）使得所画出的三角形和ABC 组成一个中心对称图形 （请将两个小题依次作答在图 1，图 2 中，均只需画出符合条件的一种情形） 【分析】 （1）直接利用轴对称图形的性质分析得出答案； （2）直接利用中心
28、对称图形的性质分析得出答案 【解答】解： （1）如图所示：ADC 即为所求（答案不唯一） ； （2）如图所示：BEC 即为所求（答案不唯一） 19 （8 分）今年的 7 月 1 日是中国共产党成立 100 周年纪念日，我市某中学开展了爱党宣传教育活动为 了了解这次宣传活动的效果， 学校从全校 1200 名学生中随机抽取了部分学生进行知识测试，并将测试成 绩 分 为A ， B ， C ， D ， E五 个 等 级 ， 绘 制 成 了 统 计 图 （ 部 分 信 息 未 给 出） （1）求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图 （2）求扇形统计图中“A”所对应的扇形圆心角的度数 （3）如果测试成绩
29、为 A、B 等级的均为优秀，请估计该校学生中成绩为优秀的人数 【分析】 （1）根据 C 等级的人数和所占的百分比求出调查的总人数，再用总人数减去其它等级的人数， 求出 D 等级的人数，从而补全统计图； （2）用 360乘以“A”所占的百分比即可； （3）用总人数乘以成绩为优秀的人数所占的百分比即可 【解答】解： （1）本次被调查的学生人数是：3926%150（人） ， D 等级的人数有：150245139630（人） ，补全统计图如下： （2） “A”所对应的扇形圆心角的度数是：36057.6； （3）1200600（人） ， 答：该校学生中成绩为优秀的人数有 600 人 20 （10 分）图
30、 1 是某景区的纪念币，一面有一个正十边形，示意图如图 2 所示，其外接圆的圆心为 O，直 径为 20mm （1）求这个正十边形的边长 AB （2）求这个正十边形的面积 （参考数据：sin180.31，cos180.95，tan180.32） 【分析】 （1）根据圆内接正十边形可得AOB36，根据三角函数可求得 AB 的长； （2）结合（1）根据三角函数可求 OC 的长，进而求出三角形 AOB 的面积，最后求出正十边形的面积 【解答】解： （1）如图，过点 O 作 OCAB 于点 C， 由题意可知：AOB36， OAOB10mm， AOCBOC18，ACBC， ACOAsin18100313.
31、1（mm） ， AB2AC6.2mm； （2）OCOAcos18100.959.5（mm） ， SAOBABOC6.29.529.45（mm2） ， S正十边形10SAOB2945（mm2） 21 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yax22x3 图象的顶点是 A，与 x 轴交于 B、C 两 点，与 y 轴交于 D，点 B 的坐标是（1，0） （1）求二次函数图象的顶点坐标并直接写出直线 CD 的函数关系式 （2）作一条平行于 x 轴的直线交二次函数的图象于点 M，N，与直线 CD 于点 R若点 M，N，R 的横坐 标分别为 m，n，r，且 rmn，求 m+n+r 的取值范围 【
32、分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2）因为 rmn，则直线在点 D 的下方、点 A 的上方（不能过点 D，可以过点 A） ，进而求解 【解答】解： （1）将点 B 的坐标代入抛物线表达式得：a+230，解得 a1， 故抛物线的表达式为 yx22x3（x1）24， 故顶点坐标为（1，4） ； 对于 yx22x3，令 yx22x30，解得 x1 或 3，令 x0，则 y3， 故点 C、D 的坐标分别为（3，0） 、 （0，3） ， 设直线 CD 的表达式为 ykx+b，则，解得， 故直线 CD 的表达式为 yx3； （2）rmn， 直线在点 D 的下方、点 A 的上方（不能过点 D，可以过点
33、 A） ， 当 y4 时，即x34，解得 x1， 故1r0， 由抛物线的对称性知，点 M、N 关于抛物线的对称轴对称，故（m+n）2， 1m+n+r2 22 （10 分）小聪和小慧去某风景区游览，约好在飞瀑见面上午 9：00，小聪从塔林出发，沿景区公路（如 图 1）步行 15 分钟至草甸，休息若干分钟后搭乘景区班车赶往飞瀑，车速为 36km/h小慧也于上午 9： 00 从古刹出发， 骑自行车前往飞瀑 两人离古刹的路程 y （米） 与时间 x （分） 的函数关系如图 2 所示 已 知古刹与塔林的路程为 1500m （1）求小聪步行时离古刹的路程 y（米）与时间 x（分）的函数表达式 （2）求小聪
34、乘坐景区班车的时间 （3）若小慧比小聪早到 2 分钟，求两人几时几分相遇 【分析】 （1）设 ykx+b，运用待定系数法求解即可； （2）把 x15 代入（1）的结论，再根据题意列式计算即可解答； （3）求出小慧骑自行车的函数表达式，联立（1）的结论求解即可 【解答】解： （1）设小聪步行时离古刹的路程 y（米）与时间 x（分）的函数表达式为 ykx+b， 根据题意得：， 解得， 小聪步行时的函数表达式为 y60 x+1500（0 x15） ； （2）当 x15 时，y60 x+15006015+15002400， 36km/h10m/s600m/min， （54002400）6005（分钟）
35、 ； （3）27+5230（分钟） ， 540030180（m/min） ， 小慧骑自行车的函数表达式 y180 x， ， 解得， 答：两人相遇的时间是上午 9 时 12 分 30 秒 23 （12 分） 【基础巩固】 （1）如图 1，在ABC 中，ACB90，直线 l 过点 C，分别过 A、B 两点作 AEl，BDl，垂足分 别为 E、D求证：BDCCEA 【尝试应用】 （2）如图 2，在ABC 中，ACB90，D 是 BC 上一点，过 D 作 AD 的垂线交 AB 于点 E若 BE DE，tanBAD，AC20，求 BD 的长 【拓展提高】 （3）如图 3，在ABCD 中，在 BC 上取点
36、 E，使得AED90，若 AEAB，CD， 求ABCD 的面积 【分析】 （1）由直角三角形的性质证得BDCAEC，由相似三角形的判定定理可得出结论； （2）过点 E 作 EFBC 于点 F，由相似三角形的性质得出，由锐角三角函数的定义求出 DF 16，则可求出答案； （3） 过点 A作 AMBC 于点 M， 过点 D作 DNBC， 交 BC的延长线于点N， 证明ABMDCN （AAS） ， 由全等三角形的性质得出 BMCN，AMDN，设 BE4a，EC3a，由（1）得AEMEDN，得出 比例线段，求出 a1，b，由平行四边形的面积公式可得出答案 【解答】 （1）证明：ACB90， BCD+A
37、CE90， AECE， AEC90， ACE+CAE90， BCDCAE， BDDE， BDC90， BDCAEC， BDCCEA； （2）解：过点 E 作 EFBC 于点 F， 由（1）得EDFDAC， ， ADDE，tanBAD，AC20， ， DF16， BEDE， BFDF， BD32； （3）过点 A 作 AMBC 于点 M，过点 D 作 DNBC，交 BC 的延长线于点 N， AMBDNC90， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD， BDCN， ABMDCN（AAS） ， BMCN，AMDN， ABAE，AMBC， BMME， ， 设 BE4a，EC3a， BMM
38、ECN2a，EN5a， AED90， 由（1）得AEMEDN， ， ， ba， CD， （2a）2+b214， a1，b， ABCD 的面积 24 （14 分）定义：从三角形一个角的顶点引一条射线与对边相交，把这个角分成两个角，如果其中一个角 与这条射线另一侧的原三角形的内角互余，那么这条射线上三角形顶点到对边交点的线段称为这个三角 形的“交互线” （1）判断下列命题是真命题还是假命题？ 直角三角形的斜边上的高是它的交互线； 若三角形的角平分线是它的交互线，则这个三角形是等腰三角形 （2）如图 1，巳知 BE 为锐角ABC 的交互线 求证：BE 过ABC 外接圆的圆心 O 若 ABAC，交互线
39、 BE25，O 的半径为 16，求 AB 的长 （3）如图 2，已知，在ABC 中，C45，它的两条交互线 AD，BE 相交于点 F，且 ADm，BE n，求ABC 外接圆的面积（用含 m，n 的代数式表示） 【分析】 （1）根据三角形的“交互线”定义即可判断； （2）延长 BE 交O 于 N，连接 CN，证明BCN90即可； 连接并延长 AO 交 BC 于 D，由已知可得AEOBEA，从而可求 AE 长度，再由即可得答 案； （3）首先确定 F 为ABC 外接圆圆心，设 AFr，则 BFr，由ABEACB，可得， 即，从而有 2r2AEAC，rnAEBC，同理可得：ABDCBA，有 2r2
40、BDBC，rmBDAC，将四个等式适当变形即可用 m、n 表示 r2，即可得到答案 【解答】解： （1）假命题，如图： ACB90，CDAB 于 D， BCD90ACDA， BCDA， BCD+A 不应定为 90， 同理ACDB，ACD+B 不应定为 90， 根据“交互线”定义，CD 不一定是ABC 的“交互线” ， “直角三角形的斜边上的高是它的交互线”是假命题； 真命题，如图： AD 是ABC 角平分线， BADCAD， AD 是ABC 的“交互线” ， BAD+C90或CAD+B90， 若BAD+C90，根据三角形内角和定理可得：CAD+B90， 又BADCAD， BC， ABC 是等腰
41、三角形， 若CAD+B90，同理可得ABC 是等腰三角形， “若三角形的角平分线是它的交互线，则这个三角形是等腰三角形”是真命题； （2）延长 BE 交O 于 N，连接 CN，如图： BE 为锐角ABC 的交互线， ABN+ACB90， ABNACN， ACN+ACB90，即NCB90， BN 为直径， BE 过ABC 外接圆的圆心 O； 连接并延长 AO 交 BC 于 D，如图： ABAC，ABC 外接圆为O， 由对称性可得：AD 平分BAC， ADBC， BE 为ABC 的交互线， ABE+ACD90， DAC+ACD90， ABEDAC， 又AEOBEA， AEOBEA， ， BE25，O 的半径为 16， EO9， ， 解得 AE15， AEOBEA， ， AB； （3）两条交互线 AD，BE 相交于点 F， F 为ABC 外接圆圆心， 设 AFr，则 BFr， C45， AFB2C90， ABFBADC45，ABr， ABEACB， 且BAECAB， ABEACB， ，即， 2r2AEAC， rnAEBC， 同理可得：ABDCBA， 2r2BDBC， rmBDAC， 得 4r4AEACDBBC， 2mnr2AEBCDBAC， 4r42r2mn， r2， ABC 外接圆的面积为