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2021年浙江省宁波市慈溪市中考数学模拟试卷(4月份)含答案解析

1、2021 年浙江省宁波市慈溪市中考数学模拟试卷(年浙江省宁波市慈溪市中考数学模拟试卷(4 月份)月份) 一、选择题(每小题一、选择题(每小题 4 分,共分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) 1 (4 分)的相反数是( ) A B6 C6 D 2 (4 分)下列运算正确的是( ) Aa+2a3a2 Ba3a2a5 C (3a)26a2 Da6a2a3 3 (4 分) 2020 年, 在全球经济受到新冠疫情的影响下, 我国 GDP 仍逆势增长 2.3%, 经济总量达到 1016000 亿元数 1016000 用科学记

2、数法表示为( ) A1.016107 B1.016106 C1.016105 D10.16105 4 (4 分)如图是一个“凹”字形几何体,下列关于该几何体的俯视图画法正确的是( ) A B C D 5 (4 分)甲、乙、丙、丁四位同学的五次数学测验成绩统计如表所示,如果要从这四位同学中,选出一位 成绩好又稳定的同学参加数学竞赛,则应选的同学是( ) 甲 乙 丙 丁 平均分 90 85 90 85 方差 42 50 50 42 A甲 B乙 C丙 D丁 6 (4 分)已知直线 mn,将一块含 30角的直角三角板 ABC,按如图所示方式放置,其中 A、B 两点分 别落在直线 m、n 上,若125,

3、则2 的度数是( ) A25 B30 C35 D55 7 (4 分)如图,是一张矩形纸片 ABCD,AB12,AD12,按如图方式剪出一张扇形纸片 OEF,O 为 BC 中点,弧 EF 与 AD 相切,把这张扇形纸片围成一个无底圆锥,则这个圆锥的底面半径为( ) A2 B2 C4 D4 8 (4 分) 九章算术中记录的一道题译为白话文是:把一份文件用慢马送到 900 里外的城市,需要的时 间比规定时间多一天,如果用快马送,所需的时间比规定时间少 3 天,已知快马的速度是慢马的 2 倍, 求规定时间设规定时间为 x 天,则可列方程为( ) A B C D 9 (4 分)小明同学利用计算机软件绘制

4、了某一函数的图象,如图所示由学习函数的经验,可以推断这个 函数可能是( ) Ay By Cy Dy 10(4 分) 已知, 矩形 ABCD 中, E 为 AB 上一定点, F 为 BC 上一动点, 以 EF 为一边作平行四边形 EFGH, 点G, H分别在CD和AD上, 若平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变, 则应满足 ( ) AAD4AE BAD2AB CAB2AE DAB3AE 二、填空题(每小题二、填空题(每小题 5 分,共分,共 30 分)分) 11 (5 分)二次根式中字母 x 的取值范围是 12 (5 分)分解因式:3a212 13 (5 分)学校组织春游,安排九年

5、级三辆车,小王和小菲都可以从三辆车中任选一辆搭乘,则小王和小 菲乘同一辆车的概率是 14 (5 分)已知命题: “关于 x 的一元二次方程 x2+bx+10,当 b0 时必有实数解” ,能说明这个命题是假 命题的一个反例可以是 15 (5 分)如图,在 RtABC 中,C90,B30,AC2,以 C 为圆心,r 为半径作圆若该圆 与线段 AB 只有一个交点,则 r 的取值范围为 16 (5 分)如图,点 A、C 分别是 x 轴、y 轴正半轴上的点,矩形 ABCO 的边 AB,BC 分别交函数 y(x 0,k0,k 为常数)的图象于点 P,Q,连接 PQ (1)若 P 为 AB 中点,则 (2)

6、 若把BPQ 沿 PQ 翻折, 点 B 恰好落在 x 轴上的点 E, 且 OE6, EA2, 则 k 三、解答题(本大题有三、解答题(本大题有 8 小题,共小题,共 80 分)分) 17 (8 分) (1)计算: (a1)2+2(a2) ; (2)解不等式:7x2(x+2)3 18 (8 分)图 1,图 2 都是由边长为 1 的小正方形构成的网格,ABC 的三个顶点都在格点上,请在该 4 4 的网格中,分别按下列要求画一个与ABC 有公共边的三角形: (1)使得所画出的三角形和ABC 组成一个轴对称图形 (2)使得所画出的三角形和ABC 组成一个中心对称图形 (请将两个小题依次作答在图 1,图

7、 2 中,均只需画出符合条件的一种情形) 19 (8 分)今年的 7 月 1 日是中国共产党成立 100 周年纪念日,我市某中学开展了爱党宣传教育活动为 了了解这次宣传活动的效果, 学校从全校 1200 名学生中随机抽取了部分学生进行知识测试,并将测试成 绩 分 为A , B , C , D , E五 个 等 级 , 绘 制 成 了 统 计 图 ( 部 分 信 息 未 给 出) (1)求本次被调查的学生人数,并补全条形统计图 (2)求扇形统计图中“A”所对应的扇形圆心角的度数 (3)如果测试成绩为 A、B 等级的均为优秀,请估计该校学生中成绩为优秀的人数 20 (10 分)图 1 是某景区的纪

8、念币,一面有一个正十边形,示意图如图 2 所示,其外接圆的圆心为 O,直 径为 20mm (1)求这个正十边形的边长 AB (2)求这个正十边形的面积 (参考数据:sin180.31,cos180.95,tan180.32) 21 (10 分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数 yax22x3 图象的顶点是 A,与 x 轴交于 B、C 两 点,与 y 轴交于 D,点 B 的坐标是(1,0) (1)求二次函数图象的顶点坐标并直接写出直线 CD 的函数关系式 (2)作一条平行于 x 轴的直线交二次函数的图象于点 M,N,与直线 CD 于点 R若点 M,N,R 的横坐 标分别为 m,n,r,且 rm

9、n,求 m+n+r 的取值范围 22 (10 分)小聪和小慧去某风景区游览,约好在飞瀑见面上午 9:00,小聪从塔林出发,沿景区公路(如 图 1)步行 15 分钟至草甸,休息若干分钟后搭乘景区班车赶往飞瀑,车速为 36km/h小慧也于上午 9: 00 从古刹出发, 骑自行车前往飞瀑 两人离古刹的路程 y (米) 与时间 x (分) 的函数关系如图 2 所示 已 知古刹与塔林的路程为 1500m (1)求小聪步行时离古刹的路程 y(米)与时间 x(分)的函数表达式 (2)求小聪乘坐景区班车的时间 (3)若小慧比小聪早到 2 分钟,求两人几时几分相遇 23 (12 分) 【基础巩固】 (1)如图

10、1,在ABC 中,ACB90,直线 l 过点 C,分别过 A、B 两点作 AEl,BDl,垂足分 别为 E、D求证:BDCCEA 【尝试应用】 (2)如图 2,在ABC 中,ACB90,D 是 BC 上一点,过 D 作 AD 的垂线交 AB 于点 E若 BE DE,tanBAD,AC20,求 BD 的长 【拓展提高】 (3)如图 3,在ABCD 中,在 BC 上取点 E,使得AED90,若 AEAB,CD, 求ABCD 的面积 24 (14 分)定义:从三角形一个角的顶点引一条射线与对边相交,把这个角分成两个角,如果其中一个角 与这条射线另一侧的原三角形的内角互余,那么这条射线上三角形顶点到对

11、边交点的线段称为这个三角 形的“交互线” (1)判断下列命题是真命题还是假命题? 直角三角形的斜边上的高是它的交互线; 若三角形的角平分线是它的交互线,则这个三角形是等腰三角形 (2)如图 1,巳知 BE 为锐角ABC 的交互线 求证:BE 过ABC 外接圆的圆心 O 若 ABAC,交互线 BE25,O 的半径为 16,求 AB 的长 (3)如图 2,已知,在ABC 中,C45,它的两条交互线 AD,BE 相交于点 F,且 ADm,BE n,求ABC 外接圆的面积(用含 m,n 的代数式表示) 2021 年浙江省宁波市慈溪市中考数学模拟试卷(年浙江省宁波市慈溪市中考数学模拟试卷(4 月份)月份

12、) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(每小题一、选择题(每小题 4 分,共分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) 1 (4 分)的相反数是( ) A B6 C6 D 【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数,在数轴上表示,分别位于原点的两侧,且到原点距离相 等的两点所表示的数是互为相反数 【解答】解:的相反数是, 故选:D 2 (4 分)下列运算正确的是( ) Aa+2a3a2 Ba3a2a5 C (3a)26a2 Da6a2a3 【分析】分别根据合并同类项法则,同底数幂的乘法法则,积的乘方运算法则

13、以及同底数幂的除法法则 逐一判断即可 【解答】解:A、a+2a3a,故本选项不合题意; B、a3a2a5,故本选项符合题意; C、 (3a)29a2,故本选项不合题意; D、a6a2a4,故本选项不合题意; 故选:B 3 (4 分) 2020 年, 在全球经济受到新冠疫情的影响下, 我国 GDP 仍逆势增长 2.3%, 经济总量达到 1016000 亿元数 1016000 用科学记数法表示为( ) A1.016107 B1.016106 C1.016105 D10.16105 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式,其中 1|a|10,n 为整数确定 n 的值时,要看把 原数变成 a

14、时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时,n 是正整数;当原数的绝对值1 时,n 是负整数 【解答】解:10160001.016106 故选:B 4 (4 分)如图是一个“凹”字形几何体,下列关于该几何体的俯视图画法正确的是( ) A B C D 【分析】直接利用三视图画法结合俯视图的观察角度得出答案 【解答】解:如图所示,其俯视图是: 故选:D 5 (4 分)甲、乙、丙、丁四位同学的五次数学测验成绩统计如表所示,如果要从这四位同学中,选出一位 成绩好又稳定的同学参加数学竞赛,则应选的同学是( ) 甲 乙 丙 丁 平均分 90 85 90 85 方差 42

15、 50 50 42 A甲 B乙 C丙 D丁 【分析】先找到四人中平均数大的,即成绩好的;再从平均成绩好的人中选择方差小,即成绩稳定的, 从而得出答案 【解答】解:, 四位同学中甲、丙的平均成绩较好, 又S甲 2S 丙 2, 甲的成绩好又稳定, 故选:A 6 (4 分)已知直线 mn,将一块含 30角的直角三角板 ABC,按如图所示方式放置,其中 A、B 两点分 别落在直线 m、n 上,若125,则2 的度数是( ) A25 B30 C35 D55 【分析】根据平行线的性质即可得到3 的度数,再根据三角形内角和定理,即可得到结论 【解答】解:直线 mn, 3125, 又三角板中,ABC60, 2

16、602535, 故选:C 7 (4 分)如图,是一张矩形纸片 ABCD,AB12,AD12,按如图方式剪出一张扇形纸片 OEF,O 为 BC 中点,弧 EF 与 AD 相切,把这张扇形纸片围成一个无底圆锥,则这个圆锥的底面半径为( ) A2 B2 C4 D4 【分析】过 O 点作 OHAD 于 H,如图,根据切线的性质得 OHOEOFAB12,再利用三角函数 求出BOECOF30,则EOF1803030120,设这个圆锥的底面半径为 r,利用 弧长公式得到 2r,然后解方程即可 【解答】解:过 O 点作 OHAD 于 H,如图, 弧 EF 与 AD 相切, OHOEOFAB12, O 为 BC

17、 中点, OBOCAD6, 在 RtOBE 中,cosBOE, BOE30, 同理可得COF30, EOF1803030120, 设这个圆锥的底面半径为 r, 根据题意得 2r,解得 r4, 即这个圆锥的底面半径为 4 故选:D 8 (4 分) 九章算术中记录的一道题译为白话文是:把一份文件用慢马送到 900 里外的城市,需要的时 间比规定时间多一天,如果用快马送,所需的时间比规定时间少 3 天,已知快马的速度是慢马的 2 倍, 求规定时间设规定时间为 x 天,则可列方程为( ) A B C D 【分析】首先设规定时间为 x 天,则快马所需的时间为(x3)天,慢马所需的时间为(x+1)天,由题

18、 意得等量关系:慢马速度2快马速度,根据等量关系,可得方程 【解答】解:设规定时间为 x 天,则快马所需的时间为(x3)天,慢马所需的时间为(x+1)天,由题 意得: 2, 故选:A 9 (4 分)小明同学利用计算机软件绘制了某一函数的图象,如图所示由学习函数的经验,可以推断这个 函数可能是( ) Ay By Cy Dy 【分析】由图象可知,当 x0 时,y0,当 x0 时,y0,x2 时,函数值不存在; 【解答】解:由图象可知,当 x0 时,y0,当 x0 时,y0,x2 时,函数值不存在, 故选:A 10(4 分) 已知, 矩形 ABCD 中, E 为 AB 上一定点, F 为 BC 上一

19、动点, 以 EF 为一边作平行四边形 EFGH, 点G, H分别在CD和AD上, 若平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变, 则应满足 ( ) AAD4AE BAD2AB CAB2AE DAB3AE 【分析】设 ABa,BCb,BEc,BFx,根据 S平行四边形EFGHS矩形ABCD2(SBEF+SAEH)(a 2c)x+bc,F 为 BC 上一动点,x 是变量, (a2c)是 x 的系数,根据平行四边形 EFGH 的面积不会随 点 F 的位置改变而改变, 为固定值, x 的系数为 0, bc 为固定值, a2c0, 进而可得点 E 是 AB 的中点, 即可进行判断 【解答】解:设

20、 ABa,BCb,BEc,BFx, S平行四边形EFGHS矩形ABCD2(SBEF+SAEH) ab2cx+(ac) (bx) ab(cx+abaxbc+cx) abcxab+ax+bccx (a2c)x+bc, F 为 BC 上一动点, x 是变量, (a2c)是 x 的系数, 平行四边形 EFGH 的面积不会随点 F 的位置改变而改变,为固定值, x 的系数为 0,bc 为固定值, a2c0, a2c, E 是 AB 的中点, AB2AE, 故选:C 二、填空题(每小题二、填空题(每小题 5 分,共分,共 30 分)分) 11 (5 分)二次根式中字母 x 的取值范围是 x1 【分析】二次

21、根式有意义的条件就是被开方数是非负数,即可求解 【解答】解:根据题意得:x10, 解得 x1 故答案为:x1 12 (5 分)分解因式:3a212 3(a+2) (a2) 【分析】先提取公因式 3,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 【解答】解:3a2123(a+2) (a2) 13 (5 分)学校组织春游,安排九年级三辆车,小王和小菲都可以从三辆车中任选一辆搭乘,则小王和小 菲乘同一辆车的概率是 【分析】列举出所有情况,看在同一辆车的情况数占总情况数的多少即可 【解答】解:设 3 辆车分别为 A,B,C, 共有 9 种情况,在同一辆车的情况数有 3 种, 所以坐同一辆车的概率为: 故答案

22、为: 14 (5 分)已知命题: “关于 x 的一元二次方程 x2+bx+10,当 b0 时必有实数解” ,能说明这个命题是假 命题的一个反例可以是 1(答案不唯一) 【分析】先根据判别式得到b24,在满足 b0 的前提下,取 b1 得到0,根据判别式的意 义得到方程没有实数解,于是 b1 可作为说明这个命题是假命题的一个反例 【解答】解:b24,由于当 b1 时,满足 b0, 而0,方程没有实数解,所以当 b1 时, 可说明这个命题是假命题 故答案为:1(答案不唯一) 15 (5 分)如图,在 RtABC 中,C90,B30,AC2,以 C 为圆心,r 为半径作圆若该圆 与线段 AB 只有一

23、个交点,则 r 的取值范围为 r或 2r2 【分析】先根据题意画出符合的两种情况,根据勾股定理求出 BC,即可得出答案 【解答】解:过 C 作 CDAB 于 D, 在 RtBCA 中, ACB90,AC2,B30, AB4, BC2, 根据三角形的面积公式得:ABCDACBC, CD, 当圆与时 AB 相切时,r, 当点 A 在圆内,点 B 在圆外或圆上时,r 的范围是 2r2, 综上所述:r 的取值范围是 r或 2r2, 故答案为:r或 2r2 16 (5 分)如图,点 A、C 分别是 x 轴、y 轴正半轴上的点,矩形 ABCO 的边 AB,BC 分别交函数 y(x 0,k0,k 为常数)的

24、图象于点 P,Q,连接 PQ (1)若 P 为 AB 中点,则 (2)若把BPQ 沿 PQ 翻折,点 B 恰好落在 x 轴上的点 E,且 OE6,EA2,则 k 12 【分析】 (1)设 B(m,n) ,则 A(m,0) ,C(0,n) ,Q 点的纵坐标为 n,根据反比例函数定义可得 xQ, 从而可得答案; (2)连接 BE,过 Q 作 QHx 轴于 H,设 Q(m,n) ,在QHE 中,用勾股定理得 n2284m,由 QHEEAP 对应边成比例可得 mn29616m,从而可以解除 m、n,得到答案 【解答】解: (1)设 B(m,n) ,则 A(m,0) ,C(0,n) ,Q 点的纵坐标为

25、n, P 为 AB 中点, P(m,n) , 函数 y(x0,k0,k 为常数)的图象过点 P,Q, xQnkmn, xQm, CQm,Q 是 BC 的中点, ; 故答案为:; (2)连接 BE,过 Q 作 QHx 轴于 H,如图: 把BPQ 沿 PQ 翻折,点 B 恰好落在 x 轴上的点 E, PBQPEQ90,BPEP,QEQB, 设 Q(m,n) ,则 CQOHm,HQn, OE6,EA2, OABC8,HEOEOH6m, QEQBBCCQ8m, 在QHE 中,HQ2+HE2QE2,即 n2+(6m)2(8m)2, 化简得 n2284m, Q 在函数 y(x0,k0,k 为常数)的图象上

26、, kmn, OA8 xP8,代入 y得 y, P(8,) , AP, PEQ90, PEA90QEHEQH, 而QHEPAE90, QHEEAP, , ,化简得 mn29616m, 将 n2284m代入得 m(284m)9616m, 解得 m3 或 m8(舍去) , n4 或 n4(舍去) , Q(3,4) , k12 故答案为 12 三、解答题(本大题有三、解答题(本大题有 8 小题,共小题,共 80 分)分) 17 (8 分) (1)计算: (a1)2+2(a2) ; (2)解不等式:7x2(x+2)3 【分析】 (1)直接利用完全平方公式以及合并同类项法则计算得出答案; (2)直接利用

27、一元一次不等式的解法分析得出答案 【解答】解: (1)原式a22a+1+2a4 a23; (2)7x2(x+2)3 则 7x2x+43, 故3x6, 解得:x2 18 (8 分)图 1,图 2 都是由边长为 1 的小正方形构成的网格,ABC 的三个顶点都在格点上,请在该 4 4 的网格中,分别按下列要求画一个与ABC 有公共边的三角形: (1)使得所画出的三角形和ABC 组成一个轴对称图形 (2)使得所画出的三角形和ABC 组成一个中心对称图形 (请将两个小题依次作答在图 1,图 2 中,均只需画出符合条件的一种情形) 【分析】 (1)直接利用轴对称图形的性质分析得出答案; (2)直接利用中心

28、对称图形的性质分析得出答案 【解答】解: (1)如图所示:ADC 即为所求(答案不唯一) ; (2)如图所示:BEC 即为所求(答案不唯一) 19 (8 分)今年的 7 月 1 日是中国共产党成立 100 周年纪念日,我市某中学开展了爱党宣传教育活动为 了了解这次宣传活动的效果, 学校从全校 1200 名学生中随机抽取了部分学生进行知识测试,并将测试成 绩 分 为A , B , C , D , E五 个 等 级 , 绘 制 成 了 统 计 图 ( 部 分 信 息 未 给 出) (1)求本次被调查的学生人数,并补全条形统计图 (2)求扇形统计图中“A”所对应的扇形圆心角的度数 (3)如果测试成绩

29、为 A、B 等级的均为优秀,请估计该校学生中成绩为优秀的人数 【分析】 (1)根据 C 等级的人数和所占的百分比求出调查的总人数,再用总人数减去其它等级的人数, 求出 D 等级的人数,从而补全统计图; (2)用 360乘以“A”所占的百分比即可; (3)用总人数乘以成绩为优秀的人数所占的百分比即可 【解答】解: (1)本次被调查的学生人数是:3926%150(人) , D 等级的人数有:150245139630(人) ,补全统计图如下: (2) “A”所对应的扇形圆心角的度数是:36057.6; (3)1200600(人) , 答:该校学生中成绩为优秀的人数有 600 人 20 (10 分)图

30、 1 是某景区的纪念币,一面有一个正十边形,示意图如图 2 所示,其外接圆的圆心为 O,直 径为 20mm (1)求这个正十边形的边长 AB (2)求这个正十边形的面积 (参考数据:sin180.31,cos180.95,tan180.32) 【分析】 (1)根据圆内接正十边形可得AOB36,根据三角函数可求得 AB 的长; (2)结合(1)根据三角函数可求 OC 的长,进而求出三角形 AOB 的面积,最后求出正十边形的面积 【解答】解: (1)如图,过点 O 作 OCAB 于点 C, 由题意可知:AOB36, OAOB10mm, AOCBOC18,ACBC, ACOAsin18100313.

31、1(mm) , AB2AC6.2mm; (2)OCOAcos18100.959.5(mm) , SAOBABOC6.29.529.45(mm2) , S正十边形10SAOB2945(mm2) 21 (10 分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数 yax22x3 图象的顶点是 A,与 x 轴交于 B、C 两 点,与 y 轴交于 D,点 B 的坐标是(1,0) (1)求二次函数图象的顶点坐标并直接写出直线 CD 的函数关系式 (2)作一条平行于 x 轴的直线交二次函数的图象于点 M,N,与直线 CD 于点 R若点 M,N,R 的横坐 标分别为 m,n,r,且 rmn,求 m+n+r 的取值范围 【

32、分析】 (1)用待定系数法即可求解; (2)因为 rmn,则直线在点 D 的下方、点 A 的上方(不能过点 D,可以过点 A) ,进而求解 【解答】解: (1)将点 B 的坐标代入抛物线表达式得:a+230,解得 a1, 故抛物线的表达式为 yx22x3(x1)24, 故顶点坐标为(1,4) ; 对于 yx22x3,令 yx22x30,解得 x1 或 3,令 x0,则 y3, 故点 C、D 的坐标分别为(3,0) 、 (0,3) , 设直线 CD 的表达式为 ykx+b,则,解得, 故直线 CD 的表达式为 yx3; (2)rmn, 直线在点 D 的下方、点 A 的上方(不能过点 D,可以过点

33、 A) , 当 y4 时,即x34,解得 x1, 故1r0, 由抛物线的对称性知,点 M、N 关于抛物线的对称轴对称,故(m+n)2, 1m+n+r2 22 (10 分)小聪和小慧去某风景区游览,约好在飞瀑见面上午 9:00,小聪从塔林出发,沿景区公路(如 图 1)步行 15 分钟至草甸,休息若干分钟后搭乘景区班车赶往飞瀑,车速为 36km/h小慧也于上午 9: 00 从古刹出发, 骑自行车前往飞瀑 两人离古刹的路程 y (米) 与时间 x (分) 的函数关系如图 2 所示 已 知古刹与塔林的路程为 1500m (1)求小聪步行时离古刹的路程 y(米)与时间 x(分)的函数表达式 (2)求小聪

34、乘坐景区班车的时间 (3)若小慧比小聪早到 2 分钟,求两人几时几分相遇 【分析】 (1)设 ykx+b,运用待定系数法求解即可; (2)把 x15 代入(1)的结论,再根据题意列式计算即可解答; (3)求出小慧骑自行车的函数表达式,联立(1)的结论求解即可 【解答】解: (1)设小聪步行时离古刹的路程 y(米)与时间 x(分)的函数表达式为 ykx+b, 根据题意得:, 解得, 小聪步行时的函数表达式为 y60 x+1500(0 x15) ; (2)当 x15 时,y60 x+15006015+15002400, 36km/h10m/s600m/min, (54002400)6005(分钟)

35、 ; (3)27+5230(分钟) , 540030180(m/min) , 小慧骑自行车的函数表达式 y180 x, , 解得, 答:两人相遇的时间是上午 9 时 12 分 30 秒 23 (12 分) 【基础巩固】 (1)如图 1,在ABC 中,ACB90,直线 l 过点 C,分别过 A、B 两点作 AEl,BDl,垂足分 别为 E、D求证:BDCCEA 【尝试应用】 (2)如图 2,在ABC 中,ACB90,D 是 BC 上一点,过 D 作 AD 的垂线交 AB 于点 E若 BE DE,tanBAD,AC20,求 BD 的长 【拓展提高】 (3)如图 3,在ABCD 中,在 BC 上取点

36、 E,使得AED90,若 AEAB,CD, 求ABCD 的面积 【分析】 (1)由直角三角形的性质证得BDCAEC,由相似三角形的判定定理可得出结论; (2)过点 E 作 EFBC 于点 F,由相似三角形的性质得出,由锐角三角函数的定义求出 DF 16,则可求出答案; (3) 过点 A作 AMBC 于点 M, 过点 D作 DNBC, 交 BC的延长线于点N, 证明ABMDCN (AAS) , 由全等三角形的性质得出 BMCN,AMDN,设 BE4a,EC3a,由(1)得AEMEDN,得出 比例线段,求出 a1,b,由平行四边形的面积公式可得出答案 【解答】 (1)证明:ACB90, BCD+A

37、CE90, AECE, AEC90, ACE+CAE90, BCDCAE, BDDE, BDC90, BDCAEC, BDCCEA; (2)解:过点 E 作 EFBC 于点 F, 由(1)得EDFDAC, , ADDE,tanBAD,AC20, , DF16, BEDE, BFDF, BD32; (3)过点 A 作 AMBC 于点 M,过点 D 作 DNBC,交 BC 的延长线于点 N, AMBDNC90, 四边形 ABCD 是平行四边形, ABCD,ABCD, BDCN, ABMDCN(AAS) , BMCN,AMDN, ABAE,AMBC, BMME, , 设 BE4a,EC3a, BMM

38、ECN2a,EN5a, AED90, 由(1)得AEMEDN, , , ba, CD, (2a)2+b214, a1,b, ABCD 的面积 24 (14 分)定义:从三角形一个角的顶点引一条射线与对边相交,把这个角分成两个角,如果其中一个角 与这条射线另一侧的原三角形的内角互余,那么这条射线上三角形顶点到对边交点的线段称为这个三角 形的“交互线” (1)判断下列命题是真命题还是假命题? 直角三角形的斜边上的高是它的交互线; 若三角形的角平分线是它的交互线,则这个三角形是等腰三角形 (2)如图 1,巳知 BE 为锐角ABC 的交互线 求证:BE 过ABC 外接圆的圆心 O 若 ABAC,交互线

39、 BE25,O 的半径为 16,求 AB 的长 (3)如图 2,已知,在ABC 中,C45,它的两条交互线 AD,BE 相交于点 F,且 ADm,BE n,求ABC 外接圆的面积(用含 m,n 的代数式表示) 【分析】 (1)根据三角形的“交互线”定义即可判断; (2)延长 BE 交O 于 N,连接 CN,证明BCN90即可; 连接并延长 AO 交 BC 于 D,由已知可得AEOBEA,从而可求 AE 长度,再由即可得答 案; (3)首先确定 F 为ABC 外接圆圆心,设 AFr,则 BFr,由ABEACB,可得, 即,从而有 2r2AEAC,rnAEBC,同理可得:ABDCBA,有 2r2

40、BDBC,rmBDAC,将四个等式适当变形即可用 m、n 表示 r2,即可得到答案 【解答】解: (1)假命题,如图: ACB90,CDAB 于 D, BCD90ACDA, BCDA, BCD+A 不应定为 90, 同理ACDB,ACD+B 不应定为 90, 根据“交互线”定义,CD 不一定是ABC 的“交互线” , “直角三角形的斜边上的高是它的交互线”是假命题; 真命题,如图: AD 是ABC 角平分线, BADCAD, AD 是ABC 的“交互线” , BAD+C90或CAD+B90, 若BAD+C90,根据三角形内角和定理可得:CAD+B90, 又BADCAD, BC, ABC 是等腰

41、三角形, 若CAD+B90,同理可得ABC 是等腰三角形, “若三角形的角平分线是它的交互线,则这个三角形是等腰三角形”是真命题; (2)延长 BE 交O 于 N,连接 CN,如图: BE 为锐角ABC 的交互线, ABN+ACB90, ABNACN, ACN+ACB90,即NCB90, BN 为直径, BE 过ABC 外接圆的圆心 O; 连接并延长 AO 交 BC 于 D,如图: ABAC,ABC 外接圆为O, 由对称性可得:AD 平分BAC, ADBC, BE 为ABC 的交互线, ABE+ACD90, DAC+ACD90, ABEDAC, 又AEOBEA, AEOBEA, , BE25,O 的半径为 16, EO9, , 解得 AE15, AEOBEA, , AB; (3)两条交互线 AD,BE 相交于点 F, F 为ABC 外接圆圆心, 设 AFr,则 BFr, C45, AFB2C90, ABFBADC45,ABr, ABEACB, 且BAECAB, ABEACB, ,即, 2r2AEAC, rnAEBC, 同理可得:ABDCBA, 2r2BDBC, rmBDAC, 得 4r4AEACDBBC, 2mnr2AEBCDBAC, 4r42r2mn, r2, ABC 外接圆的面积为