1、江苏省扬州市江苏省扬州市 2021 届高三第四次模拟考试届高三第四次模拟考试数学数学试题试题 2021 年 5 月 注意事项：注意事项： 1考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分 3答题前，务必将自己的姓名、准考证号等信息用黑色量水签字笔填写在答题卡的相应位置 一、一、单项单单项单选题选题（本题共本题共 8 小小题题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目 要求的要求的） 1设全集 2 lg 2Ux yxx，集合 2 ,0 x Ay yx，则 UA （
2、 ） A1, B0,1 C1,2 D,1 2 若32ixiy， 其中x，yR，i为虚数单位， 则复数xyi在复平面内对应的点位于 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3在ABC中，6AB，8AC ，8BC ，2BCDB，则AD BC（ ） A86 B86 C7 D7 4现有诗经 、 尚书 、 礼记 、 周易 、 春秋各一本，分给甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学，每人一 本，若甲乙都没有拿到诗经 ，且乙也没拿到春秋 ，则所有可能的分配方案有（ ） A18 种 B24 种 C36 种 D54 种 5密位制是度量角的一种方法将周角等分为 6000 份，每一份叫做 1 密位的角以密位
3、作为角的度量单 位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密 位二字可以省去不写密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如：478 密位写成“4-78” ，1 周角等于 6000 密位，记作 1 周角60 00如果一个扇形的半径为 2，面积为7 2，则其圆心角可以用密位 制表示为（ ） A25-00 B35-00 C42-00 D70-00 6 “五一”期间，甲、乙、丙三个大学生外出旅游，已知一人去北京，一人去两安，一人去云南回来后， 三人对去向作了如下陈述： 甲： “我去了北京，乙去了西安 ” 乙： “甲去了西安，丙去了北京 ” 丙： “
4、甲去了云南，乙去了北京 ” 事实是甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半（关于去向的地点仅对一个） 根据以上信息，可判断下面说法 中正确的是（ ） A甲去了西安 B乙去了北京 C丙去了西安 D甲去了云南 7已知双曲线C： 22 22 10,0 xy ab ab 的右焦点为F，以F为圆心，OF为半径的圆交双曲线C的 右支于P，Q两点（O为坐标原点） ，若OPQ是等边三角形，则双曲线C的离心率为（ ） A 71 2 B3 C 51 2 D2 8已知定义在 ,00,上的奇函数 f x在,0上单调递减，且满足 22f，则关于x的 不等式 sinf xxx的解集为（ ） A , 22, B 2,02, C ,
5、 20,2 D 2,00,2 二、二、多项多项选择题选择题（本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分在每小题给出的选项中分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全有多项符合题目要求全 部选对的得部选对的得 5 分分，部分选对的得部分选对的得 2 分分，有选错的得有选错的得 0 分分） 9已知0ab，且 11 ab ，则下列不等式一定成立的有（ ） Aab B2 ab ba D22 ab ab 10已知函数( )s 6 in0f xx 在区间0,上恰能取到 2 次最大值，且最多有 4 个零点，则下 列说法中正确的有（ ） A f x在0,上恰能取到 2 次最小值 B的
6、取值范围为 8 25 , 36 C f x在0, 6 上一定有极值 D f x在0, 3 上不单调 11正方体 1111 ABCDABC D中， 1 2AA ，点P在线段 1 BC上运动，点Q在线段 1 AA上运动，则下列说 法中正确的有（ ） A三棱锥 1 AD PC的体积为定值 B线段PQ长度的最小值为 2 C当P为 1 BC的中点时，三棱锥 1 PABB的外接球表面积为2 D平面BPQ截该正方体所得截面可能为三角形、四边形、五边形 12在三角函数部分，我们研究过二倍角公式 2 cos22cos1xx，实际上类似的还有三倍角公式，则下 列说法中正确的有（ ） A 3 cos34cos3co
7、sxxx B存在1x 时，使得 3 431xx C给定正整数n，若1 i x ，1,2,in，且 3 1 0 n i i x ，则 1 3 n i i n x D设方程 3 8610 xx 的三个实数根为 1 x， 2 x， 3 x，并且 123 xxx，则 22 3231 2 xxxx 三三、填空填空题题（本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分） 13 6 1 2x x 展开式中常数项为_（用数字作答） 14已知点P在抛物线 2 4yx上，点Q在圆 2 2 51xy上，则PQ长度的最小值为_ 15根据天文学有关知识，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于58，能在扬
8、州的夜空中看到它下表 列出了 10 颗恒星的“赤纬”数值： 星名 天狼星 老人星 南门二 大角星 织女一 五车二 参宿七 南河三 水委一 参宿四 赤纬 16.7 52.7 60.8 19.2 38.8 46 8.2 5.2 57.2 7.4 现有四名学生从这 10 颗恒星中各随机选择 1 颗进行观测， 其中有X人能在扬州的夜空中看到观测目标， 则 X的数学期望为_ 16对于有限数列 n a，定义集合 12 12 ,110 k iii k aaa s siiki k S ， ，其中 kZ且110k ，若 n an，则 3S的所有元素之和为_ 四四、解答解答题题（本题共本题共 6 小题小题，共共
9、70 分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 已知等差数列 n a和等比数列 n b满足： 11 1ab， 且 2 1a ， 3 a， 6 1a 是等比数列 n b的连续三项 （1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）设 12 1loglog n nnnn ca ab ，求数列 n c的前 10 项和 10 T 18 （本小题满分 12 分） 在ABC中， 角A，B，C所对边分别为a，b，c， 现有下列四个条件： 3 B ，13AC ， _， 3a ；2b；2 coscoscoscAaB bA； 222 32 3
10、acbac （1）两个条件可以同时成立吗？请说明理由； （2）请从上述四个条件中选三个，使得ABC有解，并求ABC的面积 （注：如果选择多个组合作为条件分别解答，按第一个解答计分） 19 （本小题满分 12 分） 如图， 四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，ADBC，2ABAD，3AC ，ACBDE， 2DMMP，PB平面MAC （1）证明：AC 平面PAD； （2）若PB与平面ABCD所成角为45，求二面角CPDA的余弦值 20 （本小题满分 12 分） 已知椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，M为椭圆上一点，线段 1 MF与圆 22 1x
11、y相切于该线段的中点N，且 12 MFF的面积为 2 （1）求椭圆C的方程； （2）椭圆C上是否存在三个点A，B，P，使得直线AB过椭圆C的左焦点 1 F，且四边形OAPB是平行 四边形？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由 21 （本小题满分 12 分） 甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制（先赢 3 局的学校获胜，比赛结束） ，约定比赛规则如 下： 先进行男生排球比赛，共比赛两局，后进行女生排球比赛按照以往比赛经验，在男生排球此赛中，每局 甲校获胜的概率为 2 3 ，乙校获胜的概率为 1 3 ，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为 1 3 ，乙校获胜的 概率为 2
12、3 每局比赛结果相互独立 （1）求甲校以 3：1 获胜的概率； （2）记比赛结束时女生比赛的局数为，求的概率分布 22 （本小题满分 12 分） 己知函数 lnf xxax （1）若 f x存在极值，求实数a的取值范围； （2）当1a 时，判断函数 2sing xf xx的零点个数，并证明你的结论 答案及其解析答案及其解析 一、一、单项单单项单选题选题（本题共本题共 8 小小题题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目 要求的要求的） 1 【答案】C 2.【答案】B 3.【答案】A 4.【答案】D 5.【答案
13、】B 6.【答案】D 7.【答案】A 【解析】 3 22 2 OP Rc，3OPc 3 2 P xc， 3 2 P yc，P在双曲线上 22 22 93 1 44 cc ab ， 2 82 7 9 e ， 17 3 e ，选 A. 8.【答案】B 【解析】 f x定义在 ,00,上的奇函数， f x在,0单调减 f x在0,单调减， 22f sing xxx，01x 时， 0,1g x ， 2f x ， f xg x无解 12x 时，1sin0 x ， 2g x ， 2f x ， f xg x无解 23x时，sin0,1x， 2,3g x ， f xg x成立 3x时， 2g x ， 2f x
14、 ， f xg x，2x 0 x时，20 x ，选 B. 二、二、多项多项选择题选择题（本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分在每小题给出的选项中分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全有多项符合题目要求全 部选对的得部选对的得 5 分分，部分选对的得部分选对的得 2 分分，有选错的得有选错的得 0 分分） 9.【答案】ACD 10.【答案】BD 11.【答案】AB 【解析】 1 BC 平面 1 ADC， 1 BC上任一点到平面 1 ADC距离为定值 即P到平面 1 ADC距离为定值， 1 ADC面积为定值 1 P AD C V 为定值，A 对 min 2PQA
15、B，B 对 底面 1 ABB为等腰直角三角形，且边长为 2 1 ABB外接圆半径为2 三棱锥 1 PABB高为 11 11 21 22 BC 设三棱锥 1 PABB外接球半径为R， 2 2 2 21kR， 3 2 R 2 49SR，C 错，不可能为五边形，可以是四边形、三角形，D 错 故选 AB 12.【答案】ACD 【解析】cos3cos 2cos2 cossin2 sinxxxxxxx 2232 2cos1 cos2sincos2coscos2 1 coscosxxxxxxxx 3 4cos3cosxx，A 对 令cosx，则1x ， 3 cos343xx，则cos31，B 错； 令1 i
16、i zx，其中 1 i x ，0 i z 3 1 10 n i i z ，即 32 1 3310 n iii i zzz 2 1 33 n iii i zzzn 由 2 2 333 33 244 iii zzz 可得 2 11 3 33 4 nn iiii ii nzzzz 1 4 3 n i i zn ，即 1 4 1 3 n i i xn ， 1 3 n i i n x 1 3 n i i n x ，C 对； 令cosx，0,3，1,1x 3 8cos6cos10 ，即2cos31 即 1 cos3 2 0,， 9 或 5 9 或 7 9 令 3 861f xxx，10f ， 1 0 2
17、f ， 00f， 10f f x的根都在1,1， 1 7 cos 9 x， 2 5 cos 9 x， 3 cos 9 x 2222 3231 52107 22 coscoscoscoscoscos 999999 xxxx ，D 对 故选 ACD. 三三、填空填空题题（本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分） 13.【答案】60 14.【答案】3 15.【答案】3.6 【解析】大于58的有 9 个，小于58的有 1 个 在扬州能看到的概率为 9 10 ， 9 4,10XB ， 9 43.6 10 E X . 16.【答案】660 【解析】 123 123 3,110
18、 3 iii aaa Ss siii 123 123 ,110 3 iii s siii 3S的所有元素之和为 2 9 11 109 8 C1210 22 660 33 . 四四、解答解答题题（本题共本题共 6 小题小题，共共 70 分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 10 分） 解： （1）设 n a公差为d，由题意知 2 263 11aaa 2 22 11 5221 65484ddddddd 310dd，显然1d ，3d n b公比 3 2 8 2 14 a q a 2 3131 n ann， 1 2 22 nn n b （
19、2） 2 1log31 32 n n cnnn 22 1log31log32 n nnn 1 22 1log311log32 nn nnn 12231011 10222222 1log 21log 51log 51log 81log 291log 32T 11 10 12101 559 2 18.（本小题满分 12 分） 解： （1）若同时成立，则由2coscoscosAaB bA 2sincossincoscossinsinsinCAABABABC 1 cos 2 A， 3 A ，由 222 222 3 32 3 23 acb acbac ac 即 3 cos 3 B ， 5 6 B ，此时
20、AB与三角形内角和为矛盾 故不能同时成立. （2）选 由 32 sin1 sinsinsin3 2 ab B ABB ， 2 B 431c ， 13 3 1 22 ABC S . 19.（本小题满分 12 分） 解： （1）证明：PB平面MAC，PB 平面PBD， （2）平面PBD平面MACME MEPB，2DMMP， 22 DMDE MPBE ， ADBC，2 AD BC ，1BC ， 2AB ，3AC ， 222 4ACBCAB ACBC，ACAD，又PA 平面ABCD，PAAC ADPAA，AC 平面PAD. （2）PB与平面ABCD所成角为45， 45PBA，2PAAB CA平面PAD
21、， 过A作AFPD于点F，连接CF，则AFC即为所求二面角 CPDA的平面角， 3AC ，2AF ，5CF 210 cos 55 AFC. 20.（本小题满分 12 分） 【解析】 （1）连接ON，由 1 FNMN， 12 OFOFON为 12 MFF的中位线 2 22MFON且 12 MFMF， 1 22MFa 1 2 1 22222 2 MF F Saa ， 12 2MFMF，2c ，2b 椭圆C的方程为： 22 1 42 xy （2）设直线AB的方程为：2xmy， 11 ,A x y， 22 ,B x y， 33 ,P x y 222 22 2 2 2224 24 xmy m ymyy
22、xy ， 22 22 220mymy 312 2 2 2 2 m yyy m ， 31212 22xxxmymy 2 12 22 2 24 2 2 22 2 22 m m yy mm 22 4 22 2 , 22 m P mm ，由P在椭圆上 2 22 22 3216 4 22 m mm 2m，存在直线AB：22xy 符合题意. 21.（本小题满分 12 分） 【解析】 （1）甲校以 3：1 获胜，则甲校在第四局获胜，胶三局胜两局 2 1 2 2 1 1 1221484 C 3 3 3 3333818127 P （2）的所有可能取值为 1，2，3 22 21122 1 33339 P 2 1
23、2 41 2 2 211210 2 273 3 3 333327 PC 11 3 27 P 故的概率分布为： 1 2 3 P 2 9 10 27 11 27 22.（本小题满分 12 分） 【解析】 （1） 1 fxa x 当0a时， 0fx ， f x不可能有极值，舍去； 当0a时，令 1 0fxx a 且当 1 0 x a 时， 0fx ， f x； 当 1 x a 时， 0fx ， f x； f x在 1 x a 取得极大值，符合 综上，实数a的取值范围为0,. （2）当1a 时， ln2sing xxxx ， 1 12cosgxx x ， 2 1 2singxx x （i）当0,x时， 0gx ， gx单调递减，注意到 2co011sg， 1 30g ，存在唯一的 0 1,x使 0 0gx 且当 0 0 xx时， 0gx ， g x；当 0 xx时， 0gx ， g x 注意到 333 111 32sin0g eee ， 11 2sin10g ， ln0g g x在 3 1 ,1 e 和1,上各有一个零点. （ii）当,2x时， lnln0g xxx， g x无零点. （iii）当2 ,x时， ln2ln222420g xxx ， g x无零点 综上， g x在 3 1 ,1 e 和1,上各有一个零点，共有两个零点.