1、考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷（天冲刺高考模拟考试卷（26） 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。求的。 1（5 分）已知全集UR，集合 |1Ax x ， 2 |60Bx xx，则如图所示阴影区域表示的集合为 ( ) A | 2 1xx B | 3 1xx C( | 2 1xx D | 3 1xx 2（5 分）设aR且0a ，若复数 3 (1)ai是实数，则 2 (a ) A9 B6 C3 D2 3（5 分）已知双曲线 22
2、22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心 率为( ) A5 B5 C2 D2 4（5 分）已知( 1,cos)AB ，(2,0)BC ，(2,2sin)CD，若A，B，D三点共线，则tan ( ) A2 B 1 2 C 1 2 D2 5（5 分）函数 ( )( sin x f xx xx ，0) (0 ， ) 的图象大致是( ) A B C D 6（5 分）若 ( 2 ， ) ， 3 5 2sincos 5 ，则tan ( ) A2 B2 C 2 11 D 2 11 7（5 分）在三棱柱 111 ABCABC 中，侧棱 1 AA 底面ABC，
3、所有棱长都为 1，E，F分别为棱BC和 11 AC 的中点，若经过点A，E，F的平面将三棱柱 111 ABCA B C 分割成两部分，则这两部分体积的比值为( ) A 5 24 B 9 17 C 7 24 D 7 17 8 （5 分）中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法， 最早见于周礼春官大师八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革” 为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器某同学安排了包括“土、匏、竹”在内的 六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要求“土”与“匏”相邻排课，但均不与“竹”相邻 排课，
4、且“丝”不能排在第一节，则不同的排课方式的种数为( ) A960 B1024 C1296 D2021 二、二、选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的对分，部分选对的对 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9（5 分）已知直线: 0l kxy 与圆 22 :2210M xyxy ，则下列说法中正确的是( ) A直线l与圆M一定相交 B若0k ，则直线l与圆M相切 C当1k 时，直线 1 与圆M的
5、相交弦最长 D圆心M到直线l的距离的最大值为2 10（5 分）新学期到来，某大学开出了新课“烹饪选修课”，面向 2020 级本科生开放该校学生小华选 完内容后，其他三位同学根据小华的兴趣爱好对他选择的内容进行猜测甲说：小华选的不是川菜干烧大 虾，选的是烹制中式面食乙说：小华选的不是烹制中式面食，选的是烹制西式点心丙说：小华选的不 是烹制中式面食，也不是家常菜青椒土豆丝已知三人中有一个人说的全对，有一个人说的对了一半，剩 下的一个人说的全不对，由此推断小华选择的内容( ) A可能是家常菜青椒土豆丝 B可能是川菜干烧大虾 C可能是烹制西式点心 D可能是烹制中式面食 11（5 分）已知数列 n a
6、的前n项和为 n S，下列说法正确的( ) A若 2 1 n Sn，则 n a 是等差数列 B若31 n n S ，则 n a 是等比数列 C若 n a 是等差数列，则 95 9Sa D若 n a 是等比数列，且 1 0a ， 0q ，则 2 132 SSS 12（5 分）函数( )(1) x f xx elnxk在(0, )上有唯一零点 0 x，则下列四个结论正确的是( ) A1k B1k C 0 0 1 x x e D 0 11 2 x e 三、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13（5 分）已知随机变量 (1.5XN ， 2 0
7、.4 )，若 (1.75)0.6P X ，则 (1.251.75)PX剟 14（5 分）已知0a ，0b ，4 4ab，则 49 ab 的最小值为 15 （5 分） 已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F， 直线:2 20lxyp 与抛物线C交于A，B两点， 且| | 1 |BFAF ，则| |AB 16（5 分）棱长为 36 的正四面体ABCD的外接球与内切球的半径之和为 ，内切球球面上有一动M， 则 1 3 MBMC 的最小值为 四、四、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
8、骤。 17（10 分）已知各项均为正数的等差数列 n a 的公差为 4，其前n项和为 n S，且 2 2a为 2 S， 3 S的等比中 项 （1）求 n a 的通项公式； （2）设 1 4 n nn b a a ，求数列 n b 的前n项和 n T 18（12 分）在( )(sinsin )()sinabABbcC ；2cos ( cos cos )0A cAaCb ；ABC的面积 222 3 () 4 Sabc三个条件中任选一个（填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题 已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c， _，D是边BC上的一点， 且2AD ，4AC ， 21 sin 14
9、 C ，求线段BD的长 19（12 分）甲、乙两队举行围棋擂台赛，规则如下：两队各出 3 人，排定 1，2，3 号第一局，双方 1 号队员出场比赛，负的一方淘汰，该队下一号队员上场比赛当某队 3 名队员都被淘汰完，比赛结束，未 淘汰完的一方获胜，如图表格中， 第m行、第n列的数据是甲队第m号队员能战胜乙队第n号队员的概率 0.5 0.3 0.2 0.6 0.5 0.3 0.8 0.7 0.6 （1）求甲队 2 号队员把乙队 3 名队员都淘汰的概率； （2）比较第三局比赛，甲队队员和乙队队员哪个获胜的概率更大一些？ 20（12 分）如图，在平行四边形ABCD中，60BAD，24ABAD，E为边A
10、B的中点，将ADE 沿直线DE翻折，使点A至点 1 A位置，若M为线段 1 AC的中点 （1）证明：/ /MB平面 1 ADE，并求MB的长 （2）在翻折过程中，当三棱锥 1 ADEM 的体积取最大值时，求平面 1 ABC与平面 1 ADE所成的二面角的余 弦值 21 （12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、 右焦点分别为 1 F， 2 F， 离心率为 2 2 ， 且点 2 33 (,) 33 在C上 （1）求椭圆C的标准方程； （2）设过 2 F的直线l与C交于A，B两点，若 11 10 | | 3 AFBF ，求| |AB 22（12 分）已知函数 1 (
11、 )(1) x f xxea lnx ，aR （1）若函数 ( )f x在区间(1,)上单调递增，求实数a的取值范围 （2）当2a 时，求证： 2 ( )2f xxx 考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷（天冲刺高考模拟考试卷（26）答案）答案 1解：全集U R，集合 |1Ax x， 2 |60 |2Bx xxx x或 3x ， 图中阴影部分为集合 () U AB ， | 32 UB xx 剟 ， () |31 U ABxx 故选：D 2解： 322 (1)(1) (1)(1 2)(1)aiaiaiaiaai 22323 1 22(1 3)(3)aiaaiaa iaaa i 是实数， 3 30
12、aa， 又0a ， 2 3a 故选：C 3解：焦点到渐近线的距离等于实轴长， 2ba， 22 2 22 15 cb e aa 、 5e 故选：A 4解：根据题意，( 1,cos )AB ，(2,0)BC ，(2,2sin)CD，则(4,2sin )BD ， 若A，B，D三点共线，则/ /ABBD，则有4cos2sin ， 变形可得：tan2 ， 故选：A 5解： ()( ) sin()sin xx fxf x xxxx ， 函数( )f x为偶函数，其图象关于y轴称，故排除A， ( )1 0 f ， 2 ()1 2 1 2 f ， ()( ) 2 ff ，故排除CD， 故选：B 6解：由 3
13、5 2sincos 5 ， 两边平方，可得： 2 9 (2sincos) 5 ，即 22 9 4sin4sincoscos 5 22 22 44sincos9 5 sincos sincos ， 2 2 44tan19 15 tan tan ，则 2 11tan20tan40 解得：tan2 或 2 tan 11 ( 2 ， ) ， tan2 故选：A 7解：如图， 取 11 BC的中点G，连接EG， 1 AG，可得 1/ / AAEG且 1 AAEG ， 则四边形 1 AAGE为平行四边形，则 1 / /AGAE， 取 1 C G的中点H，连接FG，可得 1 / /FHAG，则平面AEHF为
14、经过点A，E，F的平面， 1 1 1 133 1 11 224 ABC A B C V ， 3 8 ACE S， 1 3 32 C FH S， 1 133337 3 () 1 3 32328896 C EF CAE V ， 被平面所截另一部分多面体的体积为 37 317 3 49696 ， 可得这两部分体积的比值为 7 17 故选：D 8解：根据题意，分 2 种情况讨论： “丝”被选中：不同的方式种数为 22322222 142344223 720NC A A AC A A A种； “丝”不被选中：不同的方式种数为 3232 24234 576NC A A A种 故共有7205761296N
15、种排课方式， 故选：C 9解：由 22 2210 xyxy ，得 22 (1)(1)1xy， 直线: 0l kxy 过原点O，且不与y轴重合， 当0k 时，直线l与圆M相离，故A错误； 若0k ，则直线l与圆M相切，故B正确； 当1k 时，直线 1 过圆心M，直线l与圆M的相交弦最长，故C正确； 当1k 时，圆心M到直线l的距离取最大值为2，故D正确 故选：BCD 10解：若甲说的全对，则小华选的是烹制中式面食， 所以乙全错，丙对了一半，故满足题意， 若乙说的全对，则小华选的是烹制西式点心， 所以甲对了一半，丙全对，故不满足题意， 若丙说的全对，则小华选的不是烹制中式面食，也不是家常菜青椒土豆
16、丝， 所以小华选的是川菜干烧大虾， 所以甲全错，乙对了一半，故符合题意， 综上推断小华选的是烹制中式面食或川菜干烧大虾， 故选：BD 11解：根据题意，依次分析选项： 对于A，若 2 1 n Sn，则 11 2as ， 221 3ass ， 332 5ass ，则 n a 不是等差数列，A错误， 对于B，若31 n n S ，则 11 2as ，当2n时， 11 1 332 3 nnn nnn ass ，综合可得 1 2 3n n a ，则 n a 是等比数列，B正确， 对于C， n a 是等差数列，则 19 95 9() 9 2 aa Sa ，C正确， 对于D，若 n a 是等比数列，当 1
17、q 时，则 2222 132111 340SSSaaa，D错误， 故选：BC 12解：函数 ( )f x的零点即为方程( 1)0 x x elnxk，即(1) x kx elnx的根， 等价于函数( )(1) x g xx elnx的图象与直线y k 有唯一公共点， 11 ( )1(1)() xxx g xexex e xx ，( 0)x ， 因为 1 ( ) x t xe x 在(0, )上单调递增，且当 0 x 时， ( )t x ，当x时，( )t x ， 所以存在 0 x，使得 0 0 1 0 x e x ，且当 0 0 xx 时， 0 0 1 0 x e x ， ( )0g x ，
18、( )g x单调递减， 当 0 xx 时， 0 0 1 0 x e x ， ( )0g x ， ( )g x单调递增， 所以 00 00000 00 11 ( )()(1)(1)11 xx g xg xx elnxxlnxlne xx ， 所以1k ，A正确，B错误；又 0 0 1 0 x e x ，所以 0 0 1 x x e，C正确； 令( )1(0) x h xxex，则( )(1) x h xxe， 当 11 2 x e 时， ( )0h x ， 1 2 11 ( )10 22 he ，故D错误； 故选：AC 13解：因为随机变量 (1.5XN ， 2 0.4 )，故 1.5 ，结合
19、(1.75)0.6P X ， 故 (1.251.75)2 (1.75)(1.5)2(0.60.5)0.2PXP XP X剟剟 故答案为：0.2 14解：0a ， 0b ，44ab， 49491 ()(4 ) 4 ab abab 16911 (40)(2 14440)16 44 ba ab ， 当且仅当 169ba ab ，又44ab，即1a ， 3 4 b 时取等号， 49 ab 的最小值为 16 故答案为：16 15解：设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y ， 联立方程 2 2 220 ypx xyp ，消去y整理可得： 22 4120 xpxp， 所以 2 1212 3
20、 , 4 p xxp x x 又| | 1 |BFAF ，即 21 1 22 pp xx ，所以 21 1xx 联立方程，解得 2 4 p ， 所以 12 |42ABxxpp， 故答案为：2 16解：将正四面体ABCD放入如图的正方体， 则正四面体ABCD的外接球与该正方体的外接球为同一球，半径为 36 3 2 9 6 2 ， 设正四面体ABCD的内切球半径为r， 根据等体积法有 332 36113613 ()4()436 323422 r， 解得3 6r ， 所以外接球与内切球的半径之和为9 63 612 6； 由阿波罗尼斯球得内切球球心O是线段CH上以C，E为定点，空间中满足 (1) PC
21、 PE 的点P的集合， 连结CO并延长交平面ABD于点H，交内切球上方的点设为K， 过M作MECH，交CH于点E，连结BM，CM， 设OEx，由（1）空可知，9 6,3 6, KCHC COOH KEHE ， 6 612 6 3 63 6xx ，解得6x ， 6 6 3 2 6 KC KE ， 所以3 MC ME ， 所以 1 3 MCME， 所以 1 3 MBMCMBME BE， 在BOE中，9 6,6BOCOOE， 1 coscos 3 BOEBOH ， 所以 22 1 (9 6)( 6)29 66()4 33 3 BE ， 所以 1 3 MBMC 的最小值为4 33 故答案为：12 6；
22、4 33 17解：（1）因为数列 n a 是公差为 4 的等差数列， 所以 2121311 32 4,2(2),343(4) 2 aaSaSaa （2 分） 又 2 223 4aS S，所以 2 111 4(4)6(2)(4)aaa，即 11 (4)(2)0aa ， 解得 1 2a 或 1 4a （舍去），（4 分） 所以 24(1)42 n ann （5 分） （2）因为 1 4411 (42)(42)4242 n nn b a annnn ，（7 分） 所以 121nnn Tbbbb 11111111 2661046424242nnnn （8 分） 11 242n （9 分） 21 n n
23、 （10 分） 18解：若选择，因为( )(sinsin )()sinabABbcC ， 所以由正弦定理可得( )()()ab abbc c ，整理可得： 222 bcabc ， 可得 222 1 cos 222 bcabc A bcbc ， 因为 (0, )A ， 所以 2 3 A 若选择，因为2cos ( cos cos )0A cAaCb ， 所以由正弦定理可得2cos (sin cossincos)sin0ACAACB ， 可得2cos sin()sin2cossinsin0AACBABB ， 因为sin0B ， 所以2cos10A ，可得 1 cos 2 A ， 因为 (0, )A
24、， 所以 2 3 A 若选择，因为ABC的面积 222 3 () 4 Sabc， 由余弦定理 222 2cosabcbcA，可得 222 2cosabcbcA ， 所以 13 sin( 2cos ) 24 bcAbcA ，整理可得sin3cosAA ，可得tan3A ， 因为 (0, )A ， 所以 2 3 A 因为D是边BC上的一点，且2AD ，4AC ， 在ACD中， 21 sin 14 C ，由C为锐角，可得 2 5 7 cos1 14 Csin C， 由 余 弦 定 理 可 得 222 5 7 cos 142 ACCDAD c AC CD ， 可 得 222 5 7 4224 14 C
25、DCD ， 即 2 1 071 6 () 77 CD ， 解得2 7CD ，或 6 7 7 ， 所以 35 712121 sinsin()sincoscossin() 2142147 BACACAC ， 所以由 sinsin BCAC AB ，可得 4 221 27 BC ，解得2 7BC ， 所以 0,2 7 8 76 7 , 77 CD BDBCCD CD ，可得0BD ，或 8 7 7 故答案为：0，或 8 7 7 19解：（1）甲队 2 号队员把乙队 3 名队员都淘汰的概率为： 0.50.60.50.30.045P （2）第 3 局比赛甲队队员获胜可分为 3 个互斥事件， ( ) i甲
26、队 1 号胜乙队 3 号，概率为：0.50.3 0.20.03 ， ( )ii甲队 2 号胜乙队 2 号，概率为：0.50.70.50.50.60.50.325 ， ()iii甲队 3 号胜乙队 1 号，概率为：0.50.40.80.16 ， 第 3 局甲队队员获胜的概率为0.030.3250.160.515P ， 第 3 局乙队队员获胜的概率为：10.5150.485 ， 0.5150.485， 甲队队员获胜的概率更大一些 20（解：（1）证明：如图，取 1 DA的中点H，连接MH，EH， 因为M为 1 AC的中点，H为 1 DA的中点，所以/ /MHCD， 1 2 MHCD ， 又E为AB
27、的中点，所以/ /EBCD， 1 2 EBCD ，所以/ /MHEB，且MNEB， 即四边形MHEB为平行四边形，所以/ /MBHE， 又MB 平面 1 ADE，HE 平面 1 ADE，所以/ /MB 平面 1 ADE， 因为四边形MHEB为平行四边形，所以MBHE， 又 1 ADE为等边三角形，H为 1 DA的中点，所以 3HE ，即3MB （2）如图，连接EC，设三棱锥 1 ADEM 的高为h，因为M为 1 AC的中点， 所以 11 11 26 ADEMADECDEC VVVh ，又 2DE ，4DC ，60EDC， 所以 DEC S 为定值，在翻折过程中，当平面 1 ADE垂直于平面DE
28、BC时，h最大， 三棱锥 1 ADEM 的体积取最大值，取DE的中点O，连接 1 AO， 因为平面 1 ADE 平面DEBC，平面 1 A DE平面DEBCDE ， 1 AODE ， 所以 1 AO 平面DEBC，取DC的中点为N， 以OE所在直线为x轴，ON所在直线为y轴， 1 OA所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 1(0 A ，0，3)， (2B ，3，0)， (1C ，2 3，0)， 所以 1 (2AB ，3，3)，( 1BC ，3，0)， 设平面 1 ABC的法向量(nx ，y， ) z， 则 1 2330 30 n ABxyz n BCxy ，取 1y ，得( 3,
29、1,3)n ， 又平面 1 ADE的一个法向量(0m ，1，0)， 所以 13 cos, | |13 m n m n mn ， 因为二面角的平面角为锐角，所以平面 1 A BC与平面 1 ADE所成的二面角的余弦值为 13 13 21解：（1）由题意可知： 22 222 2 2 41 33 1 c a ab abc ， 解得： 2 1 1 a b c ， 椭圆C的标准方程为： 2 2 1 2 x y （2）易知 2(1,0) F ， 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 (1)yk x ， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y ， 联立方程 2 2 (1) 1 2 yk
30、x x y ，消去y得： 2222 (1 2)4220kxk xk， 2 12 2 4 12 k xx k ， 2 12 2 22 12 k xx k ， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y 在椭圆C上， 2 21 1 1 2 x y ， 2 22 2 1 2 x y ， 2 22221 111111 1 |(1)21 1(2) 22 x AFxyxxx ， 2 22222 122222 1 |(1)21 1(2) 22 x BFxyxxx ， 11 10 | | 3 AFBF， 22 12 1110 (2)(2) 223 xx， 12 110 (2)(2) 23 xx， 整
31、理得： 1212 110 ()2 23 x xxx， 把 2 12 2 4 12 k xx k ， 2 12 2 22 12 k xx k 代入上式得： 22 22 122410 2 212123 kk kk ， 整理得： 2 1k ， 12 4 3 xx ， 12 0 xx ， 22 1212 4 2 |1()4 3 ABkxxx x， 当直线l的斜率不存在时，点 2 (1,) 2 A， 2 (1,) 2 B， 22 11122 13 2 | |4 22 AFBFFFAF， 11 10 | | 3 AFBF ，不符合题意，舍去， 综上所述， 4 2 | 3 AB 22（1）解： 1 ( )(
32、1) x f xxea lnx ，定义域为(0, )， 111 ( )(1) xxx aa fxexexe xx ， 因为函数 ( )f x在区间(1,)上单调递增， 所以 ( ) 0fx在(1,)上恒成立， 所以 11 (1)0(1) xx a xea x xe x 厔 ， 令 1 ( )(1) x h xx xe ， 则 21 ( )(31)0 x h xxxe 在(1, )上恒成立， 所以 ( )h x在(1,)上单调递增， 所以 ( )h xh （1）2， 所以2a， 即实数a的取值范围是(，2 （2）证明：当2a 时， 1 ( )2(1) x f xxelnx ， 由（1）可知， ( )f x在(1,)上单调递增， 要证 2 ( )2f xxx即证 2 ( )20f xxx， 令 212 ( )( )2222 x g xf xxxxelnxxx ， 11 2 ( )22 xx g xexex x ， 令 ( )0g x ，则 12 (1)2(1) x x xexx ， 解得1x ， 又 1 2 13 ( )30 22 ge ，g（2）330e， 所以在(0,1)上 ( )0g x ， ( )g x单调递减，在(1,)上，( )0g x ， ( )g x单调递增， 所以 ( )g x的最小值为g（1）0 ，所以 ( ) 0g x ， 所以 2 ( )2f xxx，得证