1、2021 年湖北省武汉市九年级元月调考数学模拟试卷年湖北省武汉市九年级元月调考数学模拟试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）将方程 3x22x6 化为一般形式，若二次项系数为 3，则一次项系数和常数项分别为（ ） A2，6 B2，6 C2，6 D2，6 2 （3 分）下面四个图形，是中心对称图形的是（ ） A B C D 3 （3 分）关于方程 x2+2x40 的根的情况，下列结论错误的是（ ） A有两个不相等的实数根 B两实数根的和为 2 C两实数根的差为 D两实数根的积为4 4 （3 分）抛掷一枚质地均匀的硬币，
2、正面朝上的概率为 0.5，下列说法正确的是（ ） A连续抛掷 2 次必有 1 次正面朝上 B连续抛掷 10 次不可能都正面朝上 C大量反复抛掷每 100 次出现正面朝上 50 次 D通过抛掷硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的 5 （3 分）如图，AB 为O 的直径，CD 为O 的弦，ABCD 于 E，下列说法错误的是（ ） ACEDE B COEBE DCOB2BAD 6（3 分） 圆的直径是 13cm， 如果圆心与直线上某一点的距离是 6.5cm， 那么该直线和圆的位置关系是 （ ） A相离 B相切 C相交 D相交或相切 7 （3 分）如图，RtABC 中，C90，BC3，AC4，将ABC
3、绕点 B 逆时针旋转得ABC， 若点 C在 AB 上，则 AA的长为（ ） A B4 C2 D5 8 （3 分）若 m，n 为方程 x23x10 的两根，则多项式 m2+3n 的值为（ ） A8 B9 C9 D10 9 （3 分）如图，分别以等边三角形 ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛 三角形，若 AB2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ） A B C2 D2 10 （3 分）若方程 x22xt0 在1x4 范围内有实数根，则 t 的取值范围为（ ） A3t8 B1t3 C1t8 D1t8 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3
4、 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）若 2 是方程 x2c0 的一个根，则 c 的值为 12 （3 分）把抛物线 y2x2先向下平移 1 个单位，再向左平移 2 个单位，得到的抛物线的解析式 是 13 （3 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，A110，则BOD 14 （3 分）有不同的两把锁和三把钥匙，其中两把钥匙能分别打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把 锁任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的概率是 15 （3 分）二次函数 yax2+bx+c（a、b、c 为常数，a0）中的 x 与 y 的部分对应值如表： x 1 0 3 y n 3 3 当 n0 时，下列结论中
5、一定正确的是 （填序号即可） bc0；当 x2 时，y 的值随 x 值的增大而增大；n4a；当 n1 时，关于 x 的一元二次方程 ax2+（b+1）x+c0 的解是 x11，x23 16 （3 分） 如图， AB 为O 的直径， C 为O 上一动点， 将 AC 绕点 A 逆时针旋转 120得 AD， 若 AB2， 则 BD 的最大值为 三、解答题三、解答题 17已知关于 x 的方程 x2+（m+2）x+2m10，当 m 为何值时，方程的两根相互为相反数？并求出此时方 程的解 18如图，在O 中，弦 AB 与弦 CD 相交于点 E，且 ABCD求证：CEBE 19把一副普通扑克牌中的 4 张：
6、黑 2，红 3，梅 4，方 5，洗匀后正面朝下放在桌面上 （1）从中随机抽取一张牌是红心的概率是 ； （2）从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张请用表格或树状图表示抽取的两张牌牌面数 字所有可能出现的结果，并求抽取的两张牌牌面数字之和大于 7 的概率 20如图，在下列的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如 A（3，0） 、B（0，4） 、C（4，2） 都是格点 （1）直接写出ABC 的形状； （2） 要求在上图中仅用无刻度的直尺作图： 将ABC绕点B逆时针旋转得到A1BC1， 旋转角2ABC， 请你完成作图； （3）在网格中找一个格点 G，使得 C1GAB，并直接写出 G 点
7、坐标 21如图，O 是ABC 的外心，I 是ABC 的内心，连 AI 并延长交 BC 和O 于 D、E 两点 （1）求证：EBEI； （2）若 AB4，AC3，BE2，求 AI 的长 22某公司销售一种商品，成本为每件 20 元，经过市场调查发现，该商品的日销售量 y（件）与销售单价 x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表： 销售单价 x（元） 40 60 80 日销售量 y（件） 80 60 40 （1）求 y 与 x 的关系式； （2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过 100%，求公司销售该商品获得的最大日利润； （3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过
8、a 元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的 2 倍，在日销售量 y（件）与销售单价 x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最 大利润是 1500 元，求 a 的值 23如图，在ABC 中，ABAC，BAC120，D 为 BC 边上的点，将 DA 绕 D 逆时针旋转 120得到 DE （1）如图 1，若DAC30 求证：ABBE； 直接写出 BE2+CD2与 AD2的数量关系为 ； （2）如图 2，D 为 BC 边上任意一点，线段 BE、CD、AD 是否满足（1）中的关系，请给出结论并证 明 24 （12 分）抛物线 yax2ax+b 交 x 轴于 A，B 两点（A
9、在 B 的左边） ，交 y 轴于 C，直线 yx+4 经过 B，C 两点 （1）求抛物线的解析式； （2） 如图 1， P 为直线 BC 上方的抛物线上一点， PDy 轴交 BC 于 D 点， 过点 D 作 DEAC 于 E 点 设 mPD+DE，求 m 的最大值及此时 P 点坐标； （3）如图 2，点 N 在 y 轴负半轴上，点 A 绕点 N 顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点 M 处， 且ANM+ACM180，求 N 点坐标 2021 年湖北省武汉市九年级元月调考数学模拟试卷年湖北省武汉市九年级元月调考数学模拟试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共
10、10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）将方程 3x22x6 化为一般形式，若二次项系数为 3，则一次项系数和常数项分别为（ ） A2，6 B2，6 C2，6 D2，6 【分析】首先移项把 6 移到等号左边，然后再确定一次项系数和常数项 【解答】解：由 3x22x6，得 3x22x60，所以一次项系数是2、常数项是6， 故选：B 【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于 x 的一元二次方程经过整 理，都能化成如下形式 ax2+bx+c0（a0） 这种形式叫一元二次方程的一般形式其中 ax2叫做二次 项，a 叫做二次项系数；bx
11、 叫做一次项；c 叫做常数项 2 （3 分）下面四个图形，是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、是中心对称图形，故本选项符合题意 故选：D 【点评】 本题考查了中心对称图形的概念 中心对称图形是要寻找对称中心， 旋转 180 度后与原图重合 3 （3 分）关于方程 x2+2x40 的根的情况，下列结论错误的是（ ） A有两个不相等的实数根 B两实数根的和为 2 C两实数根的差为 D两实数根的积为
12、4 【分析】求出根的判别式以及根与系数的关系作出判断即可 【解答】解：方程 x2+2x40， 这里 a1，b2，c4， 4+16200， 方程有两个不相等的实数根，且 x1+x22，x1x24， x1x22 故选：B 【点评】此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，弄清根与系数的关系是解本题的关键 4 （3 分）抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为 0.5，下列说法正确的是（ ） A连续抛掷 2 次必有 1 次正面朝上 B连续抛掷 10 次不可能都正面朝上 C大量反复抛掷每 100 次出现正面朝上 50 次 D通过抛掷硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的 【分析】概率是频率（多个）的波动稳
13、定值，是对事件发生可能性大小的量的表现，据此逐项判断即可 【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为 0.5，可以用到实际生活，通过抛掷硬币确定 谁先发球的比赛规则是公平的 故选：D 【点评】此题主要考查了概率的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：概率是频率（多 个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现 5 （3 分）如图，AB 为O 的直径，CD 为O 的弦，ABCD 于 E，下列说法错误的是（ ） ACEDE B COEBE DCOB2BAD 【分析】连接 OD，如图，根据垂径定理得到 CEDE，再得到BOC BOD，然后根据圆周角定理得到BOC2BAD，从
14、而可对各选项进行判断 【解答】解：连接 OD，如图， ABCD， CEDE， ， BOCBOD， BOD2BAD， BOC2BAD 故选：C 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对 的圆心角的一半也考查了垂径定理 6（3 分） 圆的直径是 13cm， 如果圆心与直线上某一点的距离是 6.5cm， 那么该直线和圆的位置关系是 （ ） A相离 B相切 C相交 D相交或相切 【分析】欲求直线和圆的位置关系，关键是求出圆心到直线的距离 d，再与半径 r 进行比较若 dr， 则直线与圆相交；若 dr，则直线于圆相切；若 dr，则直线与圆相离 【解答】解
15、：圆的直径为 13 cm， 圆的半径为 6.5 cm， 圆心与直线上某一点的距离是 6.5cm， 圆的半径圆心到直线的距离， 直线于圆相切或相交， 故选：D 【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离 d 与圆半径大小 关系完成判定 7 （3 分）如图，RtABC 中，C90，BC3，AC4，将ABC 绕点 B 逆时针旋转得ABC， 若点 C在 AB 上，则 AA的长为（ ） A B4 C2 D5 【分析】根据旋转可得ACBC90，ACAC4，由勾股定理求出 ABAB5，进 而可得 AC的值，再根据勾股定理可得 AA的长 【解答】解：根据旋转可知： ACBC9
16、0，ACAC4，ABAB， 根据勾股定理，得 AB5， ABAB5， ACABBC2， 在 RtAAC中，根据勾股定理，得 AA2 故选：C 【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质 8 （3 分）若 m，n 为方程 x23x10 的两根，则多项式 m2+3n 的值为（ ） A8 B9 C9 D10 【分析】根据一元二次方程的解结合根与系数的关系，即可得出 m23m1、m+n3，将其代入 m2+3n m23m+3m+3n 中，即可求出结论 【解答】解：m，n 为方程 x23x10 的两根， m23m10，m+n3， m23m1 m2+3nm23m+3m+3n1+3
17、（m+n）1+3310 故选：D 【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用 的解题方法 9 （3 分）如图，分别以等边三角形 ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛 三角形，若 AB2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ） A B C2 D2 【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积三块扇形的面积相加，再减去两个 等边三角形的面积，分别求出即可 【解答】解：过 A 作 ADBC 于 D， ABC 是等边三角形， ABACBC2，BACABCACB60， ADBC， BDCD1，ADBD， AB
18、C 的面积为， S扇形BAC， 莱洛三角形的面积 S3222， 故选：D 【点评】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积三块扇 形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键 10 （3 分）若方程 x22xt0 在1x4 范围内有实数根，则 t 的取值范围为（ ） A3t8 B1t3 C1t8 D1t8 【分析】 设 y1x22x， 将一元二次方程 x22xt0 的实数根可以看作 y1x22x 与函数 y2t 的有交 点，再由1x4 的范围确定 y 的取值范围即可求解 【解答】解：设 y1x22x， y1x22x 的对称轴为直线 x1， 一元二次方
19、程 x22xt0 的实数根可以看作 y1x22x 与函数 y2t 的交点， 方程在1x4 的范围内有实数根， 当 x1 时，y13； 当 x4 时，y18； 函数 y1x22x 在 x1 时有最小值1； 当1t8 时，y1x22x 与函数 y2t 有交点，即方程 x22xt0 在1t8 范围内有实数根； 故选：D 【点评】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题 是解题的关键 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）若 2 是方程 x2c0 的一个根，则 c 的值为 4 【分析】根据
20、方程的解的概念将 x2 代入方程 x2c0，据此可得关于 c 的方程，解之可得答案 【解答】解：根据题意，将 x2 代入方程 x2c0，得：4c0， 解得 c4， 故答案为：4 【点评】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数 的值是一元二次方程的解 12 （3 分）把抛物线 y2x2先向下平移 1 个单位，再向左平移 2 个单位，得到的抛物线的解析式是 y2 （x+2）21 【分析】直接根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可 【解答】解：由“上加下减”的原则可知，二次函数 y2x2的图象向下平移 1 个单位得到 y2x21， 由“左加右减”的原
21、则可知，将二次函数 y2x21 的图象向左平移 2 个单位可得到函数 y2（x+2）2 1， 故答案是：y2（x+2）21 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的 关键 13 （3 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，A110，则BOD 140 【分析】先根据圆内接四边形的性质求出C 的度数，再由圆周角定理即可得出结论 【解答】解：四边形 ABCD 内接于O，A110， C180A18011070， BOD2C140 故答案为：140 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键 14 （3 分）有不同
22、的两把锁和三把钥匙，其中两把钥匙能分别打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把 锁任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的概率是 【分析】画树状图（两把钥匙能分别打开这两把锁表示为 A、a 和 B、b，第三把钥匙表示为 c）展示所 有 6 种等可能的结果数，找出任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的结果数，然后根据概 率公式求解 【解答】解：画树状图为： （两把钥匙能分别打开这两把锁表示为 A、a 和 B、b，第三把钥匙表示为 c） 共有 6 种等可能的结果数，其中任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的结果数为 2， 所以任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的概率
23、故答案为 【点评】本题考查了概率公式：随机事件 A 的概率 P（A）事件 A 可能出现的结果数除以所有可能出 现的结果数 15 （3 分）二次函数 yax2+bx+c（a、b、c 为常数，a0）中的 x 与 y 的部分对应值如表： x 1 0 3 y n 3 3 当 n0 时，下列结论中一定正确的是 （填序号即可） bc0；当 x2 时，y 的值随 x 值的增大而增大；n4a；当 n1 时，关于 x 的一元二次方程 ax2+（b+1）x+c0 的解是 x11，x23 【分析】确定对称轴的位置和对称轴左侧函数 y 随 x 的变化情况，即可求解； x2 在函数对称轴的右侧，故 y 的值随 x 值的
24、增大而增大，即可求解； 当 x1 时，nyab+c4a34a，即可求解； ax2+（b+1）x+c0 可以变形为 ax2+bx+cx，即探讨一次函数 yx 与二次函数为 yax2+bx+c 图 象情况，即可求解 【解答】解：函数的对称轴为直线 x（0+3），即，则 b3a， n0，故在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小，故抛物线开口向上，则 a0， 对称轴在 y 轴的右侧，故 b0，而 c3，故 bc0 正确，符合题意； x2 在函数对称轴的右侧，故 y 的值随 x 值的增大而增大，故正确，符合题意； 当 x1 时，nyab+c4a34a，故错误，不符合题意； 当 n1 时，即：x1 时，
25、y1， ax2+（b+1）x+c0 可以变形为 ax2+bx+cx，即探讨一次函数 yx 与二次函数为 yax2+bx+c 图象 情况， 当 x1，y1，即（1，1）是上述两个图象的交点，则抛物线和另一个交点在第四象限，且横纵坐 标互为相反数，而本题表中告诉了（3，3）在二次函数图像上，所以另一个交点为（3，3） ， 故两个函数交点的横坐标为1、3， 即关于 x 的一元二次方程 ax2+（b+1）x+c0 的解是 x11，x23，正确，符合题意， 故答案为： 【点评】本题考查的是抛物线与 x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函 数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及
26、这些点代表的意义及函数特征 16 （3 分） 如图， AB 为O 的直径， C 为O 上一动点， 将 AC 绕点 A 逆时针旋转 120得 AD， 若 AB2， 则 BD 的最大值为 +1 【分析】解法一：将ABD 绕点 A 顺时针旋转 120，则 D 与 C 重合，B是定点，BD 的最大值即 BC 的最大值，根据圆的性质，可知：B、O、C 三点共线时，BD 最大，根据勾股定理可得结论 解法二：如图 1，连接 OC，将AOC 绕点 A 逆时针旋转 120得到AGD，确定点 D 的运动轨迹是： 以 G 为圆心，以 AG 为半径的圆，所以当 B、G、D 三点共线时，BD 的值最大，同理可得结论 【
27、解答】解：解法一：如图，将ABD 绕点 A 顺时针旋转 120，则 D 与 C 重合，B是定点，BD 的最 大值即 BC 的最大值，即 B、O、C 三点共线时，BD 最大，过 B作 BEAB 于点 E， 由题意得：ABAB2，BAB120， EAB60， RtAEB中，ABE30， AEAB1，EB， 由勾股定理得：OB， BCOB+OC+1 解法二：如图 1，连接 OC，将AOC 绕点 A 逆时针旋转 120得到AGD，发现点 D 的运动轨迹是： 以 G 为圆心，以 AG 为半径的圆，所以当 B、G、D 三点共线时，BD 的值最大，如图 2，过点 G 作 GH AB，交 BA 的延长线于 H
28、， 由旋转得：AOAG1，OAG120， HAG60， AGH30， AH，GH， 由勾股定理得：BG， BD 的最大值是+1 故答案为：+1 【点评】本题考查了旋转的性质，含 30角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，有一定的难度，掌 握圆外一点与圆上一点的最大距离过圆心这一性质且正确做出辅助线是本题的关键 三、解答题三、解答题 17已知关于 x 的方程 x2+（m+2）x+2m10，当 m 为何值时，方程的两根相互为相反数？并求出此时方 程的解 【分析】先由两根互为相反数得出两根之和为 0，即（m+2）0，据此可得 m 的值，代入方程，再进 一步计算即可 【解答】解：关于 x 的方程 x2
29、+（m+2）x+2m10 两根相互为相反数， （m+2）0， 解得 m2， 则方程为 x250， 解得 x1，x2 【点评】本题主要考查根与系数的关系及解一元二次方程，若二次项系数为 1，常用以下关系：x1，x2 是方程 x2+px+q0 的两根时，x1+x2p，x1x2q，反过来可得 p（x1+x2） ，qx1x2，前者是已知 系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数 18如图，在O 中，弦 AB 与弦 CD 相交于点 E，且 ABCD求证：CEBE 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理的推论得到，结合图形得到，进而得到C B，根据等腰三角形的判定定理证明结论 【解答】证明：A
30、BCD， ， ，即， CB， CEBE 【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理的推论，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 19把一副普通扑克牌中的 4 张：黑 2，红 3，梅 4，方 5，洗匀后正面朝下放在桌面上 （1）从中随机抽取一张牌是红心的概率是 ； （2）从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张请用表格或树状图表示抽取的两张牌牌面数 字所有可能出现的结果，并求抽取的两张牌牌面数字之和大于 7 的概率 【分析】 （1）根据概率的意义，从 4 张扑克牌中，任选一张，是红心的概率为； （2）用列表法表示所有可能出现
31、的结果情况，再求相应的概率即可 【解答】解： （1）从黑 2，红 3，梅 4，方 5 这 4 张扑克牌中任摸一张，是红心的可能性为， 故答案为：； （2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 共有 12 种等可能出现的结果，其中和大于 7 的有 4 种， 所以抽取的两张牌牌面数字之和大于 7 的概率为 【点评】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，用列表法或树状图法表示所有可能出现的 结果是解决问题的前提 20如图，在下列的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如 A（3，0） 、B（0，4） 、C（4，2） 都是格点 （1）直接写出ABC 的形状； （2） 要求在上图中仅用无
32、刻度的直尺作图： 将ABC绕点B逆时针旋转得到A1BC1， 旋转角2ABC， 请你完成作图； （3）在网格中找一个格点 G，使得 C1GAB，并直接写出 G 点坐标 【分析】 （1）根据所画图形即可写出ABC 的形状； （2）将ABC 绕点 B 逆时针旋转得到A1BC1，旋转角2ABC，即可完成作图； （3）在网格中找一个格点 G，使得 C1GAB，即可写出 G 点坐标 【解答】解：如图所示： （1）ABC 的形状为：直角三角形； （2）将ABC 绕点 B 逆时针旋转得到A1BC1，旋转角2ABC； （3）在网格中找一个格点 G，使得 C1GAB， G 点坐标为（0，3） 【点评】本题考查了作
33、图旋转变换，解决本题的关键是利用勾股定理及其逆定理 21如图，O 是ABC 的外心，I 是ABC 的内心，连 AI 并延长交 BC 和O 于 D、E 两点 （1）求证：EBEI； （2）若 AB4，AC3，BE2，求 AI 的长 【分析】 （1）欲证明 EBEI，只要证明EBIEIB； （2）连接 EC由ADBCDE，可得2，设 DEm，CDn，则 BD2m，AD 2n，同法可证：ADCBDE，推出，推出，推出 n：m3：2，设 n3k，m2k， 由ECDEAC，可得 EC2EDEA，推出 4m （m+2n） ，即 42k（2k+6k）解得 k或（舍 弃） ，由此即可解决问题； 【解答】 （1
34、）证明：I 是ABC 的内心， AE 平分CAB，BI 平分ABC， BAECAE，ABICBI， BIEBAE+ABI，IBEIBD+EBD， CBECAE， BIEEBI， EBEI； （2）解：连接 EC BAECAE， ， BEEC2， ADBCDE，BADDCE， ADBCDE， 2，设 DEm，CDn，则 BD2m，AD2n， 同法可证：ADCBDE， ， ， n：m3：2，设 n3k，m2k， CEDAEC，ECDBAECAE， ECDEAC， EC2EDEA， 4m （m+2n） ， 42k（2k+6k） k或（舍弃） ， DE1，AD3， AE4，EIBE2， AIAEEI2
35、 【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利 用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题 22某公司销售一种商品，成本为每件 20 元，经过市场调查发现，该商品的日销售量 y（件）与销售单价 x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表： 销售单价 x（元） 40 60 80 日销售量 y（件） 80 60 40 （1）求 y 与 x 的关系式； （2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过 100%，求公司销售该商品获得的最大日利润； （3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过 a 元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之
36、前的 2 倍，在日销售量 y（件）与销售单价 x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最 大利润是 1500 元，求 a 的值 【分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2）公司销售该商品获得的最大日利润为 w 元，则 w（x20）y（x20） （x+120）（x70） 2+2500，进而求解； （3）由题意得：w（x202） （x+120）x2+160 x4800（x80）2+1600，当 w最大1500 时，（x80）2+16001500，解得 x170，x290，而 40 xa，进而求解 【解答】解： （1）设函数的表达式为 ykx+b， 将（40，80） 、 （60，6
37、0）代入上式得：，解得， 故 y 与 x 的关系式为 yx+120； （2）公司销售该商品获得的最大日利润为 w 元， 则 w（x20）y（x20） （x+120）（x70）2+2500， x200，x+1200，x2020100%， 20 x40， 10， 故抛物线开口向下， 故当 x70 时，w 随 x 的增大而增大， 当 x40（元）时，w 的最大值为 1600（元） ， 故公司销售该商品获得的最大日利润为 1600 元； （3）当 w最大1500 时，（x80）2+16001500， 解得 x170，x290， x2200， x40， 又xa， 40 xa 有两种情况， a80 时，即
38、 40 xa， 在对称轴左侧，w 随 x 的增大而增大， 当 xa70 时，w最大1500， a80 时，即 40 xa， 在 40 xa 范围内 w最大16001500， 这种情况不成立， a70 【点评】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有一次函数解析式的求解，二次函数的应用， 在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于基础题目 23如图，在ABC 中，ABAC，BAC120，D 为 BC 边上的点，将 DA 绕 D 逆时针旋转 120得到 DE （1）如图 1，若DAC30 求证：ABBE； 直接写出 BE2+CD2与 AD2的数量关系为 BE2+CD24AD2 ；
39、（2）如图 2，D 为 BC 边上任意一点，线段 BE、CD、AD 是否满足（1）中的关系，请给出结论并证 明 【分析】 （1）证明BDEBDA（SAS） ，可得结论 利用全等三角形的性质以及勾股定理即可解决问题 （2）能满足（1）中的结论将ACD 绕点 A 顺时针旋转 120得到ABD，使 AC 与 AB 重合，连接 ED，DD，AE，设 AB 交 DD于点 J利用直角三角形 30 度角的性质以及勾股定理解决问题即可 【解答】 （1）证明：如图 1 中， ABAC，BAC120 ABCACB30， DAC30 DACACB30，ADBCAD+ACB60， BAD90， 由旋转得：DEDACD
40、，BDEADB60， BDEBDA（SAS） ， ABBE 解：BDEBDA， BEDBAD90，BEAB， BE2+CD2BE2+DE2BD2 cosADBcos60， BD2AD， BE2+CD24AD2 故答案为：BE2+CD24AD2 （2）能满足（1）中的结论 理由：将ACD 绕点 A 顺时针旋转 120得到ABD，使 AC 与 AB 重合，连接 ED，DD，AE， 设 AB 交 DD于点 J DBJADJ30，BJDDJA， BJDDJA， ， ， BJDDJA， BJDDJA， JBDJDA30， 同法可证，EBDEAD30，EDDEAD30， ABCDBJEBD30， DBE9
41、0， ADE120，ADD30， DDE90， EDD30， DE2DE2AD， 在 RtDBE 中，DE2DB2+BE2， CDBD， CD2+BE24AD2 【点评】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形性质、勾股定理、旋 转的性质、动点的运动路径问题等；解题关键是通过旋转变换构造全等三角形解决问题，属于中考压轴 题 24 （12 分）抛物线 yax2ax+b 交 x 轴于 A，B 两点（A 在 B 的左边） ，交 y 轴于 C，直线 yx+4 经过 B，C 两点 （1）求抛物线的解析式； （2） 如图 1， P 为直线 BC 上方的抛物线上一点， PDy 轴交
42、BC 于 D 点， 过点 D 作 DEAC 于 E 点 设 mPD+DE，求 m 的最大值及此时 P 点坐标； （3）如图 2，点 N 在 y 轴负半轴上，点 A 绕点 N 顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点 M 处， 且ANM+ACM180，求 N 点坐标 【分析】 （1）利用直线 yx+4 经过 B、C 两点，先求出点 B、C 的坐标，然后利用待定系数法求出抛 物线的解析式； （2）根据表达式 mPD+DE，设出 D 点坐标（t，t+4） ，P（t，t2+t+4） ，用含 t 的代数式分 别表达出线段 PD、DE，转化成 m 关于 t 的二次函数，再求 m 的最大值及 P 点坐标；
43、（3）根据条件ANM+ACM180，且 ANMN，利用三角形的全等去确定满足条件的 M、N 点， 再根据函数解析式求它们的坐标 【解答】解： （1）当 x0 时，y4； 当 y0 时，x+40，x4； B（4，0） ，C（0，4） ， 点 B，C 在抛物线上， ，解得：， yx2+x+4； （2）如图 1，连接 AD，延长 PD 交 x 轴于 H， PDy 轴， PHx 轴， 设 D（t，t+4） ，P（t，t2+t+4） ， PDt2+t+4（t+4）t2+t， SABCSADC+SADB，且 A（3，0） ，B（4，0） ，C（0，4） ， 74ACDE+（t+4） ， AC5， DEt，
44、 mPD+DE， mt2+t+tt2+2t（t3）2+3， 当 t3 时，m 有最大值是 3， 此时 P（3，2） ； （3） 过 N 作 NFMC 交 MC 于点 F， 过 N 点作 NGAC， 交 CA 的延长线于点 G， 则GCFN90， ACM+GNF180， 由旋转得：ANMN， ANM+ACM180， ANMGNF， ANGMNF， GMFN90， NGANFM（AAS） ， NGNF， NC 平分ACM， COAB， OKOA3， K（3，0） ， CK 的解析式为：yx+4， x+4x2+x+4， 解得：x10，x25， M（5，） ， 设 N（0，y） ， ANMN， （3）2+y252+（y+）2， 解得：y， N（0，） 【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，还考查了用二次函数求最值，三角形 全等的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识，合理运用二次函数的性质是解决本题的关键