1、2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题专题 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件命题及其关系、充分条件与必要条件 目录 一、题型全归纳 . 1 题型一 四种命题的相互关系及真假判断 . 1 题型二 充分条件、必要条件的判断. 3 题型三 充分条件、必要条件的探求及应用 . 4 题型四 逻辑关系与集合关系的转化. 6 二、高效训练突破 . 7 一、题型全归纳一、题型全归纳 题型一题型一 四种命题的相互关系及真假判断四种命题的相互关系及真假判断 【题型要点】【题型要点】 (1)写一个命题的其他三种命题时需关注 2 点 对
2、于不是“若 p，则 q”形式的命题，需先改写； 若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提 【提醒】 四种命题的关系具有相对性， 一旦一个命题定为原命题， 相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆 否命题” (2)判断命题真假的 2 种方法 直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反 例即可； 间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假 【例【例 1】(2020 邹平双语学校月考邹平双语学校月考)已知命题 p：若 x3，则 x22x80，则下列叙述正确的是( ) A命题 p 的逆命题是“若 x22x80，则 x3”
3、B命题 p 的否命题是“若 x3，则 x22x80” C命题 p 的否命题是“若 x3，则 x22x80” D命题 p 的逆否命题是真命题 【答案】 D 【解析】 命题 p：若 x0.其逆命题为：若 x22x80，则 x3，A 项错误；其否命 题为：若 x3， 则 x22x80，B， C 项错误； 命题 p 是真命题，则命题 p 的逆否命题是真命题 故选 D 【例【例 2】(2020 长治二中月考长治二中月考)设原命题：若 ab2，则 a，b 中至少有一个不小于 1，则原命题与其逆命题 的真假情况是( ) A原命题真，逆命题假 B原命题假，逆命题真 C原命题与逆命题均为真命题 D原命题与逆命题
4、均为假命题 【答案】A 【解析】若 a，b 中两个都小于 1，则 ab1，b2，则 ab0，所以 ab2 不成立，即逆命题不成立故选 A 【例【例 3】已知命题“若函数 f(x)exmx 在(0，)上是增函数，则 m1”，则下列结论正确的是( ) A否命题是“若函数 f(x)exmx 在(0，)上是减函数，则 m1”，是真命题 B逆命题是“若 m1，则函数 f(x)exmx 在(0，)上是增函数”，是假命题 C逆否命题是“若 m1，则函数 f(x)exmx 在(0，)上是减函数”，是真命题 D逆否命题是“若 m1，则函数 f(x)exmx 在(0，)上不是增函数”，是真命题 【答案】D 【解析
5、】因为 f(x)exmx 在(0，)上是增函数，则 f(x)exm0 恒成立，所以 m1，所以命题“若函数 f(x)exmx 在(0，)上是增函数，则 m1”是真命题，所以其逆否命题是真命题 题型二题型二 充分条件、必要条件的判断充分条件、必要条件的判断 【题型要点】【题型要点】 判断充要条件的 3 种常用方法 (1)定义法：直接判断若 p 则 q、若 q 则 p 的真假 (2)等价法：利用 AB 与BA，BA 与AB，AB 与BA 的等价关系，对于条件或结论是 否定式的命题，一般运用等价法 (3)利用集合间的包含关系判断：若 AB，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若 A
6、B，则 A 是 B 的充要条件 【提醒】判断充要条件需注意 3 点 (1)要分清条件与结论分别是什么 (2)要从充分性、必要性两个方面进行判断 (3)直接判断比较困难时，可举出反例说明 【例【例 1】(2020 天津市宁河区芦台第一中学高三一模天津市宁河区芦台第一中学高三一模)在ABC中，“coscosAB”是“sinsinAB”的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】余弦函数 cosyx 在区间0,上单调递减，且0A，0B， 由coscosAB，可得AB，ab ，由正弦定理可得sinsinAB. 因此，“coscosA
7、B”是“sinsinAB”的充分必要条件. 故选：C. 【例【例 2】(2020 烟台模拟烟台模拟)已知 a，b 都是实数，那么“ba0”是“1 a 1 b”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若1 a 1 b，则 1 a 1 b ba ab 0.当 0a 1 b成立；当 a0，b 1 b，但 0aa0”是“1 a 1 b”的充分不必要条件，故选 A. 【例【例 3】(2020 佛山模拟佛山模拟)已知 p：x2，q：x2 2x，则 p 是 q 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答
8、案】C 【解析】 当 x2 2x时，两边平方可得(x2)22x，即(x2)(x1)0，解得 x12，x21.当 x1 时，1 1，不成立，故舍去，则 x2，所以 p 是 q 的充要条件，故选 C. 题型三题型三 充分条件、必要条件的探求及应用充分条件、必要条件的探求及应用 【题型要点】【题型要点】 根据充要条件求解参数范围的方法及注意事项 (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关 系列出关于参数的不等式(组)求解 (2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取 值范围时，不等式是否能够取等
9、号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象 【例【例 1】已知 Px|x28x200，非空集合 Sx|1mx1m若“xP”是“xS”的必要条件，则 m 的取值范围为_ 【答案】0，3 【解析】由 x28x200，得2x10， 所以 Px|2x10， 由 xP 是 xS 的必要条件，知 SP. 则 1m1m， 1m2， 1m10， 所以 0m3. 所以当 0m3 时，xP 是 xS 的必要条件， 即所求 m 的取值范围是0，3 【例【例 2】(2020 山东省高三期末山东省高三期末)已知命题 :p 关于x的不等式 2 1120kxkx的解集为R， :2qx ， 2 27 2 x k x
10、 ，试判断“p为真命题”与“ q 为真命题”的充分必要关系 【答案】充分不必要 【解析】若p为真命题：当1k 时，对于任意xR，则有20恒成立； 当1k 时，根据题意，有 2 10 1810 k kk ，解得19k. 所以19k； 若 q 为真命题：2x ， 2 27 2 x k x 2 2 22821271 2282 28 222 xxx x xxx ， 当且仅当 2 2 2 x 时，等号成立，所以82 2k . 19kk 82 2k k ，所以，“p为真命题”是“ q 为真命题”的充分不必要条件. 【例【例 3】已知“(xt)23(xt)”是“x23x43(xt)x|xt3，Qx|x23x
11、40 x|4x0”是“xa”的必要不充分条件，则 a 的最小值为_ 【答案】 ：3 【解析】 ：由 x2x60，解得 x3. 因为“x2x60”是“xa”的必要不充分条件， 所以x|xa是x|x3的真子集，即 a3，故 a 的最小值为 3. 题型四题型四 逻辑关系与集合关系的转化逻辑关系与集合关系的转化 【题型要点】【题型要点】注意区分以下两种不同的说法 (1)A 是 B 的充分不必要条件，是指 AB 但 B / A (2)A 的充分不必要条件是 B，是指 BA 但 A / B 以上两种说法在充要条件的推理判断中经常出现且容易混淆，在解题中一定要注意问题的设问方式，弄清 它们的区别，以免出现错
12、误判断 【例【例 1】 (2020 广东六校联考广东六校联考)“不等式 x2xm0 在 R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( ) Am1 4 B0m1 Cm0 Dm1 【答案】 ：C 【解析】 ：不等式 x2xm0 在 R 上恒成立，则 14m0，所以 m1 4.所以“不等式 x 2xm0 在 R 上恒成立”的一个必要不充分条件是 m0. 【例【例 2】 已知 p： 1 x21，q：|xa|1，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围为_ 【答案】 (2,3 【解析】 由 p 得 1 x210 3x x20 x3 x202x3， 由 q 得 a1x3， 解得 2a3. 二、高
13、效训练突破二、高效训练突破 一、选择题一、选择题 1已知命题 p：“正数 a 的平方不等于 0”，命题 q：“若 a 不是正数，则它的平方等于 0”，则 q 是 p 的( ) A逆命题 B否命题 C逆否命题 D否定 【答案】B. 【解析】 ：命题 p：“正数 a 的平方不等于 0”可写成“若 a 是正数，则它的平方不等于 0”，从而 q 是 p 的否命 题 2.原命题为“ABC 中，若 cos A0，则ABC 为钝角三角形”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判 断依次如下，正确的是( ) A真、真、真 B假、假、真 C真、真、假 D真、假、假 【答案】【答案】B 【解析】 因为 cos
14、A0,0A0，所以逆命题为假，从而否命题 也为假故选 B 3(2020 安徽淮南二模)设 R，则“3”是“直线 2x(1)y1 与直线 6x(1)y4 平行”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】A. 【解析】 ：当 3 时，两条直线的方程分别为 6x4y10，3x2y20，此时两条直线平行；若直 线 2x(1)y1 与直线 6x(1)y4 平行，则 2 (1)6(1)，所以 3 或 1，经检验， 两者均符合综上，“3”是“直线 2x(1)y1 与直线 6x(1)y4 平行”的充分不必要条件，故 选 A. 4“若 x，yR，x2y20，则 x
15、，y 全为 0”的逆否命题是 ( ) A若 x，yR，x，y 全不为 0，则 x2y20 B若 x，yR，x，y 不全为 0，则 x2y20 C若 x，yR，x，y 不全为 0，则 x2y20 D若 x，yR，x，y 全为 0，则 x2y20 【答案】C. 【解析】 ：依题意得，原命题的题设为若 x2y20，结论为 x，y 全为零逆否命题：若 x，y 不全为零，则 x2y20，故选 C. 5.使 a0，b0 成立的一个必要不充分条件是( ) Aab0 Bab0 Cab1 Da b1 【答案】A 【解析】 ：.因为 a0，b0ab0，反之不成立，而由 a0，b0 不能推出 ab0，ab1，a b
16、1， 故选 A. 6.如果 x，y 是实数，那么“xy”是“cos xcos y”的( ) A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 ：.设集合 A(x，y)|xy，B(x，y)|cos xcos y，则 A 的补集 C(x，y)|xy，B 的补集 D (x，y)|cos xcos y，显然 CD，所以 BA.于是“xy”是“cos xcos y”的必要不充分条件 7(2019 北京东城期末北京东城期末)下列四个选项中错误的是( ) A命题“若 x1，则 x23x20”的逆否命题是“若 x23x20，则 x1” B存在 x0R，使 x202x
17、030 C“若 ，则 sin sin ”的逆否命题为真命题 D“x2”是“x23x20”的充分不必要条件 【答案】【答案】B 【解析】 对于 A 项，显然正确；对于 B 项，因为 4120，所以方程无实根，故 B 项错误；对于 C 项，“若 ，则 sin sin ”为真命题，所以其逆否命题也为真命题，故 C 项正确；对于 D 项，x23x2 0 的解是 x2 或 x1，故 D 项正确 8.(2020 咸阳模拟咸阳模拟)已知 p：m1，q：直线 xy0 与直线 xm2y0 互相垂直，则 p 是 q 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】A 【解
18、析】 ：.由题意得直线 xm2y0 的斜率是1， 所以1 m2 1， m 1.所以 p 是 q 的充分不必要条件故 选 A. 9(2020 郑州模拟郑州模拟)设平面向量 a，b，c 均为非零向量，则“a (bc)0”是“bc”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】B. 【解析】 ：由 bc，得 bc0，得 a (bc)0；反之不成立故“a (bc)0”是“bc”的必要不充分条件 10.设 a，b 均为单位向量，则“|a3b|3ab|”是“ab”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】C
19、 【解析】 ：.因为|a3b|3ab|，所以(a3b)2(3ab)2，所以 a26a b9b29a26a bb2，又因为|a| |b|1，所以 a b0，所以 ab；反之也成立故选 C. 11.(2020 抚州七校联考抚州七校联考)A，B，C 三个学生参加了一次考试，A，B 的得分均为 70 分，C 的得分为 65 分已 知命题 p：若及格分低于 70 分，则 A，B，C 都没有及格则下列四个命题中为 p 的逆否命题的是( ) A若及格分不低于 70 分，则 A，B，C 都及格 B若 A，B，C 都及格，则及格分不低于 70 分 C若 A，B，C 至少有一人及格，则及格分不低于 70 分 D若
20、 A，B，C 至少有一人及格，则及格分高于 70 分 【答案】C 【解析】 ：.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题 p 的逆否命题是若 A，B，C 至少有一人及格， 则及格分不低于 70 分故选 C. 12(2020 广东江门模拟广东江门模拟)若 a，b 都是正整数，则 abab 成立的充要条件是( ) Aab1 Ba，b 至少有一个为 1 Cab2 Da1 且 b1 【答案】B. 【解析】 ：因为 abab，所以(a1)(b1)1.因为 a，bN*，所以(a1)(b1)N，所以(a1)(b1) 0，所以 a1 或 b1.故选 B. 二、填空题二、填空题 1.记不等式x2x60的解集为
21、集合A， 函数ylg(xa)的定义域为集合B若“xA”是“xB”的充分条件， 则实数 a 的取值范围为_ 【答案】 (，3 【解析】 由 x2x60 得 B(a， )， 若“xA”是“xB”的充分条件， 则 AB， 则 a3. 2已知命题 p：若 ab0，则log1 2 ab0， 所以log1 2 alog1 2 b， 所以命题 p 为真命题， 其逆命题为： 若log1 2 ab0， 因为 a2，b2 时，log1 2 alog1 2 b1，而 ab，所以逆命题为假命题根据命题与其逆否命题的真假相同， 逆命题与否命题的真假相同知命题 p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中只有 2 个是真命题
22、 3在ABC 中，“AB”是“tan Atan B”的_条件 【答案】 ：充要 【解析】 ：由 AB，得 tan Atan B，反之，若 tan Atan B，则 ABk，kZ.因为 0A，0B0 不成立”是真命题，则实数 a 的取值范围是_ 【答案】 ：3，0 【解析】 ：由题意知 ax22ax30 恒成立，当 a0 时，30 成立；当 a0 时，得 a0， 4a212a0， 解得3an，则 m2n2”的逆命题，否命题，逆否命题中，假命题的个数是_ 【答案】 ：3 【解析】 ：若 m2，n3，则 23，但 22(2)2，但3sin C 是 BC 的充要条件”是真命题； “a1”是“直线 xa
23、y0 与直线 xay0 互相垂直”的充要条件； 命题“若 x0”的否命题为“若 x1，则 x22x30” 以上说法中正确的是_(填序号) 【答案】 ： 【解析】 ：对于，“若 xy 2，则 sin xcos y”的逆命题是“若 sin xcos y，则 xy 2”，当 x0，y 3 2 时，有 sin xcos y 成立，但 xy3 2 ，故逆命题为假命题，正确；对于，在ABC 中，由正弦定理得 sin Bsin CbcBC，正确；对于，“a1”是“直线 xay0 与直线 xay0 互相垂直”的充要条 件，故错误；对于，根据否命题的定义知正确 三三 解答题解答题 1.已知 p：Ax|x22x3
24、0，xR，q：Bx|x22mxm290，xR，mR (1)若 AB1,3，求实数 m 的值； (2)若 p 是 q 的充分条件，求实数 m 的取值范围 【解析】 (1)由题意得 Ax|1x3，xR，Bx|m3xm3，xR，mR，因为 AB1,3，所 以 m31，解得 m4. (2)因为 p 是 q 的充分条件，所以 A(RB)，因为RBx|xm3 或 xm3，xR，mR，所以 m3 3 或 m31，解得 m6 或 m4，即实数 m 的取值范围是(，4)(6，) 2.(2020 湖州市菱湖中学高二期中湖州市菱湖中学高二期中)已知p： 2 8200 xx；q： 22 11mxm (1)若 p是q的
25、必要条件，求m的取值范围； (2)若 p 是 q 的必要不充分条件，求m的取值范围 【答案】()3, 3 ;()(, 33,) . 【解析】由 x28x200 得2x10，即 P：2x10， 又 q：1m2x1+m2 (1)若 p 是 q 的必要条件， 则 2 2 12 110 m m ，即 2 2 3 9 m m ，即 m23，解得 33m ， 即 m 的取值范围是33 ， (2) p 是 q 的必要不充分条件， q 是 p 的必要不充分条件 即 2 2 12 110 m m ，即 m29，解得 m3 或 m3 即 m 的取值范围是(，33，+) 3(2019 浙江省宁波市鄞州中学高二月考浙
26、江省宁波市鄞州中学高二月考)已知命题：“| 11xxx ，使等式 2 0 xxm成立” 是真命题 ()求实数m的取值集合M ； ()设不等式( )(2)0 xa xa 的解集为N，若xN是xM的必要条件，求a的取值范围 【答案】(1)(2) 或. 【解析】(1)方程在有解，转化为函数在上的值域，实数m的取值集合M可求； (2)xN是xM的必要条件，分、三种情况讨论即可求a的取值范围 (1) 由题意知，方程 2 0 xxm在上有解， 即m的取值范围就为函数在上的值域，易得 1 |2 4 Mmm 7 分 (2) 因为xN是xM的必要条件，所以 8 分 当时，解集为空集，不满足题意 9 分 当时，此时集合 则，解得12 分 当时，此时集合 则 1 1 ,4 4 22 a a a 15 分 综上 91 44 aa 或16 分