1、2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题专题 1.1 集合的概念与运算集合的概念与运算 目录 一、题型全归纳 . 1 题型一 集合的含义与表示 . 1 题型二 集合的基本关系 . 2 题型三 集合的基本运算 . 3 题型四 利用集合的运算求参数 . 4 题型五 集合中的新定义问题 . 5 二、高效训练突破 . 7 一、题型全归纳一、题型全归纳 题型一题型一 集合的含义与表示集合的含义与表示 【题型要点】【题型要点】与集合中的元素有关问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合 (2)看这
2、些元素满足什么限制条件 (3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性 【例【例 1】若集合 AxR|ax23x20中只有一个元素，则 a( ) A. 9 2 B. 9 8 C.0 D.0 或 9 8 【答案】D 【解析】若集合 A 中只有一个元素，则方程 ax23x20 只有一个实根或有两个相等实根. 当 a0 时，x 2 3，符合题意；当 a0 时，由 (3) 28a0，得 a9 8，所以 a 的取值为 0 或 9 8. 【例例 2】已知集合 A(x，y)|x2y23，xZ，yZ，则 A 中元素的个数为( ) A.9 B.8 C.5 D.4 【答案】
3、A 【解析】解法一：解法一：由 x2y23 知， 3x 3， 3y 3.又 xZ，yZ，所以 x1，0，1，y 1，0，1，所以 A 中元素的个数为 C13C139，故选 A。 解法二：解法二： 根据集合 A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形， 如图， 易知在圆 x2y23 中有 9 个整点， 即为集合 A 的元素个数，故选 A。 题型二题型二 集合的基本关系集合的基本关系 【题型要点】【题型要点】 (1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确 (2)已知两个集合间的关系求参数时， 关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍
4、)， 进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题 【例【例 1】(2020 河北衡水中学调研河北衡水中学调研)已知集合 Ax|x25x140，集合 Bx|m1x2m1，若 BA， 则实数 m 的取值范围为_. 【答案】 (，4 【解析】Ax|x25x140 x|2x7， 当 B时，有 m12m1，则 m2。 当 B时，若 BA，如图所示 则 m12， 2m17， m12m1， 解得 2m4， 综上，m 的取值范围为(，4。 【例【例 2】(2020 云南省楚雄州十校联考云南省楚雄州十校联考)已知集合 Ax|x22x30，Bx|x22mxm240，xR，m R (1)
5、若 AB0,3，求实数 m 的值； (2)若 ARB，求实数 m 的取值范围 【解析】 由已知得 Ax|1x3，Bx|m2xm2 (1)AB0,3， m20， m23. m2. (2)RBx|xm2 或 xm2，ARB， m23 或 m21，即 m5 或 m3. 实数 m 的取值范围是m|m5 或 m3 题型三题型三 集合的基本运算集合的基本运算 【题型要点】【题型要点】集合基本运算的求解规律 (1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用 Venn 图求解 (2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到的情况 【例【例 1】已知集合 Mx|4x2，Nx|x2x60，则
6、 MN( ) Ax|4x3 Bx|4x2 Cx|2x2 Dx|2x3 【答案】C 【解析】方法一：方法一：因为 Nx|2x3，Mx|4x2，所以 MNx|2x2，故选 C. 方法二：方法二：由通解可得 Nx|2x0，Bx|ylog2(x2)，则 A(RB)( ) A0,1) B(1,2) C(1,2 D2，) 【答案】 C 【解析】 由题意易得，A(1，)，B(2，)，RB(，2，A(RB)(1,2故选 C. 【例【例 3】(2020 江西吉安一中、新余一中等八所中学联考江西吉安一中、新余一中等八所中学联考)已知集合 M1，1，Ny|yx2，xM，则 MN( ) A0，1 B1，1 C0，1)
7、 D(0，1 【答案】A. 【解析】 ：由于 M1，1，Ny|yx2，xM，所以 N0，1，所以 MN0，1故选 A. 【例【例 4】.(2020 安徽宣城八校联考安徽宣城八校联考)如图，设全集 UN，集合 A1，3，5，7，8，B1，2，3，4，5， 则图中阴影部分表示的集合为( ) A2，4 B7，8 C1，3，5 D1，2，3，4，5 【答案】A 【解析】 ：.由题图可知阴影部分表示的集合为(UA)B，因为集合 A1，3，5，7，8，B1，2，3，4， 5，UN，所以(UA)B2，4故选 A. 题型四题型四 利用集合的运算求参数利用集合的运算求参数 【题型要点】【题型要点】利用集合的运算
8、求参数的值或取值范围的方法 与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到； 若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解 【提醒】在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性) 【例【例 1】(2020 江西上饶重点中学六校联考江西上饶重点中学六校联考)已知 A1，)，B0，3a1，若 AB，则实数 a 的取 值范围是( ) A1，) B 1 2 1 ， C. ， 3 2 D(1，) 【答案】C 【解析】 (1)由题意可得 3a11，解得 a2 3，即实数 a 的数值范围是 ， 3 2 .故选 C. 【例【例 2】 已知集合 Ax|x2x120，
9、 Bx|xm 若 ABx|x4， 则实数 m 的取值范围是_ 【答案】3，4 【解析】集合 Ax|x3 或 x4，因为 ABx|x4，所以3m4. 【例【例 3】设集合 A0，4，Bx|x22(a1)xa210，xR若 ABB，则实数 a 的取值范围是 _ 【答案】 (，11 【解析】因为 A0，4，ABB，所以 BA，分以下三种情况： 当 BA 时，B0，4，由此可知，0 和4 是方程 x22(a1)xa210 的两个根，由根与系数的 关系，得 4（a1） 24（a21）0， 2（a1）4， a210， 解得 a1； 当 B且 BA 时，B0或 B4， 并且 4(a1)24(a21)0， 解
10、得 a1，此时 B0满足题意； 当 B时，4(a1)24(a21)0， 解得 a1。 综上所述，所求实数 a 的取值范围是(，11。 题型五题型五 集合中的新定义问题集合中的新定义问题 【题型要点】【题型要点】1.集合中的新定义问题 (1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过 程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在 (2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破 口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质 (3)遵守“新”法则：准确把握新定
11、义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可 2.解决集合的新定义问题的两个切入点 正确理解新定义这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题，而是以集合为载体的有关新定义问 题常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等； 合理利用集合性质运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关 键在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利 用集合的运算与性质 【例【例 1】(2020 河南南阳第一中学第十四次考试河南南阳第一中学第十四次考试)定义集合运算：ABZ|Zxy，xA，yB，设集合 A 1，0，1，Bsin ，c
12、os ，则集合 AB 的所有元素之和为( ) A1 B0 C1 Dsin cos 【答案】B 【解析】 (1)因为 xA，所以 x 的可能取值为1，0，1.同理，y 的可能取值为 sin ，cos ，所以 xy 的所 有可能取值为(重复的只列举一次)：sin ，0，sin ，cos ，cos ，所以所有元素之和为 0.故选 B. 【例【例 2】 (2020 河北保定一模河北保定一模)设 P和Q 是两个集合， 定义集合PQx|xP， 且 xQ， 如果 Px|12x4， Qy|y2sin x，xR，那么 PQ( ) Ax|0x1 Bx|0 x2 Cx|1x2 Dx|0x1 【答案】D 【解析】由题
13、意得 Px|0x2，Qy|1y3，所以 PQx|0x1故选 D. 【例【例 3】给定集合 A，若对于任意 a，bA，有 abA，且 abA，则称集合 A 为闭集合，给出如下三 个结论： 集合 A4，2,0,2,4为闭集合； 集合 An|n3k，kZ为闭集合； 若集合 A1，A2为闭集合，则 A1A2为闭集合 其中正确结论的序号是_ 【答案】 【解析】 ：中，4(2)6A，所以不正确；中，设 n1，n2A，n13k1，n23k2，k1，k2Z， 则 n1n2A，n1n2A，所以正确；中，令 A1n|n3k，kZ，A 2n|n 2k，kZ，则 A1， A2为闭集合，但 3k 2k(A1A2)，故
14、A1A2不是闭集合，所以不正确 二、高效训练突破二、高效训练突破 一、选择题一、选择题 1已知集合，则 ( ) A B C D 【答案】B 【解析】因为，所以，故选 B。 2.设集合 A1，1，2，3，5，B2，3，4，CxR|1x0，Bx|xa0 x|x3，Bx|xa0 x|xa因为 BA，所以 a1.故选 D. 8.(2020 太原模拟太原模拟)已知全集 UR，集合 Ax|x(x2)0，Bx|x|1，则如图所示的阴影部分表示的集 合是( ) A(2，1) B1，01，2) C(2，1)0，1 D0，1 【答案】C 【解析】 ：.因为集合 Ax|x(x2)0，Bx|x|1，所以 Ax|2x0
15、，Bx|1x1，所以 A B(2，1，AB1，0)，所以阴影部分表示的集合为AB(AB)(2，1)0，1，故选 C. 9.已知集合 AxR|x2x60，BxR|ax10，若 BA，则实数 a 的值为( ) A.1 3或 1 2 B1 3或 1 2 C.1 3或 1 2或 0 D1 3或 1 2或 0 【答案】【答案】D 【解析】 由题意知集合 A2，3当 a0 时，B，满足 BA；当 a0 时，ax10 的解为 x1 a， 由 BA 可得1 a3 或 1 a2，得 a 1 3或 a 1 2.综上，a 的值为 1 3或 1 2或 0. 10.(2020 惠州模拟惠州模拟)已知集合 Mx|x21，
16、Nx|ax1，若 NM，则实数 a 的取值集合为( ) A1 B1，1 C1，0 D1，1，0 【答案】D 【解析】 ：.Mx|x211，1，当 a0 时，N，满足 NM，当 a0 时，因为 NM，所以1 a1 或1 a1，即 a1 或 a1.故选 D. 11.已知全集 UAB 中有 m 个元素， (UA)(UB)中有 n 个元素， 若 AB 非空， 则 AB 的元素个数为( ) Amn Bmn Cnm Dmn 【答案】D. 【解析】 ：因为(UA)(UB)中有 n 个元素，如图中阴影部分所示， 又 UAB 中有 m 个元素，故 AB 中有 mn 个元素 12.已知 xR，集合 A0，1，2，
17、4，5，集合 Bx2，x，x2，若 AB0，2，则 x( ) A2 B0 C1 D2 【答案】B. 【解析】 ：因为 A0，1，2，4，5，集合 Bx2，x，x2，且 AB0，2， 所以 x20， x2 或 x0， x22，当 x2 时，B0，2，4，AB0，2，4(舍)；当 x0 时，B2，0， 2，AB0，2综上，x0.故选 B. 二、填空题二、填空题 1.设 A 是整数集的一个非空子集，对于 kA，如果 k1A 且 k1A，那么 k 是 A 的一个“单一元”，给定 S1，2，3，4，5，6，7，8，由 S 的 3 个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有_个 【答案】 ：6 【解
18、析】 ：符合题意的集合为1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，5，6，7，6，7，8，共 6 个 2已知集合 Ax|x22x30，Bx|yln(2x)，则 AB_，AB_ 【答案】 ：1，2) (，3 【解析】 ：Ax|x22x30 x|(x1)(x3)0 x|1x3，Bx|yln(2x)x|2x0 x|x 2，则 AB1，2)，AB(，3 3已知集合 Ax|xa0，B1，2，3，若 AB，则 a 的取值范围为_ 【答案】 ：1，) 【解析】 ：集合 Ax|xa，集合 B1，2，3，若 AB，则 1，2，3 这三个元素至少有一个在集合 A 中，若 2 或 3 在集合 A 中，则 1
19、一定在集合 A 中，因此只要保证 1A 即可，所以 a1. 4.给定集合 A，若对于任意 a，bA，有 abA，且 abA，则称集合 A 为闭集合，给出如下三个结论： 集合 A4，2，0，2，4为闭集合； 集合 An|n3k，kZ为闭集合； 若集合 A1，A2为闭集合，则 A1A2为闭集合 其中错误结论的序号是_ 【答案】 ： 【解析】 ：中，4(2)6A，所以不正确；中，设 n1，n2A，n13k1，n23k2，k1，k2Z， 则 n1n2A，n1n2A，所以正确；中，令 A1n|n3k，kZ，A2n|n 2k，kZ，则 A1， A2为闭集合，但 3k 2k(A1A2)，故 A1A2不是闭集
20、合，所以不正确 5已知集合 Ax|1x3，Bx|2mx1m，若 AB，则实数 m 的取值范围是_ 【答案】 ：0，) 【解析】 ：因为 AB，若当 2m1m，即 m1 3时，B，符合题意； 若当 2m1m，即 m1 3时， 需满足 m1 3， 1m1 或 m1 3， 2m3， 解得 0m1 3或，即 0m 1 3. 综上，实数 m 的取值范围是0，) 6.已知集合 AxN|x22x30，B1,3，定义集合 A，B 之间的运算“*”：A*Bx|xx1x2，x1A， x2B，则 A*B 中的所有元素数字之和为_ 【答案】 21 【解析】 由 x22x30 得1x3，xN，所以 A0,1,2,3，而
21、 A*Bx|xx1x2，x1A，x2B 1,2,3,4,5,6，所以数字之和为 21. 7.若集合 A1，2，Bx|x2mx10，xR，且 BA，则实数 m 的取值范围为_ 【答案】 ：2，2) 【解析】 ：若 B，则 m240， 解得2m2，符合题意； 若 1B，则 12m10， 解得 m2，此时 B1，符合题意； 若 2B，则 222m10， 解得 m5 2，此时 B 2，1 2 ，不合题意 综上所述，实数 m 的取值范围为2，2) 8设x表示不大于 x 的最大整数，集合 Ax|x22x3， 82 8 1 x xB，则 AB_ 【答案】 ：1， 7 【解析】 ：不等式1 82 x8 的解为
22、3x3， 所以 B(3，3) 若 xAB，则 x22x3 3x3 ， 所以x只可能取值3，2，1，0，1，2. 若x2，则 x232x0，没有实数解；若x1，则 x21，得 x1； 若x0，则 x23，没有符合条件的解； 若x1，则 x25，没有符合条件的解； 若x2，则 x27，有一个符合条件的解，x 7. 因此，AB1， 7 . 三三 解答题解答题 1.已知集合 Px|a1x2a1，集合 Qx|2x5 (1)若 a3，求集合(RP)Q； (2)若 PQ，求实数 a 的取值范围 【解析】 (1)当 a3 时， Px|4x7， 所以RPx|x7， 所以(RP)Qx|x7x|2x5 x|2x4
23、(2)当 P时，满足 PQ，有 2a1a1，即 a0； 当 P时，满足 PQ，则应有 2a1a1， 2a15， a12， 所以 0a2. 综上，实数 a 的取值范围为(，2 2(2019 衡水中学测试)已知集合 AxR|x2axb0，BxR|x2cx150，AB3，AB 3,5 (1)求实数 a，b，c 的值； (2)设集合 PxR|ax2bxc7，求集合 PZ. 【解析】 (1)因为 AB3，所以 3B，所以 32c 3150，解得 c8，所以 BxR|x28x15 03,5而 AB3，AB3,5，所以 A3，方程 x2axb0 有两个相等的实数根都是 3， 所以 a6，b9.所以 ab，b9，c8. (2)由(1)得 6x29x87，所以 2x23x50，Px 5 2x1 ，所以 PZ2，1,0,1