1、2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题专题 2.5 指数与指数函数指数与指数函数 目录 一、题型全归纳 . 1 题型一 指数幂的化简与求值 . 1 题型二 指数函数的图象及应用 . 2 题型三 指数函数的性质及应用 . 4 命题角度一 比较指数幂的大小 . 4 命题角度二 解指数不等式 . 5 命题角度三 指数型复合函数的单调性 . 6 二、高效训练突破 . 7 一、题型全归纳一、题型全归纳 题型一题型一 指数幂的化简与求值指数幂的化简与求值 【题型要点】【题型要点】指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括
2、号的先算指数运算 (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数 (3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数 (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答 【提醒】运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一 【例【例 1】化简：(a2 5 a3) ( a 10 a9)_(用分数指数幂表示) 【答案】a6 5 【解析 (a2 5 a3) ( a 10 a9)(a2 a3 5) (a 1 2 a 9 10)a 13 5 a7 5a 13 5 7 5a 6 5. 【例【例 2】61 40.002 1 210 (
3、 52) 1 2 9 5 - (2)32 3的值为_ 【答案】18.25 【解析】原式 2 2 5 5001 210 ( 52)1(2 3)2 3 5 210 510 52012 22.5210.25 18.25. 【例【例 3】 】 若 x1 2x 1 23，则 x3 2x 3 22 x2x 23的值为_ 【答案】2 5 【解析】由 x1 2x 1 23，得 xx 129，所以 xx17，所以 x2x2249，所以 x2x247.因为 x3 2x 3 2(x 1 2x 1 2) 33(x1 2x 1 2)27918，所以原式 182 473 2 5. 题型二题型二 指数函数的图象及应用指数函
4、数的图象及应用 【题型要点】【题型要点】1准确把握指数函数图象的特征准确把握指数函数图象的特征 (1)画指数函数 yax(a0，且 a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)， a 1 1- ，. (2)指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系 如图所示 其中 0cd1a1， 所以 f(x)在(，1上单调递减，在(1，)上单调递增，故排除 A，C，D. 【例【例 3】若关于 x 的方程|ax1|2a(a0，且 a1)有两个不等实根，则 a 的取值范围是_ 【答案】 ： 2 1 0， 【解析】 ：方程|ax1|2a(a0，且 a1)有两个不等实根转化为函数 y|ax1|与
5、 y2a 有两个交点 (1)当 0a1 时，如图，所以 02a1，即 0a1 2； (2)当 a1 时，如图，而 y2a1 不符合要求 所以 0a1 2. 题型三题型三 指数函数的性质及应用指数函数的性质及应用 命题角度一命题角度一 比较指数幂的大小比较指数幂的大小 【题型要点】比较幂值大小的常见类型及解决方法【题型要点】比较幂值大小的常见类型及解决方法 同底不同指 利用指数函数单调性进行比较 同指不同底 利用幂函数单调性进行比较 既不同底 又不同指 常常找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小来判断两 个幂值的大小 【例【例 1】(2020 许昌四校联考许昌四校联考)设 a，b 满足
6、0ab1，则下列不等式中正确的是( ) Aaaab Bbabb Caaba Dbbab 【答案】C 【解析】指数函数 yax(0a1)为减函数，因为 ab，所以 aaab，A 错误；指数函数 ybx(0b1)为 减函数，因为 ab，所以 babb，B 错误；幂函数 yxa(0a1)在(0，)上为增函数，又 ab，所以 aaba，C 正确；由幂函数 yxb(0b1)在(0，)上为增函数，又 ab，所以 bbab，D 错误 【例【例 2】(2020 闽粤赣三省十校联考闽粤赣三省十校联考)已知 a2 4 3，b4 2 5，c25 1 3，则( ) Abac Babc Cbca Dcab 【答案】A
7、【解析】因为 a2 4 3，b4 2 52 4 5，由函数 y2x在 R 上为增函数知，ba；又因为 a2 4 34 2 3，c25 1 35 2 3由 函数 yx 2 3在(0，)上为增函数知，ac.综上得 ba0 的解集为_ 【答案】 ：x|x4 或 x0 【解析】 ：因为 f(x)为偶函数， 当 x0，则 f(x)f(x)2 x4. 所以 f(x) 2x4，x0， 2 x4，x0 时，有 x20， 2x 240或 x20， 解得 x4 或 x4 或 x0，且 a1)型函数最值问题多用换元法，即令 tax转化为 yt2btc 的最值问 题，注意根据指数函数求 t 的范围 (2)形如 yaf
8、(x)(a0，且 a1)型函数最值问题，可令 tf(x)，则 yat，先由 x 的取值范围求 t 的取值范围， 再求 yat的最值 2对于形如对于形如 yaf(x)的函数的单调性的函数的单调性 (1)若 a1，函数 f(x)的单调增(减)区间即函数 yaf(x)的单调增(减)区间； (2)若 0a1，函数 f(x)的单调增(减)区间即函数 yaf(x)的单调减(增)区间 【例【例 4】已知函数 f(x)2|2x m|(m 为常数)，若 f(x)在区间2，)上是增函数，则 m 的取值范围是_ 【答案】(，4 【解析】 令 t|2xm|，则 t|2xm|在区间 , 2 m 上单调递增，在区间 2
9、- m ，上单调递减而 y 2t为 R 上的增函数，所以要使函数 f(x)2|2x m|在2，)上单调递增，则有m 22，即 m4，所以 m 的取值 范围是(，4 【例【例 5】已知函数 f(x) 34 2 3 1 xax . (1)若 a1，求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)有最大值 3，求 a 的值； (3)若 f(x)的值域是(0，)，求 a 的值 【解】(1)当 a1 时，f(x) 34- 2 3 1 xx ， 令 ux24x3(x2)27. 则 u 在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而 y u 3 1 在 R 上单调递减， 所以 f(x)在(，2)上单调递减，在(
10、2，)上单调递增，即函数 f(x)的单调递增区间是(2，)，单 调递减区间是(，2) (2)令 h(x)ax24x3，f(x) )( 3 1 xh ， 由于 f(x)有最大值 3，所以 h(x)应有最小值1， 因此必有 a0， 12a16 4a 1， 解得 a1， 即当 f(x)有最大值 3 时，a 的值为 1. (3)由 f(x)的值域是(0，)知，ax24x3 的值域为 R，则必有 a0. 二、高效训练突破二、高效训练突破 一、选择题一、选择题 1.(2020 上饶摸底上饶摸底)已知 a20.4，b90.2，c(43)3，则( ) Aabc Bacb Ccab Dcba 【答案】A 【解析
11、】因为 c(43)333 43 0.7530.4，b90.230.4，所以 bc，又 20.430.4，即 ab，所以 abc. 2(2020 宜宾模拟宜宾模拟)若函数 f(x)2 ax mn(a0 且 a1)的图象恒过定点(1,4)，则 mn( ) A3 B1 C1 D2 【答案】C 【解析】因为函数 f(x)2 ax mn(a0 且 a1)的图象恒过定点(1,4)，所以1m0，且 2 a0n4.解 得 m1，n2，所以 mn1. 3.(2019 高考全国卷高考全国卷)已知 alog20.2，b20.2，c0.20.3，则( ) Aabc Bacb Ccab Dbca 【答案】B. 【解析】
12、 ：因为 alog20.21，c0.20.3(0，1)，所以 ac0，且 a1，如果以 P(x1，f(x1)，Q(x2，f(x2)为端点的线段的中点在 y 轴上，那 么 f(x1) f(x2)等于( ) A1 Ba C2 Da2 【答案】A 【解析】以 P(x1，f(x1)，Q(x2，f(x2)为端点的线段的中点在 y 轴上，x1x20.又 f(x)ax，f(x1) f(x2) ax1 ax2ax1x2a01，故选 A. 6.(2019 凌源模拟凌源模拟)设 a 7 3 7 5 ，b 7 5 7 3 ，c 7 3 7 3 ，则 a，b，c 的大小关系为( ) Abca Babc Cacb Dc
13、ab 【答案】A 【解析】因为函数 y x 7 3 在 R 上单调递减所以 7 5 7 3 7 3 7 3 ，即 bc.又函数 yx3 7在(0，)上单调 递增，所以 7 3 7 3 7 3 7 5 ，即 ca.综上，bca. 7.若函数 f(x)2 x1 2xa是奇函数，则使 f(x)3 成立的 x 的取值范围为( ) A(，1) B(1,0) C(0,1) D(1，) 【答案】C 【解析】f(x)为奇函数，f(x)f(x)，即2 x1 2 xa2 x1 2xa，整理得(a1)(2 x2x2)0，a1， f(x)3，即为2 x1 2x13，当 x0 时，2 x10，2x13 2x3，解得 0
14、x1；当 x0 时，2x10，2x1K. 给出函数 f(x)2x 1 4x，若对于任意 x(，1，恒有 fK(x)f(x)，则( ) AK 的最大值为 0 BK 的最小值为 0 CK 的最大值为 1 DK 的最小值为 1 【答案】D. 【解析】 ：根据题意可知，对于任意 x(，1，若恒有 fK(x)f(x)，则 f(x)K 在 x1 上恒成立，即 f(x)的 最大值小于或等于 K 即可令 2xt，则 t(0，2，f(t)t22t(t1)21，可得 f(t)的最大值为 1，所 以 K1，故选 D. 9.已知函数 f(x)|2x1|，abf(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是( ) Aa0，
15、b0，c0 Ba0 C2 a2c D2a2c2 【答案】D 【解析】 ：作出函数 f(x)|2x1|的图象，如图， 因为 abf(c)f(b)， 结合图象知，0f(a)1，a0， 所以 02a1. 所以 f(a)|2a1|12a1， 所以 f(c)1，所以 0c1. 所以 12cf(c)， 所以 12a2c1， 所以 2a2c0 且 a1)的图象经过点 E，B，则 a( ) A. 2 B. 3 C2 D3 【答案】A 【解析】设 C(0，yC)，因为 ACCO，则设 A(xA，yC)，于是 B(xA，2yC)，E CA yx ， 2 1 因为平行四边形 OABC 的面积为 8， 所以 yC x
16、A8， 因为点 E， B 在 yax的图象上， 则 axA2yC， axA 2 yC， 所以 y2C2yC，解得 yC2 或 yC0(舍去)，则 xA4，于是 a44，因为 a0，所以 a 2. 二、填空题二、填空题 1函数 yaxb(a0，且 a1)的图象经过第二、三、四象限，则 ab的取值范围是_ 【答案】 ：(0，1) 【解析】 ：因为函数 yaxb 的图象经过第二、三、四象限，所以函数 yaxb 单调递减且其图象与 y 轴的 交点在 y 轴的负半轴上令 x0，则 ya0b1b，由题意得 0a1， 1b0，解得 0a1. 故 ab(0，1) 2.定义区间x1，x2的长度为 x2x1，已知
17、函数 f(x)3|x|的定义域为a，b，值域为1,9，则区间a，b长度的 最小值为_ 【答案】2 【解析】 函数 f(x)3|x|的定义域为a，b，值域为1,9，0a，b2 和2 至少有一个属于区间a， b，故区间a，b的长度最小时为2,0或0,2即区间a，b长度的最小值为 2. 3.(2020 中山一中摸底中山一中摸底)化简：(23a2 b)(6 a 3 b) (36a 6 b5)_. 【答案】4a 【解析】原式(2a2 3 b 1 2)(6a 1 2b 1 3) (3a 1 6b 5 6)2 (6) (3)a 2 3 1 2 1 6b 1 2 1 3 5 64a. 4.(2019 西安八校
18、联考西安八校联考)已知函数f(x)(a2)ax(a0， 且a1)， 若对任意x1， x2R， fx1fx2 x1x2 0， 则 a 的取值范围是_ 【答案】(0,1)(2，) 【解析】由题意知 f(x)在 R 上是单调递增函数，当 0a1 时，a20，yax单调递减，所以 f(x)单调递增； 当 1a2 时， a22 时，a20，yax单调递增，所以 f(x)单调递增故 a 的取值范围是(0,1)(2，) 5.(2019 安阳质检安阳质检)若不等式(m2m)2x x 2 1 1 对一切 x(，1恒成立，则实数 m 的取 值范围是_ 【答案】(2,3) 【解析】(m2m)2x x 2 1 1 可
19、变形为 m2m x 2 1 2 2 1 x . 设 t x 2 1 (t2)，则原条件等价于不等式 m2mtt2在 t2 时恒成立显然 tt2在 t2 时的 最小值为 6，所以 m2m6，解得2m3. 6.不等式 22 2 1 2 1 2 axaxx 恒成立，则 a 的取值范围是_ 【答案】 ：(2，2) 【解析】 ：由题意，y x 2 1 是减函数， 因为 22 2 1 2 1 2 axaxx 恒成立， 所以 x2ax2xa2 恒成立， 所以 x2(a2)xa20 恒成立， 所以 (a2)24(a2)0， 即(a2)(a24)0， 即(a2)(a2)0， 故有2a0，且 a1，函数 ya2x
20、2ax1 在1，1上的最大值是 14，则实数 a 的值为_ 【答案】 ：1 3或 3 【解析】 ：令 tax(a0，且 a1)， 则原函数化为 yf(t)(t1)22(t0) 当 0a1 时，x1，1，tax a a , 1 ， 此时 f(t)在 a a , 1 上是增函数所以 f(t)maxf(a)(a1)2214，解得 a3 或 a5(舍去)综上得 a1 3 或 3. 三三 解答题解答题 1.已知函数 f(x)2a 4x2x1. (1)当 a1 时，求函数 f(x)在 x3，0上的值域； (2)若关于 x 的方程 f(x)0 有解，求 a 的取值范围 【解】 ：(1)当 a1 时，f(x)
21、2 4x2x12(2x)22x1， 令 t2x，x3，0，则 t 1 8 1， . 故 y2t2t12 2 4 1 t9 8， t 1 8 1， ，故值域为 0 8 9 -， (2)关于 x 的方程 2a(2x)22x10 有解， 设 2xm0， 等价于方程 2am2m10 在(0，)上有解， 记 g(m)2am2m1， 当 a0 时，解为 m10，不成立 当 a0 时，开口向下，对称轴 m 1 4a0 时，开口向上， 对称轴 m 1 4a0，过点(0，1)，必有一个根为正，综上得 a0. 2已知定义域为 R 的函数 f(x)2 xb 2x 1a是奇函数 (1)求 a，b 的值； (2)若对任
22、意的 tR，不等式 f(t22t)f(2t2k)0 恒成立，求 k 的取值范围 【解】 ：(1)因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)0， 即1b 2a 0，解得 b1， 所以 f(x)2 x1 2x 1a. 又由 f(1)f(1)知21 4a 1 21 1a ，解得 a2. (2)由(1)知 f(x)2 x1 2x 121 2 1 2x1， 由上式易知 f(x)在 R 上为减函数， 又因为 f(x)是奇函数， 从而不等式 f(t22t)f(2t2k)0 等价于 f(t22t)2t2k. 即对一切 tR 有 3t22tk0， 从而 412k0， 解得 k1 3. 故 k 的取值范围为 3 1 -，.