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2021年高考数学(理)一轮复习题型归纳与训练 专题2.5 指数与指数函数(教师版含解析)

1、2021 年高考理科数学一轮复习:题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习:题型全归纳与高效训练突破 专题专题 2.5 指数与指数函数指数与指数函数 目录 一、题型全归纳 . 1 题型一 指数幂的化简与求值 . 1 题型二 指数函数的图象及应用 . 2 题型三 指数函数的性质及应用 . 4 命题角度一 比较指数幂的大小 . 4 命题角度二 解指数不等式 . 5 命题角度三 指数型复合函数的单调性 . 6 二、高效训练突破 . 7 一、题型全归纳一、题型全归纳 题型一题型一 指数幂的化简与求值指数幂的化简与求值 【题型要点】【题型要点】指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的,无括

2、号的先算指数运算 (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数 (3)底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数 (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答 【提醒】运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数,形式力求统一 【例【例 1】化简:(a2 5 a3) ( a 10 a9)_(用分数指数幂表示) 【答案】a6 5 【解析 (a2 5 a3) ( a 10 a9)(a2 a3 5) (a 1 2 a 9 10)a 13 5 a7 5a 13 5 7 5a 6 5. 【例【例 2】61 40.002 1 210 (

3、 52) 1 2 9 5 - (2)32 3的值为_ 【答案】18.25 【解析】原式 2 2 5 5001 210 ( 52)1(2 3)2 3 5 210 510 52012 22.5210.25 18.25. 【例【例 3】 】 若 x1 2x 1 23,则 x3 2x 3 22 x2x 23的值为_ 【答案】2 5 【解析】由 x1 2x 1 23,得 xx 129,所以 xx17,所以 x2x2249,所以 x2x247.因为 x3 2x 3 2(x 1 2x 1 2) 33(x1 2x 1 2)27918,所以原式 182 473 2 5. 题型二题型二 指数函数的图象及应用指数函

4、数的图象及应用 【题型要点】【题型要点】1准确把握指数函数图象的特征准确把握指数函数图象的特征 (1)画指数函数 yax(a0,且 a1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1), a 1 1- ,. (2)指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系 如图所示 其中 0cd1a1, 所以 f(x)在(,1上单调递减,在(1,)上单调递增,故排除 A,C,D. 【例【例 3】若关于 x 的方程|ax1|2a(a0,且 a1)有两个不等实根,则 a 的取值范围是_ 【答案】 : 2 1 0, 【解析】 :方程|ax1|2a(a0,且 a1)有两个不等实根转化为函数 y|ax1|与

5、 y2a 有两个交点 (1)当 0a1 时,如图,所以 02a1,即 0a1 2; (2)当 a1 时,如图,而 y2a1 不符合要求 所以 0a1 2. 题型三题型三 指数函数的性质及应用指数函数的性质及应用 命题角度一命题角度一 比较指数幂的大小比较指数幂的大小 【题型要点】比较幂值大小的常见类型及解决方法【题型要点】比较幂值大小的常见类型及解决方法 同底不同指 利用指数函数单调性进行比较 同指不同底 利用幂函数单调性进行比较 既不同底 又不同指 常常找到一个中间值,通过比较两个幂值与中间值的大小来判断两 个幂值的大小 【例【例 1】(2020 许昌四校联考许昌四校联考)设 a,b 满足

6、0ab1,则下列不等式中正确的是( ) Aaaab Bbabb Caaba Dbbab 【答案】C 【解析】指数函数 yax(0a1)为减函数,因为 ab,所以 aaab,A 错误;指数函数 ybx(0b1)为 减函数,因为 ab,所以 babb,B 错误;幂函数 yxa(0a1)在(0,)上为增函数,又 ab,所以 aaba,C 正确;由幂函数 yxb(0b1)在(0,)上为增函数,又 ab,所以 bbab,D 错误 【例【例 2】(2020 闽粤赣三省十校联考闽粤赣三省十校联考)已知 a2 4 3,b4 2 5,c25 1 3,则( ) Abac Babc Cbca Dcab 【答案】A

7、【解析】因为 a2 4 3,b4 2 52 4 5,由函数 y2x在 R 上为增函数知,ba;又因为 a2 4 34 2 3,c25 1 35 2 3由 函数 yx 2 3在(0,)上为增函数知,ac.综上得 ba0 的解集为_ 【答案】 :x|x4 或 x0 【解析】 :因为 f(x)为偶函数, 当 x0,则 f(x)f(x)2 x4. 所以 f(x) 2x4,x0, 2 x4,x0 时,有 x20, 2x 240或 x20, 解得 x4 或 x4 或 x0,且 a1)型函数最值问题多用换元法,即令 tax转化为 yt2btc 的最值问 题,注意根据指数函数求 t 的范围 (2)形如 yaf

8、(x)(a0,且 a1)型函数最值问题,可令 tf(x),则 yat,先由 x 的取值范围求 t 的取值范围, 再求 yat的最值 2对于形如对于形如 yaf(x)的函数的单调性的函数的单调性 (1)若 a1,函数 f(x)的单调增(减)区间即函数 yaf(x)的单调增(减)区间; (2)若 0a1,函数 f(x)的单调增(减)区间即函数 yaf(x)的单调减(增)区间 【例【例 4】已知函数 f(x)2|2x m|(m 为常数),若 f(x)在区间2,)上是增函数,则 m 的取值范围是_ 【答案】(,4 【解析】 令 t|2xm|,则 t|2xm|在区间 , 2 m 上单调递增,在区间 2

9、- m ,上单调递减而 y 2t为 R 上的增函数,所以要使函数 f(x)2|2x m|在2,)上单调递增,则有m 22,即 m4,所以 m 的取值 范围是(,4 【例【例 5】已知函数 f(x) 34 2 3 1 xax . (1)若 a1,求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)有最大值 3,求 a 的值; (3)若 f(x)的值域是(0,),求 a 的值 【解】(1)当 a1 时,f(x) 34- 2 3 1 xx , 令 ux24x3(x2)27. 则 u 在(,2)上单调递增,在(2,)上单调递减,而 y u 3 1 在 R 上单调递减, 所以 f(x)在(,2)上单调递减,在(

10、2,)上单调递增,即函数 f(x)的单调递增区间是(2,),单 调递减区间是(,2) (2)令 h(x)ax24x3,f(x) )( 3 1 xh , 由于 f(x)有最大值 3,所以 h(x)应有最小值1, 因此必有 a0, 12a16 4a 1, 解得 a1, 即当 f(x)有最大值 3 时,a 的值为 1. (3)由 f(x)的值域是(0,)知,ax24x3 的值域为 R,则必有 a0. 二、高效训练突破二、高效训练突破 一、选择题一、选择题 1.(2020 上饶摸底上饶摸底)已知 a20.4,b90.2,c(43)3,则( ) Aabc Bacb Ccab Dcba 【答案】A 【解析

11、】因为 c(43)333 43 0.7530.4,b90.230.4,所以 bc,又 20.430.4,即 ab,所以 abc. 2(2020 宜宾模拟宜宾模拟)若函数 f(x)2 ax mn(a0 且 a1)的图象恒过定点(1,4),则 mn( ) A3 B1 C1 D2 【答案】C 【解析】因为函数 f(x)2 ax mn(a0 且 a1)的图象恒过定点(1,4),所以1m0,且 2 a0n4.解 得 m1,n2,所以 mn1. 3.(2019 高考全国卷高考全国卷)已知 alog20.2,b20.2,c0.20.3,则( ) Aabc Bacb Ccab Dbca 【答案】B. 【解析】

12、 :因为 alog20.21,c0.20.3(0,1),所以 ac0,且 a1,如果以 P(x1,f(x1),Q(x2,f(x2)为端点的线段的中点在 y 轴上,那 么 f(x1) f(x2)等于( ) A1 Ba C2 Da2 【答案】A 【解析】以 P(x1,f(x1),Q(x2,f(x2)为端点的线段的中点在 y 轴上,x1x20.又 f(x)ax,f(x1) f(x2) ax1 ax2ax1x2a01,故选 A. 6.(2019 凌源模拟凌源模拟)设 a 7 3 7 5 ,b 7 5 7 3 ,c 7 3 7 3 ,则 a,b,c 的大小关系为( ) Abca Babc Cacb Dc

13、ab 【答案】A 【解析】因为函数 y x 7 3 在 R 上单调递减所以 7 5 7 3 7 3 7 3 ,即 bc.又函数 yx3 7在(0,)上单调 递增,所以 7 3 7 3 7 3 7 5 ,即 ca.综上,bca. 7.若函数 f(x)2 x1 2xa是奇函数,则使 f(x)3 成立的 x 的取值范围为( ) A(,1) B(1,0) C(0,1) D(1,) 【答案】C 【解析】f(x)为奇函数,f(x)f(x),即2 x1 2 xa2 x1 2xa,整理得(a1)(2 x2x2)0,a1, f(x)3,即为2 x1 2x13,当 x0 时,2 x10,2x13 2x3,解得 0

14、x1;当 x0 时,2x10,2x1K. 给出函数 f(x)2x 1 4x,若对于任意 x(,1,恒有 fK(x)f(x),则( ) AK 的最大值为 0 BK 的最小值为 0 CK 的最大值为 1 DK 的最小值为 1 【答案】D. 【解析】 :根据题意可知,对于任意 x(,1,若恒有 fK(x)f(x),则 f(x)K 在 x1 上恒成立,即 f(x)的 最大值小于或等于 K 即可令 2xt,则 t(0,2,f(t)t22t(t1)21,可得 f(t)的最大值为 1,所 以 K1,故选 D. 9.已知函数 f(x)|2x1|,abf(c)f(b),则下列结论中,一定成立的是( ) Aa0,

15、b0,c0 Ba0 C2 a2c D2a2c2 【答案】D 【解析】 :作出函数 f(x)|2x1|的图象,如图, 因为 abf(c)f(b), 结合图象知,0f(a)1,a0, 所以 02a1. 所以 f(a)|2a1|12a1, 所以 f(c)1,所以 0c1. 所以 12cf(c), 所以 12a2c1, 所以 2a2c0 且 a1)的图象经过点 E,B,则 a( ) A. 2 B. 3 C2 D3 【答案】A 【解析】设 C(0,yC),因为 ACCO,则设 A(xA,yC),于是 B(xA,2yC),E CA yx , 2 1 因为平行四边形 OABC 的面积为 8, 所以 yC x

16、A8, 因为点 E, B 在 yax的图象上, 则 axA2yC, axA 2 yC, 所以 y2C2yC,解得 yC2 或 yC0(舍去),则 xA4,于是 a44,因为 a0,所以 a 2. 二、填空题二、填空题 1函数 yaxb(a0,且 a1)的图象经过第二、三、四象限,则 ab的取值范围是_ 【答案】 :(0,1) 【解析】 :因为函数 yaxb 的图象经过第二、三、四象限,所以函数 yaxb 单调递减且其图象与 y 轴的 交点在 y 轴的负半轴上令 x0,则 ya0b1b,由题意得 0a1, 1b0,解得 0a1. 故 ab(0,1) 2.定义区间x1,x2的长度为 x2x1,已知

17、函数 f(x)3|x|的定义域为a,b,值域为1,9,则区间a,b长度的 最小值为_ 【答案】2 【解析】 函数 f(x)3|x|的定义域为a,b,值域为1,9,0a,b2 和2 至少有一个属于区间a, b,故区间a,b的长度最小时为2,0或0,2即区间a,b长度的最小值为 2. 3.(2020 中山一中摸底中山一中摸底)化简:(23a2 b)(6 a 3 b) (36a 6 b5)_. 【答案】4a 【解析】原式(2a2 3 b 1 2)(6a 1 2b 1 3) (3a 1 6b 5 6)2 (6) (3)a 2 3 1 2 1 6b 1 2 1 3 5 64a. 4.(2019 西安八校

18、联考西安八校联考)已知函数f(x)(a2)ax(a0, 且a1), 若对任意x1, x2R, fx1fx2 x1x2 0, 则 a 的取值范围是_ 【答案】(0,1)(2,) 【解析】由题意知 f(x)在 R 上是单调递增函数,当 0a1 时,a20,yax单调递减,所以 f(x)单调递增; 当 1a2 时, a22 时,a20,yax单调递增,所以 f(x)单调递增故 a 的取值范围是(0,1)(2,) 5.(2019 安阳质检安阳质检)若不等式(m2m)2x x 2 1 1 对一切 x(,1恒成立,则实数 m 的取 值范围是_ 【答案】(2,3) 【解析】(m2m)2x x 2 1 1 可

19、变形为 m2m x 2 1 2 2 1 x . 设 t x 2 1 (t2),则原条件等价于不等式 m2mtt2在 t2 时恒成立显然 tt2在 t2 时的 最小值为 6,所以 m2m6,解得2m3. 6.不等式 22 2 1 2 1 2 axaxx 恒成立,则 a 的取值范围是_ 【答案】 :(2,2) 【解析】 :由题意,y x 2 1 是减函数, 因为 22 2 1 2 1 2 axaxx 恒成立, 所以 x2ax2xa2 恒成立, 所以 x2(a2)xa20 恒成立, 所以 (a2)24(a2)0, 即(a2)(a24)0, 即(a2)(a2)0, 故有2a0,且 a1,函数 ya2x

20、2ax1 在1,1上的最大值是 14,则实数 a 的值为_ 【答案】 :1 3或 3 【解析】 :令 tax(a0,且 a1), 则原函数化为 yf(t)(t1)22(t0) 当 0a1 时,x1,1,tax a a , 1 , 此时 f(t)在 a a , 1 上是增函数所以 f(t)maxf(a)(a1)2214,解得 a3 或 a5(舍去)综上得 a1 3 或 3. 三三 解答题解答题 1.已知函数 f(x)2a 4x2x1. (1)当 a1 时,求函数 f(x)在 x3,0上的值域; (2)若关于 x 的方程 f(x)0 有解,求 a 的取值范围 【解】 :(1)当 a1 时,f(x)

21、2 4x2x12(2x)22x1, 令 t2x,x3,0,则 t 1 8 1, . 故 y2t2t12 2 4 1 t9 8, t 1 8 1, ,故值域为 0 8 9 -, (2)关于 x 的方程 2a(2x)22x10 有解, 设 2xm0, 等价于方程 2am2m10 在(0,)上有解, 记 g(m)2am2m1, 当 a0 时,解为 m10,不成立 当 a0 时,开口向下,对称轴 m 1 4a0 时,开口向上, 对称轴 m 1 4a0,过点(0,1),必有一个根为正,综上得 a0. 2已知定义域为 R 的函数 f(x)2 xb 2x 1a是奇函数 (1)求 a,b 的值; (2)若对任

22、意的 tR,不等式 f(t22t)f(2t2k)0 恒成立,求 k 的取值范围 【解】 :(1)因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(0)0, 即1b 2a 0,解得 b1, 所以 f(x)2 x1 2x 1a. 又由 f(1)f(1)知21 4a 1 21 1a ,解得 a2. (2)由(1)知 f(x)2 x1 2x 121 2 1 2x1, 由上式易知 f(x)在 R 上为减函数, 又因为 f(x)是奇函数, 从而不等式 f(t22t)f(2t2k)0 等价于 f(t22t)2t2k. 即对一切 tR 有 3t22tk0, 从而 412k0, 解得 k1 3. 故 k 的取值范围为 3 1 -,.