1、2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题专题 4.6 正弦定理、余弦定理的综合应用正弦定理、余弦定理的综合应用 目录 一、题型全归纳 . 1 题型一 解三角形中的实际问题 . 1 题型二 平面几何中的解三角形问题. 5 题型三 与三角形有关的最值(范围)问题 . 8 二、高效训练突破 . 10 一、题型全归纳一、题型全归纳 题型一题型一 解三角形中的实际问题解三角形中的实际问题 【题型要点】【题型要点】1.利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤 (1)分析理解题意，分清已知与未知，画出示意图 (2)建模根据已知条件与求解目
2、标，把已知量与求解量尽量集中在相关的三角形中，建立 一个解斜三角形的数学模型 (3)求解利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解 (4)检验检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 2.实际测量中的常见问题实际测量中的常见问题 求 AB 图形 需要测量的元素 解法 求竖直 高度 底部可达 ACB，BCa 解直角三角形 ABatan 底部不可达 ACB，ADB， CDa 解两个直角三角形 AB atan tan tan tan 求水平 距离 山两侧 ACB，ACb，BC a 用余弦定理 AB a2b22abcos 河两岸 ACB，ABC， CBa 用正弦定理 AB a
3、sin sin（） 河对岸 ADC，BDC， BCD，ACD， CDa 在 ADC 中， AC asin sin（）； 在 BDC 中， BC asin sin（）； 在 ABC 中，应用 余弦定理求 AB 3.三角应用题求解的关键是正确作图(平面图、立体图)，并且条件对应好(仰角、俯角、方向角 等) 【例【例 1】 】 (2020 宁德模拟宁德模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后 遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径 A，B 两点间的距离，现在珊瑚 群岛上取两点 C，D，测得 CD80，ADB135 ，BDCDCA15
4、，ACB120 ，则 A，B 两点 的距离为_ 【答案】80 5 【解析】由已知，在 ACD 中，ACD15 ，ADC150 ， 所以DAC15 ，由正弦定理，得 AC80sin150 sin15 40 6 2 4 40( 6 2)， 在 BCD 中，BDC15 ，BCD135 ， 所以DBC30 ， 由正弦定理 CD sinCBD BC sinBDC，得 BCCD sinBDC sinCBD 80 sin15 1 2 160sin15 40( 6 2)； 在 ABC 中，由余弦定理， AB2AC2BC22AC BC cosACB1600 (84 3)1600 (84 3)2 1600 ( 6
5、 2) ( 6 2) 1 2 1600 161600 432000， 解得 AB80 5，则 A，B 两点的距离为 80 5. 【例【例 2】(2020 长沙一中模拟长沙一中模拟)如图，在路边安装路灯，路宽为 OD，灯柱 OB 高为 10 m，灯杆 AB 长为 1 m， 且灯杆与灯柱成 120 角，路灯采用圆锥形灯罩，其轴截面的顶角为 2，灯罩轴线 AC 与灯杆 AB 垂直若灯 罩截面的两条母线所在直线中的一条恰好经过点 O，另一条与地面的交点为 E.则该路灯照在路面上的宽度 OE 的长是_ m. 【答案】40 3 3 【解析】在 AOB 中，由余弦定理可得 OA 111 m， 由正弦定理得
6、sinBAO5 37 37 ， 因为BAO 2， 所以 cossinBAO5 37 37 ，sin2 3 37， 则 sin22sincos20 3 37 . 易知ACO60 ，则 sinAEOsin(60 ) 3 3 2 37， 在 AOE 中，由正弦定理可得 OE OAsin2 sinAEO 40 3 3 m. 【例【例 3】如图所示，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，在原地 等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西 30 、相距 20 海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东 的方 向沿直线 CB 前往 B 处救援，则 cos 的值为_ 【答案
7、】 21 14 【解析】在 ABC 中，AB40，AC20，BAC120 ， 由余弦定理得 BC2AB2AC22AB AC cos 120 2 800， 得 BC20 7. 由正弦定理，得 AB sinACB BC sinBAC， 即 sinACBAB BC sinBAC 21 7 . 由BAC120 ，知ACB 为锐角， 则 cosACB2 7 7 . 由 ACB30 ，得 cos cos(ACB30 )cosACBcos 30 sinACBsin 30 21 14 . 题型二题型二 平面几何中的解三角形问题平面几何中的解三角形问题 【题型要点】与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路【题型
8、要点】与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路 求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦 定理或余弦定理建立已知和所求的关系 具体解题思路如下： (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果 【例【例 1】(2020 湖南衡阳第三次联考湖南衡阳第三次联考)如图，在平面四边形 ABCD 中，0DAB 2，AD2，AB3， ABD 的面积为3 3 2 ，ABBC. (1)求 sinABD 的值； (2)若BCD2 3 ，求 BC 的长 【答案】(
9、1) 21 7 (2) 3 3 【解析】(1)因为 ABD 的面积 S1 2AD ABsinDAB 1 2 2 3sinDAB 3 3 2 ， 所以 sinDAB 3 2 . 又 0DAB 2，所以DAB 3，所以 cosDABcos 3 1 2. 由余弦定理得 BD AD2AB22AD ABcosDAB 7， 由正弦定理得 sinABDADsinDAB BD 21 7 . (2)因为 ABBC，所以ABC 2， sinDBCsin( 2ABD)cosABD 1sin 2ABD2 7 7 . 在 BCD 中，由正弦定理 CD sinDBC BD sinDCB可得 CD BDsinDBC sin
10、DCB 4 3 3 . 由余弦定理 DC2BC22DC BCcosDCBBD2， 可得 3BC24 3BC50，解得 BC 3 3 或 BC5 3 3 (舍去) 故 BC 的长为 3 3 . 【例【例 2】如图，在平面四边形 ABCD 中，ABC3 4 ，ABAD，AB1. (1)若 AC 5，求 ABC 的面积； (2)若ADC 6，CD4，求 sinCAD. 【答案】(1)1 2；(2) 2 5 5 【解析】(1)在 ABC 中，由余弦定理得，AC2AB2BC22AB BC cosABC， 即 51BC2 2BC，解得 BC 2， 所以 ABC 的面积 S ABC1 2AB BC sinA
11、BC 1 2 1 2 2 2 1 2. (2)设CAD，在 ACD 中，由正弦定理得 AC sinADC CD sinCAD，即 AC sin 6 4 sin ， 在 ABC 中，BAC 2，BCA 3 4 ( 2) 4， 由正弦定理得 AC sinABC AB sinBCA， 即 AC sin3 4 1 sin（ 4） ， 两式相除，得 sin3 4 sin 6 4sin（ 4） sin ， 即 4( 2 2 sin 2 2 cos ) 2sin ，整理得 sin 2cos . 又因为 sin2cos21， 所以 sin 2 5 5 ，即 sinCAD2 5 5 . 题型三题型三 与三角形有
12、关的最值与三角形有关的最值(范围范围)问题问题 【题型要点】【题型要点】1.解三角形问题中，求解某个量解三角形问题中，求解某个量(式子式子)的最值的最值(范围范围)的基本思路为：的基本思路为： 要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化 为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限 制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大 2.求解三角形中的最值、范围问题的 2 个注意点 (1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角
13、的范围 时可以利用余弦定理进行转化 (2)注意题目中的隐含条件，如本例中锐角三角形的条件，又如 ABC，0A，bcabc，三 角形中大边对大角等 【例【例 1】(2019 全国卷全国卷) ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 asinAC 2 bsin A. (1)求 B； (2)若 ABC 为锐角三角形，且 c1，求 ABC 面积的取值范围 【答案】(1)B60 (2) 3 3 8 3 ， 【解析】(1)由题设及正弦定理得 sin AsinAC 2 sin Bsin A. 因为 sin A0，所以 sinAC 2 sin B. 由 ABC180 ，可得 sinAC 2
14、cosB 2，故 cos B 22sin B 2cos B 2. 因为 cosB 20，故 sin B 2 1 2，因此 B60 . (2)由题设及(1)知 ABC 的面积 S ABC 3 4 a. 由正弦定理得 acsin A sin C sin（120 C） sin C 3 2tan C 1 2. 由于 ABC 为锐角三角形，故 0 A90 ，0 C90 .由(1)知 AC120 ，所以 30 C90 ，故1 2a2， 从而 3 8 S ABC 3 2 . 因此， ABC 面积的取值范围是 3 3 8 3 ， 【例【例 2】(2020 宁德模拟宁德模拟)在 ABC 中，a，b，c 分别为内
15、角 A，B，C 所对的边，且 2c 3b2acos B，a 7. (1)若 c 3，求 ABC 的面积； (2)若 ABC 为锐角三角形，求 3bc 的取值范围 【答案】(1) 3；(2)( 7， 21) 【解析】(1)2c 3b2acos B，由正弦定理得 2sin C 3 sin B2sin Acos B， 2sin(AB) 3sin B2sin Acos B，2cos Asin B 3sin B. B(0，)，sin B0，cos A 3 2 .又A(0，)，A 6. 由余弦定理得 7b232 3 3 2 b， 即 b23b40，(b4)(b1)0，b4 或 b1(舍去)， S ABC1
16、 2bcsin A 1 2 4 3 1 2 3. (2)由(1)知 A 6.由正弦定理得， a sin A b sin B c sin C 7 1 2 2 7， 3bc2 7 3sin Bsin(5 6 B)2 7( 3 2 sin B1 2cos B)2 7sin(B 6) ABC 是锐角三角形， 3B 2， 6B 6 3， 1 2sin(B 6) 3 2 ， 3bc( 7， 21) 二、高效训练突破二、高效训练突破 一、选择题一、选择题 1一艘船以每小时 15 km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏东 60 方向，行驶 4 h 后，船 到达 B 处，看到这个灯塔在北偏东
17、 15 方向，这时船与灯塔的距离为( ) A15 2 km B30 2 km C45 2 km D60 2 km 【答案】B 【解析】作出示意图如图所示 依题意有 AB15 460，DAC60 ，CBM15 ， MAB30 ，AMB45 . 在 AMB 中，由正弦定理，得 60 sin45 BM sin30 ， 解得 BM30 2. 2 如图， 在离地面高 400 m 的热气球上， 观测到山顶 C 处的仰角为 15 ， 山脚 A 处的俯角为 45 ， 已知BAC 60 ，则山的高度 BC 为( ) A700 m B640 m C600 m D560 m 【答案】C 【解析】在 Rt AMD 中
18、，AM MD sin45 400 2 2 400 2(m)， 在 MAC 中，AMC45 15 60 ，MAC180 45 60 75 ，MCA180 AMCMAC 45 ， 由正弦定理得 ACAMsinAMC sinMCA 400 2 3 2 2 2 400 3(m) 在 Rt ABC 中， BCACsinBAC400 3 3 2 600(m) 3.一名学生在河岸上紧靠河边笔直行走， 某时刻测得河对岸靠近河边处的参照物与学生前进方向成 30 角 前 进 200 m 后，测得该参照物与前进方向成 75 角，则河的宽度为( ) A50( 31)m B100( 31)m C50 2 m D100
19、2 m 【答案】【答案】A 【解析】如图所示 在 ABC 中，BAC30 ，ACB75 30 45 ，AB200 m，由正弦定理，得 BC200 sin 30 sin 45 100 2 (m)，所以河的宽度为 BCsin 75 100 2 2 6 4 50( 31)(m) 4.如图所示，一座建筑物 AB 的高为(3010 3) m，在该建筑物的正东方向有一座通信塔 CD.在它们之间的 地面上的点 M(B，M，D 三点共线)处测得楼顶 A，塔顶 C 的仰角分别是 15 和 60 ，在楼顶 A 处测得塔顶 C 的仰角为 30 ，则通信塔 CD 的高为( ) A30 m B60 m C30 3 m
20、D40 3 m 【答案】B 【解析】在 Rt ABM 中，AM AB sinAMB 3010 3 sin15 3010 3 6 2 4 20 6(m)过点 A 作 ANCD 于点 N， 如图所示 易知MANAMB15 ，所以MAC30 15 45 .又AMC180 15 60 105 ，所以ACM 30 .在 AMC 中，由正弦定理得 MC sin45 20 6 sin30 ，解得 MC40 3(m)在 Rt CMD 中，CD40 3 sin60 60(m)，故通信塔 CD 的高为 60 m. 5.已知 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 且 cos 2Acos 2
21、B2cos 2C， 则 cos C 的最小值为( ) A. 3 2 B. 2 2 C.1 2 D1 2 【答案】【答案】C 【解析】因为 cos 2Acos 2B2cos 2C，所以 12sin2A12sin2B24sin2C，得 a2b22c2，cos C a2b2c2 2ab a 2b2 4ab 2ab 4ab 1 2，当且仅当 ab 时等号成立，故选 C. 6.(2020 安徽省江南十校联考安徽省江南十校联考)在钝角 ABC 中 ，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，B 为钝角，若 acos Absin A，则 sin Asin C 的最大值为( ) A. 2 B.9 8 C1
22、D.7 8 【答案】【答案】B 【解析】acos Absin A，由正弦定理可得，sin Acos Asin Bsin A，sin A0，cos Asin B，又 B 为钝 角， BA 2， sin Asin Csin Asin(AB)sin Acos 2Asin A12sin 2A2(sin A1 4) 29 8， sin Asin C 的最大值为9 8. 7.在 ABC 中，sin B1 3，BC 边上的高为 AD，D 为垂足，且 BD2CD，则 cosBAC( ) A 3 3 B. 3 3 C 10 10 D. 10 10 【答案】【答案】A 【解析】依题意设 CDx，ADy，则 BD2
23、x，BC3x.因为 sin B1 3，所以 AB AD sin B3y.因为 BC 边上 的高为 AD，如图所示 所以 AB2AD2BD2y24x29y2，即 x 2y.所以 ACAD2CD2 x2y2 3y.根据余弦定理得 cosBACAB 2AC2BC2 2 AB AC 9y 23y29x2 2 3y 3y 6y 2 6 3y2 3 3 .故选 A. 8在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2c cos B2ab，若 ABC 的面积为 S 3 2 c，则 ab 的最小值为( ) A8 B10 C12 D14 【答案】【答案】C 【解析】在 ABC 中，由已知及正弦定
24、理可得 2sin Ccos B2sin Asin B2sin(BC)sin B，即 2sin Ccos B2sin Bcos C2sin Ccos Bsin B，所以 2sin Bcos Csin B0.因为 sin B0，所以 cos C1 2，C 2 3 .由 于 ABC 的面积为 S1 2ab sin C 3 4 ab 3 2 c， 所以 c1 2ab.由余弦定理可得 c 2a2b22ab cos C， 整理可 得1 4a 2b2a2b2ab3ab，当且仅当 ab 时，取等号，所以 ab12. 9.在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知(abc)(abc)3a
25、b，且 c4，则 ABC 面积的最大值为( ) A8 3 B4 3 C2 3 D. 3 【答案】【答案】B 【解析】由已知等式得 a2b2c2ab，则 cos Ca 2b2c2 2ab ab 2ab 1 2.由 C(0，)，所以 sin C 3 2 .又 16 c2a2b2ab2ababab，则 ab16，所以 S ABC1 2absin C 1 2 16 3 2 4 3.故 Smax4 3.故选 B. 10 如图， 为了测量某湿地 A， B 两点间的距离， 观察者找到在同一直线上的三点 C， D， E.从 D 点测得ADC 67.5 ， 从 C 点测得ACD45 ， BCE75 ， 从 E
26、点测得BEC60 .若测得 DC2 3， CE 2(单位： 百米)，则 A，B 两点的距离为( ) A. 6 B2 2 C3 D2 3 【答案】C 【解析】根据题意，在 ADC 中，ACD45 ，ADC67.5 ，DC2 3，则DAC180 45 67.5 67.5 ，则 ACDC2 3，在 BCE 中，BCE75 ，BEC60 ，CE 2，则EBC180 75 60 45 ， 则有 CE sinEBC BC sinBEC， 变形可得 BC CE sinBEC sinEBC 2 3 2 2 2 3， 在 ABC 中， AC2 3， BC 3，ACB180 ACDBCE60 ，则 AB2AC2B
27、C22AC BC cosACB9，则 AB3. 11.在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 sin B2sin Acos C0，则当 cos B 取最小值时， c a ( ) A. 2 B. 3 C2 D. 3 3 【答案】【答案】B 【解析】由 sin B2sin Acos C0，根据正弦定理和余弦定理得 b2a a2b2c2 2ab 0， a22b2c20，b2c 2a2 2 ，cos Ba 2c2b2 2ac 3a 2c2 4ac 3a 4c c 4a 3 2 ，当且仅当3a 4c c 4a，即 c a 3时 取等号，cos B 取最小值 3 2 .故选 B.
28、12.(2020 吉林长春质量监测(四)海岛算经是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一 个问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三 步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合， 问岛高几何？其大意为：如图所示，立两个三丈高的标杆 BC 和 DE，两标杆之间的距离 BD1 000 步，两 标杆的底端与海岛的底端 H 在同一直线上，从前面的标杆 B 处后退 123 步，人眼贴地面，从地上 F 处仰望 岛峰，A，C，F 三点共线，从后面的标杆 D 处后退 127 步，人眼贴地面，从地上
29、 G 处仰望岛峰，A，E，G 三点也共线，则海岛的高为(注：1 步6 尺，1 里180 丈1 800 尺300 步)( ) A1 255 步 B1 250 步 C1 230 步 D1 200 步 【答案】【答案】A 【解析】因为 AHBC，所以 BCFHAF，所以BF HF BC AH. 因为 AHDE，所以 DEGHAG，所以DG HG DE AH. 又 BCDE，所以BF HF DG HG，即 123 123HB 127 1271 000HB，所以 HB30 750 步， 又BF HF BC AH，所以 AH 5 （30 750123） 123 1 255(步)故选 A. 二、填空题二、填
30、空题 1.线段 AB 外有一点 C，ABC60 ，AB200 km，汽车以 80 km/h 的速度由 A 向 B 行驶，同时摩托车以 50 km/h 的速度由 B 向 C 行驶，则运动开始_ h 后，两车的距离最小 【答案】70 43 【解析】如图所示，设 t h 后，汽车由 A 行驶到 D，摩托车由 B 行驶到 E，则 AD80t，BE50t. 因为 AB200，所以 BD20080t，问题就是求 DE 最小时 t 的值由余弦定理得 DE2BD2BE2 2BD BEcos60 (20080t)22500t2(20080t) 50t12900t242000t40000. 当 t70 43时 D
31、E 最小 2(2020 惠州调研惠州调研)如图所示，在一个坡度一定的山坡 AC 的顶上有一高度为 25 m 的建筑物 CD，为了测量 该山坡相对于水平地面的坡角 ， 在山坡的 A 处测得DAC15 ， 沿山坡前进 50 m 到达 B 处， 又测得DBC 45 ，根据以上数据可得 cos_. 【答案】 31 【解析】由DAC15 ，DBC45 ，可得 DBA135 ，ADB30 . 在 ABD 中，根据正弦定理可得 AB sinADB BD sinBAD，即 50 sin30 BD sin15 ， 所以 BD100sin15 100 sin(45 30 )25( 6 2) 在 BCD 中，由正弦
32、定理得 CD sinDBC BD sinBCD， 即 25 sin45 25 6 2 sinBCD ，解得 sinBCD 31. 所以 coscos(BCD90 )sinBCD 31. 3在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 asin B 3bcos A若 a4，则 ABC 周长 的最大值为_ 【答案】12 【解析】由正弦定理 a sin A b sin B， 可将 asin B 3bcos A 转化为 sin Asin B 3sin Bcos A. 又在 ABC 中，sin B0，sin A 3cos A， 即 tan A 3. 0A，A 3.由于 a4，由余弦
33、定理得 a 2b2c22bccos A，得 16b2c22bc 1 2b 2c2bc (bc)23bc，又 bc(bc 2 )2，(bc)264，即 bc8，abc12. 4.如图，在 ABC 中，D 是边 AC 上的点，且 ABAD，2AB 3BD，BC2BD，则 sin C 的值为_ 【答案】 6 6 【解析】设 ABa，ABAD，2AB 3BD，BC2BD，ADa，BD2a 3，BC 4a 3. 在 ABD 中，cosADB a24a 2 3 a2 2a2a 3 3 3 ，sinADB 6 3 ，sinBDC 6 3 . 在 BDC 中， BD sin C BC sinBDC，sin C
34、 BD sinBDC BC 6 6 . 5(2020 福州综合质量检测福州综合质量检测)在距离塔底分别为 80 m,160 m,240 m 的同一水平面上的 A，B，C 处，依次测 得塔顶的仰角分别为 ，.若 90 ，则塔高为_ m. 【答案】80 【解析】设塔高为 h m，依题意得，tan h 80，tan h 160，tan h 240.因为 90 ，所以 tan()tan tan(90 )tan sin90 sin cos90 cos cossin sincos1，所以 tantan 1tantan tan1，所以 h 80 h 160 1 h 80 h 160 h 2401，解得 h
35、80，所以塔高为 80 m. 6如图所示，在 ABC 中，C 3，BC4，点 D 在边 AC 上，ADDB，DEAB，E 为垂足，若 DE2 2， 则 cos A_ 【答案】 6 4 【解析】ADDB，AABD， BDC2A.设 ADDBx， 在 BCD 中， BC sinBDC DB sin C，可得 4 sin 2A x sin 3 . 在 AED 中， DE sin A AD sinAED，可得 2 2 sin A x 1. 联立可得 4 2sin Acos A 2 2 sin A 3 2 ，解得 cos A 6 4 . 7.(2020 福建宁德 5 月质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理
36、现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后 遗产”， 我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞 若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即 A， B 两点间的距离)， 现取两点 C，D，测得 CD80，ADB135 ，BDCDCA15 ，ACB120 ，则图中海洋蓝洞的 口径为_ 【答案】80 5 【解析】由已知得，在 ACD 中，ACD15 ，ADC150 ， 所以DAC15 ， 由正弦定理得 AC80sin 150 sin 15 40 6 2 4 40( 6 2) 在 BCD 中，BDC15 ，BCD135 ，所以DBC30 ， 由正弦定理 CD sinCBD BC sinBDC， 得 BCCDsinB
37、DC sinCBD 80 sin 15 1 2 160sin 15 40( 6 2) 在 ABC 中，由余弦定理，得 AB21 600 (84 3)1 600 (84 3)2 1 600 ( 6 2) ( 6 2) 1 21 600 161 600 41 600 2032 000， 解得 AB80 5. 故图中海洋蓝洞的口径为 80 5. 三、解答题 1在 ABC 中，b 3，B60 (1)求 ABC 周长 l 的范围； (2)求 ABC 面积最大值 【答案】(1)2 3l3 3；(2)3 3 4 【解析】(1)l 3ac， b23a2c22accos 60 a2c2ac， (ac)23ac3
38、， (ac)233ac3(ac 2 )2， ac2 3， 当仅仅当 ac 时，取“”， 又ac 3， 2 3l3 3. (2)b23a2c2ac2acac， ac3， 当且仅当 ac 时，取“”， S ABC1 2acsin B 1 2 3 sin 60 3 3 4 ， ABC 面积最大值为3 3 4 . 2.已知在东西方向上有 M，N 两座小山，山顶各有一座发射塔 A，B，塔顶 A，B 的海拔高度分别为 AM100 m 和 BN200 m，一测量车在小山 M 的正南方向的点 P 处测得发射塔顶 A 的仰角为 30 ，该测量车向北偏 西 60 方向行驶了 100 3 m 后到达点 Q， 在点
39、Q 处测得发射塔顶 B 处的仰角为 ， 且BQA， 经测量 tan 2，求两发射塔顶 A，B 之间的距离 【答案】100 5 m 【解析】 在 Rt AMP 中，APM30 ，AM100， PM100 3. 连接 QM，在 PQM 中，QPM60 ，PQ100 3， PQM 为等边三角形，QM100 3. 在 Rt AMQ 中，由 AQ2AM2QM2，得 AQ200. 在 Rt BNQ 中，tan2，BN200， NQ100，BQ100 5，cos 5 5 . 在 BQA 中， BA2BQ2AQ22BQ AQcos(100 5)2， BA100 5. 即两发射塔顶 A，B 之间的距离是 100
40、 5 m. 3在四边形 ABCD 中，ADBC，AB 3，A120 ，BD3. (1)求 AD 的长； (2)若BCD105 ，求四边形 ABCD 的面积 【答案】(1) 3；(2)12 39 4 . 【解析】(1)在 ABD 中，AB 3，A120 ，BD3， 由余弦定理得 cos 120 3AD 29 2 3AD ，解得 AD 3(AD2 3舍去)，AD 的长为 3. (2)ADBC，A120 ，BD3，ABAD 3，BCD105 ， DBC30 ，BDC45 ，由正弦定理得 BC sin 45 DC sin 30 3 sin 105 ，解得 BC3 33，DC 3 63 2 2 . 如图
41、 过点 A 作 AEBD，交 BD 于点 E，过点 C 作 CFBD，交 BD 于点 F， 则 AE1 2AB 3 2 ，CF1 2BC 3 33 2 ， 四边形 ABCD 的面积 SS ABDS BDC1 2BD (AECF) 1 2 3 ( 3 2 3 33 2 )12 39 4 . 4(2020 绵阳模拟绵阳模拟)在 ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，且 2csin B3atan A. (1)求b 2c2 a2 的值； (2)若 a2，求 ABC 面积的最大值 【答案】(1)4；(2) 7 【解析】(1)2csin B3atan A， 2csin Bcos A3as
42、in A， 由正弦定理得 2cbcos A3a2， 由余弦定理得 2cb b2c2a2 2bc 3a2，化简得 b2c24a2， b 2c2 a2 4. (2)a2，由(1)知 b2c24a216， 由余弦定理得 cos Ab 2c2a2 2bc 6 bc， 根据基本不等式得 b2c22bc，即 bc8，当且仅当 bc 时，等号成立，cos A6 8 3 4. 由 cos A 6 bc，得 bc 6 cos A，且 A(0， 2)， ABC 的面积 S1 2bcsin A 1 2 6 cos A sin A3tan A. 1tan2A1sin 2A cos2A cos2Asin2A cos2A
43、 1 cos2A， tan A 1 cos2A1 16 9 1 7 3 .S3tan A 7. ABC 面积的最大值为 7. 5.如图，在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 c4，b2，2ccos Cb，D，E 分别为 线段 BC 上的点，且 BDCD，BAECAE. (1)求线段 AD 的长； (2)求 ADE 的面积 【答案】(1) 6；(2) 15 6 【解析】(1)因为 c4，b2，2ccos Cb， 所以 cos C b 2c 1 4. 由余弦定理得 cos Ca 2b2c2 2ab a 2416 4a 1 4， 所以 a4，即 BC4. 在 ACD 中，CD2，AC2， 所以 AD2AC2CD22AC CD cosACD6，所以 AD 6. (2)因为 AE 是BAC 的平分线， 所以 S ABE S ACE 1 2AB AE sinBAE 1 2AC AE sinCAE AB AC2， 又 S ABE S ACE BE EC，所以 BE EC2， 所以 CE1 3BC 4 3，DE2 4 3 2 3. 又因为 cos C1 4，所以 sin C 1cos 2C 15 4 . 又 S ADES ACDS ACE， 所以 S ADE1 2 DE AC sin C 15 6 .