1、2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题专题 6.1 数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法 目录 一、题型全归纳 . 2 题型一 知数列前几项求通项公式 . 2 题型二 an与 Sn关系的应用 . 3 类型一 利用 an与 Sn的关系求通项公式 an . 3 类型二 利用 an与 Sn的关系求 Sn . 4 题型三 由数列的递推关系求通项公式. 5 类型一 形如 an+1anf(n)，求 an . 5 类型二 形如 an1anf(n)，求 an . 6 类型三 形如 an1panq(p0 且 p1)，求 an .
2、7 类型四 形如 an1 CBa Aa n n (A，B，C 为常数)，求 an . 8 题型四 数列的函数特征 . 9 类型一 数列的单调性 . 9 类型二 求最大(小)项 . 10 类型三 数列的周期性 . 11 二、高效训练突破 . 12 一、题型全归纳一、题型全归纳 题型一题型一 知数列前几项求通项公式知数列前几项求通项公式 【题型要点】由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略【题型要点】由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略 (1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列) 等方法 (2)具体策略：分式中分子、分母
3、的特征； 相邻项的变化特征； 各项的符号特征和绝对值特征； 对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系 对于符号交替出现的情况，可用(1)k或(1)k 1，kN*处理 【例【例 1】数列an的前 4 项是3 2，1， 7 10， 9 17，则这个数列的一个通项公式是 an_ 【答案】 ：2n1 n21 【解析】 ：数列an的前 4 项可变形为2 11 121 ，2 21 221 ，2 31 321 ，2 41 421 ，故 an2n1 n21. 【例例 2】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)1,7，13,19，； (2)0.8,0.88,0.888
4、，； (3)1,0，1 3，0， 1 5，0， 1 7，0，； (4)3 2，1， 7 10， 9 17，. 【答案】 (1)an(1)n(6n5)(2)an8 9 n 10 1 -1.(3)an11 n1 2n 或 an sinn 2 n .(4)an2n1 n21. 【解析】 (1)符号问题可通过(1)n或(1)n 1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比 前面数的绝对值大 6，故通项公式为 an(1)n(6n5) (2)将数列变形为8 9(10.1)， 8 9(10.01)， 8 9(10.001)，an 8 9 n 10 1 -1. (3)把数列改写成1 1， 0 2，
5、 1 3， 0 4， 1 5， 0 6， 1 7， 0 8，分母依次为 1,2,3，而分子 1,0,1,0，周期性出现，因 此数列的通项可表示为 an11 n1 2n 或 an sinn 2 n . (4)将数列统一为3 2， 5 5， 7 10， 9 17，对于分子 3,5,7,9，是序号的 2 倍加 1，可得分子的通项公式为 bn 2n1，对于分母 2,5,10,17，联想到数列 1,4,9,16，即数列n2，可得分母的通项公式为 cnn21， 所以可得它的一个通项公式为 an2n1 n21. 题型二题型二 an与与 Sn关系的应用关系的应用 类型一类型一 利用利用 an与与 Sn的关系求
6、通项公式的关系求通项公式 an 【题型要点】【题型要点】已知 Sn求 an的三个步骤 先利用 a1S1求出 a1； 用 n1 替换 Sn中的 n 得到一个新的关系，利用 anSnSn1(n2)便可求出当 n2 时 an的表达式； 注意检验 n1 时的表达式是否可以与 n2 的表达式合并 【例【例 1】(2020 河北衡水中学调研河北衡水中学调研)已知 Sn3n2n1，则 an_. 【答案】 6，n1， 2 3n 12，n2 【解析】 因为当 n1 时，a1S16；当 n2 时，anSnSn1(3n2n1)3n 12(n1)12 3n1 2，由于 a1不适合此式，所以 an 6，n1， 2 3n
7、 12，n2. 【例【例 2】已知数列an的前 n 项和 Sn2n3，则数列an的通项公式 an_ 【答案】 ： 1，n1， 2n 1，n2 【解析】 ：当 n1 时，a1S11；当 n2 时，anSnSn1(2n3)(2n 13)2n2n12n1，a 1不适 合此等式所以 an 1，n1， 2n 1，n2. 类型二类型二 利用利用 an与与 Sn的关系求的关系求 Sn 【题型要点】【题型要点】Sn与与 an关系问题的求解思路关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化 利用 anSnSn1(n2)转化为只含 Sn，Sn1的关系式，再求解； 利用 SnSn1an(n2
8、)转化为只含 an，an1的关系式，再求解 【例【例 3】设 Sn是数列an的前 n 项和，Sn0，且 a11，an1SnSn1，则 Sn_ 【答案】1 n 【解析】 因为 an1Sn1Sn，an1SnSn1， 所以 Sn1SnSnSn1. 因为 Sn0，所以 1 Sn 1 Sn11，即 1 Sn1 1 Sn1. 又 1 S11，所以 1 Sn是首项为1，公差为1 的等差数列 所以 1 Sn1(n1) (1)n，所以 Sn 1 n. 【例【例 4】已知数列an中，a11，Sn为数列an的前 n 项和，Sn0，且当 n2 时，有 2an anSnS2n1 成立，则 S2 017_ 【答案】 ：
9、1 1 009 【解析】 ：当 n2 时，由 2an anSnS2n1，得 2(SnSn 1)(SnSn1)SnS2nSnSn1，所以 2 Sn 2 Sn11，又 2 S1 2，所以 n S 2 是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，所以 2 Snn1，故 Sn 2 n1，则 S2 017 1 1 009. 题型三题型三 由数列的递推关系求通项公式由数列的递推关系求通项公式 类型一类型一 形如形如 an+1anf(n)，求，求 an 【题型要点】【题型要点】根据形如 an1an f(n)(f(n)是可以求积的)的递推公式求通项公式时，常用累乘法求出an a1与 n 的 关系式，进而得到 an
10、的通项公式 累乘法求通项公式的四步骤 【例【例 1】已知数列an中，a11，ann1 n an1(n2)，求通项公式 an. 【答案】an1 n 【解析】 ann1 n an1(n2)，an1n2 n1an 2，a21 2a1. 以上(n1)个式子相乘得 ana1 1 2 2 3 n1 n a1 n 1 n.当 n1 时也满足此等式，an 1 n. 【例【例 2】(2020 开封一模开封一模)在数列an中，a13，(3n2)an1(3n1)an(n1)，则 an_. 【答案】 6 3n1 【解析】 (3n2)an1(3n1)an，an13n1 3n2an，an 3n11 3n12 3n21 3
11、n22 3 21 3 22 31 32 a1 3n4 3n1 3n7 3n4 5 8 2 5 3 6 3n1，当 n1 时，满足此等式，an 6 3n1. 类型二类型二 形如形如 an1anf(n)，求，求 an 【题型要点】【题型要点】根据形如 an1anf(n)(f(n)是可以求和的)的递推公式求通项公式时，常用累加法求出 ana1 与 n 的关系式，进而得到 an的通项公式 累加法求通项公式的四步骤 【例【例 3】设数列an满足 a11，且 an1ann1(nN*)，求数列an的通项公式 【答案】ann 2n 2 (nN*) 【解析】 由题意有 a2a12，a3a23， anan1n(n
12、2) 以上各式相加，得 ana123n（n1）（2n） 2 n 2n2 2 . 又因为 a11，所以 ann 2n 2 (n2) 因为当 n1 时也满足上式， 所以 ann 2n 2 (nN*) 【例【例 4】已知数列an中，a12，an1anln n 1 1，求通项公式 an. 【答案】an2ln n(nN*) 【解析】 an1anln n 1 1， anan1ln 1- 1 1 n ln n n1(n2)， an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1ln n n1ln n1 n2ln 3 2ln 22 2ln 2 2 3 2 1 1 n n n n 2ln n(n2)又 a12 适
13、合上式，故 an2ln n(nN*) 类型三类型三 形如形如 an1panq(p0 且且 p1)，求，求 an 【题型要点】【题型要点】 根据形如 an1panq 的递推关系式求通项公式时， 一般先构造公比为 p 的等比数列anx， 即将原递推关系式化为 an1xp(anx)的形式，再求出数列anx的通项公式，最后求an的通项公式 构造法求通项公式的三步骤 【例【例 5】已知数列an满足 a11，an13an2，求数列an的通项公式 【答案】an2 3n 11(nN*) 【解析】 因为 an13an2，所以 an113(an1)，所以an 11 an1 3，所以数列an1为等比数列且公 比 q
14、3，又 a112，所以 an12 3n 1，所以 a n2 3 n11(nN*) 【例 6】已知数列an中，a13，且点 Pn(an，an1)(nN*)在直线 4xy10 上，则数列an的通项公式 为_ 【答案】 ：an10 3 4n 11 3 【解析】 ：因为点 Pn(an，an1)(nN*)在直线 4xy10 上， 所以 4anan110. 所以 an11 34 3 1 n a. 因为 a13，所以 a11 3 10 3 . 故数列 3 1 n a是首项为10 3 ，公比为 4 的等比数列 所以 an1 3 10 3 4n 1，故数列 an的通项公式为 an10 3 4n 11 3. 类型
15、四类型四 形如形如 an1 CBa Aa n n (A，B，C 为常数为常数)，求，求 an 【题型要点】【题型要点】根据形如 an1 Aan BanC(A，B，C 为常数)的递推关系式求通项公式时，一般对递推式两边同时 取倒数，当 AC 时，化为 1 an1x C A x an 1 的形式，可构造公比为C A的等比数列 x an 1 ，其中用待定 系数法求 x 是关键，当 AC 时，可构成一个等差数列 【例【例 7】已知数列an中，a11，an1 2an an2，求数列an的通项公式 【答案】an 2 n1(nN *) 【解析】 因为 an1 2an an2，a11，所以 an0， 所以 1
16、 an1 1 an 1 2，即 1 an1 1 an 1 2. 又 a11，则 1 a11，所以 n a 1 是以 1 为首项，1 2为公差的等差数列 所以 1 an 1 a1(n1) 1 2 n 2 1 2.所以 an 2 n1(nN *) 题型四题型四 数列的函数特征数列的函数特征 类型一类型一 数列的单调性数列的单调性 【题型要点】【题型要点】判断数列的单调性的方法 (1)作差比较法：an1an0数列an是递增数列；an1an0数列an是递减数列；an1an0数列 an是常数列 (2)作商比较法：.当 an0 时，则an 1 an 1数列an是递增数列；an 1 an 1数列an是递减数
17、列；an 1 an 1 数列an是常数列；.当 an0 时，则an 1 an 1数列an是递减数列； an1 an 1数列an是递增数列； an1 an 1数列an是常数列 (3)结合相应函数的图象直观判断 【例【例 1】已知an是递增数列，且对于任意的 nN*，ann2n 恒成立，则实数 的取值范围是_ 【答案】 (3，) 【解析】 法一(定义法)：因为an是递增数列，所以对任意的 nN*，都有 an1an，即(n1)2(n1) n2n，整理，得 2n10，即 (2n1) (*)因为 n1，所以(2n1)3，要使不等式(*) 恒成立，只需 3. 法二(函数法)：设 f(n)ann2n，其图象
18、的对称轴为直线 n 2，要使数列an为递增数列，只需使定 义在正整数集上的函数 f(n)为增函数，故只需满足 f(1)f(2)，即 3. 【例【例 2】 已知 ann0.99 n0.99，那么数列an是( ) A递减数列 B递增数列 C常数列 D摆动数列 【答案】 A 【解析】 ann0.99 n0.99 n0.991.98 n0.99 1 1.98 n0.99，因为函数 y1 1.98 x0.99在(0.99，)上是减函数，所 以数列an是递减数列 类型二类型二 求最大求最大(小小)项项 【题型要点】求数列最大【题型要点】求数列最大(小小)项的方法项的方法 (1)构造函数，确定出函数的单调性
19、，进一步求出数列的最大项或最小项 (2)利用 anan1， anan1 求数列中的最大项 an；利用 anan1， anan1 求数列中的最小项 an.当解不唯一时，比较各解大小 即可确定 【例【例 3】已知数列an的通项公式为 an9 n（n1） 10n ，试判断此数列是否有最大项？若有，第几项最大，最 大项是多少？若没有，说明理由 【答案】见解析 【解析】 法一：an1an9 n1（n2） 10n 19 n（n1） 10n 9n 10n 8n 10 ， 当 n8 时，an1an0，即 an1an； 当 n8 时，an1an0，即 an1an； 当 n8 时，an1an0，即 an1an.
20、则 a1a2a3a8a9a10a11，故数列an有最大项，为第 8 项和第 9 项，且 a8a99 8 9 108 99 108. 法二：设数列an的第 n 项最大，则 anan1， anan1， 即 9 n（n1） 10n 9 n1n 10n 1， 9n（n1） 10n 9 n1（n2） 10n 1， 解得 8n9，又 nN*，则 n8 或 n9.故数列an有最大项，为第 8 项和 第 9 项，且 a8a9 99 108. 【例【例 4】(2020 大庆模拟大庆模拟)已知数列an的通项公式 an(n2) n 7 6 ，则数列an的项取最大值时，n _. 【答案】 4 或 5 【解析】 因为
21、an1an(n3) 1 7 6 n (n2) n 7 6 n 7 6 6n3 7 n2 n 7 6 4n 7 . 当 n0，即 an1an； 当 n4 时，an1an0，即 an1an； 当 n4 时，an1an0，即 an11 时，有 anSnSn1n2 3 ann1 3 an1， 整理得 ann1 n1an 1. 又 a11， 所以 a23 1a1， a34 2a2， an1 n n2an 2， ann1 n1an 1， 将以上 n 个等式两端分别相乘，整理得 annn1 2 . 当 n1 时，满足上式 综上，an的通项公式 annn1 2 . 2(2020 银川模拟银川模拟)已知函数 f
22、(x)2x2 x，数列a n满足 f(log2an)2n. (1)求数列an的通项公式； (2)证明：数列an是递减数列 【答案】见解析 【解析】 (1)因为 f(x)2x 1 2x，f(log2an)2n，所以 an 1 an2n，所以 a 2 n2nan10，解得 an n n21， 因为 an0，所以 an n21n，nN*. (2)证明：an 1 an n121n1 n21n n21n n121n10，所以 an1an，所以数列an是递减数列 3.已知二次函数 f(x)x2axa(a0，xR)，有且只有一个零点，数列an的前 n 项和 Snf(n)(nN*) (1)求数列an的通项公式
23、； (2)设 cn1 4 an(nN *)，定义所有满足 c m cm10 的正整数 m 的个数，称为这个数列cn的变号数，求数列 cn的变号数 【答案】见解析 【解析】 ：(1)依题意，a24a0，所以 a0 或 a4. 又由 a0 得 a4，所以 f(x)x24x4. 所以 Snn24n4. 当 n1 时，a1S11441； 当 n2 时，anSnSn12n5. 所以 an 1，n1， 2n5，n2. (2)由题意得 cn 3，n1， 1 4 2n5，n2. 由 cn1 4 2n5可知，当 n5 时，恒有 cn0. 又 c13，c25，c33，c41 3，c5 1 5，c6 3 7， 即 c1 c20，c2 c30，c4 c50. 所以数列cn的变号数为 3.