1、2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题专题 7.1 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式不等关系与不等式的性质及一元二次不等式 目录 一、题型全归纳 . 1 命题角度一 判断不等式是否成立. 1 . 2 题型二 一元二次不等式的解法 . 5 命题角度二 含参数的一元二次不等式 . 6 命题角度四 分式不等式的解法 . 8 二、高效训练突破 . 13 一、题型全归纳一、题型全归纳 题型一题型一 不等式性质的应用不等式性质的应用 命题角度一命题角度一 判断不等式是否成立判断不等式是否成立 【题型要点】【题型要点】判断不等式
2、是否成立的方法 (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明 (2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断 【例【例 1】(2020 辽宁省鞍山一中高三上学期期末辽宁省鞍山一中高三上学期期末)已知条件甲：a0，条件乙：ab 且1 a 1 b，则甲是乙的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由 a0 不能推出 ab 且1 a 1 b，故甲不是乙的充分条件若 ab 且 1 a 1 b，即 ab 且 ba ab 0，则 ab0，bb 且1 a 1 b能推出 a0.故甲是乙的必要
3、条件所以甲是乙的必要不充分条件 【例例 2】若1 a 1 b0，给出下列不等式： 1 ab0；a 1 ab 1 b；ln a 2ln b2.其中正确的不等 式是( ) A B C D 【答案】C 【解析】因为1 a 1 b0，所以 ba|a|，所以|a|b0，ln a 2b，1 a 1 b可推出 a 1 ab 1 b， 显然有 1 ab0 1 ab，综上知，正确，错误 命题角度二命题角度二 比较两个数比较两个数(式式)大小的两种方法大小的两种方法 【题型要点】比较两个数【题型要点】比较两个数(式式)大小的大小的 3 种方法种方法 【例【例 1】若 aln 3 3 ，bln 4 4 ，cln 5
4、 5 ，则( ) Aabc Bcba Ccab Dbac 【答案】B. 【解析】 ：法一：易知 a，b，c 都是正数， b a 3ln 4 4ln 3log8164b； b c 5ln 4 4ln 5log6251 0241. 所以 bc.即 cbe 时，函数 f(x)单调递减 因为 e34f(4)f(5)，即 cb0，q0，前 n 项和为 Sn，则S3 a3与 S5 a5的大小关系为_ 【答案 S3 a3 S5 a5 【解析】当 q1 时，S3 a33， S5 a55，所以 S3 a30 且 q1 时， S3 a3 S5 a5 a11q3 a1q21q a11q5 a1q41q q21q31
5、q5 q41q q1 q4 0， 所以S3 a3 S5 a5.综上可知 S3 a3 S5 a5. 命题角度三命题角度三 求代数式的取值范围求代数式的取值范围 【题型要点】求代数式取值范围的方法【题型要点】求代数式取值范围的方法 利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围解决 此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径 【例【例 1】已知二次函数 yf(x)的图象过原点，且 1f(1)2,3f(1)4，求 f(2)的取值范围 【答案】6,10 【解析】由题意知 f(x)ax2bx，则 f(2)4a2b，
6、 由 f(1)ab，f(1)ab， 设存在实数 m，n，使得 4a2bm(ab)n(ab)， 即 4a2b(mn)a(mn)b， 所以 mn4， mn2， 解得 m1， n3， 所以 f(2)4a2b(ab)3(ab) 又 3ab4,33(ab)6， 所以 6(ab)3(ab)10， 即 f(2)的取值范围是6,10 【例【例 2】已知1x4，2y3，则 xy 的取值范围是_，3x2y 的取值范围是_ 【答案】 (4，2) (1，18) 【解析】 因为1x4，2y3， 所以3y2， 所以4xy2. 由1x4，2y3，得33x12，42y6， 所以 13x2y0 的解集 【答案】x|4 13x0
7、，所以方程x28x30 有两个不相等的实根 x14 13，x2 4 13.又二次函数 yx28x3 的图象开口向下，所以原不等式的解集为x|4 13x4 13 命题角度二命题角度二 含参数的一元二次不等式含参数的一元二次不等式 解含参数的一元二次不等式的一般步骤解含参数的一元二次不等式的一般步骤 【例【例 2】解关于 x 的不等式 ax2(a1)x10. 【答案】见解析 【解析】 若 a0，原不等式等价于x11. 若 a0， 解得 x1. 若 a0，原不等式等价于 a x 1 (x1)0. 当 a1 时，1 a1， a x 1 (x1)1 时，1 a1，解 a x 1 (x1)0， 得1 ax
8、1； 当 0a1，解 a x 1 (x1)0， 得 1x1 a. 综上所述，当 a1； 当 0a1 时，解集为 1 1 x a x. 命题角度三命题角度三 已知一元二次不等式的解集求参数已知一元二次不等式的解集求参数 【例【例 3】已知不等式 ax2bx10 的解集是 3 1 - 2 1 -xx，则不等式 x2bxa0 的解集是_ 【答案】 x|x3 或 x2 【解析】 由题意，知1 2， 1 3是方程 ax 2bx10 的两个根，且 a0 的解集是(1，)，则关于 x 的不等式(axb)(x2)0 的解集是(1，)，所以 a0，且b a1，所以关于 x 的不等式(ax b)(x2)0 可化为
9、 a b x(x2)0，即(x1)(x2)0，所以不等式的解集为x|1x0(0(0)； (2) fx gx0(0) fx gx00， gx0. 【例【例 5】不等式1x 2x1 的解集为( ) A. 2 1 , 2 B. 2 1 -2- ， C(，2) ， 2 1 - D(，2 ， 2 1 - 【答案】B. 【解析】 ：1x 2x1 1x 2x10 1x2x 2x 0 2x1 2x 0 2x1 x2 0 （2x1）（x2）0 x20 25 或 x4 3. 所以原不等式的解集为 5 3 4 xxx或. 题型三题型三 一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式恒成立问题 【题型要点】【题型要点】形如
10、f(x)0(f(x)0)恒成立问题的求解策略 (1)对 xR 的不等式确定参数的范围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解 (2)对 xa，b的不等式确定参数的范围时，根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于 0，从而求出参数的范围；数形结合，利用二次函数在端点 a，b 处的取值特点确定不等式参数的取值范 围 (3)已知参数 ma，b的不等式确定 x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元， 求谁的范围，谁就是参数 【易错提醒】【易错提醒】解决恒成立问题一定要搞清楚谁是主元，谁是参数 【例【例 1】已知函数 f(x)x2a 2x1. (1)若 f(x)0，在
11、R 上恒成立，求实数 a 的取值范围； (2)若x1,2，f(x)2 成立，求实数 a 的取值范围 【答案】见解析 【解析】(1)由题意得 f(x)x2a 2x10 在 R 上恒成立， a 2 4 40，解得4a4， 实数 a 的取值范围为4,4 (2)由题意得x1,2，x2a 2x12 成立， x1,2，a 2x 1 x成立 令 g(x)x1 x，x1,2， 则 g(x)在区间1,2上单调递增， g(x)maxg(2)3 2， a 2 3 2，解得 a3，实数 a 的取值范围为(，3 【例【例 2】设函数 f(x)mx2mx1.若对于 x1，3，f(x)m5 恒成立，求 m 的取值范围 【答
12、案】 7 6 mm 【解析】 要使 f(x)m5 在 x1，3上恒成立， 即 m 2 2 1 x3 4m60 时，g(x)在1，3上是增函数， 所以 g(x)maxg(3)7m60， 所以 m6 7， 所以 0m6 7； 当 m0 时，60 恒成立； 当 m0 时，g(x)在1，3上是减函数， 所以 g(x)maxg(1)m60，所以 m6，所以 m0， 又因为 m(x2x1)60， 所以 m 6 x2x1. 因为函数 y 6 x2x1 6 x1 2 2 3 4 在1，3上的最小值为6 7， 所以只需 mb，且 ln a ln b0，则( ) A.1 a 1 b Ba2ab Dlg alg b
13、0 【答案】C 【解析】由已知得 ab1 或 0ba1，因此必有1 ab2，所以 A，B 错误；又 ab1 或 0ab0 或 lg (ab)0，即 ab1ab，所以 C 正确 3已知 a0b，则下列不等式一定成立的是( ) Aa2ab B|a| 1 b D ba 2 1 2 1 【答案】C. 【解析】 ：法一：当 a1，b1 时，满足 a0b，此时 a2ab，|a|b|， ba 2 1 2 1 ，所以 A，B， D 不一定成立因为 a0b，所以 ba0，ab0，所以1 a 1 b一定成立，故选 C. 法二：因为 a0b，所以1 a0 1 b，所以 1 a 1 b一定成立，故选 C. 4若 m0
14、 且 mn0，则下列不等式中成立的是 ( ) Anmnm Bnmmn Cmnmn Dmnnm 【答案】D. 【解析】 ：法一(取特殊值法)：令 m3，n2 分别代入各选项检验即可 法二：mn0mnnm，又由于 m0n，故 mnnm 成立 5.若不等式 x2(a1)xa0 的解集是4，3的子集，则 a 的取值范围是( ) A4，1 B4，3 C1，3 D1，3 【答案】B. 【解析】 ： 原不等式为(xa)(x1)0， 当 a1 时， 不等式的解集为a， 1， 此时只要 a4 即可， 即4a1 时，不等式的解集为1，a，此时只要 a3 即可， 即 1a3.综上可得4a3. 6 (2020 湖南益
15、阳湖南益阳 4月模拟月模拟)已知函数 f(x)ax2(a2)xa2为偶函数， 则不等式(x2)f(x)0 的解集为( ) A( 2， 2)(2，) B( 2，) C(2，) D( 2，2) 【答案】A. 【解析】 ：因为函数 f(x)ax2(a2)xa2为偶函数， 所以 a20，得 a2， 所以 f(x)2x24，所以不等式(x2)f(x)0 可转化为 x20 或 x20， f（x）0， 即 x0 或 x2， 2x240，解得 2x2.故原不等式的解集为( 2， 2)(2，)故选 A. 7.(2020 广东清远一中月考广东清远一中月考)关于 x 的不等式 axb0 的解集是(1，)，则关于 x
16、 的不等式(axb)(x3) 0 的解集是( ) A(，1)(3，) B(1,3) C(1,3) D(，1)(3，) 【答案】C 【解析】关于 x 的不等式 axb0 的解集是(1，)，即不等式 axb 的解集是(1，)，ab0， 不等式(axb)(x3)0 可化为(x1)(x3)0，解得1x3，所求解集是(1,3)故选 C. 8.设实数 x，y 满足 0xy4，且 02x2y2 且 y2 Bx2 且 y2 C0x2 且 0y2 且 0y0， xy0，则 x0， y0， 由 2x2y4xy(x2) (2y)2， y2 或 0x2， 0y2， 又 xy4，可得 0x2， 0y 1 4，命题 q：
17、xR，ax 2ax10，则 p 成立是 q 成立的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 求解不等式1 a 1 4可得 0a0， a24ab，ab b，ab， a，ab. 若 m n2，pq2，则( ) Amn4 且 pq4 Bmn4 且 pq4 Cmn4 且 pq4 Dmn4 且 pq4 【答案】A 【解析】 ：.结合定义及 m n2 可得 m2， mn 或 n2， mn， 即 nm2 或 mn2，所以 mn4；结合定义及 pq2，可得 p2， pq 或 q2， pq，即 qp2 或 pq2， 所以 pq4. 11(2020 安徽
18、蒙城五校联考安徽蒙城五校联考)在关于 x 的不等式 x2(a1)xa0 的解集中至多包含 2 个整数，则实数 a 的取值范围是( ) A(3，5) B(2，4) C3，5 D2，4 【答案】D. 【解析】 ：因为关于 x 的不等式 x2(a1)xa0 可化为(x1)(xa)1 时，不等式的解集为x|1xa； 当 a1 时，不等式的解集为x|axb，有下列不等式 a c2 b c2； 1 a|b|；a|c|b|c|，则一定成立的有_(填正确的序号) 【答案】 ： 【解析】 ：对于，1 c20，故成立； 对于，a0，b0 时不成立； 对于，取 a1，b2 时不成立； 对于，|c|0，故成立 2已知
19、实数 a(1，3)，b 4 1 8 1， ，则a b的取值范围是_ 【答案】 ：(4，24) 【解析】 ：依题意可得 41 b8，又 1a3，所以 4 a bx(x2)的解集是_ 【答案】 ：x|0xx(x2)的解集即 x(x2)0 的解集，解得 0x2. 4规定符号“”表示一种运算，定义 ab abab(a，b 为非负实数)，若 1k23，则 k 的取值范围是 _ 【答案】 ：(1，1) 【解析】 ：因为定义 ab abab(a，b 为非负实数)，1k23，所以 k21k23， 化为(|k|2)(|k|1)0，所以|k|1，所以1k1. 5 已知函数 f(x)x2mx1， 若对于任意 xm，
20、 m1， 都有 f(x)0 成立， 则实数 m 的取值范围是_ 【答案】 ： 2 2 ，0 【解析】 ：因为函数 f(x)x2mx1 的图象是开口向上的抛物线，所以对于任意 xm，m1，都有 f(x)0 成立，则有 f（m）0， f（m1）0，即 m2m210， （m1）2m（m1）10，解得 2 2 m0. 6.已知 ABC 的三边长分别为 a，b，c 且满足 bc3a，则c a的取值范围为_ 【答案】 ：(0，2) 【解析】 ：由已知及三角形的三边关系得 ac， acb， 所以 1 c a， 1c a b a， 所以 1 b a c a3， 1c a b a1， 两式相加得，02 c ay
21、，ab，则在axby；axby；axby；xbya；a y b x这五个式子中，恒成立 的不等式的序号是_ 【答案】 ： 【解析】 ：令 x2，y3，a3，b2. 符合题设条件 xy，ab. 因为 ax3(2)5，by2(3)5. 所以 axby，因此不成立 因为 ax6，by6，所以 axby，因此不成立 因为a y 3 31， b x 2 21， 来源:Zxxk.Com 所以a y b x，因此不成立 由不等式的性质可推出成立 8.已知函数 f(x)x 22xa x ，若对任意 x1，)，f(x)0 恒成立，则实数 a 的取值范围是_ 【答案】(3，) 【解析】对任意 x1，)，f(x)0
22、 恒成立 等价于 x22xa0，即 a(x1)21 在1，)上恒成立，令 g(x)(x1)21，则 g(x)在1，)上 单调递减，所以 g(x)maxg(1)3，所以 a3. 9.(2020 江西临川一中高考模拟江西临川一中高考模拟)已知函数 f(x) xln (3x)，则不等式 f(lg x)0 的解集为_ 【答案】(1,100) 【解析】因为 f(x) xln (3x)，则 x0， 3x0， 解得 0 x0 等价于 x0， ln 3x0， 解得 0x0，所以 0lg x3， 0lg x0， 解得 1x100，所以解集为(1,100) 10.已知函数 f(x)x2axb(a，bR)的值域为0
23、，)，若关于 x 的不等式 f(x)c 的解集为(m，m6)，则 实数 c 的值为_ 【答案】 ：9 【解析】 ：由题意知 f(x)x2axb 2 2 a xba 2 4 . 因为 f(x)的值域为0，)，所以 ba 2 4 0，即 ba 2 4. 所以 f(x)(xa 2) 2.又 f(x)c，所以(xa 2) 2c，即a 2 cx0，|a|1 恒成立的 x 的取值范围 【答案】见解析 【解析】 ：将原不等式整理为形式上是关于 a 的不等式(x3)ax26x90. 令 f(a)(x3)ax26x9， 因为 f(a)0 在|a|1 时恒成立，所以 (1)若 x3，则 f(a)0，不符合题意，应
24、舍去 (2)若 x3，则由一次函数的单调性， 可得 f（1）0， f（1）0， 即 x27x120， x25x60， 解得 x4. 则实数 x 的取值范围为(，2)(4，) 2已知函数 f(x) ax22ax1的定义域为 R. (1)求 a 的取值范围； (2)若函数 f(x)的最小值为 2 2 ，解关于 x 的不等式 x2xa2a0， （2a）24a0， 解得 00，所以当 x1 时，f(x)min1a， 由题意得， 1a 2 2 ，所以 a1 2， 所以不等式 x2xa2a0 可化为 x2x3 40. 解得1 2x 3 2， 所以不等式的解集为 2 3 2 1 -，. 3 已知函数 f(x
25、)ax2(b8)xaab，当 x(，3)(2，)时，f(x)0. (1)求 f(x)在0，1内的值域； (2)若 ax2bxc0 的解集为 R，求实数 c 的取值范围 【答案】见解析 【解析】 ：(1)因为当 x(，3)(2，)时，f(x)0. 所以3，2 是方程 ax2(b8)xaab0 的两个根， 所以 328b a ， 3 2aab a ， 所以 a3，b5. 所以 f(x)3x23x183 2 2 1 x75 4 . 因为函数图象关于 x1 2对称且抛物线开口向下， 所以 f(x)在0，1上为减函数， 所以 f(x)maxf(0)18， f(x)minf(1)12，故 f(x)在0，1内的值域为12，18 (2)由(1)知不等式ax2bxc0可化为3x25xc0， 要使3x25xc0的解集为R， 只需b24ac0， 即 2512c0，所以 c25 12， 所以实数 c 的取值范围为 12 25 -， 4设二次函数 f(x)ax2bxc，函数 F(x)f(x)x 的两个零点为 m，n(m0 的解集； (2)若 a0，且 0xmn0， 即 a(x1)(x2)0. 当 a0 时，不等式 F(x)0 的解集为 x|x2； 当 a0 的解集为x|1x0，且 0xmn1 a， 所以 xm0. 所以 f(x)m0，即 f(x)m.